Introdução a mecânica Quãntica

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2. Introdução à física quântica 
 
Planck e a quantização da energia 
 
Lei de Stefan-Boltzmann 
4ATeP σ= 
 
( )44 TTAeP ′−= σ . 
 
 
Figura 3.1: Radiância espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda 
para várias temperaturas. Assinalam-se as zonas do visível (faixa colorida), do ultra-
violeta (UV) e do infra-vermelho (IV). 
 
Lei do Deslocamento de Wien: 
T
B
=maxλ 
com Km10898,2 3−×=B uma constante. 
 
 
catástrofe do ultravioleta 
 
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Figura 3.2: Radiância espectral de um corpo negro à temperatura de 2000 K (linha a 
cheio) e previsão da teoria electromagnética clássica (linha a tracejado). 
 
Até que em 1900 o físico alemão Max Planck (Figura 3.3) enfrentou o problema 
da radiação do corpo negro... 
 
Figura 3.3: Max Planck explicou a radiação do corpo negro introduzindo o conceito de 
quantum de energia (plural quanta). 
 
fhE =0 . 
constante de Planck: sJ1062,6 34−×=h . 
 
fhnE = , ,...3,2,1=n 
 
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Figura 3.4: Um átomo oscilante, porque contém cargas eléctricas, produz ondas 
electromagnéticas. 
 
 
Einstein e a teoria dos fotões 
 
 Uma das consequências das equações do electromagnetismo era a propagação, 
como ondas, do campo eléctrico e do campo magnético à velocidade da luz. Este 
resultado confirmava o carácter ondulatório da luz, já antes revelado em várias 
experiências de interferência e de difracção realizadas no século XIX. 
 
Natureza da luz 
No século XVII, Newton defendeu que as fontes luminosas emitiam pequenos 
corpúsculos, em todas as direcções, a grandes velocidades. Esta teoria ficou conhecida 
por teoria corpuscular da luz. Um físico contemporâneo de Newton, o holandês 
Christian Huygens, defendeu, pelo contrário, que a luz era uma onda, estabelecendo 
assim a teoria ondulatória da luz. 
 
 
claro
escuro
 alvo
escuro
escuro
escuro
claro
claro
 
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Figura 3.5: Experiência da dupla fenda feita numa tina de ondas (à esquerda) e sua 
interpretação com base na teoria ondulatória (à direita). 
 
 
 
efeito fotoeléctrico 
 
 
Figura 3.6: No efeito fotoeléctrico electrões são arrancados de um metal quando este é 
iluminado com certo tipo de luz (normalmente, luz ultravioleta). 
 
 
 
Figura 3.7: Mesmo com luz muito intensa pode não haver emissão de electrões, mas 
com uma luz menos intensa mas de maior frequência ( 12 ff > ) já pode haver. 
 
célula fotoeléctrica para estudar o efeito fotoeléctrico. Luz monocromática de 
frequência f passa através de uma janela transparente e incide numa placa metálica 
(fotocátodo) arrancando-lhe electrões. Estes são acelerados por uma diferença de 
potencial, U, entre o fotocátodo e um eléctrodo a potencial positivo (ânodo), 
estabelecendo-se no circuito uma corrente eléctrica. 
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Figura 3.8: Célula para o estudo experimental do efeito fotoeléctrico: o amperímetro 
mede a intensidade de corrente na célula e o voltímetro a tensão nos seus terminais. 
 
Quando a tensão aplicada é positiva ( 0>U ), os electrões são atraídos para o 
ânodo. Se essa tensão for suficientemente elevada, todos os electrões chegam ao ânodo 
e a intensidade de corrente atinge um valor limite ou patamar (é a chamada corrente de 
saturação). Mas invertendo o sinal da tensão aplicada ( 0<U ), os electrões são 
repelidos pelo ânodo e a intensidade da corrente eléctrica diminui até se anular para um 
valor de tensão igual a 0U− , sendo 0U designado por potencial de paragem. Neste 
caso, apenas os electrões mais energéticos chegam ao ânodo. Se a energia cinética de 
um electrão à saída do cátodo for superior a 0eU (diferença de energia potencial entre os 
eléctrodos), o electrão atingirá o ânodo e contribuirá para a corrente eléctrica (Figura 
3.9, à esquerda). Caso contrário, o electrão não chegará a atingir o ânodo (Figura 3.9, à 
direita). Portanto, 0U mede a energia cinética máxima dos electrões. 
 
 
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Figura 3.9: Se os electrões tiverem energia cinética suficiente para vencer o potencial de 
paragem, atingem o ânodo (à esquerda); no caso contrário, não há corrente no circuito (à 
direita). 
 
