EP14 Algebra Linear 1 gabarito

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Álgebra Linear 1 
Exercícios Programados 14 – EP14 
Aulas 24 e 25 
 
1. Responda apenas com argumentos geométricos. 
(a) O vetor 
2)1,1( v
 sofreu uma rotação de 
090
no sentido anti-horário. 
Determine o vetor 
'v
 resultado dessa transformação geométrica. 
(b) O vetor 
2)1,1( v
 sofreu uma reflexão em relação ao eixo y. Determine o 
vetor 
'v
 resultado dessa transformação geométrica. 
(c) O vetor 
2)1,1( v
 sofreu uma reflexão em relação à reta y = x. Determine o 
vetor 
'v
 resultado dessa transformação geométrica. 
(d) O vetor 
2)1,1(' v
 é o resultado de aplicar a um vetor 
v
 uma rotação de 
045
 no sentido anti-horário, seguida de uma reflexão em relação ao eixo x. 
Determine 
v
. 
Solução: 
(a) Como o ponto 
)1,1(
 pertence à reta y = x, o vetor 
)1,1(v
 forma um ângulo de 
045
 com o eixo x. Assim, após uma rotação de 
090
no sentido anti-horário, este 
vetor será transformado no vetor 
)1,1(' v
. Veja a Figura 1 abaixo. 
 
 Figura 1 Figura 2 
(b) 
)1,1(' v
 pois 
'v
 também deve formar um ângulo de 
045
 com o eixo x. 
(c) Como o ponto 
)1,1(
 pertence à reta y = x, 
'v
 = 
)1,1(v
. 
(d) Vamos aplicar as transformações inversas ao vetor 
)1,1(' v
. Após uma 
reflexão em relação ao eixo x, o vetor 
)1,1(' v
 é transformado em 
)1,1(u
. Após uma rotação de 
045
 no sentido horário, 
)1,1(u
é transformado no 
vetor 
)1,0(v
. Veja a Figura 2 acima. 
2. Determine, em cada caso, a matriz canônica da transformação linear de 2 em 2
que representa a seqüência de transformações dadas: 
(a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção 
horizontal. 
A reflexão no eixo y é dada pela matriz A=






10
01
. 
Cisalhamento de fator 5 na direção horizontal é dado pela matriz B=






10
51
. 
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes 
B.A = 






10
51






10
01
= 






10
51
. 
Observação: Uma forma alternativa a que foi apresentada no módulo para obter a 
matriz canônica de uma transformação geométrica (linear) no plano é determinar as 
imagens dos vetores da base canônica 
1e
(1,0) e 
2e
(0,1). No caso das reflexões, 
transformações de escala e projeções, este procedimento pode facilitar a obtenção da 
matriz canônica da transformação. 
Por exemplo, para obter a matriz A acima, seja 
yR
 a transformação cujo efeito 
geométrico no plano é a reflexão em torno do eixo dos y. Aplicando a reflexão em 
relação ao eixo y aos vetores da base canônica de 
2
, temos: 
)0,1()0,1( yR
 e 
)1,0()1,0( yR
 
Veja a figura 1. As colunas da matriz A são formadas pelas imagens dos vetores da 
base canônica pela transformação 
yR
, isto é, A = [
yR
] (A é a matriz canônica de 
yR
). 
 
 
 
 
Figura 1 – Reflexão em relação ao eixo y. 
 
(b) Rotação de 60º, no sentido anti-horário, seguida de uma reflexão em relação ao eixo 
dos x. 
A rotação de 60º é dada pela matriz A











 


2
1
2
3
2
3
2
1
)60cos()60(
)60()60cos(
oo
oo
sen
sen
. 
A reflexão em relação ao eixo dos x é dada por B= 






10
01
. 
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes 
BA
= 






10
01









 
2
1
2
3
2
3
2
1 = 












2
1
2
3
2
3
2
1 . 
c) Rotação de 45º, seguida de uma reflexão na origem. 
A rotação de 45º é dada pela matriz A=











