Matematica Basica

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
FAUSTO PINHEIRO DA SILVA
Matema´tica Ba´sica
Medianeira - PR
2013
Suma´rio
Introduc¸a˜o 2
1 Soma, Adic¸a˜o, Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de nu´meros Racionais 3
1.1 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de nu´meros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de frac¸o˜es por frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Tabela de Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Classificac¸a˜o dos nu´meros reais 8
2.1 Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Nu´meros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Nu´meros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Nu´meros Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Nu´meros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Notac¸o˜es 11
3.1 Formas de representar um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Conjunto unita´rio, vazio e igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Subconjunto e Inclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Intervalos reais 14
4.1 Eixo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ii
5 Potenciac¸a˜o 17
5.1 Definic¸a˜o de Potenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Raiz n-e´sima de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Equac¸a˜o e Inequac¸a˜o do 1o Grau 21
6.1 Resoluc¸a˜o de equac¸a˜o do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2 Inequac¸a˜o do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Produto Nota´veis 24
7.1 Produto da soma pela diferenc¸a de dois nu´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2 Quadrado da soma e quadrado da diferenc¸a de dois nu´meros . . . . . . . . . . . . . 24
7.3 Racionalizac¸a˜o de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.4 Fatorac¸a˜o de Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 Equac¸a˜o do 2o Grau 27
8.1 Resoluc¸a˜o de equac¸a˜o do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.2 Completar Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.3 Fatorac¸a˜o de Polinoˆmios do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 Mo´dulo 32
9.1 Definic¸a˜o de Mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.2 Propriedades dos Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.3 Desigualdades e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Equac¸a˜o Exponencial 37
10.1 Resoluc¸a˜o de equac¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Inequac¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Logaritmo 41
11.1 Definic¸a˜o de Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Propriedades dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11.3 Equac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
11.4 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12 Trigonometria 48
12.1 Trigonometria no Triaˆngulo Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.2 O radiano, unidade de medida de arco e aˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.3 A medida da circunfereˆncia em radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12.4 Extenso˜es dos conceitos de seno e co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.5 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o Trigonome´trica . . . . . . . . . . . 55
12.6 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de inequac¸o˜es de seno e co-seno . . . . . . . . . . . 57
12.7 Extensa˜o do conceito de Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.8 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de equac¸a˜o de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 64
12.9 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de inequac¸o˜es de tangente . . . . . . . . . . . . . . 66
13 Respostas 69
Bibliografia 71
Introduc¸a˜o
2
Cap´ıtulo 1
Soma, Adic¸a˜o, Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o
de nu´meros Racionais
Vamos relembrar algumas operac¸o˜es ba´sicas como adic¸a˜o, substrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o
de frac¸o˜es e para isto comec¸amos determinando a mı´nimo mu´ltiplo comum.
1.1 Mı´nimo Mu´ltiplo Comum
Definic¸a˜o 1.1. Dados dois ou mais nu´meros, diferentes de zero, denomina-se mı´nimo mu´ltiplo
comum (m.m.c.) desses nu´meros o menor de seus mu´ltiplos comuns, diferente de zero.
Te´cnicas para o ca´lculo do M.M.C.
• 1o) Decompo˜e-se cada nu´mero em seus fatores primos.
• 2o) Calcula-se o produto dos fatores comuns e na˜o comuns, cada um deles elevado ao maior
expoente.
O produto assim obtido sera´ o m.m.c. procurado.
Exemplo 1.2. Calcular m.m.c.(60,24).
Resoluc¸a˜o
3
60 2 24 2 60 = 22 × 3× 5
30 2 12 2 24 = 23 × 3
15 3 6 2
5 5 3 3 m.m.c(60, 24) = 23 × 3× 5 =
1 1 = 8× 3× 5 = 120
De modo pra´tico, as decomposic¸o˜es podem ser feitas simultaneamente, pois desta maneira ja´
se obteˆm os fatores comuns e os fatores na˜o comuns com o maior expoente.
Exemplo 1.3. Calcular m.m.c.(8,10).
Resoluc¸a˜o
8, 10 2
4, 5 2
2, 5 2
1, 5 5
1, 1
m.m.c.(8, 10) = 23 × 5 = 8× 5 = 40
Definic¸a˜o 1.4. Quando as frac¸o˜es teˆm o mesmo denominador, mante´m-se o denominador comum
e somam-se ou subtraem-se os numeradores.
Exemplo 1.5. Efetue adic¸a˜o:
a)
5
8
+
2
8
b)
11
4
− 5
4
Resoluc¸a˜o
a)
5
8
+
2
8
=
5 + 2
8
=
7
8
b)
11
4
− 5
4
=
11− 5
4
=
6
4
=
3
2
1.2 Adic¸a˜o e Subtrac¸a˜o de nu´meros Racionais
Definic¸a˜o 1.6. Quando as frac¸o˜es teˆm denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar,
reduzilos ao menor denominador comum, calculando o m.m.c. para, em seguida, efetuar a adic¸a˜o
ou a subtrac¸a˜o.
4
Exemplo 1.7. Efetue adic¸a˜o:
a)
3
5
+
1
4
b)
7
8
− 1
4
Resoluc¸a˜o
a)
3
5
+
1
4
=
12
20
+
5
20
=
12 + 5
20
=
17
20
b)
7
8
− 1
4
=
7
8
− 2
8
=
7− 2
8
=
5
8
Observac¸a˜o 1.8. Quando tivermos a expressa˜o mista da forma 3 +
5
2
podemos reescreva-la´ da
seguinte forma
3
1
+
5
2
e calculamos o m.m.c. de 1 e 2 para podermos efetuar a adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o.
1.3 Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o de frac¸o˜es por frac¸o˜es
Definic¸a˜o 1.9. Para multiplicar uma frac¸a˜o por outra, deve-se multiplicar o numerador da pri-
meira frac¸a˜o com o numerador da segunda e o denominador da primeira frac¸a˜o com o denominador
da segunda frac¸a˜o.
Exemplo 1.10. Efetue a multiplicac¸a˜o:
a)
4
3
· 1
4
b)4 · 3
5
Resoluc¸a˜o
a)
4
3
· 1
4
=
4 · 1
3 · 4 =
4
12
b)4 · 3
5
=
4
1
· 3
5
=
4 · 3
1 · 5 =
12
5
Definic¸a˜o 1.11. Para se dividir uma frac¸a˜o por outra, deve-se multiplicar o dividendo pelo inverso
do divisor.
Exemplo 1.12. Simplifique as seguintes expresso˜es nume´ricas:
a)
5
8
3
4
b)3
5
2
c)
3
4
5
Resoluc¸a˜o
a)
5
8
3
4
=
5
8
÷ 3
4
=
5
8
· 4
3
=
5
6
b)
3
5
2
=
3
5
÷ 2 = 3
5
· 1
2
=
3
10
c)
3
4
5
= 3÷ 4
5
=
3 · 5
4
=
15
4
5
Exemplo 1.13. Determinar o valor da expressa˜o nume´rica
1
2
+
2
3
1− 1
8
.
Resoluc¸a˜o
1
2
+
2
3
1− 1
8
=
3
6
+
4
6
8
8
− 1
8
=
7
6
7
8
=
7
6
÷ 7
8
=
7
6
× 8
7
=
8
6
=
4
3
.
1.4 Tabela de Sinal
O quociente de dois nu´meros inteiros, com o segundo diferente de zero, e´ obtido dividindo-se o
mo´dulo do dividendo pelo mo´dulo do divisor e:
se o dividendo e o divisor teˆm o mesmo sinal, o quociente e´ positivo,
Dividendo Divisor Quociente
+ + +
− − +
se o dividendo e o divisor teˆm sinais diferentes, o quociente e´ negativo.
Dividendo Divisor Quociente
+ − −
− + −
1)O m.m.c dos nu´meros 12,24 e 144 e´:
a)12 b)288 c)144 d)24
2)Dados treˆs nu´meros ı´mpares, distintos, pode-
se afirmar que:
a)o m.m.c. entre eles e´ sempre par;
b)o m.m.c. entre eles pode ser par;
c)o m.m.c. entre eles e´ sempre o produto dos
treˆs;
d)o m.m.c. entre eles e´ sempre ı´mpar.
3)Sejam os nu´meros A = 23 × 32 × 5 e B =
2× 33 × 52; enta˜o, m.m.c.(A,B) e´ igual a:
a)2× 32 × 5 c)23 × 33 × 52
b)23 × 33 × 5 d)23 × 32 × 52
4)Calcule (resolver de prefereˆncia sem usar cal-
culadora):
6
a)
1
4
− 1 f)3
4
− 1
b)
2
3
+
4
5
+
1
5
g)
1
2
+
3
4
c)
3
2
− 1
3
+
4
3
h)− 2
9
+
2
7
− 3
4
d)1 +
3
4
i)3− 2
5
e)
7
8
− 1 j)− 1
2
− 1
5)Determine os seguintes produtos:
a)
1
7
× 1
3
c)
2
5
· 3
b)
3
10
· 11
3
d)2× 3
8
6)Calcule o valor de :
a)
3
2
÷ 9
5
=
3
2
9
5
b)
1
2
÷ 2
5
=
1
2
2
5
c)
3
2
÷ 2 =
3
8
2
d)4÷ 2
5
=
4
2
5
7)Determine o valor das expresso˜es nume´ricas:
a)
2
3
+
1
4
1 +
3
8
c)
2
3
· 3
4
2− 3
2
b)
2
3
− 3
5
4
6
+
5
7
d)
2
5
+
5
7
÷ 10
7
8) Determine soma (resolver de prefereˆncia sem
usar calculadora):
a)(5− 2) + 3 f)6− 7 + 9
b)− 1− 3 g)− (5− 1) + 2
c)− (−7 + 1)− 1 h)− 2 + 3 + 7
d)− (−2)− 3 i)− 7− (−4)
e)− 3 + (−9) j)(−4) + 2
7
Cap´ıtulo 2
Classificac¸a˜o dos nu´meros reais
Neste cap´ıtulo pretendemos deixar clara a diferenc¸a entre tipos de conjuntos numericos e a
relac¸a˜o de inclusa˜o que existe entre eles.
2.1 Nu´meros Naturais
Indica-se por N o conjunto dos nu´meros naturais e por N∗ o conjunto dos nu´meros naturais
na˜o nulos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...},
N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}.
2.2 Nu´meros Inteiros
Indica-se por Z o conjunto dos nu´meros inteiros e por Z∗ o conjunto dos nu´meros inteiros na˜o
nulos:
Z = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...},
Z∗ = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, , ...}.
2.3 Nu´meros Racionais
Indica-se por Q o conjunto dos nu´meros racionais e por Q∗ o conjunto dos nu´meros racionais
na˜o nulos:
Q =
{a
b
| a ∈ Z e b ∈ Z∗
}
,
8
Q∗ =
{a
b
| a ∈ Z∗ e b ∈ Z∗
}
.
N
Z
Q
Exemplo 2.1. a) O nu´mero decimal 3,7 e´ racional, pois pode ser representado como a raza˜o entre
dois inteiros:
37
10
.
b) No nu´mero decimal 2,5555... o algarismo 5 se repete indefinidamente. Esse
nu´mero e´ chamado de d´ızima perio´dica de parte inteira 2 e per´ıodo 5. Para representa´-lo sob a
forma de raza˜o entre dois inteiros:
• indica-se por g a d´ızima perio´dica; g = 2, 5555...
• multiplicam-se por 10 ambos os membros dessa igualdade: 10g = 25, 5555...
• efetua-se 10g − g = 25, 5555...− 2, 5555..., obtendo 9g = 23, portanto, g = 23
9
.
A frac¸a˜o
23
9
e´ chamada de geratriz da d´ızima perio´dica.
Nota
O conjunto dos nu´meros racionais e´ formado por todos os nu´meros decimais finitos e todas as
d´ızimas perio´dicas.
2.4 Nu´meros Irracionais
Dentre os nu´meros decimais existem as d´ızimas na˜o-perio´dicas, que sa˜o nu´meros com infi-
nitas casas decimais e na˜o-perio´dicos. Esses nu´meros sa˜o chamados de irracionais, e o conjunto
formado por eles e´ indicado por I, isto e´,
I = {x| x e´ d´ızima na˜o-perio´dica}
9
Exemplo 2.2. Exemplos de nu´meros irracionais
pi = 3, 1415926535 5, 12122122212222...,
√
2,
√
3
2.5 Nu´meros Reais
Qualquer nu´mero racional ou irracional e´ chamado de nu´mero real. As relac¸o˜es entre os
conjuntos nume´ricos ate´ agora apresentados podem ser resumidos pelo diagrama:
N
Z Q
R
II
1) Achar as geratrizes das seguintes d´ızimas:
a)0, 444...
b)0, 313131...
c)0, 324324...
d)4, 242424...
e)9, 513513...
2) Dados os nu´meros a seguir, determine:
−2; 10; 0, 9; 8
2
; 2−1;
√−4;
1
4
; 30; e; 3
√
8; 0; −√3;
−7
2
; 1 +
√
3; 0, 333...; i; 4−2; −√2
a) Os nu´meros naturais;
b) Os nu´meros inteiros;
c) Os nu´meros racionais;
d) Os nu´meros irracionais;
e) Os nu´meros que na˜o sa˜o reais.
