EP3-ALI-2014-1 gabarito

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Álgebra Linear 
Exercícios Programados 3 – EP3 07/02/2014 
Conteúdo: Aulas 6 e 7. 
Gabarito 
 
1. Ler os materiais complementares: “Sobre a resolução de sistemas lineares” e 
“Interpretação geométrica de sistemas lineares segundo as equações”. 
 
2. Resolva e classifique os sistemas. 
 
 (a) 





5
102
yx
yx (b) 





1022
5
yx
yx (c) 





52
102
yx
yx 
Solução. 
(a) Aplicando as operações elementares a matriz ampliada do sistema até obter uma 
matriz equivalente na forma escalonada, temos: 
21
5
10
11
12
LL 








122 2
10
5
12
11
LLL 














0
5
30
11 
O sistema equivalente é 





03
5
y
yx . Logo, o sistema é compatível e determinado, sua 
solução é única e dada pelo conjunto unitário 
 )0,5(S
. 
 (b) 
122 2
10
5
22
11
LLL 
















0
5
00
11 
O sistema equivalente é 





00
5yx . Logo, o sistema é compatível e indeterminado e sua 
solução é dada pelo conjunto 
  xxxS );5,(
. 
Note que o sistema possui p = 1 variável dependente e n – p = 1 variável livre. 
 
(c) 





52
102
yx
yx 
Solução. 
122
5
10
12
12
LLL 














 5
5
00
12 
O sistema equivalente é 





50
52 yx . Logo, o sistema é incompatível e sua solução é o 
conjunto vazio, 
S
. 
 
 
3. Para cada item do exercício anterior, faça um esboço do gráfico das equações do 
sistema e interprete geometricamente os resultados obtidos. 
Solução. 
(a) Nesse tipo de sistema, compatível e determinado, a solução é única, S={(5,0)}. As 
retas que representam as equações do sistema linear são concorrentes e a solução é a 
interseção das retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Nesse tipo de sistema, compatível e indeterminado, há infinitas soluções. As retas que 
representam as equações do sistema linear são coincidentes, as soluções são os pontos da 
reta x – y = 5, que são os mesmos da reta 2x – 2y = 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Um sistema incompatível não possui soluções. As retas que representam as equações do 
sistema são paralelas, não se interceptam. 
 
 
 
 
 
 
4. Resolva e classifique os sistemas abaixo. 
 
(a) 








3
2
1
zyx
zyx
zyx
 (b) 





2
1
zyx
zyx
 (c) 





4
1
zyx
zyx
 
Solução. 
(a) Vamos aplicar as operações elementares até obter a forma totalmente escalonada da 
matriz ampliada do sistema: 
 














133
122
3
2
1
111
111
111
LLL
LLL 22 2/1
2
1
1
200
020
111
LL 


























211
2
2/1
1
200
010
111 LLL
33 2/12
2/1
2/3
200
010
101
LL 











 














311
1
2/1
2/3
100
010
101 LLL












1
2/1
2/5
100
010
001
 
 
Logo, o sistema é compatível e determinado, sua solução é única e dada pelo conjunto 
unitário 








 zS /)1,
2
1
,
2
5
(
. 
(b) 
122
2
1
111
111
LLL 











 










 1
1
020
111 
Note que o sistema possui p = 2 variáveis dependentes e n – p = 3 – 2 = 1 variável livre. 
Logo, o sistema é compatível e indeterminado. 
O sistema equivalente é 







12
1
y
zyx
 , 
Escolhendo x para variável livre, o conjunto solução é dado 
p
.|)
2
3
,
2
1
,(








 xxxS
 
 
(c) 





4
1
zyx
zyx 
122
4
1
111
111
LLL 























3
1
000
111 
O sistema equivalente é 







30
1zyx
 
Logo, o sistema é incompatível seu conjunto solução é o conjunto vazio. 
 
5. Verifique se o conjunto solução do sistema (b) do exercício 4 se altera se: 
 
(a) Acrescentarmos a equação 
322  zx
ao sistema. 
(b) Acrescentarmos a equação 
3 zyx
ao sistema. 
 
Solução. 
(a) Veja que a equação 
322  zx
 é a soma das duas equações do sistema, logo a 
linha correspondente a esta equação na matriz ampliada do sistema será anulada 
no escalonamento. Logo, o conjunto solução não é alterado. 
(b) Calculando o determinante da matriz dos coeficientes do sistema considerando a 
terceira equação dada, temos: 
04)111(111
111
111
111



, logo o sistema será determinado e o 
conjunto solução será alterado. 
6. Determine 

 tal que o sistema 





2
2
yx
yx seja: 
1. Compatível e determinado; 
2. Compatível e indeterminado; 
3. Incompatível. 
 
