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1 Matrizes, Sistemas Lineares E Números Complexos Prof. Aziz Kalaf Filho Edição 2013 2 MATRIZES 1. Definição: Sejam 1m e 1n onde m,n são números inteiros positivos, uma matriz real mxn é uma dupla seqüência de nºs reais, distribuídos em “m” linhas e “n” colunas, formando uma tabela. 2. Notação: mxnijaA )( : sendo ija os elementos que compõem a matriz, com mi1 e nj1 i : descreve a linha que contém o elemento j : descreve a coluna que contém o elemento m : é a quantidade de linhas n : é a quantidade de colunas mnmmm n n n mxn aaaa aaaa aaaa aaaa A ........ ........................ ........ ........ ........ 321 3333231 2232221 1131211 )( é uma matriz (mxn) 3. Tipos de Matrizes: 1. Matriz Retangular : ( nm ) 12 53 61 )( 23xijaA (Nº de linhas diferente de Nº de colunas) 3 2. Matriz Quadrada : ( nm ) 311 480 652 )( 33xijaA (Nº de linhas igual de Nº de colunas) Podemos indicar por: mnmijnij AAaAaA ou ou )(ou )( Diagonal principal: formada pelos elementos nnaaaaa ,......,,,, 44332211 3. Matriz Linha : ( 1m ) 1.......56)( 1 xnijaA Só tem uma linha, também chamada de vetor linha e pode ser indicada por apenas um índice. nni aaaaA .......)( 21 4. Matriz Coluna : ( 1n ) 2 . 5 9 )( 1mxijaA Só tem uma coluna, também chamada de vetor coluna e pode ser indicada por apenas um índice. m mi a a a aA . )( 2 1 5. Matriz Diagonal : é uma matriz quadrada , tal que 0ija para ji 44 33 22 11 4 000 000 000 000 )( a a a a aA ij Obs: Det(A) = nnaaaaa ....44332211 4 6. Matriz Unitária ou Identidade: é uma matriz diagonal, tal que 1iia 1000 0100 0010 0001 )( 4ijaI Obs: Det(I) = 1 7. Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada, tal que aij=0 para i>j 44 3433 242322 14131211 4 000 00 0 )( a aa aaa aaaa aA ij Obs: Det(A) = nnaaaaa ....44332211 8. Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada, tal que aij=0 para i<j 44434241 333231 2221 11 4 0 00 000 )( aaaa aaa aa a aA ij Obs: Det(A) = nnaaaaa ....44332211 9. Matriz nula: todos os aij = 0 0000 0000 0000 0000 )( 4ijaA Obs: Det(A) = 0 10. Matriz com um elemento: 11)( aaA ij Obs: Det(A) = a11 5 11. Matriz Transposta: Dada uma matriz mxnijaA )( , a matriz nxmjibB )( tal que os ijij ab para todo i e todo j é a matriz transposta de A e indicada AT ( na prática é suficiente trocar linhas por colunas ) 12 53 61 )( 23xijaA e 156 231 )( 32xji T bBA 12. Matriz Oposta: Dada uma matriz mxnijaA )( , a matriz mxnijbB )( tal que os ijij ab para todo i e todo j é a matriz oposta de A e indicada (-A) 12 53 61 )( 23xijaA e 12 53 61 )( A é a oposta de A 13. Matriz Simétrica: Uma matriz é simétrica se for quadrada e A = AT 741 459 192 )( 3ijaA e 741 459 192 TA com A = AT 14. Matriz Anti – Simétrica: Uma matriz é anti - simétrica se for quadrada e A = -AT 041 409 190 )( 3ijaA e 041 409 190 TA com A = -AT 6 15. Matriz dos cofatores (dos complementos algébricos) Dada uma matriz quadrada An, podemos formar uma nova matriz também quadrada A n tal que, cada elemento ij a da matriz A n é obtido calculando-se o determinante da matriz A , quando se elimina a linha i e a coluna j correspondente do elemento aij . Este valor calculado deve ser multiplicado por ji)1( ( isto corresponde trocar o sinal do valor calculado se (i+j) for um nº impar e manter o sinal calculado se (i+j) for um nº par 421 210 312 )( 3ijaA e 245 5112 128 )( 