3) Os nu´meros −2
3
,
√−4,−8 e 5, 33 sa˜o res-
pectivamente:
a) racional, complexo, inteiro e racional;
b) racional, complexo, natural e real;
c) real, irracional, natural e racional;
d) real, irracional, natural e irracional;
e) racional, imagina´rio, inteiro e irracional.
4) Classifique em verdadeiro ou falso:
( ) A soma de nu´meros irracionais pode ser um
nu´mero racional;
( ) O produto de nu´meros irracionais pode ser
nu´mero racional;
( ) A soma de um nu´mero racional com um
irracional e´ um nu´mero racional;
( ) O produto de um nu´mero racional com um
nu´mero irracional e´ sempre irracional.
10
Cap´ıtulo 3
Notac¸o˜es
Pretendemos neste cap´ıtulo famializar os leitores com alguns s´ımbolos que sa˜o muitos usados
na linguagem matema´tica, como conjunto vazio, ∈ pertence, 6∈ na˜o pertence, representac¸a˜o de um
conjunto e a relac¸a˜o de inclusa˜o de conjuntos.
3.1 Formas de representar um conjunto
Um conjunto pode ser representado de treˆs maneiras como vemos nos exemplos abaixo.
1. Por enumerac¸a˜o de seus elementos.
A = {a, e, i, o, u}
B = {2, 4, 6, 8, ...}
2. Por descric¸a˜o de uma propriedade caracter´ıstica do conjunto.
A = {x / x e´ vogal do nosso alfabeto}
B = {x / x e´ par e positivo}
3. Atrave´s de uma representac¸a˜o gra´fica.
a o
u
e i
A
11
3.2 Conjunto unita´rio, vazio e igualdade de conjuntos
Um conjunto e´ unita´rio se possui um so´ elemento.
Notac¸a˜o : {a}
Um conjunto e´ vazio se na˜o possui elementos.
Notac¸a˜o : { } ou ∅
Dois conjuntos sa˜o iguais quando teˆm os mesmos elementos.
Exemplo: A={a,b,c,d,e} e B={e,c,d,a,b}. Logo A=B.
3.3 Subconjunto e Inclusa˜o
• O conjunto A e´ um subconjunto do conjunto B, se todo elemento de A for elemento de B.
• ⊂ para indica uma relac¸a˜o de inclusa˜o entre dois conjuntos.
• Simbolicamente:
A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B)
• Graficamente:
A B
Indicamos que A e´ um subconjunto de B de duas maneiras:
A ⊂ B (leˆ-se: A e´ um subconjunto de B)
B ⊃ A (leˆ-se: B conte´m A)
Observac¸a˜o
• A ⊂ A, para qualquer que seja A.
• ∅ ⊂ A, para qualquer que seja A.
12
• A 6⊂ B,(leˆ-se: A na˜o esta´ contido em B).
1) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5}. As-
sinale V ou F (verdadeiro ou falso) para as sen-
tenc¸as.
a)( )A ⊂ A d)( )A ⊂ B
b)( )B 6⊂ A e)( )3 ⊂ B
c)( )B ⊂ A f)( )B ∈ A
2) Dado o conjunto A = {0, 1, 3, {3}}. Assinale
V ou F (verdadeiro ou falso) para as sentenc¸as.
a)( )0 ∈ A e)( )∅ ∈ A
b)( ){0, 1} ⊂ A f)( )1 ∈ A
c)( ){3} ∈ A g)( )∅ ⊂ A
d)( ){3} ⊂ A h)( ){3} /∈ A
3) Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}. Classifique em
verdadeiro ou falso:
a)( ){2, 3} ∈ A c)( )∅ ⊂ A e)( ){3} ∈ A
b)( )∅ ∈ A d)()3 ⊂ A f)( ){3} ⊂ A
4)Dados os conjuntos A = {a, b} e B =
{{a}, {b}}, classifique em verdadeiro ou falso:
a)( )a ∈ A e)( ){a} ∈ B
b)( )a ∈ B f)( ){b} 6∈ B
c)( )b 6∈ B g)( )A = B
d)( )b 6∈ A h)( ){b} 6∈ A
5) Classifique em verdadeiro ou falso:
a)( ){a, b} ⊂ {a, b, {a}, {b}}
b)( ){a} ∈ {a, b, {a}, {b}}
c)( ){1, 2} = {2, 1}
d)( )a ∈ {a, b, {a}, {b}}
e)( ){a, b} ∈ {a, b, {a}, {b}}
f)( )0 ∈ ∅
g)( ){a} ⊂ {a, b, {a}, {b}}
h)( ){a, {b}} ∈ {a, b, {a}, {b}}
6) Obtenha todos os subconjuntos do conjunto
A = {p, u,m, a}.
13
Cap´ıtulo 4
Intervalos reais
Abordaremos neste cap´ıtulo va´rias formas de denotar um intervalo do eixo real e como repre-
sentar um ponto no plano cartesiano.
4.1 Eixo real
Comec¸aremos representando o conjunto dos nu´meros reais no eixo real.
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
o
2,7
5
1,8
1,5
225
-1,5
-1,8
-2,7
Notas
• O s´ımbolo ∞ deve ser lido “infinito”.
• A palavra “incomensura´vel”significa “que na˜o se pode medir”.
Convenc¸o˜es
• A bolinha cheia • em um extremo do intervalo indica que o nu´mero associado a esse extremo
pertence ao intervalo.
14
• A bolinha vazia ◦ em um extremo do intervalo indica que o nu´mero associado a esse extremo
na˜o pertence ao intervalo.
Subconjuntos de R S´ımbolo Nome Representac¸a˜o no eixo real
{x ∈ R|a ≤ x ≤ b} [a, b] Intervalo fechado de
extremos a e b.
a b
{x ∈ R|a < x < b} ]a, b[ Intervalo aberto de
extremos a e b.
{x ∈ R|a ≤ x < b} [a, b[ Intervalo fechado a` esquerda e aberto
a` direita de extremos a e b.
a b
{x ∈ R|a < x ≤ b} ]a, b] Intervalo aberto a` esquerda e fechado
a` direita de extremos a e b.
a b
{x ∈ R|x ≥ a} [a,+∞] Intervalo incomensura´vel
fechado a` esquerda em a.
a
{x ∈ R|x > a} ]a,+∞] Intervalo incomensura´vel
aberto a` esquerda em a.
{x ∈ R|x ≤ a} ]−∞, a] Intervalo incomensura´vel
fechado a` direita em a.
{x ∈ R|x < a} ]−∞, a[ Intervalo incomensura´vel
aberto a` direita em a.
a
R ]−∞,+∞[ Intervalo incomensura´vel
−∞ a ∞.
4.2 Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
Para determinar um ponto de um plano, podemos fixar nesse plano dois eixos reais Ox e Oy,
perpendiculares entre si no ponto O.
• O plano determinado por esses eixos e´ chamado de plano cartesiano.
• O ponto O e´ a origem do sistema.
• Os eixos Ox e Oy, denominados “eixos coordenados”, sa˜o respectivamente, o eixo das abs-
cissas e o eixo das ordenadas.
• Os eixos coordenadas separam o plano cartesiano em quatro regio˜es denominadas quadran-
tes, que devem ser enumeradas conforme a figura:
15
x
y
P(5,-4)
I
Q
ua
dr
an
te
II
Q
ua
dr
an
te
Q
ua
dr
an
te
II
III
Q
ua
dr
an
teIV
Sistema
Cartesiano
Ortogonal
eixo da
ordenada
eixo da
Abscissa
origem
1 2 3 4
1
2
3
4
5
5-1-2-3-4-5
-1
-2
-3
-4
-5
Exemplo 4.1. As coordenadas do ponto P sa˜o 5 e -4. A abscissa e´ 5; e a ordenada e´ -4. Indicamos
esse fato por P (5,−4) na ilustrac¸a˜o abaixo.
1)Represente no eixo real cada um dos interva-
los:
a)[5, 9] c)[1, 8[ e)[4,+∞[
b)]− 3, 5[ d)]0, 5] f)]−∞, 2[
2)Represente no eixo real cada um dos conjun-
tos:
a)B = {x ∈ R| − 1 ≤ x < 8 x 6= 3}
b)C = {x ∈ R|2 ≤ x ≤ 6}
c)D = {x ∈ R|x ≥ 5 x 6= 8}
d)E = {x ∈ R|x ≤ 5 x 6= −1}
e)F = {x ∈ R|x > 3}
f)G = {x ∈ R|x < 3}
3)Represente no plano cartesiano os seguintes
pontos:
a)A(3, 4) c)C(−4,−5) e)E(0, 0)
b)B(−3, 5) d)D(4,−4) f)F (0, 3)
16
Cap´ıtulo 5
Potenciac¸a˜o
Este cap´ıtulo foi desenvolvido com o pensamento de formatar a ide´ia de produto entre mesmos
nu´meros, pois sabemos que 2 · 2 · 2 = 8, agora como poderiamos definir este conceito de forma a
dar base para todas as propriedades que envolve o conceito de poteˆncia.
5.1 Definic¸a˜o de Potenciac¸a˜o
Definic¸a˜o 5.1. Seja a um nu´mero real diferente de zero (R∗) e n um nu´mero natural e maior que
zero. Definimos an como sendo o produto de a por ele mesmo n vezes, ou seja:
n
a = a a a ... a. . .
n fatores
.
Denominamos a de base e n de expoente.
Exemplo 5.2.
a)23 = 2 · 2 · 2 = 8
b)(−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8
c)
(
2
5
)3
=
2
5
· 2
5
· 2
5
=
8
125
Considerando a ∈ R∗ temos a seguinte propriedade fundamental:
am · an = am+n.
17
Se quisermos definir a0 de modo a manter va´lida a propriedade fundamental para expoentes
negativos, devemos definir
a0 = 1.
Pois assim,
an · a−n = an+(−n) = a0 = 1.
Assim, a u´nica maneira de definirmos a−n a fim da propriedade fundamental continuar va´lida
e´ convencionar
a−n =
1
an
.
Observac¸a˜o 5.3.
a0 = 1
a−n =
1
an
(se a 6= 0)
a)50 = 1
b)5−2 =
1
52
=
1
25
c)
(
3
4
)−2
=
1(
3
4
)2 = 19
16
=
16
9
=
(
4
3
)2
Inverte-se a base da poteˆncias e troca-se o sinal do expoente:
(
3
4
)−2
=
(
4
3
)2
.
Na˜o ha´ unanimidade entre os matema´ticos quanto a adoc¸a˜o do valor 1 para poteˆncia 00.
Proposic¸a˜o 5.4. Dados os nu´meros reais a e b,
diferentes de zero (R∗) e os nu´meros inteiros m e
n, obedecidas as condic¸o˜es de existeˆncia, temos:
1) am · an = am+n
2) am : an = am+n
3) (am)n = amn
4) (a · b)m = am · bm
5)
(a
b
)m
=
am
bm
Exemplos
1)53 · 54 = 53+4 = 57
2)36 : 34 = 36−4 = 32
3)(63)4 = 63·4 = 612
4)(5a)2 = 52a2 = 25a2
5)
(
5
3
)2
=
52
32
=
25
9
18
5.2 Raiz n-e´sima de a
Dando continuidade, estenderemos a noc¸a˜o de poteˆncia de um nu´mero real a > 0 de modo
a incluir expoentes racionais, ou seja, aqueles escritos na forma n =
p
q
, onde p e q ∈ Z e q 6= 0
(ou seja, q ∈ N∗). Ale´m disso, queremos dar essa definic¸a˜o de modo a manter as propriedades
anteriores va´lidas. Comecemos com a seguinte definic¸a˜o: temos que para a ∈ R, a > 0, e n ∈ N∗
quaisquer, existe un u´nico nu´mero real b, tambe´m positivo, tal que
bn = a.
Definic¸a˜o 5.5. O nu´mero b chama-se a raiz n-e´sima de a e e´ representado pelo s´ımbolo
b = n
√
a.
Observac¸a˜o 5.6. Notemos que da definic¸a˜o acima fica evidente que qualquer raiz e´ sempre posi-
tiva. Desta forma,
√
4 = 2 e na˜o
√
4 = ±2.
Observac¸a˜o 5.7. A definic¸a˜o acima considera a > 0 pois estamos trabalhando com valores de n
que podem ser pares ou ı´mpares e, no conjunto dos nu´meros reais, sabemos que na˜o existe a raiz
n-e´sima de a, quando a < 0 e n e´ um nu´mero par. No entanto, se a = 0 e n ∈ N∗ temos que
n
√
a = 0. Tambe´m, se a < 0 e n ∈ N∗, tal que n e´ ı´mpar temos que n√a esta´ bem definida e seu
resultado e´ um nu´mero negativo. Por exemplo:
a) 3
√−27 = −3
b) 5
√−64 = −2
Definic¸a˜o 5.8. Sendo a um nu´mero real positivo e os nu´meros inteiros k e n, n ≥ 1, define-se:
a
k
n =
n
√
ak.
