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Aula 08 Mudança de base

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Aula 08 Álgebra Linear I 1
À s vezes, quando trabalhamos com um subespaço vetorial de ��
�, precisamos repre-
sentar um mesmo vetor de maneiras diferentes. Nesta aula, você aprenderá a fazer
isso usando o conceito de base de um subespaço.
Antes de iniciar o estudo, você deve ter em mente de maneira clara o que é uma base
de um subespaço vetorial.
Ao terminar esta aula, você deverá saber expressar um mesmo vetor
com coordenadas diferentes.
Aula 08 Álgebra Linear I2
Considere o vetor
�
��
�
�
�
�
	� de ���. Até agora, temos nos referido a suas coordenadas
como os números 2, 3 e 4. Esses números têm uma relação estreita com a base canônica de
���. Observe que podemos escrever
�
��
�
�
�
�
	� 
 �
�
��
�
�
�
�
	�� �
�
��
�
�
�
�
	�� �
�
��
�
�
�
�
	� �
Acontece que essa não é a única base de ���. Tome, por exemplo, a base
��
��
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	�
�
��
�
(verifique que é uma base). Observe que vale�
��
�
�
�
�
	� 
�
�
�
��
�
�
�
�
	��
�
�
�
��
�
�
�
�
	��
�
�
�
��
�
�
�
�
	� �
Usando a mesma relação que foi estabelecida para a base canônica, podemos dizer que, para
a base 
��
��
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	�
�
��
�
�
as coordenadas de
�
��
�
�
�
�
	� são
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Veja como são usados os dois sistemas de coordenadas nas Figuras 1 e 2 a seguir.
Figura 1
X�
Y�
Z�
������	�
������	�
������	�
������	�
Aula 08 Álgebra Linear I 3
Observe como, em cada caso, o mesmo vetor é obtido a partir da soma de múltiplos de
vetores diferentes. Isso nos leva à seguinte definição.
Sendo � 
 �	�� � � � � 	�� uma base de � e � um elemento de � , as
coordenadas de � com relação à base � são os escalares 
�� 
�� � � � � 
� tais
que � 
 
�	� � 
�	� � � � �� 
�	�.
Para indicar essas coordenadas, escrevemos
���� 
�
���
�
...
�
�
		� �
Nesse caso, também dizemos que �
���
�
...
�
�
		�
é o vetor das coordenadas de � com relação a �.
Observe que se mudarmos a base �, os escalares com os quais escrevemos � como
combinação linear dos elementos de � não serão mais os mesmos. Estaremos mudando o
vetor das coordenadas
���� 
�
���
�
...
�
�
		� �
Figura 2
X�
Y�
Z�
������	�
������	�
������	�
������	�
�
Aula 08 Álgebra Linear I4
Assim, para cada vetor de � , existem infinitas possibilidades de representá-lo por coorde-
nadas. Mas, fixada a base �, existe somente uma maneira de representá-lo por coorde-
nadas com relação a �. Este é um resultado que apresentaremos a seguir.
Teorema 1
Seja � 
 �	�� � � � � 	�� uma base para o subespaço vetorial � . Então, para
cada � em � , existe um único conjunto de escalares 
�� 
�� � � � � 
� tal que
� 
 
�	� � 
�	� � � � �� 
�	�.
Demonstração
Como � gera � , a existência dos escalares está garantida. Precisamos mostrar que
esses escalares são os únicos a satisfazerem o enunciado do teorema. Para tanto, seguire-
mos a seguinte estratégia. Suponha que existem outros escalares, ��� ��� � � � � �� tais que
� 
 ��	� � ��	� � � � �� ��	�. Se concluirmos que obrigatoriamente devemos ter 
� 
 ��
para cada 
 
 �� �� � � � � �, então é porque o conjunto de escalares do teorema é único.
Se temos � 
 
�	� � 
�	� � � � �� 
�	� e � 
 ��	� � ��	� � � � �� ��	�, então
�	� � 
�	� � � � �� 
�	� 
 ��	� � ��	� � � � �� ��	��
o que implica
�
� � ���	� � �
� � ���	� � � � �� �
� � ���	� 
 ��
Como � é uma base, os 	� são linearmente independentes. Logo, cada um de seus
coeficientes deve ser zero e, portanto, 
� 
 �� para cada 
 
