Gabarito - AP1(1)

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2015 
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Considere 10 notas de alunos de Estatística, cuja média é 6,76. 
 
9,6 X 6,8 7,3 5,8 8,0 7,9 8,3 6,2 6,2 
 
a) (1,0 pt) Determine o valor de X; 
b) (1,0 pt) Determine a moda e a mediana destes dados; 
 
Solução: 
 
*********** (ITEM (a)) ***************** 
a) Temos que 
 
E que e . Assim: 
 
 
 
Logo: 
 
 
Então: 
 
 
 
*********** (ITEM (b)) **************** 
 
b) Com o valor de X encontrado e colocando os dados em ordem, temos: 
 
1,5 5,8 6,2 6,2 6,8 7,3 7,9 8,0 8,3 9,6 
 
A moda é o valor de maior frequência, neste caso, 
Como n é par, então a mediana será a média entre os valores centrais em ordem 
crescente. Assim: 
 
 
Logo: 
 
 
 
2. (3,0 pontos) Dada a tabela de distribuição de freqüências para dados agrupados (onde 
as medidas são obtidas através dos pontos médios das classes): 
 
Classes 
4 – 8 6 2 
8 – 12 10 
12 – 16 84 
 18 
 1 
Total 20 
 
a) (0,5 pt) Complete a tabela com os valores que estão faltando (inclusive os 
totais); 
b) (0,5 pt) Determine a média destes dados; 
c) (0,5 pt) Determine a moda; 
d) (0,5 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que ; 
e) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
f) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação. 
 
Solução: 
a) Para completar a tabela, considere que as classes são sempre com a mesma 
amplitude, logo, completa-se com as classes (16-20), (20-24). Como os xi são os 
pontos médios das classes, então, completa-se com (8+12)/2=10, 
(12+16)/2=14, (20+24)/2=22. Ou simplesmente, acrescentar 4 ao xi anterior, 
dado que a amplitude de classe é 4. Para a freqüência absoluta, devemos 
observar que, tendo xi e nixi, pode-se obter ni através da divisão: e 
observando o total, pode-se encontrar a freqüência absoluta faltante. Tendo as 
colunas xi e ni podem-se completar as duas últimas facilmente através de 
produtos de colunas. Assim, obtemos: 
 
Classes 
4 – 8 6 2 12 72 
8 – 12 10 10 100 1.000 
12 – 16 14 6 84 1.176 
16 – 20 18 1 18 324 
20 – 24 22 1 22 484 
Total 20 236 3.056 
 
b) Média: 
c) Moda: a moda é o ponto médio da classe de maior freqüência: Como a maior 
freqüência é 10 e a classe com esta freqüência é 8 – 12, então a moda é seu 
ponto médio, ou seja: x
*
=10. 
d) Para calcular o desvio padrão, usemos a fórmula da variância 
 
 
 
Logo: O desvio padrão será: 
 
 
e) O coeficiente de assimetria é dado por 
 
f) O coeficiente de variação é dado por 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Considere o lançamento de dois tetraedros (figura espacial com 4 faces - 
figura 1) regulares com as faces numeradas de 1 a 4 e verificar as faces que ficam na 
base. 
 
Figura 1: Tetraedro 
 
 a) (0,5) Qual o espaço amostral deste experimento? 
 
 Solução: 
O espaço amostral será todas as combinações possíveis dos conjuntos: {1,2,3,4} 
e {1,2,3,4}. Ou seja, 
 
 
 
b) (1,5) Sejam os eventos A={a soma das faces na base é par} e B={a soma das 
faces na base maior que 5}. Determine A, B, A-B e . 
 
 Solução: 
 O conjunto A será os destacados em cinza: 
 
 
Logo: 
 
 
O conjunto B será os destacado em cinza: 
 
 
 
 Logo: 
 
 
 
 A-B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. 
 Logo: 
 
 
 é o conjunto dos elementos simultâneos a A e B. 
 Logo: 
 
 
 
 
4. (1,0 ponto) Em um torneio de futebol no qual cada time enfrenta todos os demais 
uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os times participantes? 
 
Solução: 
 
Seja n o número de times. Como cada um dos n times enfrenta os outros (n-1), então 
teremos n(n-1) partidas. No entanto, se fizermos isso, estaremos contando cada partida 
duas vezes, pois se time A enfrenta o time B, este jogo já está na conta do time B, 
quando ele enfrenta A. Assim, o correto será considerar apenas a metade. 
Assim: 
 
Resolvendo a equação: 
 
 
 
 
Ou 
 
 
Como a quantidade de participantes é um valor positivo, então: 
 
 
 
 
 
5. (2,0 pontos) Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos 
acertaram o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram 
apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso: 
 
 a) (1,0 pt) Não tenha acertado nenhum problema? 
 b) (1,0 pt) Tenha acertado apenas o segundo problema? 
 
Solução: 
 
Dos 132 alunos que acertaram o primeiro problema, 120 acertaram também o segundo. 
Logo: alunos acertaram apenas o primeiro problema. 
 
Dos 54 alunos que acertaram apenas um dos problemas, 12 acertaram apenas o 
primeiro problema. 
Logo: alunos acertaram apenas o segundo problema. 
 
Então, temos que alunos acertaram pelo menos um dos dois 
problemas. 
 
Dos 86 alunos erraram o segundo problema, apenas 12 acertaram o primeiro. 
Logo: alunos não acertaram nenhum dos dois problemas. 
 
Temos um total de 174 alunos que acertaram pelo menos um dos problemas e 74 alunos 
que não acertaram nenhum problema. 
Logo: alunos fizeram esta prova. 
 
a) 
 
 
b)