Buscar

EP03-C2-2016-1-Gabarito

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ 
Cálculo II
Cálculo de Áreas.Teorema do Valor Médio para Integrais
�
�����������	
��
�
�����
�
��� ���������	�
��
�	������
��	���������	�	�����������������
�
��������� �� �����	��� �� ����������� ������
��� �������� �	� �������
=
�
� � ��� 	� 
�!��� �
�� ���	� �
�������
��	�� = −∫"# $ # # $ # $$
�
�
� � � � � � 	�
= = == −∫ ∫
" "
� �
"
% %
# $ # %$� � � 	� � 	�
�
�	� ������� �� �	� 
�!��� �
�� ���	� ���� ���	� ��
≤ ≤" �� �� &����� 
�	���� 	� 
= �� '� = −# $ �� � � ��� =# $ %� �
== − − −∫ ∫
� �
�
" "
# $ (#� $ %) (� )� � � 	� � 	�
   
− = − − + =   
   
= − −
� �
�
� " " "
� � � �
# $ �#�$ �#"$� �
�
&������ = + = + = =" �# $ # $ # $� � � � � �
�
����
�
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
Cálculo II – EP03 (2016/1) Gabarito 
Cálculo de Áreas.Teorema do Valor Médio para Integrais
�
��
�	�����
���������	�
��
�	������
��	���������	�	�����������������	�������
������*����
������� �� �����	��� �� ����������� ������
��� �������� �	� ������� "� �	� 
�!��� �
�� ���	� ���� ���	� ��
�� 	� 
�!��� �
�� ���	� ���� �	�+�� �� = %� �� �	�	� ≤ ≤% "� '� 	����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	�
= −# $ # # $ # $$� � � � � � 	� ������� = %� '� = "� ' = �# $� � � ��� # $ %� �

= = =

∫ ∫
"�
%
� � "
� �
�
� � � 	� � 	�
�
���	�������-��	��
	� 
�!��� �
�� ���	� ���� ���	� �� = −�� � ��� 	� 
�!��� �
�� ���	� ���� �	�+�� ��
�� &����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	� ������ �
��	�� = −∫�# $ # # $ # $$
�
�
� � � � � � 	�
=# $ %� � ����������
== − − −∫ ∫
� �
" "
# $ (#� $ %) (� )� � � 	� � 	�



= −
��
"
�
�
�
� �
   
− = − − + =   
   
= − −
� �� " " "
. � �
� � � �
# $ �#�$ �#"$
�
���	�������-��	��
+
= + = + = =" �
" " � � �
# $ # $ # $
� � / /
� � � � � � ��
���	�������-��	��
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
Cálculo de Áreas.Teorema do Valor Médio para Integrais 
����*���� "� ������� �� ��0���	�	�
	� 
�!��� �
�� ���	� ���� ���	� ��
'� 	����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	�
=# $ %� � ���������
�� 	� 
�!��� �
�� ���	� ���� �	�+�� �� = %� ���
= −# $ # # $ # $$� � � � � � 	� ������ � = "� '�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�	���/�
�
������������	� ��
�	���/��
��	���������	�	�����������	�������	!���	����+�� � '��������������'�����
�+�����'��	��
�	��	�-��	����������;���	�-��	��	�������� �� ��
����������;���	�-��	��	���������� "� ��
�	� ������� �� �	� 
�!��� �
�� ���	� ���� ���	� �� =
�
� � ��� 	� 
�!��� �
�� ���	� ���� �	�+�� �� = − .�� � ���
≤ ≤% "� �� &����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	� ������ �
��	�� = −∫�# $ # # $ # $$
�
�
� � � � � � 	� ������ � = %� '�
= "� '� = �# $� � � ��� = − .# $ �� � � ����������
= += − −∫ ∫
� . � .
" "
�
% %
$ �# $ (# # � ) ( )� � � � 	� � � 	�
 +
= = + = =

= + +
"� � � �
%
" " " � � / ""
� � � � � � "� "�
� �
��
�
���	�������-��	��
�
3���	�������� = = =�
"" ��
# $ � # $ �# $
"� "�
� � � � �
���	�������-��	��
�
�
� ������������
���������	����	���������	�	����	������	�	����	���
��	��
3yx = ��
2yx = ���	�	� y
�
���
������	���[0,1] ���
�
�
��
�	���<�
�
�	�
��
�	���<� ������	����
��������
���������'��������� ��
��������������������	� ��������	�	��	�
 ���	����
�����
{ }= ≤ ≤ ≤ ≤� �# ' $' % "'� � � � � � � '�������
�	����	� ,��
�	� = −∫# $ # # $ # $$
	
