Apostila de calculo numerico excel

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Numérico (IF 33R) 
Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Angela Olandoski Barboza 
Curitiba - 2006 
 
 1 
Exercícios do Capítulo 1 
Noções Básicas sobre Erros 
 
1) Calcular os erros absoluto e relativo 
para os itens a seguir: 
a) x = 7,6 e 598,7x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = 1532 e 1537y = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) z = 0,000513 e 000645,0z = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dado o número de Euler 
 718281828,2e = : 
a) Truncar e na 4ª casa decimal: 
 
 
 
 
 
 
b) Arredondar e na 4ª casa decimal: 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja a série de MacLaurin: 
)!1n2(
x
)1(...
!7
x
!5
x
!3
x
xsenx
1n2
n
753
+
−++−+−=
+
 
com intervalo de convergência ( )+∞∞− , . 
Faça a aproximação para )1(sen através 
de um truncamento após quatro termos da 
somatória. Encontre também o valor de 
)1(sen em sua calculadora. Compare os 
resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Converta os seguintes números 
binários para a forma decimal: 
a) ( )2101101x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( )2110101011y = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
c) ( )21101,0z = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ( )2111011111,w = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Transforme para a base que se pede: 
a) 253,457810 = x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ) 38510 = y3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Represente os números que se seguem 
em ponto flutuante com 5 algarismos 
significativos usando a base 10. Se a 
representação não for exata, dê as duas 
representações, truncada e 
arredondada. 
Exemplo: 
 
Número 
Representação 
Truncada 
Representação 
Arredondada 
 
7
12
 0,17142 x 101 
 
0,17143 x 101 
 
 
 
Número 
Representação 
Truncada 
Representação 
Arredondada 
a) 7 
b) 
2
π
 
c) 
3
200
 
d) 
7000
3
 
 
7) Considere uma máquina com sistema 
de representação de números definido 
por: base 10 ( )10=β , 5 dígitos na 
mantissa (t = 5) e expoente no 
intervalo [-6, 6]. Pede-se: 
a) Escreva o menor e o maior número em 
módulo nesta representação; 
 
 
 
b) Como será representado o número 
123456 se for usado o 
arredondamento? 
 
 
c) E se for utilizado o truncamento? 
 
 
d) Se x = 452700 e y = 4, qual o resultado 
de x + y? Justifique o resultado. 
 
 
 
 
 
8) Complete as tabelas efetuando os cálculos a seguir de três formas: (i) exatamente; (ii) 
utilizando uma aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos e o 
método de truncamento; (iii) utilizando uma aritmética de ponto flutuante com três 
algarismos significativos e o método de arredondamento. 
 
a) 19,3 + 1,07 -10,3 
(i) 
(ii) 
(iii) 
b) (365+0,7) + 0,5 
(i) 
(ii) 
(iii) 
c) 27,2 * 1,3 -327 * 0,00251 
(i) 
(ii) 
(iii) 
d) 365 + (0,7 + 0,5) 
(i) 
(ii) 
(iii) 
e) 
22,3*09,71,14
2,8*1,31,10
+
−
 
(i) 
(ii) 
(iii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Capítulo 2 – Zeros Reais de Funções Reais 
 
9) Pesquise a existência de raízes das funções a seguir e se houver raízes, encontre o 
intervalo onde estas estão isoladas usando o método analítico (1) e gráfico (2). 
a) )x(tg)xsec(cos)x(f −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) )xln(e)x(f
x −= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Dada a função )x(tgh)xln()x(f −= , determine um intervalo que contenha uma única 
raiz positiva α de f(x). Para este intervalo calcule o número de iterações necessárias para 
obter uma aproximação para a raiz com precisão 410−=ε . 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Aplique o Método da Bissecção para encontrar uma aproximação para a raiz negativa da 
função 1.0x.5x)x(f 3 +−= . Considere o critério de parada dado por ε≤
−
2
ab
 com 
210−=ε . Num primeiro passo, faça o isolamento da raiz para então completar a tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n a x b f(a| f(x) f(b) (b-a)/2
1
2
3
4
5
6
7 
 6 
12) Isolar as raízes de f(x) = 0 por um dos métodos já definidos pode ser um problema difícil. 
Considere )x1,3cos()xcos()x(f −= . Esta função muda de sinal em I = [-1, 8]. Possui 
portanto, mais de uma raiz neste intervalo. Suponha que você deseja encontrar a menor 
raiz positiva. Faça então um esboço gráfico de cos(x) e cos(3,1x) e determine um 
intervalo com amplitude de 0,1 e aplique o Método da Bissecção para uma precisão 
410−=ε . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n a x b f(a| f(x) f(b) (b-a)/2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 
 
