Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundação CECIERJ Cálculo II Cálculo de Áreas.Teorema do Valor Médio para Integrais � ����������� �� � ����� � ��� ��������� � �� � ������ �� ��������� � ����������������� � ��������� �� ����� ��� �� ����������� ������ ��� �������� � � ������� = � � � ��� � �!��� � �� ��� � � ������� �� �� = −∫"# $ # # $ # $$ � � � � � � � � � = = == −∫ ∫ " " � � " % % # $ # %$� � � � � � � � � ������� �� � � �!��� � �� ��� � ���� ��� � �� ≤ ≤" �� �� &����� � ���� � = �� '� = −# $ �� � � ��� =# $ %� � == − − −∫ ∫ � � � " " # $ (#� $ %) (� )� � � � � � − = − − + = = − − � � � � " " " � � � � # $ �#�$ �#"$� � � &������ = + = + = =" �# $ # $ # $� � � � � � � ���� � Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância Cálculo II – EP03 (2016/1) Gabarito Cálculo de Áreas.Teorema do Valor Médio para Integrais � �� � ����� ��������� � �� � ������ �� ��������� � ����������������� ������� ������*���� ������� �� ����� ��� �� ����������� ������ ��� �������� � � ������� "� � � �!��� � �� ��� � ���� ��� � �� �� � �!��� � �� ��� � ���� � �+�� �� = %� �� � � � ≤ ≤% "� '� ����� � ���� � ,�� � � � � -�� � = −# $ # # $ # $$� � � � � � � ������� = %� '� = "� ' = �# $� � � ��� # $ %� � = = = ∫ ∫ "� % � � " � � � � � � � � � � ��� �������-�� �� � �!��� � �� ��� � ���� ��� � �� = −�� � ��� � �!��� � �� ��� � ���� � �+�� �� �� &����� � ���� � ,�� � � � � -�� � ������ � �� �� = −∫�# $ # # $ # $$ � � � � � � � � � =# $ %� � ���������� == − − −∫ ∫ � � " " # $ (#� $ %) (� )� � � � � � = − �� " � � � � � − = − − + = = − − � �� " " " . � � � � � � # $ �#�$ �#"$ � ��� �������-�� �� + = + = + = =" � " " � � � # $ # $ # $ � � / / � � � � � � �� ��� �������-�� �� Vice Presidência de Educação Superior a Distância Cálculo de Áreas.Teorema do Valor Médio para Integrais ����*���� "� ������� �� ��0��� � � � �!��� � �� ��� � ���� ��� � �� '� ����� � ���� � ,�� � � � � -�� � =# $ %� � ��������� �� � �!��� � �� ��� � ���� � �+�� �� = %� ��� = −# $ # # $ # $$� � � � � � � ������ � = "� '� 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � �� � ���/� � ������������ � �� � ���/�� �� ��������� � ����������� ������� !��� ����+�� � '��������������'����� �+�����'�� �� � �� �-�� ����������;��� �-�� �� �������� �� �� ����������;��� �-�� �� ���������� "� �� � � ������� �� � � �!��� � �� ��� � ���� ��� � �� = � � � ��� � �!��� � �� ��� � ���� � �+�� �� = − .�� � ��� ≤ ≤% "� �� &����� � ���� � ,�� � � � � -�� � ������ � �� �� = −∫�# $ # # $ # $$ � � � � � � � � � ������ � = %� '� = "� '� = �# $� � � ��� = − .