 �� �� � � � � �, como queríamos.
Aula 08 Álgebra Linear I 5
Exercício resolvido 1
As coordenadas do vetor � de ��� na base � 
 ���� ��� ���, em que
�� 
�
��
�
�
�
�
	� � �� 
�
��
�
�
�
�
	� e �� 
�
��
�
�
�
�
	�
são dadas por
���� 
�
��
�
�
�
�
	� �
Qual é o seu vetor de coordenadas na base
� 
��
��
�
��
�
�
��
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	�
�
��
�
�
Solução
Por ���� 
�
��
�
�
�
�
	�, temos que � 
 � �
�
��
�
�
�
�
	� � � �
�
��
�
�
�
�
	� � � �
�
��
��
�
�
�
	� 
�
��
�
�
�
�
	� � Para descobrir seu vetor de coordenadas na base �, precisamos en-
contrar escalares �� 	� 
 tais que
�
�
��
�
�
��
�
	�� 	
�
��
�
�
�
�
	�� 
�
��
�
�
�
�
	� 
�
��
�
�
�
�
	� �
Ou seja, precisamos resolver o sistema
��
��
�� 	 
 �
� 
 �
��� 	� 
 
 �
�
que tem � 
 �� 	 
 ��� 
 
 � como solução. Assim,
���� 
�
��
�
��
�
�
	� �
1
Solução
Por ���� 
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		, temos que � 
 � �
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		 � � �
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		 � � �
�
�
��
���
��
�
�
�
	
��
�		 
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		 � Para descobrir seu vetor de coordenadas na base �, precisamos en-
contrar escalares �� 	� 
 tais que
�
�
�
��
���
�
�
��
�
	
��
�		� 	
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		� 
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		 
�
�
��
���
�
�
�
�
	
��
�		 �
Ou seja, precisamos resolver o sistema
�
���
�
��
���
�� 	 
 �
� 
 �
��� 	� 
 
 �
�
que tem � 
 �� 	 
 ��� 
 
 � como solução. Assim,
���� 
�
�
��
���
�
��
�
�
	
��
�		 �
Aula 08 Álgebra Linear I6
Atividade 1
Use um papel milimetrado para fazer uma representação gráfica das duas bases
anteriores � e �. Verifique que os dois vetores de coordenadas representam
o mesmo vetor.
No começo da aula, demos um exemplo em que o vetor
�
��
�
�
�
�
	� deveria ser escrito com
coordenadas em relação à base
��
��
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	�
�
��
�
�
Para encontrar tais coordenadas, precisamos encontrar 
�� 
� e 
� tais que
�
��
�
�
�
�
	� 
 