 
13) Utilize manipulações algébricas para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um 
ponto fixo em x para 0)x(f = sendo 3xx2x)x(f 24 −−+= . 
a) 
2
1
4
2
x3x
)x( 




 −+
=φ b) 
x2x
3x
)x(
3 +
+
=φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
14) Utilize o Método do Ponto Fixo para determinar uma aproximação para 3 25 com 
precisão 410−=ε . Para tanto: 
a) Encontre uma função f(x) para efetuar este cálculo; 
 
 
b) Mostre através de manipulações algébricas que 
x
5
)x( =φ é uma função de ponto fixo 
para a f(x) encontrada; 
 
 
 
c) Isole a raiz num intervalo [a, b] tal que Zb,a ∈ ; 
 
 
 
d) Verifique as hipóteses do Teorema 2 para certificar-se que esta função faz com que o 
método convirja dentro do intervalo [a, b]; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Escolha convenientemente x0; 
 
 
 
f) Aplique o método, preenchendo a tabela a seguir: 
 
n xn xn+1 |xn+1 – xn| 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
 
g) Encontre o valor de 3 25 usando a calculadora e compare os resultados: 
 
 8 
15) Seja ( ) )xln(2x)x(f 2 −−= . 
a) Isole as raízes desta função utilizando um dos métodos estudados; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Verifique as hipóteses do Teorema 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Encontre a fórmula de iteração para o Método de Newton; 
 
 
 
 
d) Escolha x0 convenientemente para encontrar a menor raiz; 
 
 
 
 
 
 
e) Complete a tabela para encontrar x de tal forma que |xn+1 – xn| ≤ 10
-10
; 
 
n xn xn+1 |xn+1 – xn| 
0 
1 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
16) O polinômio 9x221x9x18x230)x(f 234 −−++= tem dois zeros reais. Um no intervalo 
[-1, 0] e o outro em [0, 1]. Encontre o valor aproximado do zero negativo com uma 
precisão de 10
-6
 utilizando: 
a) Método da Bissecção: 
 
 
 
 
n a x b f(a| f(x) f(b) (b-a)/2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 
 
b) Método de Newton: 
 
 
 
 
 
n xn xn+1 |xn+1 – xn| 
0 
1 
2 
 
c) Compare o número de iterações dos dois métodos e o resultadoobtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
17) O Engenheiro recém formado M. J. Hesitant projetou um reservatório de água na forma 
de semi-esfera de raio 4m que será utilizado em um prédio e cometeu um erro no cálculo: 
o volume de água possível neste reservatório é bem maior que 50m
3
, estabelecido como 
limite. Dessa forma, é preciso determinar o nível h máximo que a água pode atingir nesse 
recipiente para não ultrapassar o limite de volume estabelecido. Determine o valor de h 
com erro inferior a 10
-3
 usando o Método de Newton-Raphson. 
A fórmula que calcula o volume com os dados exibidos na figura é: )hR3(h
3
V 2 −=
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n xn xn+1 |xn+1 – xn| 
0 
1 
2 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) A corrente elétrica em um circuito varia com o tempo conforme a seguinte expressão: 
)5,0t..2cos(.e.9I 1 += − π . Deseja-se determinar o tempo no qual a corrente se iguala à 
metade do seu valor inicial (quando t = 0). Efetue três iterações com o Método de Newton 
e adote como aproximação inicial t0 = 0,2s. Determine o erro |tn+1 – tn| a cada iteração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
n xn xn+1 |xn+1 – xn| 
0 
1 
2 
3 
 
h 
R 
 11 
Exercícios do Capítulo 3 – Resolução de Sistemas de Equações Lineares 
 
19) Utilize a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos 
significativos com arredondamento para resolver os sistemas lineares a seguir. Não 
reordene as equações. 
a) 