Exemplo 5.9.
a)7
3
4 =
4
√
73
b)90,5 = 9
1
2 =
√
9
c)16−0,25 = 16−
1
4 =
4
√
16−1 = 4
√
1
16
=
1
2
Observac¸a˜o 5.10. Seja a ∈ R tal que a > 0 e sejam n = p
q
e m =
u
v
, onde p, q, u e v ∈ Z e q e
v > 0. Enta˜o, ainda vale a propriedade
an · am = an+m,
desta observac¸a˜o segue as seguintes propriedades.
19
Proposic¸a˜o 5.11. Dados os nu´meros reais a e b,
diferentes de zero (R∗) e os nu´meros inteiros m e
n, obedecidas as condic¸o˜es de existeˆncia, temos:
1) n
√
a · n√b = n√a · b
2)
n
√
a
n
√
b
= n
√
a
b
3)
np
√
akp =
n
√
ak
4)( n
√
a)k =
n
√
ak
5) n
√
k
√
a = nk
√
a
Exemplos
1) 3
√
5 · 3√2 = 3√5 · 2 = 3√10
2)
5
√
8
5
√
2
= 5
√
8
2
= 5
√
4
3)
6
√
54 =
3
√
52
4)
3
√
85 = ( 3
√
8)5 = 25 = 32
5)
3
√√
7 = 3·2
√
7 = 6
√
7
1) Calcule os valores das poteˆncias:
a)(−6)2 f)50 k)028
b)− 62 g)
(
3
2
)4
l)132
c)(−3)2 h)
(
−3
2
)3m)(−1)17
d)4−2 i)
(
2
3
)−3
n)
(
5
3
)−2
e)(−8)0 j)(−5)3 o)
(
−5
3
)−2
2)Obedecidas as condic¸o˜es de existeˆncia, efetue:
a)a6 · a4
b)a8 ÷ a3
c)
(
2ab2
c3
)2(
a2c
b
)3
d)
(
3x2y
a3b3
)2
÷
(
3xy2
2a2b2
)3
3)Efetue:
a)6
√
5 + 3
√
5− 2√5 c)3 3√2 · 5 3√3
b)4
√
18 + 3
√
18 d)4
√
6÷ 2√3
4)Calcule (resolver de prefereˆncia sem usar cal-
culadora):
a)
√
1 c)
√
0 e)
√
36 g)
√
225
b)
√
196 d)
√
144 f)
√
121 h)
√
81
5)Simplifique os radicais
a) 3
√
40 d) 5
√
128 g)
√
20
9
b)
√
80 e)
√
40 h) 3
√
27
8
c)
√
24 f)
√
12 i)
√
18
25
6)Calcule o valor da expressa˜o:
A = 8
1
3 +
(
1
9
) 1
2
+ 16
1
4 .
7) Simplifique as expresso˜es abaixo:
a) n
√
a
b
· n√ab
b)
n
√
a · m√a · n
√
b
a
m
√
ab
8)Simplificar os radicais:
a)
√
50 b) 3
√
16 c)
√
160
20
Cap´ıtulo 6
Equac¸a˜o e Inequac¸a˜o do 1o Grau
As equac¸o˜es do primeiro grau sa˜o aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+ b = 0,
em que a e b sa˜o constantes reais, com a 6= 0, e´ x e´ a varia´vel.
Observac¸a˜o 6.1. Adicionando um mesmo nu´mero a ambos os membros de uma equac¸a˜o, ou
subtraindo um mesmo nu´mero de ambos os membros, a igualdade se mante´m.
Observac¸a˜o 6.2. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equac¸a˜o por um mesmo
nu´mero na˜o-nulo, a igualdade se mante´m.
6.1 Resoluc¸a˜o de equac¸a˜o do 1o Grau
Exemplo 6.3. Determine o nu´mero x tal que 8x− 7 = 6x+ 10.
Resoluc¸a˜o
Subtraindo 6x de cada membro da equac¸a˜o e adicionando 7 a cada membro, obtemos:
8x− 6x = 10 + 7
2x = 17.
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por 2, obtemos x =
17
2
.
Exemplo 6.4. Considerando o conjunto universo dos nu´meros racionais, deˆ o conjunto soluc¸a˜o
da equac¸a˜o.
3x
4
+ 2 =
5
3
+
x
4
.
21
Resoluc¸a˜o
Para facilitar a resoluc¸a˜o, podemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros
da equac¸a˜o pelo mmc(4,3,6)=12:
3x
4
+ 2
12
=
5
3
+
x
6
12
9x+ 24 = 20 + 2x.
Subtraindo 24 de 2x de cada membro da equac¸a˜o, obtemos:
9x− 2x = 20− 24
7x = −4
x = −4
7
.
Assim, o conjunto soluc¸a˜o S da equac¸a˜o e´ S =
{
−4
7
}
.
6.2 Inequac¸a˜o do 1o Grau
Inequac¸o˜es do primeiro grau sa˜o aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+ b > 0
(ou com as relac¸o˜es ≥, <,≤ ou 6=) em que a e b sa˜o constantes reais, com a 6= 0, e x e´ a varia´vel.
Observac¸a˜o 6.5. Adicionando um mesmo nu´mero a ambos os membros de uma inequac¸a˜o, ou
subtraindo um mesmo nu´mero de ambos os membros, a desigualdade se mante´m.
Observac¸a˜o 6.6. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma inequac¸a˜o por um mesmo
nu´mero positivo, a desigualdade se mante´m.
Observac¸a˜o 6.7. Dividindo ou multiplicando por ummesmo nu´mero negativo ambos os membros
de uma inequac¸a˜o do tipo >,≥, < ou ≤, a desigualdade inverte o sentido.
Exemplo 6.8. Considerando como universo o conjunto dos nu´meros naturais, determine o con-
junto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 5x− 8 < 3x+ 12.
Resoluc¸a˜o
Adicionando 8 a cada membro da inequac¸a˜o e subtraindo 3x de cada membro, obtemos:
5x− 3x < 12 + 8
2x < 20.
Dividindo ambos os membros da inequac¸a˜o por 2, obtemos:
22
x <
20
2
x < 10.
Assim, o conjunto soluc¸a˜o S da inequac¸a˜o e´ S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}.
Exemplo 6.9. Determine o maior nu´mero inteiro t que satisfaz a desigualdade 1− 11t
2
>
7
2
− 2t.
Resoluc¸a˜o
Para facilitar a resoluc¸a˜o, podemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros
da inequac¸a˜o pelo mmc(2,6)=6:
6
(
1− 11t
2
)
> 6
(
7
6
− 2t
)
6− 33t > 7− 2t.
Subtraindo 6 de cada membro da inequac¸a˜o e adicionando 12t a cada membro, obtemos:
−33t+ 12t > 7− 6
−21t > 1.
Dividindo ambos os membros da inequac¸a˜o por -21, obtemos t < − 1
21
. O maior nu´mero inteiro
que satisfaz essa desigualdade e´ o 1.
1)Determine o valor da inco´gnita nas equac¸o˜es:
a)10x− 8 = 3x+ 6
b)5 + 2(3y − 1) = 7y + 6
c)
x
8
− 2 = 3x
6
+ x− 4
2)Considerando o universo dos nu´meros inteiros,
determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es:
a)9x− 5(3− 2x) > 7x+ 9
b)6t− (5t+ 8) ≤ 1− 2(5− t)
3)Resolver as inequac¸o˜es no universo R.
a)
2x
5
− 1 ≥ x
10
+
3x
8
b)y − 1− 3y
10
≤ y
2
− 4 + y
5
23
Cap´ıtulo 7
Produto Nota´veis
Neste cap´ıtulo contempla alguns tipos de produtos de equac¸o˜es do 1o grau, assim como fatorac¸a˜o
de polinoˆmios.
7.1 Produto da soma pela diferenc¸a de dois nu´meros
O produto da soma pela diferenc¸a de dois nu´meros a e b, isto e´, (a+b) · (a−b), e´ obtido atrave´s
da propriedade distributiva:
(a+ b)(a− b) = a2 − ab+ ba− b2
(a+ b)(a− b) = a2 − b2
Exemplo 7.1.
a)(x+ 5)(x− 5) = x2 − 25
b)(
√
7 + 2)(
√
7− 2) = (√7)2 − 4 = 3
7.2 Quadrado da soma e quadrado da diferenc¸a de dois nu´meros
O quadrado da soma e o quadrado da diferenc¸a de dois nu´meros a e b, isto e´, (a+b)2 e (a−b)2,
sa˜o desenvolvidos atrave´s da propriedade distributiva:
(a + b)2 = (a+ b) · (a + b) = a2 + ab+ ba + b2
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
24
(a− b)2 = (a− b) · (a− b) = a2 − ab− ba + b2
(a+ b)2 = a2 − 2ab+ b2
Exemplo 7.2.
a)(x+ 3)2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x+ 9
b)(3t− 5)2 = (3t)2 − 2 · 3t · 5 + 52 = 9t2 − 30t+ t2
7.3 Racionalizac¸a˜o de denominadores
Por exemplo, para racionalizar o denominador de
2
4 +
√
3
, multiplicamos o numerador e o
denominador por 4−√3. Observe:
2
4 +
√
3
=
2 · (4−√3)
(4 +
√
3)(4−√3) =
2 · (4−√3)
(42 − ( 2√3)2) =
=
2 · (4−√3)
16− 3 =
8− 2√3
13
.
7.4 Fatorac¸a˜o de Polinoˆmios
Fatorar um nu´mero ou um polinoˆmio significa representa´-lo sob a forma de um produto. Por
exemplo:
• uma fatorac¸a˜o do nu´mero 18 e´ 6 · 3;
• a fatorac¸a˜o completa do nu´mero 18 e´ 2 · 3 · 3;
• uma fatorac¸a˜o do polinoˆmio 3xy + 3xz e´ 3(xy + xz);
• a fatorac¸a˜o completa do polinoˆmio 3xy + 3xz = 3x(y + z).
Atrave´s dos exerc´ıcios resolvidos a seguir, faremos uma breve revisa˜o sobre os principais casos
de fatorac¸a˜o.
1. Fator Comum - Fatorar o polinoˆmio 4x2 + 6x3y − 8x4y5.
Resoluc¸a˜o
4x2 + 6x3y − 8x4y5 = 2x2(2 + 3xy − 4x2y5)
25
2. Agrupamento - Fatorar o polinoˆmio 60x3 + 24x2 + 50x+ 20.
Resoluc¸a˜o
60x3 + 24x2 + 50x+ 20 =
= (60x3 + 24x2) + (50x+ 20)
= 12x2(5x+ 2) + 10(5x+ 2)
= (5x+ 2)(12x2 + 10)
3. Diferenc¸a de dois quadrados - Fatorar o polinoˆmio 9k2 − 25.
Resoluc¸a˜o
9k2 − 25 = (3k)2 − 52 = (3k + 5)(3k − 5)
4. Trinoˆmio quadrado prefeito - Fatorar os polinoˆmios:
a) x2 + 6xy + 9y2 b) 4t2 − 12t+ 9.
Resoluc¸a˜o
a)x2 + 6xy + 9y2 = x2 + 2 · x · 3y + (3y)2 = (x+ 3y)2
b)4t2 − 12t+ 9 = 2t2 − 2 · 2t · 3 + 32 = (2t− 3)2
1)Desenvolva cada um dos produtos da soma
pela diferenc¸a de dois nu´meros:
a)(x+ 4)(x− 4) c)(2√5 + 2)(2√5− 2)
b)(3t+ 5)(3t− 5) d)(x3 − 2)(x3 + 2)
2)Desenvolva cada um dos quadrados da soma
(ou da diferenc¸a) de dois nu´meros:
a)(x+ 6)2 c)(2x+ 3y)2
b)(5t− 4)2 d)(k3 − 7)2
3)Racionalize o denominador de :
a)
2
3 +
√
5
b)
5√
3−√2 c)
22
2
√
3 + 1
4)Colocando em evideˆncia o fator comum, fatore
as expresso˜es:
a)8ab2 + 10a2b c)2x+1 + 2x+2 + 2x
b)3t3 − 6t2 d)6a3b+ 12ab3 − 3a3b3
5)Agrupando os termos com fator comum, fato-
res os polinoˆmios:
a)ac+ ad+ bc+ bd c)8y3 − 2y2 + 12y − 3
b)12x3 + 18x2 + 4x+ 6 d)ax+ ay − bx− by
6)Fatore cada uma das diferenc¸as de dois qua-
drados:
a)a2 − b2 c)x6 − y2
b)x2 − 9 d)25p2 − 16q2
7)Fatore os trinoˆmios quadrados prefeitos:
a)a2 + 2ab+ b2 c)x4 + 6x2y + 9y2
b)4x2 − 12xy + 9y2 d)9a2 + 30a+ 25
26
Cap´ıtulo 8
Equac¸a˜o do 2o Grau
Toda equac¸a˜oda forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c sa˜o nu´meros reais com a 6= 0, e´
chamada de equac¸a˜o do 2o grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma equac¸a˜o do 2o grau
incompleta.