  
2
2
2
2
2
2
2
2
)45cos()45(
)45()45cos(
oo
oo
sen
sen
. 
A reflexão na origem é dada por B= 








10
01
. 
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes 
 
 
BA
 








10
01









 
2
2
2
2
2
2
2
2 = 












2
2
2
2
2
2
2
2 . 
 (d) Reflexão em torno da reta y = - x, seguida de uma projeção sobre o eixo y. 
A reflexão é dada pela matriz A=








01
10
. 
A projeção é dada por B=






10
00
. 
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes 
B.A = 






10
00








01
10
=






 01
00
. 
Observação: Tente obter as matrizes A e B seguindo a observação feita no item (a). 
 
3. Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de 3 em 3 que 
representa a seqüência de transformações dadas: 
(a) Rotação de 30º em torno do eixo dos y, seguido de uma projeção sobre o plano yz. 
A rotação é dada pela matriz A=









 










 
2
3
2
1
2
1
2
3
0
010
0
)30cos(0)30(
010
)30(0)30cos(
oo
oo
sen
sen
 
A projeção é dada pela matriz B=










100
010
000
. 
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes. 
B.A = 










100
010
000













2
30
2
1
010
2
10
2
3
=










2
30
2
1
010
000
. 
(b) Rotação de 30º em torno do eixo z, seguida de uma rotação de 30º em torno do eixo 
y. 
A rotação é dada pela matriz A=









 










 
100
0
0
100
0)30cos()30(
0)30()30cos(
2
3
2
1
2
1
2
3
oo
oo
sen
sen
 
A projeção é dada pela matriz B=













2
30
2
1
010
2
10
2
3
. 
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes 
B.A = 













2
30
2
1
010
2
10
2
3















100
0
2
3
2
1
0
2
1
2
3
=
















2
3
4
1
4
3
0
2
3
2
1
2
1
4
3
4
3
. 
4. Descreva o efeito geométrico obtido ao multiplicar a matriz abaixo por um vetor 
v
 de 
2
. 










22
22
coscos2
cos2cos
sensen
sensen 
Note que 





 












2cos2
22cos
coscos2
cos2cos
22
22
sen
sen
sensen
sensen , então o vetor v 
sofrerá uma rotação de um ângulo 2θ, no sentido anti-horário. 
 
5. Se a multiplicação de uma matriz A, de ordem 2, por um vetor 
v
 de 
2
roda esse vetor 
no plano segundo um ângulo θ no sentido anti-horário, qual seria o efeito geométrico de 
multiplicar tA por 
v
. 
Solução: 
A
 é uma matriz de rotação então é da forma 





 



cos
cos
sen
sen
A
. Assim, lembrando 
que 
 cos)cos( 
 e 
 sensen  )(
, temos: 
















)cos()(
)()cos(
cos
cos




sen
sen
sen
sen
At
 
Logo, o efeito geométrico é rodar o vetor x segundo o ângulo θ, porém, nosentido 
horário. 
 
6. A matriz abaixo representa a composição 
22: T
(em relação à base canônica de 
2
) de duas transformações geométricas planas 
1T
 e 
2T
. Identifique e descreva cada uma 
dessas transformações e a ordem da composição. 







02
20
][T
 
 
Solução: Há mais de uma solução, vamos apresentar uma delas. 
A composição acima pode ser obtida, aplicando-se uma reflexão em relação à reta 
y = x, seguida de uma dilatação de fator 2: 


















02
20
01
10
20
02
 
A figura abaixo mostra o quadrado original e o resultado obtido ao se aplicar a matriz 
[T] nos vértices (0,0), (2,0), (2,2), (0,2). 
 
7. A figura abaixo mostra a imagem O’A’B’C’ do quadrado OABC de lado 2 por um 
cisalhamento horizontal 
T
no plano. Sabendo que a matriz canônica do cisalhamento 
horizontal abaixo é da forma 






10
1 k
 e que 
(-3,2) = T(0,2)
, determine o fator k. 
 
Solução: 
.2/3
2
3
2
0
.
10
k1
 (-3,2) = T(0,2) 

















 k