=++
=++
=+−
11x4x2x
3x2x5x2
8xxx4
321
321
321
 
 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 





−=−−−
−=−+−
=+−
13x5x6x2
48x10x8x5
26x4x2x6
321
321
321
 
 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 
 
 
 
 
 12 
20) Utilize o algoritmo da Eliminação de Gauss para resolver os sistemas lineares a seguir 
com aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos e arredondamento. 
Não reordene as equações. 
a) 







=++−
−=+−
=+
=
8,0xxxx2
6x5,0x3
5,4x5,1x
3x2
4321
32
21
1
 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 
 
 
b) 







−=+−−
=−++−
=+−+
=++
3x3xxx3
4xx3xx
1xxxx2
2xxx
4321
4321
4321
421
 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 13 
21) Resolva os seguintes sistemas lineares usando o método de eliminação de Gauss com 
pivoteamento completo, aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos e 
arredondamento. 
a) 





−=+−
=−+−
−=+−
139x21x2,14x11,6
120x7x1,12x03,3
119x14x1,12x03,3
321
321
321
 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 
 
 
 
b) 







=−−−
=+−
=−+−
=+−+
16,4xx1,13x110,0x3,15
15,2xx9,99x100
44,3xx2,12x122,0x2,14
12,1xx99x11,2x19,1
4321
432
4321
4321
 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 
 
 
 
 
 
 14 
22) Calcule o resíduo gerado pela solução encontrada para o sistema do exercício 19) b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23) Considerando a resposta x do exercício 19) b), faça o refinamento de x até que se 
obtenha o resíduo ( ) 0r k = , considerando a aritmética de ponto flutuante com três 
algarismos significativos e arredondamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
24) Obtenha as três primeiras iterações do método de Gauss-Jacobi para o seguinte sistema 
linear, usando x
(0)
 = 0: 





=++
=++
=+−
4x7x3x3
0x2x6x3
1xxx3
321
321
321
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k )k(
1x 
)k(
2x 
)k(
3x 
)1k(
i
)k(
i
3i1
xxmax −
≤≤
− 
 
 
 
 
 
25) Obtenha as três primeiras iterações do método de Gauss-Seidel para o seguinte sistema 
linear, usando x
(0)
 = 0: 





=++
=++
=+−
4x7x3x3
0x2x6x3
1xxx3
321
321
321
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k )k(
1x 
)k(
2x 
)k(
3x 
)1k(
i
)k(
i
3i1
xxmax −
≤≤
− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
26) Seja o sistema linear 







=+−
=−+−
=−
=−+
1x2x
1xx2x
1xx2
1xx2x
43
432
21
321
 . 
a) Este sistema satisfaz o critério das linhas? Justifique: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Este sistema satisfaz o critério de Sassenfeld? Justifique: 
 
 
 
 
 
 
 
c) O que se pode afirmar sobre a convergência? Justifique: 
 
 
 
 
 
 
d) O sistema obtido permutando-se as duas primeiras equações satisfaz o critério de 
Sassenfeld? Justifique: 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) O que se pode afirmar, então sobre a convergência? 
 