As curvas da corrente em função da tensão aplicada, )(UI , obtidas experimentalmente 
(Figura 3.10) mostram que: 
� a intensidade de corrente aumenta com a tensão aplicada entre os eléctrodos até atingir 
um valor constante (corrente de saturação); 
� fazendo incidir luz da mesma frequência mas com intensidades diferentes, o potencial 
de paragem, 0U , é o mesmo mas, quanto mais intensa for a luz, maior será a 
intensidade da corrente de saturação (Figura 3.10, à esquerda); 
� fazendo incidir luz de frequência diferente, o potencial de paragem é maior para a luz 
de maior frequência (Figura 3.10, à direita). 
 
Figura 3.10: Curvas características de uma célula fotoeléctrica: luz incidente com 
frequência fixa mas intensidades luminosas diferentes (à esquerda) e luz incidente com 
a mesma intensidade mas frequências diferentes (à direita). 
 
Em 1916 o físico norte-americano Robert Millikan efectuou medidas cuidadosas 
do efeito fotoeléctrico e mostrou que o declive dessas rectas é igual para todos os 
metais! 
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Figura 3.11: Potencial de paragem em função da frequência da luz incidente para o 
sódio segundo os dados obtidos por Robert Millikan, que obteve o prémio Nobel da 
Física em 1923. 
 
Os estudos experimentais feitos sobre o efeito fotoeléctrico estavam em contradição 
com as previsões da teoria clássica: 
 
Previsões da teoria clássica Evidências experimentais 
A corrente fotoeléctrica é tanto maior 
quanto maior for a intensidade da luz. 
Desde que ocorra efeito fotoeléctrico, a 
corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto 
maior a intensidade da luz. 
Aumentando a intensidade da luz, a 
energia transferida para os electrões 
aumentaria e portanto a energia cinética 
máxima dos electrões aumentaria também. 
O potencial de paragem e, portanto, a 
energia cinética máxima dos electrões não 
dependem da intensidade da luz incidente, 
mas apenas da sua frequência e do metal 
onde a luz incide. 
Luz de qualquer frequência deverá 
arrancar electrões da superfície do metal, 
desde que a intensidade seja elevada ou se 
espere tempo suficiente para que o 
electrão acumule energia. 
Se a frequência da luz incidente aumenta, 
o potencial de paragem aumenta 
linearmente. Há uma frequência mínima 
abaixo da qual não há emissão de 
electrões. 
Os electrões levam tempo a acumular 
energia para se libertarem do metal e esse 
tempo é maior para luz menos intensa. 
A emissão dos electrões é praticamente 
instantânea: a corrente estabelece-se mal 
se liga a fonte de luz. 
 
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Albert Einstein, em 1905, sugeriu que a luz era constituída por pequenos pacotes 
(quanta) de energia, fhE =0 , que mais tarde foram designados por fotões. 
 
 
WhfE −=c . 
 
 
A energia W designa-se por função trabalho. Aplicando a conservação da 
energia ao choque do fotão com o electrão, a energia cinética máxima do electrão é: 
Whfvme −=2max2
1
. 
 
Esta equação do efeito fotoeléctrico mostra que: 
� A energia cinética máxima só depende, para uma dada superfície metálica (mesmo 
W), da frequência da radiação incidente e não da intensidade da radiação. 
Há uma frequência mínima da radiação para arrancar electrões, pois tem de se 
verificar Whf ≥ para que ocorra efeito fotoeléctrico. A energia mínima do fotão 
que consegue arrancar um electrão é igual à função trabalho, Whf = . Por isso a 
frequência mínima é dada por 
h
Wf =0 . 
 
 
Dualidade onda-corpúsculo para a luz 
 
A luz pode comportar-secomo onda ou como partículas, ou seja, tem um 
comportamento dual. 
 
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Figura 3.12: O registo do padrão de interferência na experiência de Young pode ser 
efectuado por um fotomultiplicador, que conta os fotões. 
 
 
Raios X 
 
 
 
Figura 3.13: O alemão Wilhelm Roentgen foi o primeiro físico distinguido com o 
prémio Nobel da Física, em 1901, pela sua descoberta dos raios X. 
 
 
Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De Broglie 
 
Se uma onda electromagnética pode ter características corpusculares, não poderá 
também uma partícula, como o electrão, ter comportamento ondulatório? 
Esta questão foi colocada pelo físico francês Louis de Broglie (Figura 3.14) que 
defendeu, em 1923, que todas as partículas deveriam possuir um comportamento 
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ondulatório. Segundo a relação de De Broglie o comprimento de onda de uma partícula 
era inversamente proporcional ao seu momento linear, tal como nos fotões (ver Questão 
3.12): 
p
h
=λ 
 
 
Figura 3.14: Louis de Broglie, que afirmou que a natureza ondulatória era geral: 
aplicava-se a toda a matéria. 
 
