Espaços de Hilbert

Prévia do material em texto

1. O que caracteriza um espaço de Hilbert?
a) Ser um espaço vetorial normado completo.
b) Ser um espaço vetorial com produto escalar não necessariamente completo.
c) Ser um espaço vetorial com um produto escalar e não ser completo.
d) Ser um espaço vetorial qualquer, sem restrições adicionais.
Resposta correta: a) Ser um espaço vetorial normado completo.
Explicação: Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial normado completo em relação à
norma induzida pelo produto escalar. A completude significa que todo Cauchy
sequencial tem limite dentro do espaço.
2. Qual das alternativas abaixo é um exemplo de espaço de Hilbert?
a) O conjunto de polinômios com grau limitado.
b) O espaço
R
n
com o produto escalar usual.
c) O espaço dos números complexos
C.
d) O conjunto das funções contínuas em
[0,1] com a norma
■f■=∫
0
1
■f(x)■dx.
Resposta correta: b) O espaço
R
n
com o produto escalar usual.
Explicação: O espaço
R
n
com o produto escalar usual é um espaço de Hilbert, pois é completo e possui produto
escalar bem definido. Já os outros exemplos não são completos em suas respectivas
normas.
3. O que é a norma associada ao produto escalar em um espaço de Hilbert?
a) A soma das componentes dos vetores.
b) A raiz quadrada do produto escalar de um vetor consigo mesmo.
c) A média dos quadrados dos componentes de um vetor.
d) A soma das distâncias entre os vetores.
Resposta correta: b) A raiz quadrada do produto escalar de um vetor consigo mesmo.
Explicação: A norma
■x■ de um vetor
x em um espaço de Hilbert é dada por
■x■=
■x,x■
, onde
■x,x■ é o produto escalar de
x consigo mesmo.
4. Em um espaço de Hilbert, o que é um vetor ortogonal a outro?
a) Um vetor que não possui nenhuma relação com o outro.
b) Um vetor que tem um ângulo de 90 graus em relação ao outro.
c) Um vetor que é igual ao outro, mas multiplicado por um escalar.
d) Um vetor que possui o mesmo produto escalar que o outro.
Resposta correta: b) Um vetor que tem um ângulo de 90 graus em relação ao outro.
Explicação: Dois vetores
x e
y são ortogonais se
■x,y■=0, o que significa que o ângulo entre eles é de 90 graus (ou
π/2 radianos).
5. O que significa que um conjunto de vetores
{v
1
,v
2
,…} é ortonormal em um espaço de Hilbert?
a) Os vetores são linearmente independentes e têm norma 1.
b) Os vetores têm norma 1 e são ortogonais entre si.
c) Os vetores têm norma 0 e são ortogonais entre si.
d) Os vetores são iguais entre si.
Resposta correta: b) Os vetores têm norma 1 e são ortogonais entre si.
Explicação: Um conjunto de vetores é ortonormal se todos os vetores são ortogonais
entre si e têm norma 1, ou seja,
■v
i
,v
j
■=δ
ij
, onde
δ
ij
é o delta de Kronecker.
6. O que é o Teorema de Riesz em espaços de Hilbert?
a) Toda função contínua pode ser aproximada por polinômios.
b) Toda aplicação linear contínua pode ser representada como um produto escalar.
c) Toda base ortonormal é finita.
d) A norma de um vetor é sempre menor ou igual à soma de seus componentes.
Resposta correta: b) Toda aplicação linear contínua pode ser representada como um
produto escalar.
Explicação: O Teorema de Riesz afirma que, dado um espaço de Hilbert, qualquer
aplicação linear contínua pode ser associada a um vetor do espaço por meio de um
produto escalar.
7. O que significa dizer que um espaço de Hilbert é completo?
a) Que ele contém todos os vetores lineares independentes.
b) Que toda sequência de Cauchy converge para um limite dentro do espaço.
c) Que ele é finito-dimensional.
d) Que todos os vetores no espaço são ortogonais entre si.
Resposta correta: b) Que toda sequência de Cauchy converge para um limite dentro do
espaço.
Explicação: A completude de um espaço de Hilbert significa que, para qualquer
sequência de Cauchy (onde os termos se aproximam cada vez mais uns dos outros),
existe um limite dentro do próprio espaço.
8. O que é o produto escalar de dois vetores
u e
v em um espaço de Hilbert?
a) A soma das suas normas.
b) A diferença entre os vetores.
c) A integral do produto das funções correspondentes.
d) Um número real ou complexo que mede a "projeção" de um vetor no outro.
Resposta correta: d) Um número real ou complexo que mede a "projeção" de um vetor
no outro.
Explicação: O produto escalar
■u,v■ mede a relação entre os vetores
u e
v, incluindo a magnitude da projeção de um vetor sobre o outro, dependendo do ângulo
entre eles.
9. O que é uma base ortonormal em um espaço de Hilbert?
a) Um conjunto de vetores que são linearmente independentes.
b) Um conjunto de vetores que são ortogonais entre si e têm norma 1.
c) Um conjunto de vetores que geram o espaço de Hilbert.
d) Um conjunto de vetores que geram o espaço, mas não são ortogonais entre si.
Resposta correta: b) Um conjunto de vetores que são ortogonais entre si e têm norma
1.
Explicação: Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são ortogonais entre si
e têm norma 1. Eles também geram o espaço de Hilbert.
10. O que é um subespaço fechado em um espaço de Hilbert?
a) Um subespaço que contém apenas vetores ortogonais entre si.
b) Um subespaço que é fechado sob as operações de adição e multiplicação por
escalares.
c) Um subespaço que contém todos os seus limites de sequência de Cauchy.
d) Um subespaço que contém apenas vetores com norma 1.
Resposta correta: c) Um subespaço que contém todos os seus limites de sequência de
Cauchy.
Explicação: Um subespaço fechado é aquele que, se contém uma sequência de vetores
de Cauchy, também contém o limite dessa sequência dentro do subespaço.