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa aA ij 8 42 21 11 a ; 2 41 20 )1(12 a ; 1 21 10 13 a 2 42 31 )1(21 a ; 11 41 32 22 a ; 5 21 12 )1(23 a 5 21 31 31 a ; 4 20 32 )1(32 a ; 2 10 12 33 a 16. Matriz Adjunta: Dada uma matriz quadrada An , a matriz adjunta de A , indicada por Adj(A) é tal que: Adj(A) = T A ( é a matriz transposta da matriz dos cofatores ) 421 210 312 )( 3ijaA e 245 5112 128 )( 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa aA ij 251 4112 528 )( T AAAdj 7 EXERCÍCIOS 1. Montar as matrizes a) A=(aij)2x2 tal que: aij = 3i-2j b) B=(bij)3x4 tal que: bij= i+2j se ji e bij= 2i-j se ji c) C=(cij)2x3 tal que: cij= i3-j2+2 2. Considerando a matriz A=(aij)2x2 com aij=(3+i-j)2, calcular os valores de x, y,z e t para que se tenha: tzt3z2 yx4y2x3 A 3. A matriz A é simétrica e: x1z2 3yx3 y21 A determinar x , y , z 4. A matriz B é anti-simétrica e: 4z2zy c)1y(x bax2 B determinar a , b , c , x , y , z 5. Determine a matriz adjunta, nos casos: a) 41 52 A b) 102 012 121 B c) 1241 0013 0221 1101 C8 4. Operações com Matrizes 4.1 Adição (Subtração) de Matrizes Definição: Dadas duas matrizes A = (aij) e B = (bij) do mesmo tipo mxn , chamamos de soma da matriz A com a matriz B , que se indica por A+B , a matriz C = (cij) também do tipo mxn tal que : cij = aij + bij , para todo i e para todo j . Observações: a) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo e a soma se obtém somando os elementos correspondentes; b) A diferença de duas matrizes pode ser calculada fazendo: A - B = A + (-B) , que é a soma da matriz A com a oposta de B Propriedades da adição: 1ª - A + B = B + A : ( comutativa ) 2ª - ( A + B ) + C = A + ( B+C) : ( associativa ) 3ª - A + 0 = A : ( existência do elemento neutro – matriz nula ) 4ª - A + (-A) = 0 : ( existência do elemento oposto – matriz oposta ) 4.2 Multiplicação de um número Real (um escalar) por uma Matriz Definição: Dada a matriz A = (aij)mxn e um número real , chama-se produto do número real pala matriz A , a matriz B = (bij)mxn , tal que : bij = aij , para todo i e para todo j . Escrevemos B = A Observação: No produto de um número real por uma matriz A, devemos multiplicar todos os elementos da matriz A pelo número real , e o resultado é uma matriz do mesmo tipo. 9 Propriedades: 1ª - A )()A ( 2ª - ( A+B ) = A + B 3ª - A A A) ( Exemplo: Com as operações de soma, subtração e multiplicação por um número real. Das as matrizes A , B e C , calcular a matriz D tal que : D = 2A + 4B –3C 12 23 31 A , 41 12 12 B , 23 21 10 C e D = 2A + 4B + (–3C) )]2)(3()4(4)1(2[()]3)(3()1(4)2(2[( )]2)(3()1(4)2(2[()]1)(3()2(4)3(2[( )]1)(3()1(4)3(2[()]0)(3()2(4)1(2[( D = 241 25 1310 EXERCÍCIOS 1. Dadas as matrizes A e B calcular : a) (A + B) e (A – B) b) )B 3 1 A 2 1 ( e )B 3 1 A 2 1 ( c) (3A - 4B) e (4A + 3B) 4210 862 604 A 960 639 01215 B 2. Considere as matrizes A e B 3. 30 12 A e 25 43 B a) Resolver a equação, na matriz incógnita X : 3X – 2A = B + 5X b) Resolver os sistemas de equações matriciais, nas matrizes incógnitas X e Y: 10 b1 ) 2X –3Y = A b2 ) X + Y = 2A - B 5X – 6Y = B X - Y = A + 2B 4.3 Multiplicação de Matrizes Sejam A =(a1k)1xn uma matriz linha com n elementos e B = (bk1)nx1 uma matriz coluna com n elementos: n1131211 a..aaaA e 1n 31 21 11 b . . b b b B O produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, é uma matriz C = (c11)1x1 com um único elemento, indicada por C = A.B , tal que: n 1k 1kk11nn131132112111111 ba ba........bababac “ O único elemento da matriz C, o c11 é igual a soma dos produtos dos elementos da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B.” Exemplo: 721351A e 3 6 2 5 1 2 B então c11=(-1).2 + 5.