Qualquer equac¸a˜o do 2o grau pode ser resolvida atrave´s da fo´rmula:
x =
−b±√∆
2a
em que ∆ = b2 − 4ac
A expressa˜o ∆(delta), chamada de discriminante da equac¸a˜o, nos informa se a equac¸a˜o tem
ra´ızes reais e, no caso de existirem, se sa˜o iguais ou diferentes.
Observac¸a˜o 8.1. Quando ∆ < 0, a equac¸a˜o na˜o possui ra´ızes reais.
Quando ∆ ≥ 0, a equac¸a˜o possui duas ra´ızes reais, sendo iguais quando ∆ = 0
ou distintas quando ∆ > 0.
8.1 Resoluc¸a˜o de equac¸a˜o do 2o grau
Exemplo 8.2. Considerando o universo dos nu´meros reais, resolva as equac¸o˜es do segundo grau
incompletas e completas:
a)4t2 − 25 = 0
b)y2 + 9 = 0
c)x2 − 3x = 0
d)5x2 − 3x− 2 = 0
Resoluc¸a˜o
a)Isolando o monoˆmio em t no primeiro membro da igualdade, temos:
27
4t2 = 25
t2 =
25
4
t = ±
√
25
4
= ±5
2
Logo, o conjunto soluc¸a˜o S da equac¸a˜o e´ S =
{
5
2
,−5
2
}
b)Isolando o monoˆmio em y no primeiro membro da igualdade, temos:
y2 = −9
Como na˜o existe nu´mero real cujo quadrado e´ negativo, conclu´ımos que o conjunto soluc¸a˜o S da
equac¸a˜o e´ S = ∅.
c) Fatorando o primeiro membro da equac¸a˜o, obtemos:
x(x− 3) = 0.
A propriedade do produto nulo garante que “o produto de nu´meros reais e´ igual a zero se, e
somente se, pelo menos um dos fatores e´ iguais a zero”. Assim, temos que: x(x − 3) = 0 ⇔ x =
0 ou x− 3 = 0, ou seja:x = 0 ou x = 3. Logo, o conjunto soluc¸a˜o S da equac¸a˜o e´ S = {0, 3}.
d)Identificam-se os coeficientes a, b e c, ou seja, a = 5; b = −3 e c = −2. Calcula-se o discriminante
∆ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 5 · (−2) = 49.
Aplica-se a fo´rmula resolutiva
x =
−b±√∆
2a
=
−(−3)±√49
2 · 5 =
3± 7
10
Logo, x = 1 ou x =
−7
10
.
Conclui-se, enta˜o, que o conjunto soluc¸a˜o S da equac¸a˜o e´ S =
{
1,− 7
10
}
.
Exemplo 8.3. Fatorar o trinoˆmio do 2o grau 5x2 − 3x− 2 = 0.
Resoluc¸a˜o
Inicialmente determinamos as ra´ızes do trinoˆmio. As ra´ızes sa˜o os nu´meros que atribu´ıdos a` varia´vel
x anulam o trinoˆmio, isto e´, 5x2 − 3x− 2 = 0. Temos
x =
−(−3)±√(−3)2 − 4 · 5 · (−2)
2 · 5
x = 1 ou x = −2
5
.
28
Podemos, enta˜o, apresentar o trinoˆmio na forma fatorada:
5x2 − 3x− 2 = 5(x− 1)
(
x−
(
−2
5
))
= 5(x− 1)
(
x+
2
5
)
.
Exemplo 8.4. Resolver em R a equac¸a˜o
√
2x+ 1 + 1 = x.
Resoluc¸a˜o
Inicialmente isola-se o radical em um dos membros da igualdade
√
2x+ 1 = x− 1
A seguir, elevam-se ambos os membros a um expoente igual ao ı´ndice do radical:
(
√
2x+ 1)2 = (x− 1)2
2x+ 1 = x2 − 2x+ 1
x2 − 4x = 0
x(x− 4) = 0
x = 0 ou x = 4
Quando elevamos a um expoente par ambos os membros de uma equac¸a˜o, podemos estar trans-
formando em verdadeira uma sentenc¸a que anteriormente era falsa, por exemplo, 3 = −3 e´ uma
sentenc¸a falsa, mas, elevando os dois membros ao quadrado, obte´m-se uma sentenc¸a verdadeira,
32 = (−3)2.
Isto significa que os candidatos a ra´ızes, 0 e 4, podem na˜o ser ra´ızes da equac¸a˜o original. Por isso,
devemos testar cada um deles para verificar se sa˜o relativamente ra´ızes da equac¸a˜o proposta.
Verificac¸a˜o
• Substituindo x = 0 na equac¸a˜o, temos: √2 · 0 + 1 = 0− 1 (Falsa!)
• Substituindo x = 4 na equac¸a˜o, temos: √2 · 4 + 1 = 4− 1 (Verdadeira!)
Conclu´ımos, enta˜o, que apenas o nu´mero 4 e´ raiz da equac¸a˜o. Logo, o conjunto soluc¸a˜o S e´
S = {4}.
8.2 Completar Quadrado
Considere o seguinte polinoˆmio
x2 + 5x+ 4
29
Como escrever esse polinoˆmio de modo a ficar na forma:
(x+ a)2 + b
Inicialmente, comparamos os dois polinoˆmios
x2 + 5x+ 4 e x2 + 2ax+ a2 + b
Para que eles sejam iguais devemos ter:
2a = 5 =⇒ a = 5
2
a2 + b = 4 =⇒ b = 4− 25
4
= −9
4
Enta˜o,
x2 + 5x+ 4 = (x+
5
2
)2 − 9
4
8.3 Fatorac¸a˜o de Polinoˆmios do Terceiro Grau
Determine quais sa˜o as ra´ızes do polinoˆmios:
x3 − 6x2 + 3x+ 10
Para utilizar o teorema do resto temos que encontrar uma raiz do polinoˆmio e dividir o po-
linoˆmio por x− a, onde a e´ uma das ra´ızes do polinoˆmio. E pra encontrar uma raiz do polinoˆmio,
temos que dar um chute (0,1,-1,2,-2,3,-3,a
b
), por que muita das vezes um polinoˆmio do terceiro grau
na˜o tem ra´ızes exata. Veja que -1 e´ raiz do polinoˆmio dado, pois
(2)3 − 6 · (2)2 + 3 · (2) + 10 = 0.
Dessa forma podemos dividir o polinoˆmio por x− (−1), ou seja, x+ 1.
Fazendo a divisa˜o:
x - 6x +3x +10 x+1
-x - x x -7x+10
0 -7x +3x
+7x +7x
0 +10x +10
-10x - 10
0 - 0
3
3 2
2
2
2
2
30
obtemos um polinoˆmio de grau dois x2 − 7x + 10. Que podemos resolver usando a fo´rmula de
Blaskara. Obtendo assim as outras ra´ızes do polinoˆmio. Sendo assim, o polinoˆmio x3− 6x2+3x+
10 = (x− 2)(x− 5)(x+ 1).
1)Considerando o universo dos nu´meros reais, re-
solva as equac¸o˜es do 2o grau incompletas:
a)x2 − 25 = 0 d)x2 − 7x = 0
b)9y2 − 1 = 0 e)3y2 − 2y = 0
c)2x2 − 1 = 0 f)5t2 + 2t = 0
2)Resolva em R as equac¸o˜es:
a)3x2 + 5x− 2 = 0
b)t2 − 6t+ 9 = 0
c)2y2 − 3y + 2 = 0
d)
3
2
− 2
4x− 4 =
3
x2 − 1
3)Fatore os trinoˆmios do 2o grau:
a)3x2 − 5x+ 2
b)4y2 + 6y − 4
c)x2 − x− 2
4)Resolva em R as equac¸o˜es:
a)
√
x2 + 27− x = x
b)
√
x− 4 + x = 6
c)
√
x+ 8 +
√
x = 4
5)Complete o quadrado:
a)x2 + 6x+ 10
b)x2 + 7x+ 6
c)x2 + 10x+ 5
6)Encontre as ra´ızes do polinoˆmio:
a)x3 + 2x2 − 48x
b)x3 + 2x2 − 11x− 12
c)x3 − 5x2 − x+ 5
7)Fatore as seguintes expresso˜es:
a)
x3 + 6x2 + 11x+ 6
x2 + 5x+ 1
b)
x3 + 2x2 − 11x− 12
x2 − 2x− 3
31
Cap´ıtulo 9
Mo´dulo
Num dia de inverno o termoˆmetro marcou a temperatura mı´nima −5oC e a ma´xima +6oC.
Dizemos que a variac¸a˜o da temperatura nesse dia foi de 11oC. Para chegarmos a esse resultado,
calculamos a diferenc¸a entre a temperatura ma´xima +6oC e a mı´nima −5oC :
+6oC − (−5oC) = +11oC
O ca´lculo abscissa ma´xima menos abscissa mı´nima da´ origem a` definic¸a˜o de distaˆncia
entre dois pontos do eixo real.
9.1 Definic¸a˜o de Mo´dulo
Definic¸a˜o 9.1. Sejam A e B dois pontos do eixo real com abs-
cissas xa e xb, respectivamente, tal que xB ≥ xA. Chama-se
distaˆncia entre os pontos A e B, e indica-se por dAB ou dBA,
a diferenc¸a xB − xA.
Definic¸a˜o 9.2. Considere no eixo real de origem O um ponto
A de abscissa x. Chama-se mo´dulo de x, e indica-se por |x|, a
distaˆncia entre os pontos O e A : |x| = dAO.
Note que, como |x| e´ a distaˆncia entre dois pontos, tem-se que |x| e´ um nu´mero real positivo
ou nulo. Temos enta˜o que:
32
I o mo´dulo de um nu´mero positivo x e´ igual ao pro´prio x, isto e´, se x > 0, enta˜o |x| = x;
II o mo´dulo de um nu´mero negativo x e´ igual ao oposto de x (que e´ positivo), isto e´, se x < 0,
enta˜o |x| = −x;
III o mo´dulo de zero e´ igual ao pro´prio zero: |0| = 0.
Sintetizando as concluso˜es (I), (II) e (III), podemos dar uma definic¸a˜o alge´brica para |x| da
seguinte maneira:
|x| = x⇔ x ≥ 0 e |x| = −x⇔ x ≤ 0, ∀x, x ∈ R.
Exemplo 9.3.
a)
∣∣∣∣83
∣∣∣∣ = 83
b)| − 4| = −(−4) = +4
c)|0| = 0
Observac¸a˜o 9.4.
1)Dois nu´meros negativos, o maior e´ o que tem menor mo´dulo.
2)Qualquer nu´mero positivo e´ maior que qualquer nu´mero negativo.
9.2 Propriedades dos Mo´dulos
M.1 |x| ≥ 0, ∀x, x ∈ R.
M.2 |x| = 0⇔ x = 0.
M.3 |x| = d⇔ x± d.
M.4 |x| · |y| = |xy|, ∀{x, y}, {x, y} ⊂ R.
M.5 |x|n = xn ⇔ n e´ par, ∀x, x ∈ R, e n ∈ N.
M.6
|x|
|y| =
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ , ∀{x, y}, {x, y} ⊂ R e y 6= 0.
M.7 |x| = |a| ⇔ x = ±a, ∀{x, a}, {x, a} ⊂ R.
Exemplo 9.5. Resolver em R a equac¸a˜o |x− 3| = 4.
Resoluc¸a˜o
Pela propriedade M.3, sabemos que existem dois e somente dois nu´meros cujo mo´dulo e´ igual a4.
Sa˜o eles: 4 e -4. Logo, temos:
33
|x− 3| = 4⇔ x− 3 = 4 ou x− 3 = −4
x = 7 ou x = −1
Logo, S={7,-1}.
Exemplo 9.6. Resolver em R a equac¸a˜o |x| · |x− 5| = 6.
Resoluc¸a˜o
Pela propriedade M.4, temos x2 − 5x = 6 ou x2 − 5x = −6, enta˜o
x2 − 5x− 6 = 0⇒ x = −1 ou x = 6
x2 − 5x+ 6 = 0⇒ x = 2 ou x = 3
Logo, S = {−1, 6, 2, 3}.
Exemplo 9.7. Resolver em R a equac¸a˜o x2 − 3|x| − 4 = 0.
Resoluc¸a˜o
Pela propriedade M.5, temos que x2 = |x|2. Logo, a equac¸a˜o pode ser escrita na forma:
|x|2 − 3|x| − 4 = 0
Fazendo |x| = t, temos:
t2 − 3t− 4 = 0⇒ t = 4 ou t = −1
Assim, |x| = 4⇒ x = ±4 ou |x| = −1⇒6 ∃x. Logo, S = {4,−4}.
Exemplo 9.8. Resolver em R a equac¸a˜o |3x− 1| = |2x+ 6|.
Resoluc¸a˜o
Pela propriedade M.7, temos que:
|3x− 1| = |2x+ 6| ⇔ 3x− 1 = 2x+ 6 ou
3x− 1 = −2x− 6⇒ x = 7 ou x = −1
Logo, o conjunto soluc¸a˜o S da equac¸a˜o proposta e´ S = {7,−1}.
