Lista 2 - Cálculo Diferencial - 2015-2

Prévia do material em texto

Página 7 
 
Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2015.2 – Lista 2 
10 –LIMITES DE FUNÇÕES 
A noção de limite de uma função é fundamental para o estudo do cálculo. Os limites são usados para 
desenvolver outras ideias importantes do cálculo, tais como: continuidade, derivação e integração. 
 
11 –IDEIA INTUITIVA DE LIMITE 
Vamos começar desenvolvendo a ideia intuitiva de limite de uma função y = f(x), e para entendermos essa 
ideia, estudaremos o comportamento da função y = f(x) quando fazemos x “se aproximar” de um valor particular x = a 
que não pertence, necessariamente, ao domínio dessa função. 
 
EXEMPLO PRELIMINAR 
Para que a nossa ideia intuitiva de limite de uma função fique clara, consideremos a função 
 f(x) = 
 
Veja que x ≠ 1. No entanto, mesmo sabendo que x não pode assumir o valor 1, queremos saber o que acontece com 
essa função f(x), quando fazemos x “aproximar-se” de 1. Para isso, vamos calcular: 
 
a) f(0) b) f(0,5) 
 
c) f(0,9) d) f(0,99) 
 
e) f(0,999) f) f(0,9999) 
 
g) f(0,99999) h) f(1,5) 
 
i) f(1,1) j) f(1,01) 
 
k) f(1,001) l) f(1,0001) 
 
m) f(1,00001) n) f(1,000001) 
 
12 – DEFINIÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
Dada uma função y = f(x) e um número real a, intuitivamente, dizer que o limite de f(x), quando x tende a a, é 
igual a L, que simbolicamente, se escreve 
 
 
lim
x→a
f(x) = L 
 
significa que f(x) fica arbitrariamente próximo de L, para todos os valores de x suficientemente próximos de a. 
 
13 – DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE 
Considere Ι um intervalo aberto, a ∈ com a ∉ Ι, e seja f uma função definida em Ι. Dizemos que o limite de f(x), 
quando x tende a a é L, e escrito como 
 
lim
x→a
f(x) = L
 
 
se dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x – a| < δ então |f(x) – L| < ε. 
 
 
14 – PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES 
Apresentamos a seguir, sem as demonstrações, as principais propriedades operatórias dos limites. 
 
P1 – 
 
lim
x→a
c = c , onde c é um número real qualquer. 
 
P2 – 
 
lim
x→a
x = a . 
 
P3 – 
 
lim
x→a
(mx +n) = ma +n . 
 
2x 1.
x 1
−
−
 !
 Página 8 
P4 – Se 
 
lim
x→a
f(x) = L1 e 
lim
x→a
g(x) = L2 , então 
lim
x→a
[f(x) ± g(x)] = L1 ±L2 . 
 
P5 – Se 
 
lim
x→a
f(x) = L1 e 
lim
x→a
g(x) = L2 , então 
lim
x→a
[f(x).g(x)] = L1.L2 . 
 
P6 – Se 
 
lim
x→a
f(x) = L1 e 
lim
x→a
g(x) = L2 ≠ 0 , então
 
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L1
L2
. 
 
P7 – Se 
 
lim
x→a
f(x) = L e n for um inteiro positivo qualquer, então 
 
lim
x→a
[f(x)]n = Ln. 
 
P8 – Se 
 
lim
x→a
f(x) = L e n for um inteiro positivo qualquer, então 
 
lim
x→a
f(x)n = Ln , com a condição de que se n for par, 
 
 
P9 – 
 
lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a
[f(x)−L] = 0. 
 
15 – CALCULANDO LIMITES – EXEMPLOS RESOLVIDOS 
Infelizmente ou felizmente, não existe uma técnica única e específica para se calcular limites de funções. A 
seguir apresentaremos alguns “truques” que juntos com as propriedades dadas anteriormente, facilitarão esses 
cálculos. É importante que você esteja atento! 
 