� � � � � � 	� '������ = %
 '�
="	 '� = �# $� � � ��� = �# $� � � ����
��	�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
 −
= − = − = − = =

∫
"" � .
� �
% %
" " . � "
# $ # $
� . � . "� "�
� �
� � � � 	� �
���	�������-��	��
�
�
�������������	�
��
�	���=��
��	���������	�	�����������������	�������
������*���� "� ������� �� ��
�
��
�	���=�
�
�	�������� "� �	� 
�!����	������	��
�����-�>�������	� ������� � = −�� � ���	� 
�!�����������	� 
�!���
�
�� ���-� >� ���
���	� ����� �� � = − �# "$� � ��	�	� ≤ ≤" �� �� &����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	� ������
�
��	�� = −∫"# $ # # $ # $$
	
� � � � � � 	� ������ � = "
 '� = �	 '� = −# $ �� � � ��� = − �# $ # "$� � � ����������
= − − −∫
�
�
"
"
# $ (� # "$ )� � � � 	� '��������

− + = + − = = + − 

= − − − − + −∫ ∫ ∫
�
� �
� � �
"
� � �
"
" " "
� � �
� �
# $ (� # "$) (� ") (� )
� �
� � �� � � � 	� � � 	� � � 	�
�
− −
+ − − + − = + − − − + = − − = ==
� � � �
"
� � " " = " " < " �. ". � <
�#�$ $ #�#"$ $ . � � .
� � � � � � � � � / /
# $ #� �
���	�������-��	��
�
�	�������� �� �	� 
�!����	������	��
�����-�>�������	� ������� � = �� � ���	� 
�!�����������	� 
�!���
�
�� ���-� >� ���
���	� ����� �� � = %� ��	�	� ≤ ≤% "� �� &����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	� ������ �
��	��
= −∫�# $ # # $ # $$
	
� � � � � � 	� ������ � = %
 '� = "	 '� =# $ �� � � ��� =# $ %� � ����������
= −∫
"
�
%
# $ (� %)�� � 	� ?

= =

∫
" �
"� �
�
%
"
%
.
� �
� �
�
� 	� �
@����
+
= + = + = = =" �
< . < = "� �
# $ # $ # $
/ � / / �
� � � � � � 
���	�������-��	��
�
������������	
��
�
�����
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
��� #�$�&���
	!��� = �A� �� ����������	�����- ��������
�	��	�-���	����������������������#%'A$����
��	����
�	�	��	�+��� �&�	���	������ = �� � ����	���
	!������
�	��	�-���	���������������#%'%$��� ��
��	����
�	�	����	��������- ��������	����
	!*����������	����	� ��
�	���A��
�
�
��
�	���A� � � � �����
��
�	���"%�
�
#��$�3	�	���������	��������������� �������!������������- ����� � ����������� ���������	������
	!*���



=
=
�
�
A��
�
�
� �
�@����� ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±=� � � � A � �� A
� �
A� ��� � � ���@����� =
A
�
� �
&�������������������������!���������- ��������B��
� A
' $
� �
�
# �� −
� A
' $
� �
�
# �
#���$�3	�	��	��
�	��	�-��	��	�������������	�	������������- ������	���������	�	��	� ��
�	���"%���������
�
�'�
	� 
�!��� �
�� ���	� ���� ���	� �� = − �A� � ��� 	� 
�!��� �
�� ���	� ���� �	�+�� �� = �� � ������
− ≤ ≤� � � �
� �
� �� &����� 
�	���� 	� ,��
�	� �	� -��	� ������ �
��	�� = −∫# $ # # $ # $$
�
�
� � � � � � 	� �������
= −
� �
�
� '� =
� �
�
� '� = − �# $ A� � � ��� = �# $� � � ����������
− −
== − − −∫ ∫
� � � �
� �
� � �
� � � �
� �
$# $ (#A # ) (#A � )� � � � 	� � 	�
−