9.3 Desigualdades e Mo´dulos
Considere o eixo real de origem O:
a)Quais as abscissas x dos pontos desse eixo cujas distaˆncias a` origem O sa˜o menores ou iguais
a 3?
b)Quais as abscissas x dos pontos desse eixo cujas distaˆncias a` origem O sa˜o maiores ou iguais
a 3?
34
Para responder a essas questo˜es, note que os pontos de abscissa
3 e -3 distam treˆs unidades da origem:
Assim, temos:
a) qualquer ponto de abscissa x, tal que −3 ≤ x ≤ 3 localiza-se a uma distaˆncia menor ou igual
a 3 da origem.
b) qualquer ponto de abscissa x, x ≤ −3 ou x ≥ 3, localiza-se a uma distaˆncia maior ou igual
a 3 da origem.
Racionando dessa maneira, podemos concluir as seguintes propriedades:
M.8 |x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a, ∀a, a ∈ R+
M.9 |x| < a⇔ −a < x < a, ∀a, a ∈ R+
M.10 |x| ≥ a⇔ x ≤ −a ou x ≥ a, ∀a, a ∈ R+
M.11 |x| > a⇔ x > −a ou x > a, ∀a, a ∈ R+
Exemplo 9.9. Fixando as propriedades M.9, M.10, M.11 e M.12 com os exemplos.
a) |x| ≤ 5⇔ −5 ≤ x ≤ 5
b) |x| < 4⇔ −4 < x < 4
c) |x| ≥ 6⇔ x ≤ −6 ou x ≥ 6
d) |x| > 2⇔ x > −2 ou x > 2
Exemplo 9.10. Resolver em R a inequac¸a˜o |3x− 1| ≤ 8.
Resoluc¸a˜o
Pela propriedade M.8, temos que:
|3x− 1| ≤ 8⇔ −8 ≤ 3x− 1 ≤ 8
Essa dupla desigualdade e´ equivalente a: 3x− 1 ≤ 83x− 1 ≥ −8 ⇔
 x ≤ 3x ≥ −7
3
O conjunto soluc¸a˜o S do sistema e´ (I) ∩ (II), ou seja:
Assim, S =
{
x ∈ R| − 7
3
≤ x ≤ 3
}
.
35
1)Classifique cada uma das sentenc¸as abaixo
como V ou F:
a)|8| = 8
b)|0| = −0
c)| − 8| = 8
d)|√2− 2| = √2− 2
e)|√5− 2| = √5− 2
f)| 3√10− 2, 3| = 2, 3− 3√10
g)| 4√9−√3| = 0
h)|pi − 3| = pi − 3
i)|pi − 3, 14| = 0
j)|pi − 3, 15| = 3, 15− pi
k)|x| = x, ∀x, x ∈ R
l)|x2| = x2, ∀x, x ∈ R
m)|x3| = x3, ∀x, x ∈ R
n)− 5 · |x| = | − 5x|, ∀x, x ∈ R
2)Calcule os valores dos mo´dulos:
a)||√3− 1, 6|+ 1, 6|
b)||√5− 2, 4|+√5|
c)||1−√2|+ |2−√2||
3)Resolva em R as equac¸o˜es:
a)|x− 8| = 3
b)|2x− 1| = 7
c)|x2 − 2x| = 1
d)|4x2 − 3x| = 0
4)Resolva em R as equac¸o˜es:
a)x2 − 2|x| − 8 = 0
b)2x2 − |9x|+ 7 = 0
5)Resolva em R as equac¸o˜es:
a)|3x− 1| = |1− 2x|
b)|x2 − 3x| = |x|
c)|x2 − 5x| = |x− 5|
6)Resolva em R as inequac¸o˜es:
a)|3x+ 5| ≤ 11
b)
∣∣∣∣2x+ 32
∣∣∣∣ > 6
c)|1− x| < 5
d)
∣∣∣∣x2 − 13
∣∣∣∣ > 4
7)Se δ = 2 esboc¸e no eixo real x o conjunto de
pontos que satisfaz a inequac¸a˜o |x + 5| < δ. Se
L = 3 e f(x) = 3x + 5 esboce no eixo real y
o conjunto de pontos que satisfaz a inequac¸a˜o
|f(x)− L| < δ.
8)Um metalu´rgico deve fabricar um eixo de ferro
cujo diaˆmetro deve ter 5cm. O torno pode pro-
vocar um pequeno erro x nessa medida, com
|x| ≤ 0, 008cm. Qual a maior e a menor me-
dida que pode ter o diaˆmetro dessa pec¸a depois
de pronta?
36
Cap´ıtulo 10
Equac¸a˜o Exponencial
E´ toda equac¸a˜o cuja inco´gnita se apresenta no expoente de uma ou mais poteˆncias de bases
positivas e diferentes de 1.
Exemplo 10.1. a)3x = 9 b)52x + 5x = 30 c)6x = 2
A resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o exponencial baseia-se na igualdade abaixo, isto e´, sendo a > 0 e
a 6= 1, tem-se que:
(1) ax = ay ⇔ x = y
Apresentamos, como exerc´ıcios resolvidos, alguns tipos de equac¸o˜es exponenciais.
10.1 Resoluc¸a˜o de equac¸a˜o exponencial
Exemplo 10.2. Resolver em R a equac¸a˜o 125x = 625.
Resoluc¸a˜o
Resolveremos essa equac¸a˜o transformando-a numa igualdade de duas poteˆncias de mesma base.
Para isso, fatoramos os nu´meros 125 e 625.
125 5 625 5
25 5 125 5
5 5 ⇒ 125 = 53 25 5 ⇒ 625 = 54
1 5 5
1
37
Assim, temos:
125x = 625⇒ (53)x = 54
53x = 54 ⇒ 3x = 4
x =
4
3
Logo, S =
{
4
3
}
.
Exemplo 10.3. Resolver em R equac¸a˜o 2x = 1.
Resoluc¸a˜o
O nu´mero 1 pode ser escrito como 20. Logo, 2x = 1 ⇒ 2x = 20 pela igualdade (1), temos x = 0.
Logo, S = {0}.
Exemplo 10.4. Resolver em R a equac¸a˜o 125x = 625.
Resoluc¸a˜o
Dividindo ambos os membros da equac¸a˜o por 2x, temos:
3x = 2x ⇒ 3
x
2x
=
2x
2x
⇒
(
3
2
)x
= 1(
3
2
)x
=
(
3
2
)0
⇒ x = 0
Logo, S={0}.
Exemplo 10.5. Resolver em R a equac¸a˜o 9x − 10 · 3x + 9 = 0.
Resoluc¸a˜o
A equac¸a˜o pode ser escrita sob a forma:
(32)x − 10 · 3x + 9 = 0⇒ (3x)2 − 10 · 3x + 9 = 0
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel 3x = t, temos:
t2 − 10t+ 9 = 0
∆ = (−10)2 − 4 · 1 · 9 = 64
t =
10±√64
2
=
10± 8
2
t = 9 ou t = 1
Voltando a` varia´vel x, temos:
3x = 9⇒ 3x = 32 ∴ x = 2 ou
3x = 1⇒ 3x = 30 ∴ x = 0
Logo, S = {0, 2}.
38
Exemplo 10.6. Resolver em R a equac¸a˜o 2x+3 + 2x−1 = 17.
Resoluc¸a˜o
2x+3 + 2x−1 = 17⇒ 2x · 23 + 2x ÷ 21 = 17⇒ 8 · 2x + 2
x
2
= 17
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel 2x = t, temos:
8t +
t
2
= 17⇒ 16t+ t
2
=
34
2
⇒ 17t = 34⇒ t = 2
Voltando a` varia´vel x, temos 2x = 2⇒ x = 1. Logo, S = {1}.
10.2 Inequac¸a˜o Exponencial
Inequac¸a˜o exponencial e´ toda inequac¸a˜o cuja inco´gnita se apresenta no expoente de uma ou
mais poteˆncias de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo 10.7.
a)5x > 25 b)3x + 3x+1 ≤ 12 c)3x ≥ 2x
Exemplo 10.8. Resolver em R a inequac¸a˜o 253x−1 > 125x+2.
Resoluc¸a˜o
253x−1 > 125x+2 ⇒ (52)3x−1 > (53)x+2 ⇒ 56x−2 > 53x+6
Como a base (5) das poteˆncias e´ maior que 1, temos, pela igualdade (1), que o “sentido”da
desigualdade se mante´m para os expoentes. Assim, temos:
56x−2 > 53x+6 ⇒ 6x− 2 > 3x+ 6 ⇒ 6x− 3x > 6 + 2 ∴ 3x > 8 ∴ x > 8
3
Logo, S =
{
x ∈ R|x > 8
3
}
.
Exemplo 10.9. Resolver em R a inequac¸a˜o
(
1
8
)2x−5
≤
(
1
4
)x+1
.
Resoluc¸a˜o
(
1
8
)2x−5
≤
(
1
4
)x+1
⇒
[(
1
2
)3]2x−5
≤
[(
1
2
)2]x+1
⇒
(
1
2
)6x−15
≤
(
1
2
)2x+2
Como a base
(
1
2
)
das poteˆncias e´ um nu´mero entre 0 e 1, temos, pela propriedade ?, que o
39
“sentido”da desigualdade e´ “invertido”para os expoentes. Assim, temos:(
1
2
)6x−15
≤
(
1
2
)2x+2
⇒ 6x− 15 ≤ 2x+ 2 ∴ 6x− 2x ≥ 2 + 15 ∴ 4x ≥ 17 ∴ x ≥ 17
4
Logo, S =
{
x ∈ R|x ≥ 17
4
}
.
1)Resolva em R as equac¸o˜es:
a)64x = 256
b)25x+2 = 125x+5
c)92x−1 = 275x+1
d)13x = 1
e)52x−1 = 1
f)7x = 8x
2) Determine, em R, o conjunto soluc¸a˜o de cada
uma das equac¸o˜es:
a)
(
3
2
)x
=
27
8
b)
(
8
27
)3x+1
=
(
4
9
)x
c)(
6
√
32x+1)5 = 3
√
2
d)
(
3
√
4
9
)x+1
=
√
2
3
e)
(
3
5
)x
=
(
25
9
)x+1
f)
(
1
32
)x
= 642x−1
g) 7
√
8x = (
√
4x−1)3
3) Determine o conjunto dos valores x, x ∈ R,
que satisfazem cada uma das equac¸o˜es:
a)2x+1 + 2x−1 = 20
b)3x+1 − 3x+2 = −54
c)2 · 3x−1 + 4 · 3x−2 = 30
d)5x−2 + 5x+1 = 126
e)9x − 4 · 3x+1 + 27 = 0
4)Em pesquisa realizada, constatou-se que a po-
pulac¸a˜o (P) de determinada bacte´ria cresce se-
gundo a expressa˜o P (t) = 25 · 2t, onde t re-
presenta o tempo em horas. Para atingir uma
populac¸a˜o de 400 bacte´rias, sera´ necessa´rio um
tempo de quantas horas.
5)Resolva em R as inequac¸o˜es:a)163x−1 > 82x+5
b)
(
1
9
)3x−1
≤
(
1
3
)2x
c)(0, 3)4x−5 > (0, 3)2x−1
d)(
√
2)3x−1 ≤ 4√8
e)(
√
0, 6)3x−2 ≥ 0, 6
f)
(
1
3
)2x−1
> 3x+2
g)1252x+1 > 253x
h)
(
3
2
)x+1
≤
(
9
4
)x
i)
(
2
5
)3x−2
>
(
125
8
)2x−1
j)
√
2x < 4
√
4
k)( 5
√
3)x+2 > 4
√
27
l)
(
1√
2
)2x+1
≤
(
1√
2
)x+3
6)Resolva em R as inequac¸o˜es:
a)2x−1 < 22x+1 ≤ 43x+1
b)
(
1
2
)x−2
< 4x+1 < 162x+3
40
Cap´ıtulo 11
Logaritmo
Para compreender o que e´ um logaritmo, considere uma poteˆncia de base positiva e diferente
de 1. Por exemplo:
23 = 8.
Ao expoente dessa poteˆncia damos o nome de logaritmo. Dizemos que 3 e´ o logaritmo de 8
na base 2. Em s´ımbolos:
23 = 8⇔ log2 8 = 3.
11.1 Definic¸a˜o de Logaritmo
Definic¸a˜o 11.1. Sejam a e b nu´meros reais positivos e b 6= 1. Chama-se logaritmo de a na
base b o expoente x tal que bx = a.
Em s´ımbolos:
logb a = x⇔ bx = a.
Nomenclatura
Na sentenc¸a logb a = x :
• a e´ chamado de “logaritmando”;
• b e´ chamado de “base do logaritmo”;
• x e´ chamado de “logaritmo de a na base b”.
41
Exemplo 11.2. Vamos resolver alguns exerc´ıcios ba´sicos.
a) O valor de log2 16 e´ igual o valor do expoente x tal que 2
x = 16.
Temos 2x = 16⇔ 2x = 24 ⇒ x = 4. Assim, log 162 = 4.
b)O valor de log
1
25
5 e´ igual o valor do expoente x tal que 5
x =
1
25
.