�
�
��
�
�
�
�
	�� 
�
�
��
�
�
�
�
	�� 
�
�
��
�
�
�
�
	� �
o que é equivalente a resolver a equação matricial
�
��
�
�
�
�
	� 
�
��
� � �
� � �
� � �
�
	�
�
��
�
�
�
�
	� �
Agora, perceba que, para qualquer vetor
�
��
�
�
�
�
	�
que quisermos escrever com coordenadas nessa mesma base, estaremos resolvendo uma
equação do mesmo tipo,
Aula 08 Álgebra Linear I 7
�
��
�
�
�
�
	� 
�
��
� � �
� � �
� � �
�
	�
�
��
�
�
�
�
	� �
Isso significa que, dado o vetor coordenada nessa base, podemos encontrar o vetor coorde-
nada na base canônica apenas pela multiplicação da matriz dessa equação por
�
��
�
�
�
�
	� �
Mais ainda, se conhecermos a inversa dessa matriz, poderemos fazer o procedimento in-
verso, isto é, dado o vetor na base canônica, encontramos o vetor coordenada na nova base
pela multiplicação da inversa por �
��
�
�
�
�
	� �
A esta altura, você deve estar se perguntando se o procedimento é válido para outras
bases além dessa do exemplo, ou para outros subespaços de outros ���. A resposta é sim.
Suponha que
� 
�
���
��
...
��
�
		�
é um vetor coordenada na base canônica e que � 
 �	�� � � � � 	�� é uma outrabase de
���. Encontrar as coordenadas de � na base � é descobrir escalares 
�� � � � � 
� tais que
�	� � � � �� 
�	� 
 �. Novamente, isso equivale a resolver a equação matricial
�
	� 	� � � � 	�
�
�
�����
�
�
...
�
�
				�
�
�����
��
��
...
��
�
				�
�
Dizemos neste caso que a matriz, cujas colunas são os vetores de uma base �, é a matriz
de mudança de coordenadas de � para a base canônica do ���.
Seja � 
 �	�� � � � � 	�� uma base no ���. A matriz �� 
�
	� 	� � � � 	�
�
que tem como colunas os vetores de �, é chamada
de matriz de mudança de coordenadas de � para a base canônica do ���.
Como vale � 
 ������ � ���� 
 ���� �, dizemos que �
��
� é a matriz de
mudança de coordenadas da base canônica para a base �.
Aula 08 Álgebra Linear I8
Exercício resolvido 2
Sejam 	� 
�
��
�
�
�
�
	� � 	� 
�
��
��
�
�
�
	� � 	� 
�
��
�
�	
�
�
	� e � 
�
��
��
�
�
�
	�.
a) Mostre que o conjunto � 
 �	�� 	�� 	�� é uma base do ���.
b) Determine uma matriz de mudança de coordenadas de � para a base canônica do ���.
c) Determine ���� .
Solução
a) Para mostrar que � é uma base, basta mostrar que a matriz � 
�
	� 	� 	�
�
é inversível, pois isso quer dizer que o sistema �� 
 �
tem solução única (� é linearmente independente) e que �� 
 � tem
solução única, qualquer que seja � em ��� (� gera ���).
Observe que
� 
�
��
� �� �
� � �	
� � �
�
	�
é uma matriz triangular superior e, portanto, seu determinante é o produto
dos elementos da diagonal principal, ������ 
 ��. Como o determinante
não é zero, podemos afirmar que � é inversível.
b) A matriz mudança de coordenadas de � para a base canônica do ��� é
exatamente a matriz �, ou seja, �� 
�
	� 	� 	�
�
 �.
c) Determinar ���� é resolver o sistema � 
 ������ , com
���� 
�
��
��
��
��
�
	� �
Então, temos ��� 
 �� �� 
 �, ��� � 	�� 
 �� ��� � 	 
 �� �� 
 �
e �� � ��� � ��� 
 ��� �� � 	 � � 
 ��� �� 
 ��. Logo,
���� 
�
��
��
�
�
�
	� �
Solução
a) Para mostrar que � é uma base, basta mostrar que a matriz � 
�
	� 	� 	�
�
é inversível, pois isso quer dizer que o sistema �� 
 �
tem solução única (� é linearmente independente) e que �� 
 � tem
solução única, qualquer que seja � em ��� (� gera ���).
Observe que
� 
�
�
��
���
� �� �
� � �	
� � �
�
	
��
�		
é uma matriz triangular superior e, portanto, seu determinante é o produto
dos elementos da diagonal principal, ������ 
 ��. Como o determinante
não é zero, podemos afirmar que � é inversível.
b) A matriz mudança de coordenadas de � para a base canônica do ��� é
exatamente a matriz �, ou seja, ��� 
�
	� 	� 	�
�
 �.
c) Determinar ���� é resolver o sistema � 
 ��� ���� , com
���� 
�
�
��
���
��
��
��
�
	
��
�		 �
Então, temos ��� 
 �� �� 
 �, ��� � 	�� 
 �� ��� � 	 
 �� �� 
 �
e �� � ��� � ��� 
 ��� �� � 	 � � 
 ��� �� 
 ��. Logo,
���� 
�
�
��
���
��
�
�
�
	