# $ �� � � ���������� = += − −∫ ∫ � . � . " " � % % $ �# $ (# # � ) ( )� � � � � � � � + = = + = = = + + "� � � � % " " " � � / "" � � � � � � "� "� � � �� � ��� �������-�� �� � 3��� �������� = = =� "" �� # $ � # $ �# $ "� "� � � � � � ��� �������-�� �� � � � ������������ ��������� ���� ��������� � ���� ������ � ���� ��� �� �� 3yx = �� 2yx = ��� � � y � ��� ������ ���[0,1] ��� � � �� � ���<� � � � �� � ���<� ������ ���� �������� ���������'��������� �� �������������������� � �������� � �� � ��� ���� ����� { }= ≤ ≤ ≤ ≤� �# ' $' % "'� � � � � � � '������� � ���� � ,�� � � = −∫# $ # # $ # $$ � � � � � � � '������ = % '� =" '� = �# $� � � ��� = �# $� � � ���� �� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � − = − = − = − = = ∫ "" � . � � % % " " . � " # $ # $ � . � . "� "� � � � � � � � � ��� �������-�� �� � � ������������� � �� � ���=�� �� ��������� � ����������������� ������� ������*���� "� ������� �� �� � �� � ���=� � � �������� "� � � �!���� ������ �� �����-�>������� � ������� � = −�� � ��� � �!����������� � �!��� � �� ���-� >� ��� ��� � ����� �� � = − �# "$� � �� � � ≤ ≤" �� �� &����� � ���� � ,�� � � � � -�� � ������ � �� �� = −∫"# $ # # $ # $$ � � � � � � � ������ � = " '� = � '� = −# $ �� � � ��� = − �# $ # "$� � � ���������� = − − −∫ � � " " # $ (� # "$ )� � � � � '�������� − + = + − = = + − = − − − − + −∫ ∫ ∫ � � � � � � " � � � " " " " � � � � � # $ (� # "$) (� ") (� ) � � � � �� � � � � � � � � � � � − − + − − + − = + − − − + = − − = == � � � � " � � " " = " " < " �. ". � < �#�$ $ #�#"$ $ . � � . � � � � � � � � � / / # $ #� � ��� �������-�� �� � � �������� �� � � �!���� ������ �� �����-�>������� � ������� � = �� � ��� � �!����������� � �!��� � �� ���-� >� ��� ��� � ����� �� � = %� �� � � ≤ ≤% "� �� &����� � ���� � ,�� � � � � -�� � ������ � �� �� = −∫�# $ # # $ # $$ � � � � � � � ������ � = % '� = " '� =# $ �� � � ��� =# $ %� � ���������� = −∫ " � % # $ (� %)�� � � ? = = ∫ " � "� � � % " % . � � � � � � � � @���� + = + = + = = =" � < . < = "� � # $ # $ # $ / � / / � � � � � � � ��� �������-�� �� � ������������ �� � ����� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � ��� #�$�&��� !��� = �A� �� ���������� �����- �������� � �� �-��� ����������������������#%'A$���� �� ���� � � �� �+��� �&� ��� ������ = �� � ���� ��� !������ � �� �-��� ���������������#%'%$��� �� �� ���� � � ���� ��������- �������� ���� !*���������� ���� � �� � ���A�� � � �� � ���A� � � � ����� �� � ���"%� � #��$�3 � ��������� ��������������� �������!������������- ����� � ����������� ��������� ������ !*��� = = � � A�� � � � � �@����� ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±=� � � � A � �� A � � A� ��� � � ���@����� = A � � � &�������������������������!���������- ��������B�� � A ' $ � � � # �� − � A ' $ � � � # � #���$�3 � �� �� � �� �-�� �� ������������� � ������������- ������ ��������� � �� � �� � ���"%��������� � �'� � �!��� � �� ��� � ���� ��� � �� = − �A� � ��� � �!��� � �� ��� � ���� � �+�� �� = �� � ������ − ≤ ≤� � � � � � � �� &����� � ���� � ,�� � � � � -�� � ������ � �� �� = −∫# $ # # $ # $$ � � � � � � � � � ������� = − � � � � '� = � � � � '� = − �# $ A� � � ��� = �# $� � � ���������� − − == − − −∫ ∫ � � � � � � � � � � � � � � � $# $ (#A # ) (#A � )� � � � � � � − = − � � � � � � � A � � � � � − − − = − + −= − − � � � � � � � � � � � �� � � � # � �$ � � �< � �< � #A # $ #A # $ $ # $ # $ � � � � � � � � � � � � � � � � � @���� = − + − = − = A � A ��< � �< � # $ �< � A � "= � � � � � � � ��� �������-�� �� ��������� ������� ������������������� ������� !