= −
� �
� �
� �
�
A
�
�
�
�
�
−
− − = − + −= − −
� �
� �
� �
� � � � � �� � � � # � �$ � � �< � �< �
#A # $ #A # $ $ # $ # $
� � � � � � � � � � � �
� � � �
�
@����
= − + − = − =
A � A ��< � �< �
# $ �< � A � "= �
� � � �
� � 
���	�������-��	��
���������
�������	�������������������	�������	!���	����+����������������������	�������	��
�	���	�
-��	��	���������	�	�
����;	����	��������	��C��+	����������	�D���	����������
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
��� #�$�&���
	!��� + = − �� # "$� � ����������	�����- ���� ����
�	��	�-���	��������������������� � #��'"$���
�
��	�����	�	�	�������	���E-� + + = %� � "� � ����	���
	!������
�	����	���
���	��	��������������
#%'�":�$����#�":��'%$������- ��������	����!*����������	����	� ��
�	���""��
�
�
��
�	���""� � � � � � 
��
�	���"��
�
#��$�3	�	���������	��������������� �������!������������- ����� � ����������� ���������	������
	!*���
 + = −

 + + =
�� # "$
%� � "
� �
� � �� � �
� � � �
 = − −




− −
=
�# "$ �
�
� "
� �
�
� �� � �
� @�����
− − = ⇔ − − = − − ⇔ − + − = − − ⇔
− −� � �
�
# "$ � �# "$ / � " �# � "$ / � "
� "
� � � � �
�
�
⇔ − + − = − − ⇔ − − = ⇔ − + =� �� . � / � " � � % #� �$# "$ %� � � � � �� ��
@����� = −=
�
' "�
�
�� �3���	�����
−
− − = − = = − − − = − ==
� �� " """$ � � ' # " "$ � . � "
� . .
# ��
�
&�������������������������!���������- ��������B�� −
"" �
' $
. �
#
��
��� −"' "$�#
�
�
#���$��	�
��
�	���"��������	����
��������
���������'�����������
��������������������	���������	�	�
�	� ���	����
�����
− − 
= − ≤ ≤ − − ≤ ≤ 
 
�� � "# ' $' " ' # "$ �
� �
�
� � � � � � '� � ����� 
�	���� 	� ,��
�	�
= −∫# $ # # $ # $$
	
� � � � � � 	� '������ = −"
 '� =
�
�
	 '�
− −
=
� "
# $
�
�
� � '� = − −�# $ # "$ �� � � �������
��	�
− −
− − − −
= − − − = − − + −∫ ∫
� �
� �
� �
" "
� " � "
# $ # (# "$ �)$ # (# � " �)$
� �
� �
� � � 	� � � 	�
−
−
− −
= − − + + = − − + + 

∫
� �
� � �� �
�
" "
� " � "
# $ # � �$ � �
� � . � � �
� � � �
� � � � 	� � �
�
−

= + − 

�
� � �
"
�
# $
. � �
� �
� � �
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
− −
= + − − + − −
� �
� �" � � � " � # "$ � # "$# $ # # $ # $ # $ # # "$ $
. � � � � � . � �
� � �
+ − + −
= + − − + − = + − + − =
A A A " � " A A � " �< A/ �. <� "/
# $ �
"/ . = . � � "/ = � � #"/$#�$
� �
�
�
+ − + −
= =
�< A/ �. <� "/ "��
# $
.= .=
� � 
���	�������-��	��
�
�����������	
��
�
�����
�
������
���
2y x= ���
�	��	�-���	��������������������� (0,0) ��
��	�����	�	����	��� 3y x= ���	� 
�!����	�;�
�F���	� ��� x �� &� �������!��� �	�� �
	�� ��
	!*��� �	� ��	�	������ 0x = ��� 1x = ��������� ������� ��� �������!���
���� (0,0) ��� (1,1) ���&�������� � ��������	�	��	�
��
�	���"�'���	�
��
�	���".��������	���
��������
����������
#�
����������	����$�������	���	������������������	�
��
�	���".��
������������
������������	�����������	��	�
 �������	��
�������������- ������� = �� � ���	� �������	��� ������������- ������� =
�
� � ��
�
��
�	���"�� � � � 
��
�	���".�
�
G���	����	�
��
�	���".��
��
�
14 3 3
1 3 23
0
1 1
2
0 0
3 1 5) ) 3
4 3 4 3 12
( (( ) x xx xx dx x dxA R − = = − = − =