(-1) + 3.(-5) + 1.2 + (-2)6 + 7.3 = - 2 - 5 -15 + 2 -12 +21 = -11 logo 11C Definição: Dadas as matrizes A = (aik) do tipo (mxn) e B = (bkj) do tipo (nxp), o produto AB é uma matriz C = (cij)mxp do tipo m linhas e p colunas (mxp), isto é , com o mesmo número de linhas da matriz A e com o mesmo número de colunas da matriz B. Os elementos cij da matriz C são obtidos por: n 1k kjikij b.ac 11 “O elemento da linha “i” e coluna “j” da matriz C, é a soma dos produtos dos elementos da linha “i” da matriz A pelos elementos da coluna “j” da matriz B.” Ex: C23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 + a24b43 + ...... + a2kbk3 + ...... + a2nbn3 Observações 1. O produto “A.B” só poderá ser realizado se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B ; 2. A matriz C terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B; Exemplos: a) (2x3).(3x5)=(2x5) ; (4x5).(5x8)=(4x8) ; (3x4).(5x7)= não pode ser realizada b) (7x7).(7x7)=(7x7) ; (nxn).(nxn)=(nxn) c) (nxm).(mxn)=(nxn)=quadrada de ordem n (2x4).(4x2)=(2x2) d) (mxn).(nxm)=(mxm)=quadrada de ordem m (4x2).(2x4)=(4x4) 3. Pelos exemplos acima podemos verificar que se um produto A.B puder ser realizado, nem sempre o produto B.A poderá ser , e se puder, A.B B.A (em geral) 4. Mesmo no caso de as matriz serem quadradas de mesma ordem, (nxn).(nxn)=(nxn) , em geral A.B B.A Propriedades 1ª (AB)C = A(BC) Associativa 2ª (A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB Distributiva Processo Prático 1024 1133 5231 A 4x3 4x3 34333231 24232221 14131211 C cccc cccc cccc 4123 1005 2332 2011 B 4x4 12 1 3 -2 5 A = 3 3 1 -1 c23 = C 4 2 0 -1 c32 1 -1 0 2 B = 2 3 3 -2 5 0 0 1 3 2 1 4 c23 = 3*0+3*3+1*0+(-1)*1 = 8 c32 = 4*(-1)+2*3+0*0+(-1)*2 = 0 EXERCÍCIOS 1. Dadas as matrizes, determinar: a) A . B ; b) (A . B)T ; c) B . A ; d) (B . A)T ; e) AT. BT ; f) BT. AT 65 53 02 A ; 256 123 B 2. Calcule, se existir, os produtos AB e BA, sendo dadas as matrizes, nos seguintes casos: a) 13 31 A ; 4 2 B b) 13 20 A ; 14 41 B c) 13 20 A ; 23 21 B d) b0 a0 A ; 00 dc B 3. Sendo 24 42 A e 1 1 B encontrar a matriz X tal que AX = B 4. Determinar a matriz X na equação matricial AX = B 13 211 012 101 A e 13 4 6 B 5. Resolver a equação, e determinar a matriz X , sabendo que : AX = I2 52 42 A 6. Dadas as matriz, calcular A2 e B3 24 12 A e 02 20 B 7. Calcule “a” e “b”, sabendo que : X2 –2X = [0] , onde b0 0a X 6. Matriz Inversa Consideremos o seguinte problema: Dada a matriz 25 13 A , determinar uma matriz B tal que A.B = B.A = I2 Vamos admitir by ax B e determinar os valores de x , y , a , b Temos: 25 13 A 2 I 10 01 então 10 01 )25()25( )3()3( bayx bayx by ax B do conceito de igualdade de matrizes , resultam as equações: ( I ) 025 13 yx yx e ( II ) 125 03 ba ba É um conjunto de dois sistemas de duas equações com duas incógnitas Resolvendo os sistemas ( I ) e ( II ) separadamente , temos como solução: x = 2 e y = -5 do sistema ( I ) portanto 35 12 B a = -1 e b = 3 do sistema ( II ) Fazendo as multiplicações, podemos verificar que: 10 01 35 13 35 12 35 12 25 13 = A.B = B.A = I2 A B B A I2 14 Portanto, temos AB = BA =I2 ,ou