��� ����+���������������������� ������� �� � ��� � -�� �� ��������� � � ����; ���� �������� ��C��+ ���������� �D��� ���������� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � ��� #�$�&��� !��� + = − �� # "$� � ���������� �����- ���� ���� � �� �-��� ��������������������� � #��'"$��� � �� ����� � � ������� ���E-� + + = %� � "� � ���� ��� !������ � ���� ��� ��� �� �������������� #%'�":�$����#�":��'%$������- �������� ����!*���������� ���� � �� � ���""�� � � �� � ���""� � � � � � �� � ���"�� � #��$�3 � ��������� ��������������� �������!������������- ����� � ����������� ��������� ������ !*��� + = − + + = �� # "$ %� � " � � � � �� � � � � � � = − − − − = �# "$ � � � " � � � � �� � � � @����� − − = ⇔ − − = − − ⇔ − + − = − − ⇔ − −� � � � # "$ � �# "$ / � " �# � "$ / � " � " � � � � � � � ⇔ − + − = − − ⇔ − − = ⇔ − + =� �� . � / � " � � % #� �$# "$ %� � � � � �� �� @����� = −= � ' "� � �� �3��� ����� − − − = − = = − − − = − == � �� " """$ � � ' # " "$ � . � " � . . # �� � &�������������������������!���������- ��������B�� − "" � ' $ . � # �� ��� −"' "$�# � � #���$�� � �� � ���"�������� ���� �������� ���������'����������� �������������������� ��������� � � � � ��� ���� ����� − − = − ≤ ≤ − − ≤ ≤ �� � "# ' $' " ' # "$ � � � � � � � � � � '� � ����� � ���� � ,�� � � = −∫# $ # # $ # $$ � � � � � � � '������ = −" '� = � � '� − − = � " # $ � � � � '� = − −�# $ # "$ �� � � ������� �� � − − − − − − = − − − = − − + −∫ ∫ � � � � � � " " � " � " # $ # (# "$ �)$ # (# � " �)$ � � � � � � � � � � � − − − − = − − + + = − − + + ∫ � � � � �� � � " " � " � " # $ # � �$ � � � � . � � � � � � � � � � � � � � � − = + − � � � � " � # $ . � � � � � � � � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � − − = + − − + − − � � � �" � � � " � # "$ � # "$# $ # # $ # $ # $ # # "$ $ . � � � � � . � � � � � + − + − = + − − + − = + − + − = A A A " � " A A � " �< A/ �. <� "/ # $ � "/ . = . � � "/ = � � #"/$#�$ � � � � + − + − = = �< A/ �. <� "/ "�� # $ .= .= � � ��� �������-�� �� � ����������� �� � ����� � ������ ��� 2y x= ��� � �� �-��� ��������������������� (0,0) �� �� ����� � ���� ��� 3y x= ��� � �!���� �;� �F��� � ��� x �� &� �������!��� � �� � �� �� !*��� � � �� � ������ 0x = ��� 1x = ��������� ������� ��� �������!��� ���� (0,0) ��� (1,1) ���&�������� � �������� � �� � �� � ���"�'��� � �� � ���".�������� ��� �������� ���������� #� ���������� ����$������� ��� ������������������ � �� � ���".�� ������������ ������������ ����������� �� � ������� �� �������������- ������� = �� � ��� � ������� ��� ������������- ������� = � � � �� � �� � ���"�� � � � �� � ���".� � G��� ���� � �� � ���".