EP4-ALI-2014-1-tutor

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 4 – EP4 17/02/2014 
Conteúdo: Aulas 8, 9 e 10 
Resolução 
1. Conceitue espaço vetorial. 
Solução: 
Um espaço vetorial é uma estrutura algébrica composta por: 
 Um conjunto V cujos elementos são chamados vetores, munido de uma 
operação interna que será denominada adição de vetores. 
 Um conjunto K (corpo) cujos elementos são chamados escalares
1
. Neste curso, 
esse conjunto será o dos números reais. 
 Uma operação denominada multiplicação por escalar que associa um escalar e 
um vetor a outro vetor. 
As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar devem satisfazer os 
seguintes axiomas (conforme o módulo, aula 8): 
Axiomas da adição vetorial: 
1) Comutatividade: u + v = v + u 

 u e v em V. 
2) Associatividade: u + (v + w) = (u + v) + w 

 u, v, w em V. 
3) Existência de elemento neutro: Existe um vetor em V, denotado por e, tal 
que e + v = v 

 v em V. 
4) Existência de elemento inverso ou elemento simétrico: Para cada v em V, 
existe um elemento denotado por (-v) tal que v + (-v) = e. 
 
Axiomas da multiplicação por escalar: 
5) 

(

v) = (

.

) v, 
 
,

 

 e 

v em V. 
6) 1.v = v, 

v em V. 
 
Propriedades distributivas: 
7) (

+

)v = 

v+

v, 
 
,

 

 e 

v em V. 
8) 

(u + v) = 

u + 

v 
  
 e 

u, v em V. 
 
Quando falamos em espaço vetorial, fazemos referência ao conjunto de vetores V. 
O termo vetor é utilizado para designar o elemento de um espaço vetorial e, 
embora contemple os vetores geométricos de 
2
 e 
3
, considera também matrizes, 
polinômios, funções, etc. 
Observe que o axioma 3 indica que o espaço vetorial V não pode ser um conjunto 
vazio! 
 
 
 
 
1
 O foco do curso é trabalhar com espaços vetoriais reais, então o conjunto de escalares será sempre o conjunto dos reais, a menos 
que outra informação seja dada. Em geral, o conjunto de escalares, deve ser um conjunto munido de duas operações internas - 
adição e multiplicação – que devem satisfazer algumas propriedades, dentre elas: cada elemento “não nulo” deve possuir elemento 
inverso. Trata-se de outra estrutura algébrica denominada corpo que será estudada nas disciplinas de Álgebra. O conjunto dos 
números complexos, assim como o conjunto dos números reais é um corpo e também poderia ser considerado para o conjunto dos 
escalares. 
 
2. Verifique quais dos conjuntos a baixo são subespaços vetoriais do  ou 
relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. 
 
a) 
  xyyxS 2|, 2 
 
b) 
   xxxS |, 3
 
c) 
  1|, 2  xyyxS
 
d) 
  yxzzyxS  |,, 3
 
e) 
  0|,, 3  xyzyxS
 
f) 
}0|),,{( 3  yzyxS
 
 
Solução. 
a) S é subespaço. S não é vazio, (0,0) pertence à S, pois, 0 = -0. 
E as duas condições abaixo são satisfeitas. 
(i) Se (a, -2a) e (c, -2c) são elementos de S  (a, -2a) + (c, -2c) = (a + c, -2(a + c)) 
é um elemento de S. 
(ii) Se (a, -2a) é um elemento de S e  um escalar, (a, -2a) = (a, -2a) é um 
elemento de S. 
 
b) S não é subespaço. 
Pois, (1, 1) e (2, 8) são elementos de S e a soma , (1, 1) + (2, 8) = (3, 9) não é um 
elemento de S. 
 
c) S não é subespaço. 
Pois, (1,0) e (2, -1) são elementos de S e a soma, (1, 0) + (2, -1) = (3, -1) não é um 
elemento de S. 
Observação: Outra maneira de justificar o item 2-c é verificar que o vetor nulo não 
pertence ao conjunto S. 
 
d) S é subespaço. S não é vazio, (0,0, 0) pertence à S, pois, 0 = 2.0 – 0. 
 E as duas condições abaixo são satisfeitas. 
(i) Se (a, b, c) e (e, f, g) são elementos de S  c = a - b e g = e - f  
 c + g = (a + e) – (b + f)  (a, b, c) + (e, f, g) = (a + e, b + f, c + g) é um elemento de 
S. 
(ii) Se (a, b, c) é um elemento de S e  um escalar, c = a - b e .c = a - b, ou seja, 
(a, b, c) é um elemento de S. 
 
e) S não é subespaço. 
Pois, (0, 2, 0) e (1, 0, 0) são elementos de S e a soma, (0, 2, 0) + (1, 0, 0) = (1, 2, 0) 
não é um elemento de S. 
 
f) S não é subespaço. 
Pois, (0, 1, 0) é um elementos de S e o produto -1.(0, 1, 0) = (0, -1, 0) não é um 
elemento de S. 
 