EXEMPLO 1 
Encontrar 
2
x 11
x 121lim
x 11→ −
−
+
. 
 
SOLUÇÃO 
O truque é: fatore x2 – 121 e obtenha: 
2
x 11
x 121lim 22
x 11→ −
− = −
+
. 
 
EXEMPLO 2 
Encontrar 2
x 2
lim (3x 4x 5)
→
− + . 
 
SOLUÇÃO 
Este não tem truque! Basta substituir x por 2. Assim, 2
x 2
lim (3x 4x 5)
→
− + = 12 – 8 + 5 = 9. 
 
EXEMPLO 3 
Encontrar 
2
3x 1
x 4lim
3x 6→
−
+
. 
 
SOLUÇÃO 
Este também é muito fácil! Troque x por 1. A resposta é 1
3
− . 
 
EXEMPLO 4 
Encontrar 
2
3x 
2
4x 9lim .
2x 3→ −
−
+ 
 
SOLUÇÃO 
Este é idêntico ao exemplo 1, fatore 4x2 – 9 e obtenha: 
2
3x 
2
4x 9lim 6.
2x 3→ −
− = −
+
 
 
 
 
 
L 0.≥
Atenção! 
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
 Página 9 
EXEMPLO 5 
Encontrar 
x 4
x 2lim
x 4→
−
−
. 
 
1ª SOLUÇÃO 
Mesma ideia do exemplo 1. Basta fatorar! Você consegue! 
 
x 4 x 4 x 4
x 2 x 2 1 1lim lim lim
x 4 4( x 2)( x 2) x 2→ → →
− −= = =
− + − +
 
 
2ª SOLUÇÃO 
Veja que podemos racionalizar o numerador dessa expressão! 
 
x 4 x 4 x 4 x 4
x 2 ( x 2)( x 2) x 4 1 1lim lim lim lim
x 4 4(x 4)( x 2) (x 4)( x 2) x 2→ → → →
− − + −= = = =
− − + − + +
 
 
3ª SOLUÇÃO 
Esse merece mais uma solução! Podemos fazer uma mudança de variável! 
Faça x k= e veja que x → 4 equivale a k → 2. 
 
Assim, 
2x 4 k 2 x 2
x 2 k 2 k 2 1lim lim lim
x 4 (k 2)(k 2) 4k 4→ → →
− − −= = =
− + −−
 
 
 
EXEMPLO 6 
Encontrar 
3
x 2
x 8lim
x 2→
−
−
. 
 
1ª SOLUÇÃO 
Ainda fatorando! 
3 2
x 2 x 2
x 8 (x 2)(x 2x 4)lim lim 12
x 2 x 2→ →
− − + += =
− −
. 
 
2ª SOLUÇÃO 
Usando divisão de polinômios. (Fica mais rápido usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini). Divida x3 – 8 por x – 2 e 
obtenha x2 + 2x + 4, aí é só substituir x por 2. 
 
EXEMPLO 7 
Encontrar 
3
x 0
x 1 1lim
x→
+ − . 
 
SOLUÇÃO 
Aqui, é melhor fazer uma mudança de variável! Faça 3 x 1 k+ = e veja que x → 0 equivale a k → 1. 
 
Assim, 
 
3
3 2x 0 k 1 k 1
x 1 1 k 1 k 1 1lim lim lim
x 3k 1 (k 1)(k k 1)→ → →
+ − − −= = =
− − + +
. 
 
EXEMPLO 8 
Encontrar 
2
2x 2
x x 6lim
x 5x 14→ −
− −
− −
. 
 
1ª SOLUÇÃO 
Esse é bom! O truque continua sendo: fatore o numerador e o denominador e obtenha: 
Atenção! 
 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 
 
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
 Página 10 
. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª SOLUÇÃO 
Você também pode usar divisão de polinômios. Veja que x = –2 é raiz do numerador e do denominador. Assim, 
dividindo o numerador e o denominador por x + 2, encontramos x – 3 e x – 7, respectivamente. Portanto, 
 
2
2x 2 x 2
x x 6 x 3 5lim lim
x 7 9x 5x 14→− →−
− − −= =
−− −
. 
 