�� �� � 14 3 3 1 3 23 0 1 1 2 0 0 3 1 5) ) 3 4 3 4 3 12 ( (( ) x xx xx dx x dxA R − = = − = − = = −∫ ∫ ��� �������-�� �� � ������������ �� � ����� � � � � � � �� � ���"�� � � � � � �� � ���"/� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � @�� ��;��� � �� � ���"�'���������������������!��� ( )0,0 ��� ( )1,1 �� ��� �� �� 2y x= ��� 3y x= ��&��������� R � ������ � � �� � ����� � �� ����*��� � 1R ��� 2R �� �� �������� � � �� � � ��"/� � �� � ��� ������ ��� ��������� ����� ������ ���� � � x �������%���"� � ������� �� �������������- ������� = �� � ��� � ������� ��� ������������- ������� = � � � ��E-������� ����������� ������������ ����������� ���� � � x �������"����� � ������� �� �������������- ���� ��� = � � � ��� � ������� ��� ������������- ������� = �� � ��������� ��'� ���������� !���� �-�� ������ ��� ��� � ��� ���� �� ��-�� ��� ������*���� 1R ��� 2R ���&����� � ���� � ,�� � �� �-�� �������� �� ��������B� 1 2( ) (R ) ( )A R A A R= + = 1 2 0 3[ ]x dxx +−∫ � 2 2 1 3 ][ dxx x−∫ � � � � � � = 1 1/3 2 0 [ ]x x dx +−∫ 2 1/3 2 1 ][ dxx x−∫ � � � � � � = 4/3 3 3 4/31 2 0 1 3 3 4 3 3 4 x x x x − − + � 3 33 1 8 3 1 3 5 7 3 3( (2 2)) ( ) ( 2) 4 3 3 4 3 4 12 3 4 2 = − + − − − = + + − � � 3 3 3 35 37 3 42 3 7 3 12 2 2 (7 3 2) 12 12 2 12 2 2 2 2 = + − = − = − = − �� ��� �������-�� �� � ������������ �� � ����� ��� ����� � �� � 2y x= ��� � � � �-��� � ��� �������� ��� ������ (0,0) �� �� ���� � � � ��� � �� 1y x = ��� � � D����������� ��-��� �������� �� ��� ���� �D������������-�������������� �� ��������� �������-���� ���������� �� �����1�������������� ��� − ≤ −≤� "� ���� �� � ��������� � ������ � �� � �� � ���"<���� � �� � ���"=�������� ��� �������� ����������#� ���������� ����$������� ��� ������������������������ �� � �� � ������� �� �������������- ������� = � � � ��� � ������� ��� ������������- ������� = " � � �� � � �� � ���"<� � � � �� � ���"=� � @���'� 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � 1 2 1 3 3 3 2 2 1 ( 1) 7) ln 2 3 3 3 3 ( 2)( ln | | ln | 1| ln | 2 |( ) x x x dx xA R − − − − − − = = − = + − = − − − − −∫ � ��� ���� ��� -�� �� � ��� ���������� ��� 2y x= �������- ������� � �� �-��� ������������� ��������� �� ����� � ���� '���������� � �� = ��� �� � � �!��� � ��� 3��� � ���� � ��� �� ��- ���� � � �!��� � � ���� ���� ���� ≥ = − < = % H H % � � � � � � � � �� ��������� ��� � �� �������� �� �� ��� ��� ��� ��������� � �� ��� ��� ���� � �� ���'� �������� � �� � ����� �� � � �!��� � ��� 3 � � ;��� �� ����!�� � ��� �+ ��� � � ������'� �� ������-���� � ��������� ��� �� ��� � �������������� ��� ��������� ��� � � ≥ %� � �������!������ = ��� ��� = �� �������� = ��� �� �� ������������ !*��� � 0x = �� � 1x = '��������������������������!������� (0,0) ��� (1,1) ��&� ��� �������� � � < %� �� ��������!������ = ��� � �� = −�� ������������������� ( 1,1)− ����&�������� � �������� � �� � �� � ���"A'�� � �� ≤− ≤� �� ���&� �� � � ���%��8���� �� �� � ��� � ��������.�� ������*���� ������� ������� "� '� �� '� �� ��� .