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Aula 08 Álgebra Linear I 1 À s vezes, quando trabalhamos com um subespaço vetorial de �� �, precisamos repre- sentar um mesmo vetor de maneiras diferentes. Nesta aula, você aprenderá a fazer isso usando o conceito de base de um subespaço. Antes de iniciar o estudo, você deve ter em mente de maneira clara o que é uma base de um subespaço vetorial. Ao terminar esta aula, você deverá saber expressar um mesmo vetor com coordenadas diferentes. Aula 08 Álgebra Linear I2 Considere o vetor � �� � � � � � de ���. Até agora, temos nos referido a suas coordenadas como os números 2, 3 e 4. Esses números têm uma relação estreita com a base canônica de ���. Observe que podemos escrever � �� � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � Acontece que essa não é a única base de ���. Tome, por exemplo, a base �� �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � (verifique que é uma base). Observe que vale� �� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � �� � � � � �� � � � �� � � � � � � Usando a mesma relação que foi estabelecida para a base canônica, podemos dizer que, para a base �� �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � as coordenadas de � �� � � � � � são � � � � � � � � � Veja como são usados os dois sistemas de coordenadas nas Figuras 1 e 2 a seguir. Figura 1 X� Y� Z� ������ � ������ � ������ � ������ � Aula 08 Álgebra Linear I 3 Observe como, em cada caso, o mesmo vetor é obtido a partir da soma de múltiplos de vetores diferentes. Isso nos leva à seguinte definição. Sendo � � �� � � � � �� uma base de � e � um elemento de � , as coordenadas de � com relação à base � são os escalares �� �� � � � � � tais que � � � � � � � � � �� � �. Para indicar essas coordenadas, escrevemos ���� � ��� � ... � � � � Nesse caso, também dizemos que � ��� � ... � � � é o vetor das coordenadas de � com relação a �. Observe que se mudarmos a base �, os escalares com os quais escrevemos � como combinação linear dos elementos de � não serão mais os mesmos. Estaremos mudando o vetor das coordenadas ���� � ��� � ... � � � � Figura 2 X� Y� Z� ������ � ������ � ������ � ������ � � Aula 08 Álgebra Linear I4 Assim, para cada vetor de � , existem infinitas possibilidades de representá-lo por coorde- nadas. Mas, fixada a base �, existe somente uma maneira de representá-lo por coorde- nadas com relação a �. Este é um resultado que apresentaremos a seguir. Teorema 1 Seja � � �� � � � � �� uma base para o subespaço vetorial � . Então, para cada � em � , existe um único conjunto de escalares �� �� � � � � � tal que � � � � � � � � � �� � �. Demonstração Como � gera � , a existência dos escalares está garantida. Precisamos mostrar que esses escalares são os únicos a satisfazerem o enunciado do teorema. Para tanto, seguire- mos a seguinte estratégia. Suponha que existem outros escalares, ��� ��� � � � � �� tais que � �� � � �� � � � � �� �� �. Se concluirmos que obrigatoriamente devemos ter � �� para cada �� �� � � � � �, então é porque o conjunto de escalares do teorema é único. Se temos � � � � � � � � � �� � � e � �� � � �� � � � � �� �� �, então � � � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � �� �� �� o que implica � � � ��� � � � � � ��� � � � � �� � � � ��� � �� Como � é uma base, os � são linearmente independentes. Logo, cada um de seus coeficientes deve ser zero e, portanto, � �� para cada �� �� � � � � �, como queríamos. Aula 08 Álgebra Linear I 5 Exercício resolvido 1 As coordenadas do vetor � de ��� na base � ���� ��� ���, em que �� � �� � � � � � � �� � �� � � � � � e �� � �� � � � � � são dadas por ���� � �� � � � � � � Qual é o seu vetor de coordenadas na base � �� �� � �� � � �� � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � Solução Por ���� � �� � � � � �, temos que � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � �� � � � � � � Para descobrir seu vetor de coordenadas na base �, precisamos en- contrar escalares �� � tais que � � �� � � �� � �� � �� � � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � Ou seja, precisamos resolver o sistema �� �� �� � � � ��� � � � que tem � �� ��� � como solução. Assim, ���� � �� � �� � � � � 1 Solução Por ���� � � �� ��� � � � � �� � , temos que � � � � � �� ��� � � � � �� � � � � � � �� ��� � � � � �� � � � � � � �� ��� �� � � � �� � � � �� ��� � � � � �� � � Para descobrir seu vetor de coordenadas na base �, precisamos en- contrar escalares �� � tais que � � � �� ��� � � �� � �� � � � � �� ��� � � � � �� � � � � �� ��� � � � � �� � � � �� ��� � � � � �� � � Ou seja, precisamos resolver o sistema � ��� � �� ��� �� � � � ��� � � � que tem � �� ��� � como solução. Assim, ���� � � �� ��� � �� � � �� � � Aula 08 Álgebra Linear I6 Atividade 1 Use um papel milimetrado para fazer uma representação gráfica das duas bases anteriores � e �. Verifique que os dois vetores de coordenadas representam o mesmo vetor. No começo da aula, demos um exemplo em que o vetor � �� � � � � � deveria ser escrito com coordenadas em relação à base �� �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � Para encontrar tais coordenadas, precisamos encontrar �� � e � tais que � �� � � � � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � �� � � � � � � o que é equivalente a resolver a equação matricial � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � Agora, perceba que, para qualquer vetor � �� � � � � � que quisermos escrever com coordenadas nessa mesma base, estaremos resolvendo uma equação do mesmo tipo, Aula 08 Álgebra Linear I 7 � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � Isso significa que, dado o vetor coordenada nessa base, podemos encontrar o vetor coorde- nada na base canônica apenas pela multiplicação da matriz dessa equação por � �� � � � � � � Mais ainda, se conhecermos a inversa dessa matriz, poderemos fazer o procedimento in- verso, isto é, dado o vetor na base canônica, encontramos o vetor coordenada na nova base pela multiplicação da inversa por � �� � � � � � � A esta altura, você deve estar se perguntando se o procedimento é válido para outras bases além dessa do exemplo, ou para outros subespaços de outros ���. A resposta é sim. Suponha que � � ��� �� ... �� � � é um vetor coordenada na base canônica e que � � �� � � � � �� é uma outrabase de ���. Encontrar as coordenadas de � na base � é descobrir escalares �� � � � � � tais que � � � � � �� � � �. Novamente, isso equivale a resolver a equação matricial � � � � � � � � � ����� � � ... � � � � ����� �� �� ... �� � � � Dizemos neste caso que a matriz, cujas colunas são os vetores de uma base �, é a matriz de mudança de coordenadas de � para a base canônica do ���. Seja � � �� � � � � �� uma base no ���. A matriz �� � � � � � � � � que tem como colunas os vetores de �, é chamada de matriz de mudança de coordenadas de � para a base canônica do ���. Como vale � ������ � ���� ���� �, dizemos que � �� � é a matriz de mudança de coordenadas da base canônica para a base �. Aula 08 Álgebra Linear I8 Exercício resolvido 2 Sejam � � �� � � � � � � � � �� �� � � � � � � � �� � � � � � e � � �� �� � � � �. a) Mostre que o conjunto � � �� �� �� é uma base do ���. b) Determine uma matriz de mudança de coordenadas de � para a base canônica do ���. c) Determine ���� . Solução a) Para mostrar que � é uma base, basta mostrar que a matriz � � � � � � é inversível, pois isso quer dizer que o sistema �� � tem solução única (� é linearmente independente) e que �� � tem solução única, qualquer que seja � em ��� (� gera ���). Observe que � � �� � �� � � � � � � � � � é uma matriz triangular superior e, portanto, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ������ ��. Como o determinante não é zero, podemos afirmar que � é inversível. b) A matriz