 
 
 
 
 
 17 
27) Resolva o sistema 





=++−
=−−
−=−+
13x6x2x
0x3x4x
5x2x2x5
321
321
321
 usando x
(0)
 = 0, aritmética de ponto flutuante 
com cinco algarismos significativos, arredondamento, 001,0=ε e número máximo de 
iterações igual à 6 com os seguintes métodos: 
a) Eliminação de Gauss 
 
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 
 
b) Gauss-Jacobi 
 
k )k(
1x 
)k(
2x 
)k(
3x 
)1k(
i
)k(
i
3i1
xxmax −
≤≤
− 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 
 18 
c) Gauss-Seidel 
 
 
 
 
 
k )k(
1x 
)k(
2x 
)k(
3x 
)1k(
i
)k(
i
3i1
xxmax −
≤≤
− 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Exercícios do Capítulo 4 – Interpolação 
 
28) A tabela a seguir relaciona o calor específico da água com a temperatura: 
 
T (ºC) 200 220 240 260 280 
Cp(Kcal/KgºC) 1075 1102 1136 1183 1250 
 
Pede-se: 
a) Determine a capacidade calorífica cp da água à temperatura T = 235º por meio de uma 
interpolação cúbica (polinômio do 3º grau) usando a forma de Newton; 
 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Estime o erro cometido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
29) Um paraquedista realizou cinco saltos de alturas distintas. Foi testa a precisão de seus 
saltos para um alvo de raio 5m, em relação à altura. A tabela a seguir mostra a distância, 
em metros, do ponto que o paraquedista tocou o solo ao centro do alvo. 
 
Altura (m) 1500 1250 1000 750 500 
Distância ao centro alvo (m) 35 25 15 10 7 
 
Encontre a provável distância do centro do alvo se este parequedista saltasse a uma altura 
de 850m, usando a forma de Lagrange. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
30) Uma hidrelétrica tem capacidade máxima de 60 Mw, a qual é determinada por três 
geradores de respectivamente 30 Mw, 15 Mw e 15 Mw. A demanda de energia varia nas 
24 horas do dia e é em função desta variação que o engenheirooperacional distribui as 
tarefas dos geradores. Sabe-se que a demanda mínima ocorre entre 1 e 5 horas da manhã e 
a demanda máxima entre 13 e 17 horas. Usando a forma de Newton e todos os pontos, 
determine o horário em que ocorrem as demandas máxima e mínima. 
 
h 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 
Demanda (Mw) 17,2 16,4 15,2 14,9 16,0 28,0 36,5 43,0 34,0 31,2 
 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
 
 
 
 
 
 
 
 
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
 
 
 
 
 
 
 
 22 
31) Numa esfera de superfície conhecida, o coeficiente de absorção 0,7 foi mantido à 
temperatura de 6000ºk. Foi calculada a energia irradiada de acordo com o tempo de 
irradiação, obedecendo à tabela seguinte: 
 
Energia irradiada 
(joule) 
71,72x103 94,72x103 118,4x103 142,08x103 165,76x103 189,44x103 
Tempo de 
Irradiação (s) 
600 800 1000 1200 1400 1600 
 
a) Usando interpolação inversa com um polinômio do 2º grau, encontre a energia irradiada 
aos 22 minutos. 
b) Faça uma estimativa para o erro cometido nesta aproximação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
32) Um veículo de fabricação nacional foi testado com relação ao consumo de combustível. 
Os resultados dos testes são mostrados na tabela a seguir: 
 
Velocidade (km/h) 55 70 85 100 120 
Consumo (km/l) 14,08 13,56 13,258 12,27 11,3 
 
Usando spline cúbida interpolante, faça a estimativa do consumo deste veículo para a 
velocidade de 80 km/h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
Exercícios do Capítulo 5 – Ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados 
 
33) Para os dados da tabela a seguir, ajuste polinômios de graus 1 e 2 e encontre os resíduos 
para cada caso. Compare os resíduos obtidos. 
 
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
yi 1,3 3,5 4,2 5,0 7,0 8,8 10,1 12,5 13,0 15,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
34) Ajuste os dados da tabela abaixo pelo método dos mínimos quadrados, utilizando: 
 
ix 0,2 0,4 0.6 0,8 1,0 1,2 
)( ixf 1,0 2 3 5,0 5,0 3,0 
 
a) Uma função de ajuste 2210)( xxx αααϕ ++= . 
b) Uma função de ajuste )cos()()( 210 xcxsinccx ππϕ ++= . 
c) Qual a curva que melhor se ajusta aos dados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
35) O número de bactérias por unidade de volume y, existente em uma cultura após x horas é 
apresentado na tabela: 
 
x 0 1 2 3 4 5 6 
y 32 47 65 92 132 190 275 
 
a) Ajuste uma curva da forma 
x
1
210)x(g
αα= . 
b) Avalie o valor de g(x) para x = 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
36) Aproximar a função x2sen)x(f = no intervalo 