� ���� ������������� ��� �������� ����������#� ���������� ����$������� ������ � �� ����������� � � �� � ���"A� � � � � � � �� � ����%� � ������ ����� ������ �� ������������������� ������� !��� ����+�� � ��&���������5�� # "� $?5�� # .� $��� 5�� # �� $?5�� # �� $'�������������5�� ����# � $?��5�� # "� $�I���5�� # �� $���@���� 2 1 3 2 0 1 ) 2 )2 ( (( ) xx x dx x dxA R − + −= ∫ ∫ � 1 32 3 3 2 3 2 0 1 1 1 3 3 1 12 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2( ) x x x xA R − + − = − + − − − = � 1 9 1 2 292 2 2 9 6 2 6 3 3 ( )A R − + − = + = = � ��� �������-�� �� � � � ����������� �����D������������������-�� ���� ���� �J������"�� ������- ������� sen 2xy = − ��������� ������� � ��� � � ����� !��� D���;��� �� � ���� �� �� � � �� ��+��� ��� ������ ��� ��+� � �� ��� ��- ���� ��� sen= xy '����� [0, ]pi∈x ��������������� �� ������������� �� � �� � ����"�� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � �� � ����"� � � � � �� � ������ � 3 � �� �� � �� �-�� �� �������� � �� � ������������������� �������������� ������*���� ��� � �������� ��� �>� ������ ����� ���� "� ���� �� ���K � � �� � ������� � � ������� "� ��������� ��� ������ ��� ��������� ����� ������ �'� � �� � ������� � � ������� �� �� ��- ���� ��� = ���� � ��� � ������� ��� �������� = −������ � ��L��� � ;��� ��������!���� ��� �� ��� � �������� ����������� ���������!���� ������'��K-�� ������ ���������� ���� � �� � ��� ��� %� = �� � 3����� ����������� ���������������������!����� ��� ��� �� ����������� ���[0, ]pi � pi pi pi = ∈ = − = − ⇔ = − ∈ + = ∈ ⇔ = = − ���� (%' ) ���� ���� ���� ���� � ��� ' (%' ) " ��� #" ���� $ %' (%' ) ���� % � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � ��������� ���[0, ]pi '� ���F���� ���� �� ������������ ���� �������������������� pi== %' �� ��� pi= � � � '� ����� �������������������� ����� 0,y = ������F������ 3 2y = � @���� ��� ������� ��� �������!��� � �� � �� � �� �� ��� ������ ��� [0, ]pi ����� ��� ������� 0, 0)( '� , 0)(pi ��� 2 3 , ) 3 2 ( pi ��0����� [ ] pi pi pi pi = − − = + = +∫ ∫ ∫ ∫ � � � � � � � � " % % % % # $ #��� $ # ����� $ ����� ������ � � � � � �� � � � � � � � � � ] pi pi pi pi − − − = − + + − + = + + + = − 123 123 � � � � % % " " � � " " � " . " " " ���� # ���%$ # ��� ���%$ " # "$ � � � � � � � # $ ���� ������ � � �� @���� =" A . # $� � � ��� �������-�� �� �� �������� �� ���������� ������������ ����������� �'���������� �� � ������� � � �������������- ������� = −������ � ��� � ������� ��� �������� = ���� � ��������������������!���K-� ��� �D ��� ���������� ��� ��������� ��� ����������� � � �� 2[ , ] 3 x pi pi∈ �� &����� ] pi pi pi pi pi pi pi pi pi pi + = − − = − − =∫ ∫ ∫ �� � � � � � � � � � " " ���� ��� � � # $ # ����� $ # $ ������ ���� � �� � � � �� � � � � � � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � { pi pi pi pi − − − − + = + + − + == −123 123 14243"" ":� ":� � " . " " " " #���� ��� $ # $ #" $ # " $ � � � � � � . � # $ ���� ����� � � ��� �������-�� �� �� ������������ = + = == +" � A " "% � . . . � # $ # $ # $� � � � � � � ��� ������-�� �� � ����������� �� � ����� � ��� M����; ���� ������� ����������� ��� �� ����������� �� 2 2 26 7 6 9 9 7 ( 3) 16y x x x x x= + − = + + − − = + − 216 ( 3)y x⇒ + = + � @��������- ����� ��� !