seja, existe uma matriz que se for multiplicada por A , em qualquer ordem, vai resultar na matriz Unidade ou Unitária, Sempre que isto ocorrer para uma matriz quadrada A , dizemos que ela é inversível. Definição: Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir uma matriz B , tal que AB = BA = In . A matriz B quando existe, é chamada de matriz inversa de A e será representada por B = A-1 Então temos: A.A-1 = A-1.A = In Convém observar que nem toda matriz quadrada é inversível EXERCÍCIOS 1. Determinar, se existir, a matriz inversa A-1, de cada matriz abaixo: a) 21 23 A b) 11 23 A c) 14 43 A d) 100 210 321 A e) 113 121 211 A 2. Repetir os exercícios anteriores a), b), c), d), e), usando a Adjunta da matriz A Determinação de matriz inversa A-1 através da matriz adjunta. )A(Det )A(Adj A 1 lembrando que : T AAAdj )( e A é a matriz dos cofatores de A 3. Usando as matrizes A-1 encontradas nos exercícios 1. e 2., determinar as matrizes X, tais que AX = B Demonstrar inicialmente que: Se A é uma matriz inversível, e se AX = B, então X = A-1B Considerar: a) 2 2 B b) 1 2 B c) 2 1 B d) 2 3 2 B e) 2 2 7 B 15 7. Operações elementares com as linhas Dada uma matriz A, entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas: a) Permutar (trocar) duas linhas de A; b) Multiplicar uma linha de A por um número real, diferente de zero; c) Somar a uma linha de A, uma outra linha de A multiplicada por um número real. Se uma matriz B puder ser obtida de A, através de um número finito dessas operações, diz-se que B é equivalente a A Demonstra-se que uma matriz A é inversível se, e somente se, In é equivalente a A. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que transforma A em In , transforma In em A-1. EXERCÍCIOS 1. Determinar, se existir, a matriz A-1 usando operações elementares, em cada caso. IA ~~~ 1AI a) 342 412 321 A resolvido 100342 010412 001321 ~ 13 12 11 2 2 LL LL LL 102300 012230 001321 ~ 23 1 L 102300 0 3 1 3 2 3 210 001321 ~ 33 21 2 LL LL 102300 0 3 1 3 2 3 210 0 3 2 3 1 3 501 ~ ~ 33 1 L 3 10 3 2100 0 3 1 3 2 3 210 0 3 2 3 1 3 501 ~ 32 31 3 2 3 5 LL LL 3 10 3 2100 9 2 3 1 9 2010 9 5 3 2 9 13001 16 306 232 5613 9 1 3 10 3 2 9 2 3 1 9 2 9 5 3 2 9 13 1A b) 121 210 122 A c) 113 112 111 A d) 013 312 201 A e) 1101 1110 1112 1101 A f) 1000 1101 1010 0002 A 8. Sistemas Lineares 8.1 Equações lineares Uma equação linear é uma expressão do tipo: bxaxaxaxa nn ......332211 , onde IRaaaa n ,....,, 321 (números reais) e IRxxxx n ,....,, 321 são as variáveis (incógnitas). Os escalares ia são chamados coeficientes e b é chamado de termo independente. Exemplos 632 zyx (equação linear) 0242 wtzyx (equação linear) 54 tzxy (não é equação linear) 332 tzyx (não é equação linear) Uma solução para a equação será uma seqüência ordenada de números reais para as variáveis ix de modo que, substituídas na equação a tornem verdadeira. 17 Dada a equação linear 232 zyx temos que: 21 a , 32 a , 13 a de coeficientes e 2b de termo independente; sendo zyx , , as incógnitas (variáveis) da equação. Quando 1x , 1y e 1z temos: 2(-1) + 3(1) - (-1) = 2 e 2 = 2 (verdadeira) Quando 1x , 2y e 1z temos: 2(1) + 3(2) - (1) = 7 e 7 2 (falsa) Representamos uma solução da equação dada por: ),.....,,,(),.....,,,( 43214321 nx cccccxxxxx , no caso do exemplo temos: )1,1 ,1(),,( zyx Observemos que não podemos afirmar que esta solução é única. 