2
,0
π
 por uma parábola usando o 
método dos mínimos quadrados. Construa o gráfico de f(x) e g(x) para verificar se a 
aproximação foi conveniente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
37) Aproximar a função xlnx)x(f 2 −= no intervalo [1, 3] por uma reta usando o método 
dos mínimos quadrados. Construa o gráfico de f(x) e g(x) para verificar se a aproximação 
foi conveniente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
Exercícios do Capítulo 6 – Integração Numérica 
 
38) Aproxime as integrais a seguir utilizando a regra do Trapézio repetida e a regra 1/3 de 
Simpson repetida. Faça uma estimativa para o erro cometido em cada caso. (Utilize 7 
casas decimais após a vírgula). 
a) ∫ +
1,0
0
1 dxx 
Trapézio com 10 repetições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simpson com 10 sub-intervalos (5 parábolas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
b) ∫
1
0
2
dxe x 
Trapézio com 10 repetições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simpson com 10 sub-intervalos (5 parábolas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
c) ∫
3
1
1
dx
x
 
Trapézio com 8 repetições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simpson com 8 sub-intervalos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
39) Utilize a regra do Trapézios repetida com n = 4 para aproximar a seguinte integral: 
(utilize 7 casas decimais após a vírgula). 
 ∫−
2
2
x3 dxe.x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40) Utilize a regra 1/3 de Simpson repetida com n = 3 para aproximar a seguinte integral: 
 ∫
π
0
2 . dxcoxe x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
41) Determine o valor mínimo de n necessário para aproximar ∫ +
2
0 1
1
dx
x
 com precisão 10
-5
. 
a) Usando a regra dos Trapézios repetida; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Usando a regra 1/3 de Simpson repetida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42) Um carro percorre uma pista de corrida em 84 segundos. A velocidade do carro a cada 
intervalo de 6 segundos é determinada com auxílio de um radar e é dada, a partir do início 
da volta, em metros por segundo, pelos dados da tabela a seguir. 
 
Tempo 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84
Velocidade
124 134 148 156 147 133 121 109 99 85 78 89 104 116 123
 
 
 
Encontre o comprimento da pista (use a regra dos trapézios). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
Exercícios do Capítulo 7 – Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
43) Seja o seguinte problema de valor inicial sobre o intervalo 0=x a 75,0=x . 
 
 




=
−=
1)0(
2
y
yyx
dx
dy
 
 
Resolva: 
 
a) Utilizando o Método de Euler com passo de 0,25; 
 
 
j xj yj y(xj) ej = yj – 
y(xj) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Utilizando o Método de Euler aperfeiçoado com passo 0,25; 
 
j xj yj k1 k2 y(xj) ej = 
yj – y(xj) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Sabendo que a solução analítica para o problema é y(x) = 
x
x
e
−
3
3
, faça uma análise crítica 
dos resultados obtidos anteriormente comparando com os valores reais. 
 
 
 
 
 
 
 35 
44) Seja o problema de valor inicial: 
 




=
−=
0)0(
23
y
yxe
dx
dy x
 
 Determine o valor de )5,0(y com 05,0=h usando os seguintes métodos: 
 
 
a) Euler: 
 
j xj yj36 
b) Euler aprimorado: 
 
j xj yj k1 k2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
c) Runge-Kutta de quarta ordem; 
 
 
j xj yj k1 k2 k3 k4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
45) Dado o problema de valor inicial



=
=+
1)0(
'.2
2
y
yyyx
, 
a) Calcule y(1) com h = 0,2, usando o método de Euler; 
 
j xj yj 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
b) Calcule y(1) com h = 0,2, usando o método Runge-Kutta de quarta ordem; 
 
j xj yj k1 k2 k3 k4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Sabendo que a solução exata deste PVI é 12 += xy , encontre o erro cometido para o 
cálculo de y(1) para cada um dos casos. 
 