���� � ��� � �� �-��� ���������������#��'�"/$�� �� ����� � ���� ������ ����� � � �� � ���������&� ��� �����'�������� ����� �� ����������� �� 2 2 2 2 24 5 ( 4 4) 4 5 ( 2) 9 9 ( 2) 9 ( 2)y x x x x x x y x= − − + = − + + + + = − + + = − + ⇒ − = − + C������������������ ���� ������- ����� ��� !���� � ��� � �� �-��� ������������#��'A$�� �� ���� � � �� �+�������������� ���� � �� � ����.�� � � �� � ������ � � � � �� � ����.� 3���� ����� �������-�� ���"��� ������� ������- ������� | |y x= � G� � � �!��� � ���� ���� ��� ����� ����� � � �� � � ������ C�� �J������ "� ������ � �� | 5 |y x= − ��� �� ������ ������D���;��� ������� ��� ����>������� '�������� ��� ����� � �� � ����/�� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � �� � ������� � � ����� � �� � ����/� 1������� ���� ��� ������ ���� � ���� � � � � � � � � � �� �!*��� �������� �� ��- ���� � � �!��� � �� �� �� ����� ���� � �� � ����<�� � � � �� � ����<� � � � � � �� � ����=� ��������� �� ;����� ��������!���� ���� !*��� 2 2 6 7 4 5 y x x y x x = + − = − − + ����� �� �� 20 5 6x x= + − �0 ( 6)( 1)x x⇔ = + − 6 ou 1x x⇔ = − = � &����� � � � 6x = − ���� �� � � � � 36 6( 6) 7 7y = + − − = − ��� @���� ( 6, 7)− − ��� �� ������ ��� �������!��� � �� �������� �������� ���� � ��� ��������� �� � − − − − = + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = / % � = < < / % � # $ # $ # $ # $ # $ � � � � �� � � � � � � � � � � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � &������������ ���� � �� � ����<�������� �� � − − − − + − − − += + + +− −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ � � = / % � = < < / % � # / < $ # . � $# $ #� $ # �$� � � � � � � � �� � � � � � ��#N$� @���� � − − −− + − − − + −= + + − +∫ / % � =� � � � � � < / % � = < / < . � � � � � � � � �# $ � � � � � �� � � � �� � � − − − − + − − − − + − − − − − − + − + + − − − = − − ∫ � � � � � � � � � = < # /$ # <$ # <$ �# /$ <# /$$ # / <# <$$ � � � # /$ � = � �# /$ �# /$$ # �#=$$ # �#�$$ � � � � # # �#�$ # $ �� � � − − − + + − + + − − − + + − − − = − ∫ = < �"/ # �.�$ "%= .� # �#.A$ .A$ � � �"/ �� /. �� <� �% # .%$ # ��$ � � � � �� # $ �� � − − + + − − − − + + − − + =∫ = < �"/ �.� �"/ �� �� "�% ".< .A "%� �� .% �� � � � � � # $ �� � [ ] − − + + − − − + + − + =∫ = < �.� �� �� <� "�% "A/ <� "%� = � � � # $ �� � � − − − + − + + + = + = − + = = =∫ = < �.� �� A �.� ��. "" "" "." "�% ""= �% .< .< � � � � � � � # $ �� � � � 3 � ���������� �������� �� ����������������-�� �'���������� � �� � ����=�� �� � �!���� = # $� � � � � �� ������ � � �� �� � �� ;���� � ��� ������ ��� � − −�)( <' ��� � �!