8.2 Sistemas lineares Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. Assim um sistema com m equações lineares com n variáveis (incógnitas) pode ser representado por: S =(mxn) mnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa .......... ............................................ .......... .......... .......... 332211 33333232131 2232322212111313212111 Sendo: mnmmm n n n mxn aaaa aaaa aaaa aaaa A ........ ........................ ........ ........ ........ 321 3333231 2232221 1131211 )( a matriz dos coeficientes (mxn) n n x x x x X .. 3 2 1 matriz das variáveis e ; m n b b b b B .. 3 2 1 matriz dos termos independentes se 0........4321 mbbbbb , dizemos que o sistema S=(mxn) é um sistema homogêneo 18 e matricialmente indicamos: BAX Dizemos que uma solução do sistema linear é uma seqüência ordenada de números reais, ),.....,,,(),.....,,,( 43214321 nn cccccxxxxx , que é a solução simultânea de cada uma das equações do sistema, isto é, substituindo em cada uma das equações do sistema verificamos que são verdadeiras. Observamos que um sistema pode ou não ter solução e, tendo solução, pode ter mais do que uma solução. - Se um sistema não tem solução dizemos que é um sistema impossível (SI) - Se um sistema tem solução dizemos que é um sistema possível (SP) - Se for um sistema possível e tem uma única solução, será um sistema possível e determinado (SPD) - Se for um sistema possível e tem infinitas soluções, será um sistema possível e indeterminado (SPI) No sistema homogêneo, (0,0,0,....,0) é sempre uma solução, chamada de solução TRIVIAL, assim todo sistema homogêneo é sempre possível, o que se pretende é determinar outras soluções além da trivial. Exemplos: a) O sistema AX = B 0 12 yx yx Transformado matricialmente em: 11 21 A , y x X e 0 1 B resolvendo por eliminação: 3 1 x , 3 1 y e 3 1 3 1 X é um sistema possível (SPD) b) O sistema AX = B 142 02 yx yx Transformado matricialmente em 42 21 A , y x X e 1 0 B resolvendo por eliminação: 142 042 yx yx Concluímos que: 0 = 1 (Falso) e, portanto é um sistema impossível (SI) 19 c) O sistema AX = B 12 242 yx yx Transformado matricialmente em: 21 42 A , y x X e 1 2 B resolvendo por eliminação: 242 2 42 yx yx Concluímos que: 0 = 0 (verdadeiro) e, portanto é um sistema possível e indeterminado (SPI) com infinitas soluções, e verificamos que as equações são equivalentes, pois a Equação 1 é igual a duas vezes a equação 2 assim temos somente uma única equação com duas incógnitas. Para encontrar as infinitas soluções, escolhemos uma das incógnitas como “livre”, por exemplo, o “x” e escolhemos uma das equações, por exemplo, a 2ª e isolamos o outra incógnita em função da incógnita escolhida como “livre”, assim: xy 2 1 2 1 e, para encontrar as infinitas soluções, atribuímos valores arbitrários para a incógnita “x” (livre) e calculamos o y correspondente. .3,2,1,0,1x e teremos .,.........1, 2 1 ,0, 2 1 ,1y portanto as soluções do sistema são da forma: xyIRyx 2 1 2 1 , 2 ou de um modo mais simples xyx 2 1 2 1 , RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES a) Por substituição b) Por eliminação (adição) c) Por escalonamento d) Pelo método de Cramer Observação: Iremos estudar apenas pelos métodos por escalonamento e de cramer, visto que os dois primeiros métodos já devam ser conhecidos. POR ESCALONAMENTO 20 Considerando o sistema “S” de equações lineares (mxn) S (mxn) = mnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa .......... ............................................ .......... .......... .......... 332211 33333232131 22323222121 11313212111 Sendo: mnmmm n n n mxn aaaa aaaa aaaa aaaa A ........ ........................ ........ ........ ........ 321 3333231 2232221 1131211 )( a matriz dos coeficientes (mxn) n n x x x x X .. 3 2 1 matriz das variáveis e ; m n b b b b B .. 3 2 1 matriz dos termos independentes Dizemos que dois sistemas S e S’ são equivalentes se toda solução de S é solução de S’ Solução(S) = solução(S’) Como sistemas equivalentes têm o mesmo conjunto solução, podemos através de operações elementares transformar o sistema dado S em um sistema equivalente S’, mas dito escalonado. Na transformação, o sistema S, será transformado num dos sistemas dos tipos: S’ (mxn) = mn nn nn nn bxxxx bxaxxx bxaxaxx bxaxaxax 1..........000 ............................................ ..........100 ..........10 ..........1 321 33321 2232321 113132121 E a matriz dos coeficientes na forma de Matriz triangular superior, com diagonal unitária: 21 1........000 ........................ ........100 ........10 ........1 3 223 11312 )( n n n mxn a aa aaa A ou na forma S’ (mxn) = mnmmm n n n bxxaxaxa bxxxaxa bxxxxa bxxxx 1.......... ............................................ 0..........1 0..........01 0..........001 332211 33232131 232121 1321 E a matriz dos coeficientes na forma de Matriz triangular inferior, com diagonal unitária: 1........ ........................ 0........1 0........01 0........001 321 3231 21 )( mmm mxn aaa aa a A Matriz completa: Adicionamos à matriz dos coeficientes, a matriz dos termos independentes; mmnmmm n n n baaaa baaaa baaaa baaaa completa ........ ............................ ........ ........ ........ 321 33333231 22232221 11131211 e, as mesmas operações elementares utilizadas na matriz dos coeficientes para transformar numa matriz triangular superior ou inferior, também transformam os termos independentes Assim para resolver por escalonamento um sistema podemos utilizar a notação matricial e após o escalonamento, retornamos a notação de sistemas e determinamos a sua solução. 22 Exemplo: Resolver o sistema de equações lineares; 03 22 12 zyx zyx zyx Matriz completa 0311 2112 1121 ~ 13 12 11 2 LL LL LL 1430 0330 1121 ~ 23 2 11 3 3 LL L LL 1100 0110 1121 Retornando no sistema: 1 0 12 z zy zyx (poderia ter usado triangular inferior) Portanto: da 3ª equação : 1z substituindo na 2ª , 1y solução: S =( 2 , -1 , -1) substituindo na 1ª , 2x EXERCÍCIOS Resolver os sistemas lineares por escalonamento 1. 37 032 12 yx zyx zyx Resp. = SPI 2. 643 11118105 54342 3322 wzyx wzyx wzyx wzyx Resp.= SI 23 3. 455 023 4 zyx zyx zyx Resp. = SPI 4. 722 63 222 132 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx Resp.S= 4321 ,,, 5. 02 42 1 zyx zyx zyx Resp.S= 113 ,, 6. 2222 42 023 532 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx Resp.S= 2211 ,,, 7. 6432 723 4322 32 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx Resp.S= 1212 ,,, 8. 63 622 834 zyx zyx zyx Resp. S= 123 ,, 9. 435 2843 30354 zyx zyx zyx Resp.S= 642 ,, 24 REGRA DE CRAMER (Aconselhável para aplicação em sistemas 2x2xou 3x3) Considerando o sistema “S” de equações lineares (mxn) S (mxn) = mnmnmmm nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa .......... ............................................ .......... .......... .......... 332211 33333232131 22323222121 11313212111 Sendo: mnmmm n n n mxn aaaa aaaa aaaa aaaa A ........ ........................ ........ ........ ........ 321 3333231 2232221 1131211 )( a matriz dos coeficientes (mxn) n n x x x x X .. 3 2 1 matriz das variáveis e ; m n b b b b B .. 3 2 1 matriz dos termos independentes Consideremos: D = Determinante da matriz A , matriz dos coeficientes Di =Determinante das matrizes obtida de A , substituindo-se sua i-ésima coluna de A , pela coluna da matriz B (matriz dos termos independentes). D1 = substituir 1ª coluna de A pela matriz B D2 = substituir 2ª coluna de A pela matriz B D3 = substituir 3ª coluna de A pela matriz B . . . Dn = substituir nª coluna de A pela matriz B 25 Assim: D D x 11 ; D D x 2 2 ; D D x 33 ; ......... D D x nn Retomemos o exercício resolvido por escalonamento 03 22 12 zyx zyx zyx 311 112 121 A D = Det(A) = -3 310 112 121 B D1 = Det(B) = -6 x = D1/D = -6/-3 = 2 301 122 111 C D2 = Det(C) = 3 y = D2/D = 3/-3 = -1 011 212 121 D D3 = Det(D) = 3 z = D3/D = 3/-3 = -1 Solução: S = ( 2 , -1 , -1 ) EXERCÍCIOS Repetir todos os exercícios que foram propostos por escalonamento 9. Valores Próprios e Vetores Próprios a) VALOR PRÓPRIO Dada uma Matriz quadrada An , o número real é chamado de valor próprio (ou auto valor) da matriz An tal que: Det(An-In) = 0 26 onde In é uma matriz Identidade O polinômio p() obtido, do Det(An-In)=0 é denominado polinômio característico de An . As raízes reais de p() são os valores próprios (ou autos valores) de An. Para se calcular os valores próprios, devemos determinar a matriz (An-In); nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa A .... . . . . . . . . . . .... .... .... 321 3333231 2232221 1131211 e 1....000 . . . . . . . . . . 0....100 0....010 0....001 I )(.... . . . . . . . . . . ....)( ....)( ....)( )( 321 3333231 2232221 1131211 nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa IA e o polinômio p() obtido do determinante: p()=Det(A-I)=0 , é o polinômio característico, cujas raízes reais são os valores próprios ( auto valores) da A. b) VETOR PRÓPRIO Dizemos que 0u é um vetor próprio (ou auto vetor) de An para os vetores ),,.........,,( 321 nxxxxu tais que: (An-In). u = 0 )(.... . . . . . . . . . . ....)( ....)( ....)( 321 3333231 2232221 1131211 nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa . 0 . . 0 0 0 . . 3 2 1 nx x x x 27 EXEMPLO: 01 10 A e 1 1 )( 22 IA p() = Det(A - I) = 0 Det(A2 - I2) = (-)(-) – 1.1 = 0 p() = 2 –1 = 0 cujas raízes de p() são : 1 = 1 e 2 = -1 que são os valores próprios de A sendo (An-In). u = 0 onde ),( 21 xxu a) para 1 = 1 0 0 . 11 11 2 1 x x temos: 0 0 21 21 xx xx sendo a solução: xxx 21 e ) 1 , 1 () 1 , 1 (),(1 xxxu logo para o valor próprio 1 = 1 , temos o vetor próprio ) 1 , 1 (1 u b) para 2 = -1 0 0 . 11 11 2 1 x x temos: 0 0 21 21 xx xx sendo a solução : 21 xx e ) 1- , 1 () 1- , 1 (),(2 xxxu logo para o valor próprio 2 = -1 , temos o vetor próprio ) 1- , 1 (2 u Resp. 1 = 1 , ) 1 , 1 (1 u 2 = -1 , ) 1- , 1 (2 u 28 EXERCÍCIOS Determinar para cada caso, os valores próprios(autos valores) e os correspondentes vetores próprios (autos vetores) das matrizes. 1. 000 010 001 A 2. 11 31 A 3. 211 011 000 A 4. 622 622 622 A 5. 202 022 000 A 6. 311 023 001 A
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