 
 
 
 
 40 
RESPOSTAS 
 
Capítulo 1 
 
1) a) EAx = 0,002 b) ERx = 0,26316 × 10
-3
 ou ERx = 0,26323 × 10
-3
 
 b) EAy = 5 b) ERy = 0,32637 × 10
-2
 ou ERy = 0,32531 × 10
-2
 
 c) EAz = 0,132 × 10
-3
 b) ERz = 0,25731 ou ERz = 0,20465 
 
2) a) 2,7182 b) 2,7183 
 
3) Série de McLaurin: sen(1) = 0,841468254 Calculadora: sen(1) = 0,841470984 
A diferença entre os resultados é 0,273 × 10-5. Pode-se considerar que o erro cometido é 
pequeno. 
 
4) a) 45 b) 427 c) 81250
16
13
,= d) 9062515
32
509
,= 
 
5) a) 11111101,01110... b) 112021 
 
6) a) 0,26457× 101; 0,26458× 101 b) 0,15707× 101; 0,15708× 101 
 
c) 0,66666 × 102; 0,66667 × 102 d) 0,42857× 10-3; 0,42857× 10-3 
 
7) a) 0,1 × 10-6 = 0,0000001; 0,99999 × 106 = 999990 
 b) 0,12346 × 106 c) 0,12345 × 106 d) 0,4527 × 106 
 
8) a) 10,07; 10; 10,1 b) 366,2; 365; 367 c) 34,53923; 34,4; 34,6 
 d) 366,2; 366; 366 e) -0,176698008; 0,177; 0,177 
 
 
Capítulo 2 
 
9) a) As raízes encontram-se em intervalos da forma: 
 




 +
2
k2,k2
π
ππ e 




 ++ ππ
π
π 2k2,
2
3
k2 . 
 
 b) Existe uma única raiz no intervalo [1,2]. 
 
10) Existe uma única raiz no intervalo [2,3]. O número de iterações necessárias é n = 14. 
 
11) -2,2421875 
 
12) A raiz é 1,532519531 
 41 
 
14) a) 25x)x(f 3 −= c) A raiz está isolada no intervalo [2, 3] e) x0 = 3 f) 2,924036052 
g) 924017738,2253 = A diferença entre os resultados é em módulo de 1,831.10-5. 
 
15) a) As raízes estão isoladas nos intervalos [1, 2] e [3, 4]. 
 c) 
( )
n
n
n
2
n
n1n
n
n
n1n
x
1
4x2
xln2x
xx
)x('f
)x(f
xx
−−
−−
−=⇒−= ++ d) x0 = 1; e) 1,4123917202 
 
16) a) -0,040659904 b) -0,0406593 c) o número de iterações para o Método de 
Newton (n = 5) é bem menor que para o Método da Bissecção (n = 20). 
 
17) h = 2,2082 
 
18) 0,09812590203 
 
Capítulo 3 
 
19) a) );;(x 311 −= b) ),;,;,(x 992001012 −= 
 
20) a) ),;;;,(x 19900251 −= b) ),;,;,;,(x 30601240−= 
 
21) a) ),;;,(x 145010007730−= b) ),;,;,;,(x 18102080012501770 −−= 
 
22) ),;,;,(r t 030050020 −−= 
 
23) ),;;,()( 01000101 −=δ 
 
24) ),;,;,(x )( 66326502142860071428303 −= ; 23471301
31
,xxmax )k(i
)k(
i
i
=− −
≤≤
 
 
25) ),;,;,(x )( 648526023280400529103 −= ; 05820101
31
,xxmax )k(i
)k(
i
i
=− −
≤≤
 
 
26) a) Não, pois a condição não se verifica para as três primeiras linhas; 
 b) Como M = 6 > 1, o critério de Sassenfeld não está satisfeito; 
 42 
 c) A convergência não está garantida nem para o método de Gauss-Jacobi e nem para 
Gauss-Seidel; 
 d) Sim, pois M = { } 1875,0max i
3i1
<=
≤≤
β , o que satisfaz o critério de Sassenfeld; 
 e) Se forem trocadas as duas primeiras linhas, teremos um sistema convergente para o 
método de Gauss-Seidel. 
 