Solução. 








21
21
122 LLL 









2210
21
2
. 
Da última linha da matriz escalonada, y = 
)1)(1(
)1(2
1
22
2 







 . 
 O sistema é compatível e indeterminado se 
1
 
(veja que se 
1
, teremos 0.y = 0). 
 O sistema é incompatível se 
1
 (veja que se
1
, teremos 0.y=4). 
 O sistema é compatível e determinado se 

. 
 
 
7. Apresentamos abaixo a resolução incorreta de um sistema linear, identifique, 
explique e corrija o erro. 





023
13
yx
yx 
Escrevendo a matriz ampliada do sistema linear e escalonando, 
temos:
 







 








 







 







 2112212221 33/12
3/2
1
10
31
2
1
30
31
0
1
32
31
0
1
23
13
LLLLLLLLCC







 
3/2
1
10
01 
Assim, x = -1 e y = 2/3. Solução do sistema: S={(-1,2/3)}. 
Solução. 
Substituindo a solução encontrada no sistema, as equações não são satisfeitas. 
Ao trocar a posição das colunas 1 e 2, a incógnita y fica associada à primeira coluna 
e a incógnita x fica associada à segunda coluna, assim a solução é x = 2/3 e 
y = -1. As colunas da matriz ampliada são formadas pelos coeficientes das incógnitas, 
assim ao trocar a posição das colunas, as incógnitas associadas também trocarão de 
ordem na matriz ampliada. 
Então o conjunto-solução será S={(2/3,-1)} Veja que essa solução satisfaz às 
equações do sistema. 
 
 
8. A figura abaixo ilustra alguns quarteirões do centro de uma cidade com ruas de mão 
única e com a medida do fluxo do tráfego em cada cruzamento1. Os números 
representam o número médio de veículos por minuto entrando e saindo dos 
cruzamentos A, B, C e D durante um determinado horário. 
a) Monte um sistema de equações lineares para encontrar os possíveis fluxos e utilize o 
aplicativo Linear Algebra Toolkit
2
 para resolvê-lo. 
Dica: Considere 
1Fx 
, 
2Fy 
, 
3Fz e 
4Fw 
. Você deverá utilizar, no aplicativo, a 
opção Solving a linear system of equations (Resolver um sistema linear de equações). 
b) Se o tráfego em CD for regulado de modo que 
104 F
 veículos por minuto, qual 
será o fluxo médio nas outras ruas? 
c) Qual o fluxo mínimo e máximo em CD (qual o maior valor que 
4F
 pode assumir e 
qual o menor valor)? Explique resumidamente como você chegou à resposta. 
 
1
 POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Cengange Learning, 2009. 
2
 Este aplicativo foi apresentado na semana 2. http://www.math.odu.edu/~bogacki/cgi-bin/lat.cgi 
 
 
 
Solução. 
a) Levando em conta que em cada nó (cruzamento), o fluxo de entrada é igual ao fluxo de 
saída, temos: 
Cruzamento A: 
2120 FF 
. 
Cruzamento B: 
2531  FF
. 
Cruzamento C: 
4330 FF 
. 
Cruzamento D: 
2542  FF
. 
 
Considerando 
1Fx 
, 
2Fy 
, 
3Fz 
 e 
4Fw 
, a matriz ampliada inicial e a matriz 
escalonada pelo aplicativo serão: 
 
O sistema equivalente a segunda matriz acima é: 











00
30
25
5
wz
wy
wx
 
Logo, trata-se de um sistema possível e indeterminado, com uma variável livre (n=4 e p 
=3). 
 
b) Sendo 
104  wF
, então 
51  xF
, 
152  yF
 e 
203  zF
. 
 
c) Reescrevendo as soluções do sistema com as variáveis 
iF
, 
4,...,1i
, temos: 
541  FF
, 
42 25 FF 
, 
43 30 FF 
, sendo 
4F
 a variável livre. 
 De acordo com o contexto do problema colocado, 
4,,1,0  iFi
. Assim, 
 
505 44  FF
, 
 
25025 44  FF
 e 
 
30030 44  FF
. 
Logo, os fluxos mínimo e máximo em CD são, respectivamente, 5 e 25.