Na altura esta hipótese não passava de uma arrojada especulação teórica. Mas 
logo veio a ter confirmação experimental. Em 1927, os físicos norte-americanos 
Davisson e Germer descobriram que um feixe de electrões de baixa energia produzia, ao 
incidir num cristal de níquel, um padrão de difracção semelhante ao de um feixe de 
raios X. Variando a energia do feixe e, consequentemente, o momento linear dos 
electrões, a relação de De Broglie pôde ser confirmada a partir da análise dos padrões de 
difracção. 
 
No ano seguinte G.P. Thomson, filho de J.J. Thomson, em Inglaterra, voltou a 
confirmá-los. Lançando um feixe de electrões de alta energia sobre folhas muito finas 
de alumínio, Thomson obteve padrões de difracção semelhantes aos que se obtinham 
por difracção de raios X dessas mesmas folhas (Figura 3.15). É irónico que, mais de 
trinta anos após J. J. Thomson ter ganho em 1906 o prémio Nobel pela medida da 
relação carga/massa do electrão, que o identificou como partícula, o seu filho tenha 
partilhado o prémio Nobel com Davisson e Germer por ter provado que o electrão se 
comporta, por vezes, como uma onda! 
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Figura 3.15: Padrões de difracção de electrões por uma folha de alumínio (à direita) e de 
raios X (à esquerda). 
 
A hipótese de De Broglie foi amplamente testada para muitos outros tipos de 
partículas como neutrões, protões e até átomos de hidrogénio e de hélio. Todas estas 
partículas produzem padrões de difracção semelhantes aos que Davisson, Germer e 
Thomson obtiveram para electrões, tendo sido verificada a relação entre o comprimento 
de onda e o momento linear para todas estas partículas. 
Caixa lateral 
Tal como a luz, a matéria tem uma natureza dual: ora se comporta como uma onda ora 
como uma partícula. 
Bohr e o átomo de hidrogénio 
 
 
Espectros riscas 
 
 
 
Figura 3.16: Espectro de emissão de vapor de mercúrio. 
 
 
 
 
Figura 3.17: Niels Bohr, físico dinamarquês que ganhou o prémio Nobel da Física em 
1922 pela sua explicação da estrutura dos átomos. 
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Vejamos o átomo mais simples, o de hidrogénio, com um só electrão e um 
núcleo constituído por um único protão. Bohr supôs que este electrão só poderia girar 
em torno do protão em órbitas com certos raios e que, nestas órbitas, o electrão não 
perderia energia sob a forma de radiação (diz-se que o electrão está num estado 
estacionário). À órbita de menor raio corresponde o estado estacionário de menor 
energia, o estado fundamental. Normalmente, o electrão estará no estado fundamental. 
Porém, se o electrão receber energia suficiente (por exemplo, com uma fonte de luz), 
passa para uma órbita de maior raio, ficando num estado excitado. O electrão tende a 
voltar ao estado de menor energia, emitindo energia sob a forma de luz. Designando por 
E∆ a energia ganha ou perdida, vem, segundo Bohr, 
hfE =∆ , 
onde h é a constante de Planck. 
Os espectros mostravam que apenas luz de certas frequências era emitida pelos 
átomos excitados, o que levou Bohr a concluir que os níveis de energia dos electrões 
nos átomos estariam quantificados, ou seja, só podiam ter determinados valores. Isto 
corresponde a supor que o electrão só pode ter órbitas com determinados raios. Supondo 
que os raios das órbitas do electrão no átomo de hidrogénio só podiam tomar os valores 
(Figura 3.18) 
,...3,2,1,20 == nnar 
onde m1053,0 100
−×=a é o raio da órbita do electrão no estado fundamental, Bohr 
conseguiu reproduzir com notável precisão todas as riscas observadas do espectro do 
hidrogénio. O número inteiro n é chamado número quântico principal. Isto foi um 
grande triunfo da teoria dos quanta! 
 
n=1 n=2 n=3
 
Figura 3.18: Primeiras três órbitas do electrão no modelo atómico de Bohr aplicável ao 
hidrogénio. 
 
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Princípio de Incerteza e Mecânica Quântica 
 
Quanto maior for a precisão com que se determina a posição de uma partícula, 
menor será a precisão com que se conhecerá a sua velocidade nesse instante. 
 
 
Figura 3.19: Werner Heisenberg, físico alemão que formulou o princípio da incerteza e 
que foi um dos fundadores da Mecânica Quântica. Heisenberg recebeu em 1932 com o 
prémio Nobel da Física.