Aula_05_Interpolação polinomial_1(2)

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Interpolação Polinomial
Prof. Gilson de Souza Santos
Cálculo Numérico
Unidade 05 – Interpolação polinomial 
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 2
 Aplicação
Obtenção de valores intermediários em tabelas (crescimento de bactérias,  consumo de água, energia, etc...)
Integração numérica;
Cálculo de raízes de equação;
Solução de equações diferencias ordinárias (EDO’s). 
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 Introdução
Conhecer a função em outro ponto da função f do intervalo [a,b].
Construir uma função que substitua f(x) dentro de um limite de precisão. 
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 Introdução
Diversas vezes temos a necessidade de encontrar um valor intermediário em uma tabela de valores (por exemplo, a tabela de probabilidades de uma curva normal).
Uma função f ( x ) pode ser conhecida por um conjunto finito e discreto de n +1 pontos.
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 Introdução
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades
Conhecer a função f(x) em qualquer outro ponto dentro do intervalo [a,b];
Construir dentro do intervalo conhecido, uma função que substitua f(x) dentro de um limite de precisão, quando:
são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado;
b) a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.
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 Introdução
Vamos pensar na seguinte situação: Uma indústria consome energia elétrica durante uma jornada típica de trabalho, de acordo com a tabela apresentada abaixo:
Hora
14:00
14:30
15:00
15:30
16:00
16:30
17:00
Pot.
139
152
165
163
142
119
97
Estas medidas feitas a intervalos regulares, dão uma idéia do consumo de energia elétrica da fábrica. No entanto, como devemos proceder para fazer uma estimativa do consumo de energia, por exemplo, às 15:20 ?
Uma primeira aproximação seria ligar, com uma reta, os valores relativos a 15:00h e 15:30 h:
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 Introdução
Uma segunda aproximação pode ser feita com a utilização de mais dados, isto é, levando em consideração o consumo às 16:00h também e, em vez de se fazer uma interpolação linear, passamos pelos três pontos, construímos então, uma parábola.
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 Introdução
Aparentemente, esta segunda aproximação é mais apropriada, pois considera informações adicionais. A idéia natural para uma terceira aproximação seria considerarmos, além do que já temos, a situação às 14:30 e, pelos quatro pontos obtidos, passar um polinômio interpolador de terceiro grau.
O polinômio interpolador neste caso seria da forma : 
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 Interpolação polinomial
Denomina-se interpolação polinomial o processo matemático de interpolação em que a função interpoladora é um polinômio. A função interpoladora é a função p(x).
Matematicamente, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.
Em engenharia e ciência, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um experimento. 
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 Interpolação polinomial
Polinômios interpoladores são polinômios construídos com o intuito de relacionar uma variável de entrada com uma variável de saída. 
Desta forma, eles podem ser usados para estimar os valores intermediários das tabelas.
Obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do
conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é:
					
					p(x0)=f(x0)
					p(x1)=f(x1)
						…
					p(xn)=f(xn)
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 Interpolação polinomial linear
Dados dois pontos, (x0, y0) e (x1, y1), de uma função y=f(x), pode-se utilizar a interpolação linear para calcular o valor de y quando o valor de x assume valores entre x0 e x1. A forma do polinômio interpolador é: f(x) ≈ P1(x) = a0+a1.x
E ele pode ser calculado com a fórmula:
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Calcule P1(0,2) dados os pontos:
Através da fórmula:
i
0
1
xi
0,1
0,6
yi
1,221
3,320
 Exemplo
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 Interpolação polinomial linear
O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é apresentado na tabela:
Calcule o volume de bactérias no instante t = 3 horas e 42 minutos, ou seja, calcule o valor de P1(3,7).
P1(3,7) ≈ P1(3,7) = 92 + (3,7 ‐3) (132 ‐92)
						 (4-3)
P1(3,7) ≈ P1(3,7) = 120
x (horas)
0
1
2
3
4
Y (Volume de bactérias)
32
47
65
92
132
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 Interpolação polinomial quadrática
Pode-se melhorar o resultado obtido com a interpolação linear aplicando um polinômio interpolador de grau maior.
Três pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), de uma certa função y = f(x). Para realizar a aproximação, faz-se: f(x) ≈ P2(x) = a0+a1.x+a2.x2 ,onde P2(x) é um polinômio interpolador de grau 2.
Substituindo-se os valores dos pontos no polinômio acima, tem-se três equações distintas:
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 Interpolação polinomial quadrática
Que podem ser reescritas da seguinte forma:
Este é um sistema de equações que pode ser facilmente resolvido por qualquer um dos métodos mostrados anteriormente.