= −∫ ∫ 
���	�������-��	��
�
������������	
��
�
�����
� � � �
� � 
��
�	���"�� � � � � � 
��
�	���"/�
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
@��	��;���	�
��
�	���"�'���������������������!��� ( )0,0 ��� ( )1,1 ��	���
��	�� 2y x= ��� 3y x= ��&��������� R �
������	�	� �� 	� 
����� �	�� ����*��� � 1R ��� 2R �� �� �������� �	� 
��
�	� ��"/� �
�� � ��� ������
��� ���������	�����
������	����	�	� x �������%���"�	� �������	��
�������������- ������� = �� � ���	� �������	��� ������������- �������
=
�
� � ��E-�������
�����������
������������	�����������	����	�	� x �������"�����	� �������	��
�������������- ����
��� =
�
� � ���	� �������	��� ������������- ������� = �� � ���������	��'�	����������	!����	�-��	������	��� ���	�
���	����	��	��-��	���	������*���� 1R ��� 2R ���&�����
�	����	� ,��
�	��	�-��	��������
��	��������B�
1 2( ) (R ) ( )A R A A R= + =
1
2
0
3[ ]x dxx +−∫ � 2
2
1
3 ][ dxx x−∫ � �
� � � � =
1
1/3 2
0
[ ]x x dx +−∫ 2 1/3
2
1
][ dxx x−∫ � � �
� � � =
4/3 3 3 4/31 2
0 1
3 3
4 3 3 4
x x x x        − −           
+ �
3 33 1 8 3 1 3 5 7 3 3( (2 2)) ( ) ( 2)
4 3 3 4 3 4 12 3 4 2
         = − + − − − = + + −             
� �
3 3 3 35 37 3 42 3 7 3 12 2 2 (7 3 2)
12 12 2 12 2 2 2 2
= + − = − = − = − ��
���	�������-��	��
�
������������	
��
�
�����
��� ����� �
�� �
2y x= ��� 
�	� �	�-���	� ��� �������� ��� ������ (0,0) ��
�� 	���� �	�	� ���	� �� 1y
x
= ��� 
�	�
D�����������
��-���	��������
��
���	����	�D������������-��������������
	��	���������
�������-����
����������
	��	�����1��������������
��� − ≤ −≤� "� ����
��	�	��������� � ������	�	��	�
��
�	���"<����	�
��
�	���"=��������	���
��������
����������#�
����������	����$�������	���	������������������������	��
�
��	� �������	��
�������������- ������� =
�
� � ���	� �������	��� ������������- ������� =
"
�
�
��
�
�
��
�	���"<� � � � 
��
�	���"=�
�
@���'�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
1
2
1 3 3 3
2
2
1 ( 1) 7) ln 2
3 3 3 3
( 2)( ln | | ln | 1| ln | 2 |( )
x
x
x dx xA R
−
−
−
−
    
−
− = = − = +   
    
−
= − − − − −∫ �
���	���� ���
-��	��
�
��� ����������
���
2y x= �������- �������
�	��	�-���	�������������	���������
��	�����	�	����	'����������
�
�� =
��� �� 
�	� 
�!��� �	��� 3��� �
���� �	��� �� ��- ���� �	� 
�!��� � �	���� 	����
����
≥
= 
− <
=
%
H H
%
� �
 �
�
� �
 �
� �� ��������� ��� �
	�� ��������	�� ��	���	��� ��� ��������� � �� ��� ���
���� �
	��	���'�
�������� �
�� �	����� �� 
�	� 
�!��� �	��� 3	�	� 	;��� 
�� ����!�� �	��� �+	��� �	� ������'� �� ������-����
�	���������	���
��	���	�	��������������	���
���������
���	�	� ≥ %� 	� �������!������ = ��� ��� = �� �������� = ��� ��
�� ������������
!*��� � 0x = ��
�
1x = '��������������������������!������� (0,0) ��� (1,1) ��&�	���	��������	�	� < %� ��	��������!������ = ��� �
�� = −�� ������������������� ( 1,1)− ����&�������� � ��������	�	��	�
��
�	���"A'��	�	�� ≤− ≤� �� ���&�
��
�	�
���%��8����	��
�� � ���	�
��������.��
������*����
�������	������� "� '� �� '� �� ��� .� ����	�������������	���
��������
����������#�
����������	����$�������	������	�	��
�����������
�
�
��
�	���"A� � � � � � � 
��
�	����%�
�
������	�����	������
��	�������������������	�������	!���	����+�� � ��&���������5��	# "� $?5��	# .� $���
5��	# �� $?5��	# �� $'�������������5��	����# � $?��5��	# "� $�I���5��	# �� $���@����
2
1 3
2
0 1
) 2 )2 ( (( ) xx x dx x dxA R − + −= ∫ ∫ �
1 32 3 3 2 3 2
0 1
1 1 3 3 1 12 2 2 2
2 3 3 2 2 3 3 2 3 2
2( ) x x x xA R         − + − = − + − − −       
        