Observação: Perceba que para mostrar que um conjunto não vazio é um subespaço, 
tomamos vetores genéricos do conjunto para verificar o fechamento da adição e a 
multiplicação por escalar. Para mostrar que um conjunto não é um subespaço, basta 
exibir um exemplo que “viole” alguma das condições, isto é, um contraexemplo. 
Tente fornecer outros contraexemplos para mostrar que os conjuntos não são 
subespaços. Tente ainda criar exemplos e não-exemplos de subespaços. 
 
3. Verifique quais dos subconjuntos S abaixo são subespaços dos espaços vetoriais V 
dados, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais do 
espaço V dado. 
a) V = 
)(22 xM
 e S = 
}|)({ 22 inversapossuiAMA x 
. 
b) V = )(1 P e S = }0)1(|)()({ 1  pPbxaxp . 
 
Solução. 
a) S não é subespaço vetorial, pois a matriz nula não pertence a S, já que a matriz 
nula não possui inversa. 
b) S é subespaço vetorial. S é não vazio, o polinômio identicamente nulo 0 pertence a 
S, pois 
,0)(0 x qualquer que seja x . Além disso, 
i) Dados 
p
 e 
q
em S, 
0)1( p
e 
0)1( q
. Então, 
0)1()1()1)((  qpqp
. Logo, 
 qp
S. 
ii) Dados 
p
em S e 

, como 
0)1( p
, 
00.)1()1)((   pp
. Logo, 
p
S. 
 
4. Os conjuntos abaixo não são espaços vetoriais. Identifique uma condição que falha 
em cada caso. 
a) V = 2 , munido das seguintes operações de adição e multiplicação por escalar, 
respectivamente: 
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’ + 1, y + y’ + 1) e k(x, y) = (kx, ky). 
b) V = 
3
, munido das seguintes operações de adição e multiplicação por escalar, 
respectivamente: 
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’) e k(x, y, z)=(0, 0, 0). 
Solução: 
a) Falham as distributivas. Mostraremos que falha 
vvv ..).(  
, em que 

 e 

 são escalares e 
v
 vetor de 
2
. De fato, considerando 
2 
 e 
)0,1(v
, 
temos: 
)0,4()0,1.(4)0,1).(22().(  v e 
)1,3()100,122()0,2()0,2()0,1.(2)0,1.(2..  vv  . 
 
b) Falha a multiplicação pelo escalar 1. Contraexemplo: 
)3,2,1()0,0,0()3,2,1.(1 
. 
 
 
5. Escreva o polinômio 
2235 xxp 
como combinação linear dos polinômios 
22 32142 xxn,xxm 
 e 
21 xxq 
. 
 
Solução. Precisamos determinar escalares a, b e c tais que 
 2235 xx )xx(c)xx(b)xx(a 222 132142 
, o que implica em 
 2235 xx       23422 xcbaxcbacba 
, resultando no sistema 








234
32
52
cba
cba
cba
. 












2
3
5
134
121
112










 
2
5
3
134
112
121










 



14
11
3
3110
150
121










 



14
3
3110
10
121
5
11
5
1 












5
51
5
11
5
7
5
4
5
1
5
3
00
10
01




















 

4
51
4
19
4
25
4
51
5
11
5
7
5
1
5
3
100
010
001
100
10
01
. 
Assim
4
51
,
4
19
4
25
, 

 cba
 e 
2235 xx
)1(
4
51
)321(
4
19
)42(
4
25 222 xxxxxx 

. 
Observação: Não indicamos as operações elementares no escalonamento acima 
propositalmente, procure perceber a sequência de operações aplicadas. 
 
 
6. Considere o subespaço vetorial 












 0|)(22 dcbaM
dc
ba
M x
. 
Determine um conjunto de geradores para M. 
 
Solução: 
Considerando a = -b – c – d e tomando um elemento de M, temos: 






dc
ba = 





 
dc
bdcb =


















10
01
01
01
00
11
dcb
. 
 
Logo o conjunto 
























10
01
,
01
01
,
00
11 gera M. 
 
7. Se 
v,u
 e 
w
 são vetores de um espaço vetorial V tais que 
 wu
 e 
 wv
, mostre 
que 
 v,u
 é linearmente dependente. 
Solução. Os vetores u e v são da forma 
wu 
 e 
wv 
, com 
,
. Se 
0
 
é trivial, pois u = v = 0 e basta ver que 1.u + 1.v = 0. Caso por exemplo 
0
, então 
      00  wwwwuv
. Logo 
 v,u
 é LD. 
 
7. Determine o valor de k para que o conjunto 
      1,1,,0,1,1,1,0,1  kA
 seja LI. 
Solução. 
Considere a equação x(1, 0, -1) + y(1, 1, 0) + z(k, 1, -1) = (0, 0, 0). Daí, obtemos o 
sistema homogêneo 








zx
zy
kzyx
 . 
Os vetores do conjunto dado serão LI se, e somente se, o sistema acima possuir apenas a 
solução trivial, isto é, x = y = z = 0. O sistema acima será compatível e determinado se, 
e somente se, a matriz dos coeficientes possuir inversa. 
2011
101
110
11


kk
k
. 
Assim, se 
2k
, o conjunto A é LI.