��� = # $� � � � �� � ���� � � �� �� � �� ;���� ��� ������ ��� −�' =)( �� @����� ������� ���� ���� �� � ������������������� � ������ ��� ����! ����-�� �B� � 1 2 3 4 2 3 4 1 8 7 ) ) Area( ) Area( ) ( ) Area( ) Area( )) ) Area( Area( Area( Area( ( ) dx R R R R R R R R f x − + + + = + + = − − ∫ � � ����� 1R ��� �������� � �+�������+�� x ��� ��� ������- ������� f ������ ∈ − −�)( <'� '� 2R ��� �������� ��� � ��� ��+�� x ��� � �+�� ��� ��- ���� ��� f ������ ∈ −� %)( '� �'� � � 3R ��� � ������� ��� � ��� ��+�� x ��� � �+�� ��� ��- ���� �� f ����� ∈ %'�) �(� � 4R ��� � ������� ��� � ��� ��+�� x ��� � �+�� ��� ��- ���� �� f ����� ∈ �'=)(� � 1������� ����� ������� ���� ���� �����������'����������� �� �� �-�� ���� ��� ����������� ��� ������+�� � ��� � ����� �� �-�� ���� ��� ��������� � �+�������+�� � ���������������������� � �� � ���/�� � � � ��������� ����������������-������������ � �-�� �� ��������� R ������ 1 2 3 4R R RR R ∪ ∪ ∪= '� ����� � 1 2 3 4) ( ) ( ) ( )( ) ( A R A R A RA R A R + + += � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � �� � ����A� M� ���� � ,�� � �����-�� ������-�� �������� �� ��������� �� ��������������������� ������� ������*��'������ − − − − = − + −∫ ∫ / � " < / # $ #% # $$ #% # $$� � � � � � � � � � ����K � − − − − − − − − = − + − = − − + + −+∫ ∫ ∫ ∫ / � � � " < / / � < / # $ #% # $$ #% # $$ # / < $ # . �$� � � � � � � � � � � � � � � � − − − − = − − + + − − − − − − − = − − − − − − − − + − + + − − − + − − + / �� � � � " < / � � � � � � � � # $ / < . � � � � � # /$ # <$ # �$ # �$ # /$ # /$ �# /$ .� �# <$ <# <$ . �# �$ . �# /$ � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) = − − − − − + − + − − + " �.� "�� # $ <� "%= .� ".< .A <�$ <� "%� � � � � � ( ) = − − + + − " �.� "%% # $ <= "A/ �% � � � � � � − − = + = + = " ��. �.� "%% A% "" "% # $ < ��� �������-�� � � � � � � � � � &� ��� ������ − − − − −= = − − + = − − + = − − − + − ∫ ∫ %% % � � � � � � � � � # �$ # �$ # $ # $ # . �$ . � . �# �$ � � � � � � � � � � � � � � � � − + = − + + = − + = =� "�� "�� "�� ��� "%% # $ �% �� <� ��� �������-�� � � � � � � � � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � = = − = − = − = − = ∫ ∫ �� � � � � % % % � �� �� # $ # $ #� $ � �#�$ �� ��� �������-�� � � � � � � � � � � � � � � � − = = − = − = − − + = − + = ∫ ∫ == = � � � . � � � = � /. �� A # $ # $ # �$ � �#=$ �#�$ .% �� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � ���-�� ��� �� ������� 100 25 9 100 100 1727 7 17 24 unidades de área. 3 2 2 3 3 3 ( )A R + + + = + + = + == � � ����������� �� � ����� � ��� ����� � �� � = �� ��� � �!��� �+������� �� � � � �'� = "� ��� � � ��� � D���;��� �� �� ey x = ��� � � D����������� ��-��� '�������� �� ��� ���� �D������������-�������������� �� ��������� �������-���� ���������� �� �����1���� ������������� ���� �������������� �� ������� �� �� ��R �������� � �� � �� � ����%����������������������!���� ��� �� ��������� � �������#%'"$'��#�'�"$���#"'��$�� � �� � ����%� � ��� 3 � ��+����� ��� �-�� �� ��������R ������� !