= �
1 9 1 2 292 2 2 9
6 2 6 3 3
( )A R −     + − = + =     
     
= �
���	�������-��	��
�
�
� �����������
�����D������������������-��
����
����	�J������"��
������- ������� sen 2xy = − ���������
������� � ��� 
�	� �����	!��� D���;���	�� � ���� �� �� 
�	� �� ��+��� ��� ������ ��� ��+� � �� ��� ��- ���� ���
sen= xy '����� [0, ]pi∈x ���������������	��	�������������	��	�
��
�	����"��
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�	����"� � � � � 
��
�	������
�
3	�	��	��
�	��	�-��	��	�������� � ��	�	�������������������	��������������
������*����
���	�	��������
���	�>�
������	�����	���� "� ���� �� ���K	�	� ��
�	�������
�	� ������� "� ��������� ��� ������
��� ���������	����� ������	�'� �
�� 	� �������	� �
������� �� �� ��- ���� ���
= ���� � ���	� �������	��� �������� = −������ � ��L���	� 	;���	��������!����	���
��	���	�	��������	�����������
���������!����
������'��K-��
������ ����������	����	� ��
�	���
��� %� = ��
�
3�����	�����������	���������������������!�����	���
	���
��	�����������	���[0, ]pi �
pi
pi
pi
=
∈
= −
= − ⇔ = − ∈
+ = ∈ ⇔ = = −
����
(%' )
����
���� ���� ���� � ��� ' (%' )
"
��� #" ���� $ %' (%' ) ���� % �
 ���
�
� �
�
� �
� � � �
�� � �
� � � � �
�
���������	���[0, ]pi '�	���F����	����
	��	������������	����	�������������������� pi== %' �� ��� pi= �
�
� '�	�����
��������������������	����� 0,y = ������F������ 3 2y =
�
@���� ��� ������� ��� �������!��� �	�� �
	�� �
��	�� ��� ������	��� [0, ]pi ����� ��� ������� 0, 0)( '� , 0)(pi ���
2 3
, )
3 2
( pi ��0�����
[ ]
pi pi pi pi
  = − − = + = +∫ ∫ ∫ ∫
� � � �
� � � �
"
% % % %
# $ #��� $ # ����� $ ����� ������ � � � 	� �
�� � 	� �
� � 	� � 	� �
]
pi
pi pi pi
− −

− = − + + − + = + + +
= −
123 123
� �
� �
%
%
" "
� �
"
" � " . " " "
���� # ���%$ # ��� ���%$ " # "$
� � � � � � �
# $ ���� ������ � � �� @����
="
A
.
# $� � �
���	�������-��	�� ��	�������� �� ����������
������������	�����������	�'����������
��	� �������	�
�
�������������- ������� = −������ � ���	� �������	��� �������� = ���� � ��������������������!���K-� ���	�D	���
����������	 ���	���������
���	�����������
�	�	��
2[ , ]
3
x
pi
pi∈ ��
&�����
]
pi
pi
pi
pi
pi pi pi
pi pi pi
 +   
= − − = − − =∫ ∫ ∫ �� �
�
�
� � �
� � �
" "
���� ���
� �
# $ # ����� $ # $ ������ ���� � �� � � �
�� 	� � 	� � 	� �
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
{
pi
pi
pi
pi
−
− −
− + = + + − + == −123
123 14243""
":� ":�
�
" . " " " "
#���� ��� $ # $ #" $ # " $
� � � � � � .
�
# $ ���� ����� � �
���	�������-��	��
��	������������ = + = == +" �
A " "% �
. . . �
# $ # $ # $� � � � � � �
���	������-��	��
�
�����������	
��
�
�����
�
��� M����;	����	�������	�����������	���
	��	�����������
��
2 2 26 7 6 9 9 7 ( 3) 16y x x x x x= + − = + + − − = + − 216 ( 3)y x⇒ + = +
�
@��������- �����	���
	!����	�	���
�	��	�-���	���������������#��'�"/$��
��	�����	�	����	������
�����	�	� ��
�	���������&�	���	�����'��������	�����
	��	�����������
��
2 2 2 2 24 5 ( 4 4) 4 5 ( 2) 9 9 ( 2) 9 ( 2)y x x x x x x y x= − − + = − + + + + = − + + = − + ⇒ − = − +
C������������������
����
������- �����	���
	!����	�	���
�	��	�-���	������������#��'A$��
��	����
�	�	��	�+��������������	����	� ��
�	����.��
�
�
��
�	������ � � � � 
��
�	����.�
3����
�����	�������-��
���"���	�������
������- �������
| |y x=
�
G� 	� � 
�!��� �	���� 	����
��� ����� �����	� 	� ��
�	� ������