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 Exemplo
Dados os pontos (0,1; 1,221), (0,6; 3,320) e (0,8; 4,953), determine o valor de P2(0,2).
Primeiro passo: Escrever o sistema de equações:
Segundo passo: Resolver o sistema de equações (Neste exemplo, por Gauss):
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Solução do sistema de equações: a0=1,141; a1=0,231; a2=5,667
Terceiro Passo: Montar o polinômio: P2(x)=1,141+0,231.x+5,667.x2
Quarto Passo: Encontrar o valor de P2(0,2):
P2(0,2)=1,141+0,231.0,2+5,667.(0,2)2
P2(0,2)=1,414
 Exemplo
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 Interpolação de Lagrange
Interpolações linear e quadrática são casos particulares da interpolação de Lagrange.
Para se determinar uma interpolação linear, são necessários 2 pontos e para uma interpolação quadrática, 3. 
Sempre será necessário n+1 pontos para montar um polinômio interpolador de grau n.
Portanto, se forem dados n+1 pontos distintos, pode-se construir um polinômio Ln(x) de grau menor ou igual a n, passando por todos os n+1 pontos dados.
A fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:
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Seja, onde é tal que:
Os polinômios criados por Lagrange são definidos da seguinte forma:
 Interpolação de lagrange
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Calcule P1(0,2) dados os pontos:
i
0
1
xi
0,1
0,6
yi
1,221
3,320
Através da fórmula:
 Exemplo
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Calcule P2(0,2) dados os pontos abaixo:
i
0
1
2
xi
0,1
0,3
0,5
yi
1,221
3,320
4,953
Utilizando a fórmula de Lagrange:
 Exemplo
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 Exemplo
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 Exercício
Dada a tabela:
x
-1
0
2
f(x)
4
1
-1
Determinar:
a) O polinômio de interpolação de Lagrange para a função conhecida pelos pontos tabelados.
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 Exemplo
Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em uma rodovia de operação normal de tráfego, numa distância de 72km.
Verificar o consumo aproximado para o caso de ser desenvolvida a velocidade de 80km/ h.
Velocidade(km/ m)
55
70
85
100
120
Consumo(km/ l)
14,8
13,56
13,28
12,27
11,3
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 Interpolação com diferenças divididas (Newton)
Na seção anterior, vimos que não precisamos resolver um sistema de equações lineares para interpolar determinado valor. 
Uma das desvantagens da interpolação de Lagrange é a necessidade de se reconstruir todo o polinômio se o grau sofresse uma alteração.
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 Operador das diferenças divididas (Newton)
Ele é representado por [xi,xj], f[xi, xj] ou Δyi e pode ser calculado da seguinte forma:
Ordem 0: Δ0yi = yi
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem n:
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 Exemplo
Dado o conjunto de dados abaixo, determine a tabela de diferenças divididas:
xi
0,0
0,2
0,3
0,4
0,7
0,9
F(xi)
3,000
2,760
2,655
2,600
3,035
4,125
Hora
14:00
14:30
15:00
15:30
16:00
16:30
17:00
Pot.
139
152
165
163
142
119
97
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 Exemplo
Primeiro Passo: Escrevemos a tabela na vertical, com uma coluna extra para o número do item:
i
xi
F(xi)
0
0,0
3,000
1
0,2
2,760
2
0,3
2,655
3
0,4
2,600
4
0,7
3,035
5
0,9
4,125
xi
0,0
0,2
0,3
0,4
0,7
0,9
F(xi)
3,000
2,760
2,655
2,600
3,035
4,125
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 Exemplo
Segundo passo: Criamos mais uma coluna, para as diferenças divididas de primeira ordem:
i
xi
F(xi)=y
Δ1yi=F(xi(1))-f(xi(0))/xi(1)-xi(0)
Nota: Fórmula de cálculoválidasomente para 1ªordem (0)
0
0,0
3,000
2,760-3000/0,2-0,00 =-1,20
1
0,2
2,760
-1,05
2
0,3
2,655
-0,55
3
0,4
2,600
1,45
4
0,7
3,035
5,45
5
0,9
4,125
______________
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 Exemplo
Terceiro passo: A próxima coluna difere da anterior apenas por buscar valores de x diferentes (saltando uma linha):
i
xi
F(xi)=y
Δ1yi