��
�		 �
Aula 08 Álgebra Linear I 9
Resumo
Atividade 2
Com a mesma base � do Exercício resolvido 2, encontre a matriz
�
��
�
��
�
�
�
�
	�
�
�
��
�
�
�
�
	�
�
�
��
�
�
�
�
	�
�
�
	� �
cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base canônica na base �.
Mostre que essa é a matriz mudança de coordenadas da base canônica do ���
para �.
Nesta aula, associamos as coordenadas de um vetor com a base canônica de
���. Motivados por essa associação definimos coordenadas de um vetor com
relação a uma base. Em seguida, garantimos a existência de um único vetor
de coordenadas para qualquer � com relação a uma base dada. Depois, você
descobriu que encontrar o vetor das coordenadas de � com relação a uma
base � é equivalente a resolver um sistema � 
 ������ .
Você viu que as coordenadas do vetor
�
��
�
�
�
�
	� com relação à base canônica do ���
são os números 1, 2 e 3. O que acontece com as coordenadas desse vetor se
mudarmos a base do ���? Permanecem as mesmas? Com quantas coordenadas
diferentes podemos representar o mesmo vetor?
Por que podemos garantir que o sistema � 
 ������ terá sempre solução para
uma determinada base �?
1
2
Aula 08 Álgebra Linear I10
Exercícios propostos
1) Nos itens a seguir, obtenha o vetor � determinado pelo vetor das coordenadas ���� e
pela base � dados.
a) � 
��
�
�
�
�
�
�
�
��
� ���� 
�
�
�
�
.
b) � 
��
�
�
�
�
�
	
��
� ���� 
�
�
��
�
.
c) � 
��
��
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	� �
�
��
�
�
�
�
	�
�
��
�
� ���� 
�
��
�
�
��
�
	�.
d) � 
��
��
�
��
�
��
�
�
	� �
�
��
�
�
��
�
	� �
�
��
�
�
�
	�
�
��
�
� ���� 
�
��
�
�
��
�
	�.
2) Nos itens que seguem, determine o vetor das coordenadas ���� de � relativo à base
� 
 �	�� � � � � 	�� dada.
a) 	� 
�
�
��
�
� 	� 
�
�
��
�
� � 
�
��
�
�
�
b) 	� 
�
�
�
�
� 	� 
�
�
�
�
� � 
�
�
�
�
�
c) 	� 
�
��
�
��
��
�
	� � 	� 
�
��
��
�
�
�
	� � 	� 
�
��
�
��
�
�
	� � � 
�
��
�
��
	
�
	� �
d) 	� 
�
��
�
�
�
�
	� � 	� 
�
��
�
�
�
�
	� � 	� 
�
��
�
��
�
�
	� � � 
�
��
�
��
�
�
	� �
3) Use a matriz inversa para determinar ���� para � e � dados.
a) � 
��
�
�
�
�
�
�
�
��
� ���� 
�
�
�
�
�
b) � 
��
�
�
�
�
�
	
��
� ���� 
�
�
��
�
�
Aula 08 Álgebra Linear I 11
4) Os vetores
�� 
�
�
��
�
� �� 
�
�
��
�
� �� 
�
��
�
geram o ���, mas não formam uma base. Determine duas formas diferentes de expressar�
�
�
�
como combinação linear de ��� �� e ��.
ANDRADE, C. R. L; BEZERRA, J. Q; BIELSCHOWSKY, R. H. et al. Álgebra linear aplicada.
Natal, 2005 (Documento a ser publicado).
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e
Científicos Editora S. A., 1999.
Respostas dos Exercícios propostos
1) a)
�
�
�
�
2) a)
�
�
��
�
b)
�
�
�
�
b)
�
�
�
�
�
�
c)
�
��
�
�
�
�
	� c)
�
��
��
��
�
�
	�
d)
�
��
��
��
�
�
	� d)
�
��
���
��
��
�
	�
3) a) Use a inversa
�
���
�
�
�
� �
�
�
�
4) Você pode usar as combi-
nações
�
�
�
�
 �����������
ou
�
�
�
�
 ��� � �� � ��.
b)
�
��� �
�
� �
�

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