Temos 5x =
1
25
⇔ 5x = 5−2 ⇒ x = −2. Assim, log
1
25
5 = −2.
c)O valor de log7 1 e´ igual o valor do expoente x tal que 7
x = 1.
Temos 7x = 1⇔ 7x = 70 ⇒ x = 0. Assim, log 17 = 0.
d)O valor de log
3
√
5
5 e´ igual o valor do expoente x tal que 5
x = 3
√
5.
Temos 5x = 3
√
5⇔ 5x = 5 13 ⇒ x = 1
3
. Assim, log
3
√
5
5 =
1
3
.
e)O valor de log
1
243
27 e´ igual o valor do expoente x tal que 27
x = 1
243
.
Temos 27x = 1
243
⇔ (33)x = (1
3
)5 ⇒ 33x = 3−5 ⇔ x = −5
3
. Assim, log
1
243
27 = −53 .
f)O valor de log
729
64
8
27
e´ igual o valor do expoente x tal que ( 8
27
)x = 729
64
.
Temos ( 8
27
)x = 729
64
⇔ ([2
3
]3)x = (3
2
)6 ⇒ (2
3
)3x = (2
3
)−6 ⇔ 3x = −6⇔ x = −2. Assim, log
729
64
8
27
= −2.
11.2 Propriedades dos Logaritmos
Decorre imediatamente da definic¸a˜o que para nu´meros reais positivos a e b, com b 6= 1 temos:
1) log bb = 1;
2) log 1b = 0;
3) log a
y
b = y log
a
b ;
4) blog
a
b = a.
5) log
b
ac = log
b
a+ log
b
c;
6) log
a
c
b
= logb a− logb c;
7) log
b
a =
logk a
logk b
, ∀k, k ∈ R∗+, k 6= 1.
Exemplo 11.3. Calcular os logaritmos:
a) log4 4 c) log
5
√
16
2
b) log5 1 d)2
− log 2
2
42
Resoluc¸a˜o
a)Tomando b = 4 e usando a propriedade 1 temos: log 44 = 1.
b)Tomando b = 5 e usando a propriedade 2 temos: log 15 = 0.
c)log
5
√
16
2 = x⇔ 2x = 16
1
5 ⇒ 2x = (24) 15 ⇒ 2x = 2 45 ⇒ x = 4
5
. Assim, log
5
√
16
2 =
4
5
.
Mas poder´ıamos, fazer usando e propriedade 3, usando o fato que log162 = 4 sendo assim
log
5
√
16
2 = log2 16
1
5 =
1
5
log2 16 =
1
5
· 4 = 4
5
.
d)2− log
2
2 = 2log
2
−1
2 e pela propriedade 4 temos que 2− log
2
2 = 2−1 =
1
2
.
Exemplo 11.4. Sabendo que log6 5 = 0, 898 e log6 2 = 0, 386, calcular:
a) log6 10 = log6 5 · 2 = log6 5 + log6 2 = 0, 898 + 0, 386 = 1, 284;
b) log 2,56 = log
5
2
6 = log6 5− log6 2 = 0, 898− 0, 386 = 0, 512;
c) log2 5 =
logk 5
logk 2
=
log6 5
log6 2
=
0, 898
0, 386
= 2, 326;
d) log6 20 = log6 2
2 · 5 = log6 22 + log6 5 = 2 log6 2 + log6 5 = 2 · 0, 386 + 0, 898 = 1, 67;
e) log
5
12
6 = log6 5 − log6 12 = log6 5 − log (6·2)6 = log 56 −(log6 6 + log6 2) = 0, 898 − (1 + 0, 386) =
0, 898− 1, 386 = −0, 488;
f) log
√
5
6 = log
5
1
2
6 =
1
2
· log 56 =
1
2
· 0, 898 = 0, 449.
11.3 Equac¸a˜o Logar´ıtmica
Exemplo 11.5. Resolver a equac¸a˜o log2(4x+ 24) = 5.
Resoluc¸a˜o
Condic¸a˜o de existeˆncia (C.E.)
4x+ 24 > 0⇔ x > −6
C.E. x > −6
Preparac¸a˜o da equac¸a˜o
5 = 5 log2 2 = log2 2
5
Assim, temos:
log2(4x+ 24) = 5⇒ log2(4x+ 24) = log2 25
43
log2(4x+ 24) = log2 32
Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o
log2(4x+ 24) = log2 32
logb x = logb y ⇔ x = y ⇒ 4x+ 24 = 32
4x = 8⇒ x = 2
Note que x = 2 satisfaz a C.E. x > −6.
Portanto S = {2}.
Exemplo 11.6. Resolver a equac¸a˜o log3(x+ 1) + log3(x− 7) = 2.
Resoluc¸a˜o
Condic¸a˜o de existeˆncia (C.E.) x+ 1 > 0x− 7 > 0 ⇒
 x > −1x > 7
C.E. x > 7
Preparac¸a˜o da equac¸a˜o
log3(x+ 1) + log3(x− 7) = 2
log3(x+ 1)(x− 7) = log3 32
log3(x
2 − 6x− 7) = log3 9
Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o
log3(x
2 − 6x− 7) = log3 9
logb x = logb y ⇔ x = y ⇒ x2 − 6x− 7 = 9
x2 − 6x− 16 = 0 ⇒ x = 8 ou x = −2
Note que apenas x = 8 satifaz a C.E. x > 7. Portanto S = {8}.
Exemplo 11.7. Resolver a equac¸a˜o log2(x+ 4)− log4 x = 2.
Resoluc¸a˜o
Condic¸a˜o de existeˆncia (C.E.) x+ 4 > 0x > 0 ⇒
 x > −4x > 0
C.E. x > 0
44
Preparac¸a˜o da equac¸a˜o
log4 x =
log2 x
log2 4
/ 2 = log2 2
2
log2(x+ 4)−
log2 x
2
= log2 4
Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o
log2(x+ 4)−
log2 x
2
= log2 4⇒
2 log2(x+ 4)−
log2 x
2
2
=
2 log2 4
2
⇒
log2(x+ 4)
2 − log2 x = log2 42 ⇒
log2
(x+ 4)2
x
= log2 16
logb x = logb y ⇔ x = y ⇒
(x+ 4)2
x
= 16
x2 + 8x+ 16 = 16x⇒ x2 − 8x+ 16 = 0
Resolvendo a equac¸a˜o do 2o grau, obtemos que x = 4.
Note que x = 4 satisfaz a C.E. x > 0.
Portanto S = {4}.
Exemplo 11.8. Resolver a equac¸a˜o logx 9 = 2.
Resoluc¸a˜o
Condic¸a˜o de existeˆncia (C.E.)x > 0 e x 6= 1.
Preparac¸a˜o da equac¸a˜o
logx 9 = 2⇒ logx 9 = 2 logx x
logx 9 = logx x
2
Resoluc¸a˜o da equac¸a˜o
logb x = logb y ⇔ x = y
logx 9 = logx x
2 ⇒ 9 = x2 ⇒ x = 3 ou x = −3
45
Note que apenas x = 3 satisfaz a C.E. x > 0 e x 6= 1.
Portanto S = {3}.
11.4 Inequac¸a˜o Logar´ıtmica
Exemplo 11.9. Resolver a inequac¸a˜o log2(3x− 1) > 3.
Resoluc¸a˜o
Condic¸a˜o de existeˆncia (C.E.){
3x− 1 > 0 ⇒
{
x >
1
3
C.E. x >
1
3
Preparac¸a˜o da inequac¸a˜o
3 = log2 2
3
Resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o
log2(3x− 1) > 3 ⇔ log2(3x− 1) > log2 23
3x− 1 > 8
3x > 9 ⇒ x > 3
O conjunto soluc¸a˜o S da inequac¸a˜o e´ a intersecc¸a˜o do conjunto S
′
dos reais x tais que x > 3, com
o conjunto S
′′
dos reais x que satisfazem a C.E. x >
1
3
.
Portanto S = {x ∈ R|x > 3}.
1)Calcule o valor da expressa˜o:
a)E = 3log
5
3 + log 66 − log 18
b)E = 52+log5 3
c)E = 81−log8 4
2) Calcular os logaritmos:
a) log125 625 c) log
1
243
81
b) log 4
√
1000 d) log
64
729
27
8
46
3)Sabendo que log5 2 = 0, 43 e log5 3 = 0, 68
calcule:
a) log5 6 d) log5 1, 5 g) log2 3
b) log5
2
3
e) log3 2 h) log5 8
c) log5 24 f) log5
9
8
i) log5
√
3
4)Sabendo que log 5 = 0, 69 e log 3 = 0, 47
calcule:
a) log 15 c) log 3
5
e) log 30
b) log 75 d) log 27
5
f) log 6
5)Ao aplicar um capital C durante n unidades de
tempo (dia, meˆs, ano etc.) a` taxa i por unidade
de tempo, obte´m-se o montante M (capital ini-
cial mais o juro) acumulado ao final da aplicac¸a˜o.
A fo´rmula para o ca´lculo desse montante e´
M = C(1 + i)n. Determine durante quanto
tempo o capital inicial de R10.000, 00 esteve
aplicado a` taxa de juro 5% ao meˆs, gerando o
montante de R13.400, 00. (Dados os logaritmos
decimais: log 1, 34 = 0, 12 e log 1, 05 = 0, 02.)
6)Resolva em R as equac¸o˜es:
a) log2(x+ 4)− log4 x = 2
b) log2(2x+ 10) + log2(x+ 1) = 6
c) log5(3x+ 7)− log5(x− 1) = 1
d) log2 x+ log2(x− 2)− log2(x− 3) = 3
e) log 1
2
(x2 + 2x) + log 1
2
(x) = −2
f) log3(x− 2)− log9(x− 4) = 1
g) log3(x
2 − 1) + log 1
6
(x−2) = log36 64
h) logx 32 = −5
7)Determine, em R, o conjunto soluc¸a˜o de cada
uma das inequac¸o˜es:
a) log3(4x− 2) ≤ 1
b) log 1
2
(5− x) > 3
c) log5(2x− 8) > 2
d) log 1
3
(x− 2) ≤ −1
e) logx 9 > 1
f) log 1
2
(5x− x) ≥ 2
47
Cap´ıtulo 12
Trigonometria
Trabalharei com circunfereˆncia unita´ria, sem perda de generalidade. Pois podemos usar seme-
lhanc¸a de triaˆngulo quando o mesmo tiver inscrito em uma circunfereˆncia com raio maior.
12.1 Trigonometria no Triaˆngulo Retaˆngulo
Definic¸a˜o 12.1. Dado um triaˆngulo retaˆngulo, onde α e´ um aˆngulo agudo temos:
sinα =
Cateto oposto
Hipotenusa
=
b
a
cosα =
Cateto Adjacente
Hipotenusa
=
c
a
tanα =
Cateto oposto
Cateto Adjacente
=
b
c
Observac¸a˜o 12.2. tanα =
b
c
=
b
a
c
a
=
sinα
cosα
Vamos determinar enta˜o a medida do seno, co-seno e a tangente de alguns aˆngulos nota´veis.
45
0
Vamos comec¸ar a determinando o sin 450, cos 450 e a tan 450. Para isto vamos usar um
quadrado de lado a. Usando Pita´goras temos que a diagonal do quadrado mede a
√
2.
sin 450 =
a
a
√
2
=
a
√
2
2a
=
√
2
2
cos 450 =
a
a
√
2
=
a
√
2
2a
=
√
2
2
tan 450 =
a
a
= 1
2
48
30
0
Para determinar o sin 300, cos 300 e tan 300 vamos usar um triaˆngulo equila´tero e nova-
mente usando Pita´goras obtemos que a altura do triaˆngulo equila´tero e´
a
√
3
2
. Assim:
sin 300 =
a
2
a
=
1
2
cos 300 =
a
√
3
2
a
=
√
3
2
tan 300 =
a
2
a
√
3
2
=
1√
3
=
√
3
3
Usando o fato que para um aˆngulo agudo temos que
sinα = cos(900 − α) e cosα = sin(900 − α)
enta˜o
sin 600 = cos 300 =
√
3
2
cos 600 = sin 300 =
1
2
tan 600 =
sin 600
cos 600
=
√
3
2
1
2
=
√
3
Com isto obtemos a tabela dos aˆngulos
nota´veis.
Tabela dos aˆngulos nota´veis.
12.2 O radiano, unidade de medida de arco e aˆngulo
Definic¸a˜o 12.3. I Um radiado (1 rad) e´ um arco cujo comprimento
e´ igual ao do raio da circunfereˆncia que o conteˆm.
II Um aˆngulo AOˆB mede 1 rad se, e somente se,
determina numa circunfereˆncia de centro O um arco de 1 rad.
Exemplo 12.4. Determinar a medida do arco ÂMB, da figura, em radianos.
49
Resoluc¸a˜o: Pela regra de treˆs:
rad cm
1 5
x 7
temos x =
7
5
rad = 1, 4 rad.
Logo, a medida do arco ÂMB e´ 1, 4 rad.
12.3 A medida da circunfereˆncia em radianos
Sabemos que uma circunfereˆncia mede 3600. Qual sera´ sua medida em radianos?
Pensemos...