Δ2yi=Δ1yi(1)-Δ1yi(0)/xi(2)-xi(0)
Nota: Fórmula de cálculoválidasomente para 1ªordem (0)
0
0,0
3,000
-1,20
-1,05-(-1,20)/0,3-0,00=0,5
1
0,2
2,760
-1,05
-0,55-(-1,05)/0,4-0,2=2,5
2
0,3
2,655
-0,55
1,45-(-0,55)/0,7-0,3=5,0
3
0,4
2,600
1,45
5,45-1,45/0,9-0,4=8,0
4
0,7
3,035
5,45
________________
5
0,9
4,125
________________
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Quarto Passo: Completando a tabela até Δ4yi, temos (os valores finais foram zero porque o polinômio original era do 3º grau):
i
xi
F(xi)=y
Δ1yi
Δ2yi
Δ3yi=Δ2yi(1)-Δ2yi(0)/xi(3)-xi(0)
Nota: Fórmula de cálculoválidasomente para 1ªordem (0)
Δ4yi
0
0,0
3,000
-1,20
0,5
2,5-0,5/0,4-0,00=5
0
1
0,2
2,760
-1,05
2,5
5,0-2,5/0,7-0,2=5
0
2
0,3
2,655
-0,55
5,0
8,0-5,0/09-0,3=5
__
3
0,4
2,600
1,45
8,0
_______________
__
4
0,7
3,035
5,45
__
_______________
__
5
0,9
4,125
__
__
_______________
__
 Exemplo
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 Forma de Newton
Agora que sabemos calcular as diferenças divididas, a fórmula de Newton para o polinômio interpolador pode ser empregada:
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 Forma de Newton
Dada a tabela de diferenças divididas abaixo, determine o valor de P2(1,2):
i
x
y
Δ1yi
Δ2yi
0
0,9
3,211
-2,010
0,620
1
1,1
2,809
-1,328
2
2,0
1,614
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 Forma de Newton
Como n = 2, o polinômio de Newton será:
Calculando:
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 Operador das diferenças divididas (Newton)
Ele é representado por [xi,xj], f[xi, xj] ou Δyi e pode ser calculado da seguinte forma:
Ordem 0: Δ0yi = yi
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem n:
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 Exemplo
Dado o conjunto de dados abaixo, determine a tabela de diferenças divididas:
xi
0,0
0,2
0,3
0,4
0,7
0,9
F(xi)
3,000
2,760
2,655
2,600
3,035
4,125
i
x
y
0
110
2,041
1
120
2,079
2
130
2,114
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 Forma de Newton
Agora que sabemos calcular as diferenças divididas, a fórmula de Newton para o polinômio interpolador pode ser empregada:
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É um caso especial do método de Newton, quando os valores dos xi estão igualmente espaçados.
Trabalha-se com um novo operador: operador de diferença finita ascendente (Δ).
 Interpolação com diferenças finitas (Gregory Newton)
É mais simples de se calcular do que o operador de diferenças divididas, pois leva em conta somente os valores de y:
Ordem 0: Δ0yi=yi
Ordem 1: Δyi= Δ0yi+1- Δ0yi
Ordem 2: Δ2yi= Δyi+1- Δyi
			
Ordem n: Δnyi= Δn-1yi+1- Δn-1yi
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 Interpolação com diferenças finitas (Gregory Newton)
A relação entre os operadores de diferença dividida e de diferença finita ascendente é:
Fórmula de Gregory Newton:
O polinômio interpolador de Gregory-Newton é encontrado através da seguinte fórmula:
onde:
h é o passo dos valores xi, ou seja h=xi+1-xi
ux (V. Auxiliar) é encontrado através da fórmula:
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 Exemplo
Dados os pontos abaixo, encontre o valor de P2(115) através do método de Gregory Newton.
i
x
y
0
110
2,041
1
120
2,079
2
130
2,114
Cálculo Numérico
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Usando os dados da tabela, calcula-se:
h=120-110=10
Calculando a tabela de diferenças finitas:
i
x
y
Δ1yi
Δ2yi
0
110
2,041
0,038
-0,003
1
120
2,079
0,035
2
130
2,114
 Exemplo
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Aplicando a fórmula de Gregory Newton:
 Exemplo
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 Referências
BARROS, Ivan de Queiroz. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Edgard Blücher, 1972.
CONTE, S. D. Elementos de análise numérica. São Paulo: Globo, 1977.
DORN, William S. Cálculo numérico com estudos de casos em FORTRAN IV. São Paulo: Universidade de São Paulo, 1972.
MIRSHAWKA, V. Cálculo numérico. São Paulo: Livraria Nobel S.A., 1983.
ROQUE, W. L. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Atlas, 2000.