27) a) x = (0,99992; -1,9999; 2,9999) b) x = (0,93208; -1,9792; 2,94620) 
 c) x = (0,98832; -1,9942; 2,9961) 
 
Capítulo 4 
 
28) a) 1126,555; b) 0,0219733 ≤)T(E 
 
29) 11,4128m 
 
30) )4).(3).(2.(083333.0)3).(2.(45,0)2.(2,14,16)(3 −−−+−−+−−= xxxxxxxP 
 ponto de mínimo encontrado pelo Graphmatica = 3,7639 (3 h 45 m 50s) 
 )16).(15).(14.(616667,3)15).(14.(75,7)14.(5,65,36)(3 −−−+−−−−+= xxxxxxxP 
ponto de máximo encontrado pelo Graphmatica = 14,7351 (14 h 44 m 6 s) 
 
31) a) 15936813202 =)(P ; b) 16813202 ≤)(E 
 
32) 
409251251380
258138504277608500300295085000099560
2
23
2
,)(s
,)x.(,)x.(,)x.(,)x(s
=
+−−−−−−=
 
 
Capítulo 5 
 
33) x,,)x(g A 5381821360 +−= 3447272,rA = 
203484850154851406670 x,x,,)x(gB ++= 7035151,rB = 
 A parábola ajusta melhor os dados tabelados pois seu resíduo é menor que o obtido para a 
reta. 
 
34) a) 248214285788751412 x,x,,)x(A −+−=ϕ 2357142,rA = 
 b) )xcos(,)x(sen,,)x(B ππϕ 4274328887260065982 −+= 3189341641,rB = 
 c) A segunda curva ajusta melhor os dados por fornecer um resíduo menor. 
 
35) a) x,.,)x(g 1544114010146860932= b) 27420513877 ,)(g = 
 
36) ,x,x,,)x(g 26707931624474205046450 −+−= 
 
 43 
 
 f(x) g(x) 
 
37) x,,)x(g 4719325833 +−= 
 
 
 
f(x) g(x) 
 
Capítulo 6 
 
38) a) 102459601
10
0
,dxx
,
=+∫ ; 300000020830,ETR ≤ 
 102459801
10
0
,dxx
,
=+∫ ; 1210208335 −≤ .,ESR 
 
b) 4671751
1
0
2
,dxe x =∫ ; 01359140,ETR ≤ 
 46268141
1
0
2
,dxex =∫ ; 0001150,ESR ≤ 
 
 44 
c) 10321071
13
1
,dx
x
=∫ ; 02083330,ETR ≤ 
 09872531
13
1
,dx
x
=∫ ; 001041670,ESR ≤ 
 
39) 934097922
2
2
3 ,dxe.x x =∫− 
 
40) 268556215
0
2 ,dxcox.e x −=∫
π
 
 
41) Trapézios repetida: n = 366; 1/3 de Simpson repetida: n = 13 
 
42) C = 9855m 
 
Capítulo 7 
 
43) a) 07713805436905704665527340 33 ,)x(yy;,)x(y;,y jj =−== 
 
b) 00647054369105501606480 33 ,)x(yy;,)x(y;,y jj =−== 
 
c) Pode-se observar através dos resultados obtidos que o método de Euler aperfeiçoado 
encontra resultados para yj com erros menores que o método de Euler. 
 
44) a) ;,y 252808105010 = b) ;,y 286275093010 = c) ;,y 283618191010 = 
45) a) ;,y 8269481815 = b) ;y 31,732141885 = 
 c) 73205080815 ,)x(y = ; 
 Método de Euler: 1,732141883 0948973720555 ,)x(yye =−= 
 Método de Runge-Kutta de 4ª ordem: 0000910750555 ,)x(yye =−=