O comprimento de uma circunfereˆncia de raio r, numa certa unidade u, e´ 2pir. Como Sabemos
que 1 rad e´ igual a r, temos pela regra de treˆs que a medida x da circunfereˆncia em radianos e´
2pi rad. Pois,
rad r x =
2pir
r
rad
1 r ⇒
x 2pir x = 2pirad
Sendo assim dizemos que a medida de um arco em radianos e´ equivalente a uma medida em
graus se sa˜o medidas de um arco na mesma circunfereˆncia, por exemplo, 2pi rad e´ equivalente a
3600, pois ambas sa˜o medidas de um arco de uma volta completa.
Consequentemente, temos:
pi rad e´ equivalente a 1800.
50
Exemplo 12.5. Determinar, em radianos, a medida equivalente a 1200.
Resoluc¸a˜o:
Lembrando que pi rad equivalem a 1800, basta resolvermos a regra de treˆs:
rad graus 180x = 120pi
pi 180 ⇒ x = 120
180
rad
x 120 x =
2pi
3
rad
Exemplo 12.6. Determinar, em graus, a medida equivalente a
pi
6
rad.
Resoluc¸a˜o:
rad graus
pi 180 ⇒ x =
180 · pi
6
pi
graus
pi
6
x x = 300
12.4 Extenso˜es dos conceitos de seno e co-seno
Consideremos na circunfereˆncia trigonome´trica um arco ÂM de medida α, 00 < α < 900. No
triaˆngulo retaˆngulo OMP, temos:
cosα =
OP
1
= OP
sinα =
MP
1
= MP
1
o P
A
M( )a
a
Note que as medidas OP e MP sa˜o, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto M.
51
Definic¸a˜o 12.7. Dado um arco trigonome´trico ÂM de medida α,
chama-se co-seno e seno de α a abscissa e a ordenada do ponto M ,
respectivamente:
M(x ,y )M M
cos
sen
A
Como o raio da circunfereˆncia trigonome´trica e´ unita´rio (medida igual a 1), temos que as
coordenadas dos pontos A, B, A
′
e B
′
sa˜o:
Note que :
cos 00 = xA = 1 sin 0
0 = yA = 0
cos 900 = xB = 0 sin 90
0 = yB = 1
cos 1800 = xC = −1 sin 1800 = yC = 0
cos 2700 = xD = 0 sin 270
0 = xD = −1
cos 3600 = xA = 1 sin 360
0 = xA = 0
Variac¸a˜o de sinal do seno e do co-seno.
O seno de um arco e´ a ordenada da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas
positivas sa˜o os do 1o e os do 2o quadrante e os pontos de ordenadas negativas sa˜o os do 3o e os
do 4o quadrante, temos os seguinte quadro de sinais para se seno:
++
- -
Seno
O co-seno de um arco e´ a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos de abscissas
52
positivas sa˜o os do 1o e os do 4o quadrante e os pontos de abscissas negativas sa˜o os do 2o e os do
3o quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o co-seno:
Cosseno
Observac¸a˜o 12.8. sin2 α + cos2 α = 1
Reduc¸a˜o ao 1o quadrante
O objetivo desse estudo e´ relacionar o seno e co-seno de um arco do 2o, do 3o ou do 4o quadrante
com o seno e o co-seno do arco correspondente no 1o quadrante. Para exmeplificar, utilizaremos a
tabela dos arcos nota´veis:
30
o
60
o
45
o
sen
cos
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
Exemplo 12.9. Calcular sin 1500 e cos 1500.
Resoluc¸a˜o:
53
Primeiramente temos que observar que pela variac¸a˜o do si-
nal o sin 1500 tem valor positivo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente
e´ o mesmo valor do sinα. Como 1800 − α = 300 isto im-
plica que α = 300 e usando a tabela dos aˆngulos nota´veis
sinα = sin 300 =
1
2
. Portanto, sin 1500 =
1
2
.
150
o
x a
Primeiramente temos que observar que pela variac¸a˜o do sinal
o cos 1500 tem valor negativo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e´
o mesmo valor do cosα. Como 1800 − α = 300 isto implica
que α = 300 e usando a tabela dos aˆngulos nota´veis cosα =
cos 300 =
√
3
2
. Portanto, cos 1500 =
√
3
2
.
150
o
a
x
Exemplo 12.10. Calcular sin 2400 e cos 3150.
Resoluc¸a˜o:
Primeiramente temos que observar que pela variac¸a˜o do sinal
o sin 2400 tem valor negativo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e´
o mesmo valor do cosα. Como 2700 − α = 2400 isto implica
que α = 300 e usando a tabela dos aˆngulos nota´veis cosα =
cos 300 =
√
3
2
. Portanto, sin 2400 =
√
3
2
.
240
o
x
Primeiramente temos que observar que pela variac¸a˜o do sinal
o cos 3150 tem valor positivo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e´
o mesmo valor do cosα. Como 3600 − α = 3150 isto implica
que α = 450 e usando a tabela dos aˆngulos nota´veis cosα =
cos 450 =
√
2
2
. Portanto, cos 3150 =
√
2
2
.
315
o
x
Exemplo 12.11. Calcular sin 3150 e cos 2400.
54
Resoluc¸a˜o:
Primeiramente temos que observar que pela variac¸a˜o do sinal
o sin 3150 tem valor negativo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e´
o mesmo valor do sinα. Como 3600 − α = 3150 isto implica
que α = 450 e usando a tabela dos aˆngulos nota´veis sinα =
sin 450 =
√
2
2
. Portanto, sin 3150 =
√
2
2
.
315
o
x
Primeiramente temos que observar que pela variac¸a˜o do sinal
o cos 2400 tem valor positivo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e´
o mesmo valor do sinα. Como 2700 − α = 300 isto implica
que α = 300 e usando a tabelados aˆngulos nota´veis cosα =
sin 300 =
√
1
2
. Portanto, cos 2400 =
√
1
2
.
240
o
x
12.5 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o Trigonome´trica
Exemplo 12.12. Resolva a equac¸a˜o sin x =
1
2
, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Devemos determinar os pontos da circunfereˆncia trigo-
nome´trica que teˆm ordenada igual a
1
2
, conforme figura
ao lado. Assim, valores de x da primeira volta positiva
para os quais sin(x) =
1
2
sa˜o: x =
pi
6
ou x = pi− pi
6
=
5pi
6
Logo, S =
{
pi
6
,
5pi
6
}
.
Seno
p
6
p
6
p
1
2
Exemplo 12.13. Resolver a equac¸a˜o cosx = −1
2
, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
55
Devemos determinar os pontos da circunfereˆncia trigo-
nome´trica que teˆm abscissa igual a −1
2
conforme figura
ao lado. Observe que os pontos que possuem o co-seno
igual a −1
2
pertencem ao 2o e 3o quadrante e, portanto,
na˜o esta˜o na tabela dos arcos nota´veis.
Para podermos utilizar a tabela, vamos buscar no 1o
quadrante um arco auxiliar, isto e´, o arco (da tabela)
cujo co-seno e´ igual a
1
2
.
(arco auxiliar)p
3
1
2
1
2
Finalmente, pelas simetrias, transportamos o arco auxi-
liar para o 2o e o 3o quadrante. Assim: x = pi− pi
3
=
2pi
3
ou x = pi +
pi
3
=
4pi
3
Logo, S =
{
2pi
3
,
4pi
3
}
.
-
+
Exemplo 12.14. Resolver a equac¸a˜o sin x = 1 para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Devemos determinar os pontos da circunfereˆncia trigo-
nome´trica que possuem ordenada igual a 1, conforme
figura ao lado. O u´nico ponto da circunfereˆncia que
tem ordenada 1 e´ o ponto B. Portanto, x =
pi
2
. Logo,
S =
{pi
2
}
.
p
2
1
B( )
56
Exemplo 12.15. Resolver a equac¸a˜o 2 sin2 x+ sin x− 1 = 0, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Fazendo sin x = t, temos a equac¸a˜o do 2o grau:
2t2 + t− 1 = 0 ⇒ ∆ = 12 − 4 · 2(−1) ⇒ ∆ = 9
t =
−1±√9
4
⇒ t = 1
2
ou t = −1
Como sin(x) = t temos sin(x) =
1
2
ou sin(x) = −1.
Resolvendo essas equac¸o˜es imediatas, na primeira volta
positiva temos: sin(x) =
1
2
⇒ x = pi
6
ou x =
5pi
6
ou sin(x) = −1 ⇒ x = 3pi
2
. Logo, S =
{
pi
6
,
5pi
6
,
3pi
2
}
.
-1
B’( )p2
12.6 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de inequac¸o˜es de seno e co-seno
Inequac¸o˜es do tipo sin x > K ou cosx > K (ou com as relac¸o˜es ≥, <, ≤ ou 6=), sendo K uma
constante real, sa˜o chamadas de inequac¸o˜es imediatas. Para resolveˆ-las usaremos o me´todo
gra´fico, como mostram os exerc´ıcios resolvidos a seguir.
Exemplo 12.16. Resolver a inequac¸a˜o sin x ≥ 1
2
, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
57
Devemos determinar os pontos da circunfereˆncia trigo-
nome´trica que teˆm ordenada maior ou igual a
1
2
. Os pon-
tos que possuem ordenada
1
2
sa˜o
pi
6
e
5pi
6
, e os que teˆm
ordenada maior do que
1
2
sa˜o todos entre
pi
6
e
5pi
6
. Logo,
S =
{
x ∈ R|pi
6
≤ x ≤ 5pi
6
}
.
Exemplo 12.17. Resolver a inequac¸a˜o cos x <
1
2
, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Os pontos que teˆm o co-seno menor que
1
2
, isto e´, abs-
cissa menor que
1
2
, sa˜o todos entre
pi
3
e
5pi
3
.Logo, S ={
x ∈ R|pi
3
< x <
5pi
3
}
.
p
3
1
2
5p
3
Exemplo 12.18. Resolver a inequac¸a˜o sin x <
√
3
2
, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Devemos determinar os pontos da circunfereˆncia trigo-
nome´trica que teˆm ordenada menor que
√
3
2
. A maior di-
ficuldade dessa resoluc¸a˜o e´ a maneira de se dar a resposta.
Para entender o porqueˆ da forma da resposta, vamos ”esti-
car”(retificar) a circunfereˆncia:
3 3
2
Dessa maneira, percebemos que o conjunto soluc¸a˜o e´ a reunia˜o
de dois intervalos, ou seja:[
0,
pi
3
[
∪
]
2pi
3
, 2pi
[
Logo, S =
{
x ∈ R|0 ≤ x < pi
3
ou
2pi
3
< x < 2pi
}
.
58
Exemplo 12.19. Resolver para 0 ≤ x < 2pi, o sistema de inequac¸o˜es:
sin x >
1
2
cosx ≤
√
2
2
Resoluc¸a˜o:
I. sin x >
1
2
II. cos x ≤
√
2
2
4
7p
4
p
o
O conjunto soluc¸a˜o do sistema e´ a intersecc¸a˜o das soluc¸o˜es de (I) e (II). Retificando as circun-
fereˆncias, temos:
0
0
0
2p2p
2p
2p5p 2p
6
5p
6
7p
4
p
4
p
4
p
4
(I)
(II)
(I II)
Logo, S =
{
x ∈ R|pi
4
< x <
5pi
6
}
.
Exemplo 12.20. Resolver a inequac¸a˜o 2 cos2 x− cosx < 0 para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel cosx = t, temos: 2t2 − t < 0.
A func¸a˜o f(t) = 2t2 − t tem o gra´fico: Observe que f(t) < 0
para 0 < t <
1
2
. -
t1
2
0
59
Logo, 0 < x <
1
2
. Assim, o conjunto soluc¸a˜o e´: S ={
x ∈ R|pi
3
< x <
pi
2
ou
3pi
2
< x <
5pi
3
}
. 1
o
3
3
5
2
3
2
12.7 Extensa˜o do conceito de Tangente.
Para compreendermos a definic¸a˜o que vira´ a seguir, consideremos na circunfereˆncia trigo-
nome´trica um arco ÂB de medida 300.
O A
M(30 )
O
30
O
A medida do aˆngulo AOˆM tambe´m e´ 300.
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A:
O A
30
O
M T
t
O prolongamento do raio OM intercepta a reta t no ponto T. No triaˆngulo AOT, temos que:
60
tan 300 =
AT
OA
Como OA = 1, pois OA e´ o raio da circunfereˆncia trigonome´trica, obtemos:
tan 300 =
AT
1
⇒ tan 300 = AT
Assim, a tan 300 e´ a medida do segmento AT .
Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonome´trico, consideremos como eixo
das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma
orientac¸a˜o do eixo das ordenadas.
O
A
-1
-2
1
2
t
Eixo das
tangentes
A’
B’
B
Definic¸a˜o 12.21. Dado um arco trigonome´trico ÂM , M 6= B e M 6= B′ , de medida α, chama-se
tangente de α (tan α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecc¸a˜o do prolongamento do raio
OM com o eixo das tangentes.