���>�� ��-����� x �� � '������������������� �������������� �� ����*���� ��� � �������� ��� �>������� � ���� ���� "� ��� � �� ���K � � �� � ����"��� �������� "� ��������� � �� ��� ������ ��� ��������� ����� ������ �'� � ������� � � ������� �� �� ��- ���� ��� = '�� �K-� � ������� � �� �������� ="�� �� �������� � '� ���������� ������������ ����������� �'����������� �� � ������� �� ��������� ����- ������� ey x = ��� � ������� ��� �������� = "� �� � �� � ����"� @���� � = − + −= + ∫ ∫ " % " " � # "$ # "$# $ # $ # $ � � � � � � � � � � � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � � � � � 3 � � ��������� �� � -�� � � � �������R ���� ��� !��� >� � ��-���� � y �� ����� � �� ������ � ��� ���� �� �������� �������� ��� ����*��� � �� � �+����� �� � ������� � � � � ����� � ∈ ≤ ≤ ≤ ≤�O# ' $ :" ' �� P � � � � � � �� R ��� � � �� � �������������� ���������� ������������ �����D���;��� �� �� �� � ������� �� �������������� ��� ����� ��- ������� = � � ��� � ������� ��� �������� = ��� � �� � � �� � ������ @���'� 1 )( ln( ) e e y y dyA R −= ∫ � � � ��� ������� ��� � ������ ��� ���������������������������� � ������ ������+���������#�$'������ � ������ ����� � ����#�$���� ��� � ����; !������ ������������������ !����� �� ��� ����� ������ � �����3���� ����� ��� � ���������1-�� ���"�� ������ ( ) ln | |G x x= '�������� 1( )G x x ′ = ��3��� ���� 1 0 1 1 10 ( 1) ( 1)( ) ln | | e x exee dx dx x A R e x e x x − + −= − + −=∫ ∫ � { { 01 ( ) ( 1) 1 ( ln ) ( ln1 1) 2 1 1A R e e e e e e e= − − + − − − = − + = − � ��� �������-�� �� � � ����������� �� � ����� � @���������� ����6����� ����� ����������� � ������� �����;������ ����B� Q���� :[ , ]a b e f a b< →R ����������� ������[ , ]a b '�������+������ [ , ]c a b∈ �� ��� ������ � � � � .( ) ( ) ( ) b a f x dx f c b a= −∫ � ������� ��'������� ���� ��� 3 [1,3]1 :e f< →R ���� ���� ������� = � A # $ � � � ���������� �����[1,3] ��@���� �����6����� ����7 ����8������ � �2����� ��'�������+����� [1,3]c∈ �� ��� �� � 1-�� ���22� 03%��4�1-�� ������5�� ���678�� � ������� ����4��9 � ����� �%"/:" Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ � � � �� � � � � { 3 3 ( ) 3 3 1 9 18( ) (9 3 1) f c c c dx x = − =∫ � � � � � � � � #N$� 0�����F����� 3 9( ) c f c = ����D � ������ ����������#� ������ $����� f ���������� ���[1,3] �� 3���� ����� ��� � 3 3 33 1 2 3 2 2 2 111 3 1 9 9 9 9 9 1 9 4 2 2 2 2(3 ) 2(1 ) 2 29 x x x x dx − + − = − = − = − + = − + = − =∫ � � � #NN$� � 1��� � ����#N$�����#NN$���� �� � 3 3 3 3 18 9 94 4 18 2 2 c c c c = ⇔ = ⇔ = ⇔ = �� @���� �� �� ��� � �� �+����� � [1,3]c∈ '� � � � � � �� � �� � �!��� f � �� ��� ����� � ���� ������� �� � ���� ��������� f ���� �� ������� � 3 3 3 9 9 9 18 2 92 99 22 ( )f = = = = �� 7�K �� � �� � ������ � � �!��� � ,f �� ���� ����������� � �!��� f ����� ������ ���[1,3] �� ������������ ���� ���� 3 9 2 c = �� � ���� �� � �!��� �� ������ �����������&������������ ��� ���� ����� � ������ �� � 3 3 1 9 dx x∫ ����� ������� ����� �-�� ���������� ������� ���3 1 2− = ����� �� � �� ( ) 2f c = �� � � � � � � � �� � ������
Compartilhar