mudança de coordenadas de � para a base canônica do ��� é exatamente a matriz �, ou seja, �� � � � � � �. c) Determinar ���� é resolver o sistema � ������ , com ���� � �� �� �� �� � � � Então, temos ��� �� �� �, ��� � �� �� ��� � �� �� � e �� � ��� � ��� ��� �� � � � ��� �� ��. Logo, ���� � �� �� � � � � � Solução a) Para mostrar que � é uma base, basta mostrar que a matriz � � � � � � é inversível, pois isso quer dizer que o sistema �� � tem solução única (� é linearmente independente) e que �� � tem solução única, qualquer que seja � em ��� (� gera ���). Observe que � � � �� ��� � �� � � � � � � � � �� � é uma matriz triangular superior e, portanto, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ������ ��. Como o determinante não é zero, podemos afirmar que � é inversível. b) A matriz mudança de coordenadas de � para a base canônica do ��� é exatamente a matriz �, ou seja, ��� � � � � � �. c) Determinar ���� é resolver o sistema � ��� ���� , com ���� � � �� ��� �� �� �� � �� � � Então, temos ��� �� �� �, ��� � �� �� ��� � �� �� � e �� � ��� � ��� ��� �� � � � ��� �� ��. Logo, ���� � � �� ��� �� � � � �� � � Aula 08 Álgebra Linear I 9 Resumo Atividade 2 Com a mesma base � do Exercício resolvido 2, encontre a matriz � �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base canônica na base �. Mostre que essa é a matriz mudança de coordenadas da base canônica do ��� para �. Nesta aula, associamos as coordenadas de um vetor com a base canônica de ���. Motivados por essa associação definimos coordenadas de um vetor com relação a uma base. Em seguida, garantimos a existência de um único vetor de coordenadas para qualquer � com relação a uma base dada. Depois, você descobriu que encontrar o vetor das coordenadas de � com relação a uma base � é equivalente a resolver um sistema � ������ . Você viu que as coordenadas do vetor � �� � � � � � com relação à base canônica do ��� são os números 1, 2 e 3. O que acontece com as coordenadas desse vetor se mudarmos a base do ���? Permanecem as mesmas? Com quantas coordenadas diferentes podemos representar o mesmo vetor? Por que podemos garantir que o sistema � ������ terá sempre solução para uma determinada base �? 1 2 Aula 08 Álgebra Linear I10 Exercícios propostos 1) Nos itens a seguir, obtenha o vetor � determinado pelo vetor das coordenadas ���� e pela base � dados. a) � �� � � � � � � � �� � ���� � � � � . b) � �� � � � � � �� � ���� � � �� � . c) � �� �� � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � ���� � �� � � �� � �. d) � �� �� � �� � �� � � � � � �� � � �� � � � � �� � � � � � �� � � ���� � �� � � �� � �. 2) Nos itens que seguem, determine o vetor das coordenadas ���� de � relativo à base � � �� � � � � �� dada. a) � � � �� � � � � � �� � � � � �� � � � b) � � � � � � � � � � � � � � � � � � c) � � �� � �� �� � � � � � �� �� � � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � �� � � � d) � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � �� � � � � 3) Use a matriz inversa para determinar ���� para � e � dados. a) � �� � � � � � � � �� � ���� � � � � � b) � �� � � � � � �� � ���� � � �� � � Aula 08 Álgebra Linear I 11 4) Os vetores �� � � �� � � �� � � �� � � �� � �� � geram o ���, mas não formam uma base. Determine duas formas diferentes de expressar� � � � como combinação linear de ��� �� e ��. ANDRADE, C. R. L; BEZERRA, J. Q; BIELSCHOWSKY, R. H. et al. Álgebra linear aplicada. Natal, 2005 (Documento a ser publicado). LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1999. Respostas dos Exercícios propostos 1) a) � � � � 2) a) � � �� � b) � � � � b) � � � � � � c) � �� � � � � � c) � �� �� �� � � � d) � �� �� �� � � � d) � �� ��� �� �� � � 3) a) Use a inversa � ��� � � � � � � � � 4) Você pode usar as combi- nações � � � � ����������� ou � � � � ��� � �� � ��. b) � ��� � � � � �
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