EXEMPLO 9 
Encontrar 
3 2
3 2x 4
2x 11x 10x 8lim
3x 17x 16x 16→
− + +
− + +
. 
 
SOLUÇÃO 
Use divisão de polinômios. 
 
3 2 2
3 2 2x 4 x 4
2x 11x 10x 8 2x 3x 2 3lim lim .
43x 17x 16x 16 3x 5x 4→ →
− + + − −= =
− + + − − 
 
16 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Encontre os limites a seguir: 
2
x 2
2
1x
3
x 4a) lim
x 2
9x 1b) lim
3x 1
→−
→
−
+
−
−
 
 
2
3x
4
3
x 3
16x 9c) lim
4x 3
x 27d) lim
x 3
→−
→
−
+
−
−
 
3
x 2
x 8e) lim
x 2→−
+
+
 
 
2
x 3
2
2x 4
9 xf ) lim
x 3
x 3x 4g) lim
x 5x 4
→
→
−
−
− −
− +
 
 
2
2x 1
x 4x 5h) lim
x 1→
+ −
− 
 
2
2x 2 x 2 x 2
x x 6 (x 2)(x 3) x 3 5lim lim lim
(x 2)(x 7) x 7 9x 5x 14→− →− →−
− − + − −= = =
+ − −− −
Atenção! 
 
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), onde x1 e x2 são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. 
 Página 11 
2
3
21x
2
2
3x 2
4x 4x 3i) lim
4x 1
x 3x 4j) lim
x 1
→
→
+ −
−
+ +
+
 
 
3
x 3
x 1
5 2xk) lim
5 x
x 1l) lim
x 1
→−
→
+
−
−
−
 
 
x 0
x 0
2
2x 1
3 2
3 2x 3
3 2
2x 2
2
3 2x 1
9 x 3m) lim
x
1 1 xn) lim
x
2x x 3o) lim
3x 8x 5
2x 5x 2x 3p) lim
4x 13x 4x 3
x x x 10q) lim
x 3x 2
2x x 3r) lim
x 2x 6x 5
→
→
→−
→
→−
→−
− −
− +
− −
+ +
− − −
− + −
− − +
+ +
− −
+ + + 	
  
 
2. O valor do 
 
lim
x→0
x + a − a
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é 
(a) 
 
1
a
 (b) a (c) 
 
1
2 a
 (d) 2 a (e) 0 
 
3. O valor do limite 
 
lim
x→1
x −1
x −1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
, é 
(a) 
 
−1
4
 
(b) 
 
−1
2
 
(c) 0 
(d) 
 
1
4
 
(e) 
 
1
2
 
 
 Página 124. O valor do limite 
 
lim
x→2
1
x
− 1
2
x2 − 4
, é 
(a) 
 
−1
8
 
(b) 
 
−1
16
 
(c) 0 
(d) 
 
1
16
 
(e) 
 
1
8
 
 
5. O valor de 
 
lim
x→2
x − 2
3x − 53 −1
 é: 
a)1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
6. O valor de 
 
lim
x→1
3x3 − 4x2 − x + 2
2x3 − 3x2 +1
 
(a) 
 
2
3
 
(b) 
 
5
3
 
c) 
 
3
5
 
d) 
 
3
2
 
e) 2 
 
17 – GABARITO DE 16 
1. a) – 4 b) 2 c) – 6 d) 27 e) 12 f) – 6 
 g) 
 
5
3
 h) 3 i) 2
3 j) 
 
14
3
 k) 
 
−1
2
 l) 
 
1
2
 
 m) 
 
−1
6
 n) 
 
−1
2
 o) 
 
−5
2
 p) 
 
11
17
 q) – 15 r) – 1 
 
2. c 3. e 4. b 5. a 6. b