TM
tga=AT
61
Variac¸a˜o de sinal da tangente
I Se um arco AM tiver extremidade no 1
o
ou no 3
o
quadrante, enta˜o o prolongamento do raio
OM interceptara´ o eixo das tangentes em um ponto de ordenada positiva:
T
M
Tangente
positiva
T
M
Tangente
positiva
II Se um arco AM tiver extremidade no 2
o
ou no 4
o
quadrante, enta˜o o prolongamento do raio
OM interceptara´ o eixo das tangentes em um ponto de ordenada negativa:
T
M
Tangente
negativa
TM
Tangente
negativa
Por I e II dizemos que a tangente e´ positiva para arcos 1
o
e do 3
o
quadrante e negativa para
arcos do 2
o
e do 4
o
quadrante. Em resumo, a variac¸a˜o de sinal da tangente e´ dada por:
t
62
Reduc¸a˜o ao 1o quadrante
Vamos estudar as relac¸o˜es existentes entre tangentes de arcos do 2o, do 3o ou do 4o quadrante
com os arcos correspondentes no 1o quadrantes. Para exemplificar, usaremos a tabela do arcos
nota´veis:
30
o
60
o
45
o
tg 1 3
3
3
Exemplo 12.22. Com o aux´ılio da tabela dos arcos nota´veis, calcule:
a)tan 1200 b) tan 2100 c)tan 3000
Resoluc¸a˜o:
a) O correspondente, no 1o quadrante, da extremidade M do
arco de 120o e´ o ponto P, extremidade do arco de 60o. Como os
triaˆngulos OTA e OT’A sa˜o congruentes, segue-se que os pontos
T e T’ teˆm ordenadas opostas. Logo, conclu´ımos que
tan 120o = − tan 60o = −
√
3. T’
T
60
o
120
o tg 60
tg 120
o
o
PM
b) O correspondente, no 1o quadrante, da extremidade M do
arco de 210o e´ o ponto P, extremidade do arco de 30o. Observe
que a ordenada do ponto T e´ simultaneamente a tan 210o e a
tan 30o, isto e´:
tan 210o = tan 30o =
√
3
3
.
30 T
o
210
o
tg 30
o
P
M
tg 210 =
o
63c) O correspondente, no 1o quadrante, da extremidade M do
arco de 300o e´ o ponto P, extremidade do arco de 60o. Como os
triaˆngulos OTA e OT’A sa˜o congruentes, segue-se que os pontos
T e T’ teˆm ordenadas opostas. Logo, conclu´ımos que
tan 300o = − tan 60o = −
√
3.
300
tg 300
12.8 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de equac¸a˜o de tangente
Exemplo 12.23. Resolver a equac¸a˜o tan x = 1, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Marcamos no eixo das tangentes o ponto P de ordenada igual a
1.
P
A
1
Trac¸amos por P a reta que passa pelo centro da circunfereˆncia
trigonome´trica. Tal reta intercepta a circunfereˆncia nos pontos
M e N. Os valores da primeira volta positiva associados a M ou
N sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o. Logo, x =
pi
4
ou x = pi +
pi
4
=
5pi
4
.
Assim, S =
{
pi
4
,
5pi
4
}
P
A
1p
4
p
4
-p
Exemplo 12.24. Resolver a equac¸a˜o tan x = −1, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
64
Marcamos no eixo das tangentes o ponto P de ordenada igual a -1
e trac¸amos por P a reta que passa pelo centro da circunfereˆncia,
obtendo M e N. -1
N
M
P
As ra´ızes da equac¸a˜o sa˜o os valores associados a M ou N, na primeira
volta positiva. Tais valores na˜o esta˜o na tabela dos arcos nota´veis,
pois M e N esta˜o fora do 1o quadrante. Busquemos, enta˜o, no 1o
quadrante, o arco auxiliar, isto e´, o arco (da tabela) cuja tangente
e´ 1.
Finalmente, pelas simetrias, transportamos o arco auxiliar para
o 2o e para 4o quadrante. Logo, x = pi−pi
4
=
3pi
4
ou x = 2pi−pi
4
=
7pi
4
. Assim, S =
{
3pi
4
,
7pi
4
}
. -1
N
M
P
p
4
p
p
4
2p
p
4
Exemplo 12.25. Resolver a equac¸a˜o tan x = 0, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Marcamos no eixo das tangentes o ponto P de ordenada zero e
a seguir trac¸amos por P a reta que passa pelo centro da circun-
fereˆncia trigonome´trica. Tal reta intercepta a circunfereˆncia nos
pontos A e A
′
. Logo, x = 0 ou x = pi. Assim, S = {0, pi}.
A=PA’
65
12.9 Me´todo gra´fico para a resoluc¸a˜o de inequac¸o˜es de tangente
Exemplo 12.26. Resolver a inequac¸a˜o tan x ≥ 1, para 0 ≤ x < 2pi.
Pelo ponto de ordenada 1, do eixo das tangentes, e por todos os
pontos, desse eixo, com ordenadas maiores que 1, vamos trac¸ar
retas que passam pelo centro circunfereˆncia. Os pontos de inter-
secc¸a˜o dessas retas com a circunfereˆncia trigonome´trica formam
o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o. Logo:
S =
{
x ∈ R | pi
4
≤ x < pi
2
ou
5pi
4
≤ x < 3pi
2
}
1
5p
4
p
4
3p
2
p
4
p
2
p
Exemplo 12.27. Resolver a inequac¸a˜o tan x <
√
3, para 0 ≤ x < 2pi.
Resoluc¸a˜o:
Determinemos, inicialmente, os arcos que teˆm tangente igual a
√
3.
3
4p
3
p
3
p
Por todos os pontos do eixo das tangentes que possuem orde-
nadas menores que
√
3, vamos trac¸ar as retas que passam pelo
centro da circunfereˆncia. Os pontos de intersecc¸a˜o dessas retas
com circunfereˆncia trigonome´trica formam o conjunto soluc¸a˜o da
inequac¸a˜o. Logo:
S =
{
x ∈ R | 0 ≤ x < pi
3
ou
pi
2
< x <
4pi
3
ou
3pi
2
< x < 2pi
}
.
3
4p
3
p
3
p
3p
2
p
2
p
1)Sabendo que sin 280 = 0, 46, cos 280 = 0, 88 e
tan 280 = 0, 53, calcule o valor de x em cada fi-
gura.
66
28
o 28
o
28
o
x
x
xa) c)
b)4cm
10
dm
5cm
2)Sabendo que sin 550 = 0, 81 e cos 550 = 0, 57,
determine o valor de x na figura.
x
27 cm
55
o
3)Sabendo que α e´ a medida de um aˆngulo agudo
e que cosα = 15
17
, calcule sinα.
4) Determine, em radianos, a medida do arco
ÂMB.
7 cm
4
cm
5) Determine, em radianos, a medida equiva-
lente a:
a)2400 d)450 g)300
b)3150 e)900 h)3000
c)2100 f)2700 i)200
6)Calcule o valor da expressa˜o:
E =
cos 600 + cos2 300
sin3 300 + tan5 450
7) Expresse, em graus, a medida equivalente a:
a)
pi
5
rad d)
2pi
3
rad g)1 rad
b)
5pi
6
rad e)
pi
2
rad h)
5pi
9
rad
c)
3pi
4
rad f)
4pi
3
rad i)1, 5 rad
8)Com o aux´ılio da tabela dos arcos nota´veis,
calcule:
a) sin 1200 e) sin 3000 i) sin 2250
b) cos 1200 f) cos 3000 j) cos 2250
c) sin 2100 g) sin 1350 k) sin 3150
d) cos 2100 h) cos 1350 l) cos 3150
9)Com o aux´ılio da tabela dos arcos nota´veis,
calcule:
a) sin 5pi
6
d) cos 4pi
3
b) cos 5pi
6
e) sin 11pi
6
c) sin 4pi
3
f) cos 11pi
6
10)Sendo sinα =
3
5
e
pi
2
< α < pi, calcule o valor
do cosα.
10)Sendo sinα = 2 cosα e pi < α <
3pi
2
, deter-
mine os valores de sinα e cosα.
11)Determine o conjunto soluc¸a˜o de cada uma
das equac¸o˜es, para 00 ≤ x < 3600.
a) sin x =
√
3
2
d) cosx =
√
2
2
g) cosx =
√
3
2
b) cosx = −1
2
e) sin x = −
√
2
2
h) sin x = 0
c) sin x = −1 f) cosx = −
√
3
2
i) cosx = 0
12)Resolva a equac¸a˜o: 2 sin2 x − sin x − 1 = 0,
para 0 ≤ x < 2pi.
13)Obtenha os valores de x, 0 ≤ x < 2pi, que
satisfac¸am a igualdade 2 cos2 x+3 sin x− 3 = 0.
14)Resolva as seguintes inequac¸o˜es, para 0 ≤
x < 2pi :
a) sin x >
√
2
2
d) cosx >
√
3
2
g) sinx ≥ 1
b) sin x ≤ −1
2
e) sin x < 1 h) cosx ≥ 0
c) cosx ≤
√
2
2
f) cosx ≤ 0 i) cosx > −
√
2
2
67
15)Resolve o sistema
 sin x ≥ 0cos x < 1
2
16) Com o aux´ılio da tabela dos arcos nota´veis,
calcule:
a) tan 1500 d) tan 3300 g) tan 2250
b) tan 2400 e) tan 1350 h) tan 3150
c) tan 1800 f) tan 3600 i) tan 2700
17)Sabendo que sin x = −3
5
e que
3pi
2
< x < 2pi,
determine tan(x).
18)Resolva as equac¸o˜es para 0 ≤ x < 2pi.
a) tanx =
√
3 d) tanx = −
√
3
3
b) tan x =
√
3
3
e) tanx = 0
c) tanx = −√3 f) tan2 x = 1
19)Resolva as inequac¸o˜es para 0 ≤ x < 2pi.
a) tanx ≥ √3 d) tanx ≤ −
√
3
3
b) tan x < 1 e) tanx >
√
3
3
c) tanx ≥ −1 f) tanx < 0
20) Considerando o universo U = [0, 2pi[, deter-
mine o conjunto soluc¸a˜o de −1 < tanx ≤ 1.
68
Cap´ıtulo 13
Respostas
Cap´ıtulo 1
1)c. 2)d. 3)c. 4)a)− 3
4
; b) 5
3
; c) 5
2
; d) 7
4
; e)− 1
8
; f)− 1
4
; g) 5
4
; h)− 173
252
;
i) 13
5
; j)− 3
2
. 5)a) 1
21
; b) 11
10
; c) 6
5
; d) 3
4
. 6)a) 5
6
; b) 3
16
; c) 5
4
; d)10. 7)a)6;
b)-4; c)5; d)-1; e)-12; f)8; g)-2; h)8; i)-3; j)-2.
Cap´ıtulo 2
1)a) 4
9
; b) 31
99
; c) 324
999
; d) 420
99
; e) 9504
999
. 2)a){10; 8
2
; 30; 3
√
8; 0};
b){−2; 10; 8
2
; 30; 3
√
8; 0}; c){−2; 10; 0, 9; 8
2
; 2−1; 1
4
; 30; 3
√
8; 0;− 7
2
;
0, 333...; 4−2}; d){e;−√3; 1 +√3;−√2}; e){√−4; i}. 3)a. 4)V; V;
F; F.
Cap´ıtulo 3
1)a)V; b)F; c)V; d)F; e)F; f)F. 2)a)V; b)V; c)V; d)V; e)F; f)V; g)V;
h)F. 3)a)V; b)v; c)V; d)F; e)V; f)V. 4)a)V; b)F; c)V; d)F; e)V;
f)F; g)F; h)V. 5)a)V; b)V; c)V; d)V; e)F; f)F; g)V; h)F. 6)℘(A) =
{∅;A; {p}; {u}; {m}; {a}; {p, u}; {p,m}; {p, a}; {u,m}; {u, a}; {m, a};
{p, u,m}; {p, u, a}; {u,m, a}; {m, a}}.
Cap´ıtulo 4
1)
0 5 9
a)
0 5-3
b)
0
1 8
c)
0 5
d)
0 4
e)
0 2
f)
2)
-1
-1
2 3 6
8
3 4
3
3)
x
y
A(3,4)
F(0,3)
B(-3,5)
C(-4,-5)
E(0,0)
D(4,-4)
Cap´ıtulo 5
1)a)36; b)-36; c)9; d) 1
16
; e)1; f)1; g) 81
16
; h)− 27
8
; i) 27
8
; j)-125; k)0;
l)1; m)-1; n) 9
25
; o) 9
25
. 2)a)a10; b)a5; c) 4a
8b
c3
; d) 8x
3y4
. 3)a)7
√
5;
b)18
√
2; c)15 3
√
6; d)2
√
2. 4)a)1; b)14; c)0; d)12; e)6; f)11; g)15;
h)9. 5)a)2 3
√
5; b)4
√
5; c)2
√
6; d)2 5
√
4; e)2
√
10; f)2
√
3; g) 2
√
5
3
; h) 3
2
;
i) 3
√
2
5
. 6) 13
3
. 7)a)
n
√
a2; b)
nm
√
am−n. 8)a)5
√
2; b)2 3
√
2; c)4
√
10.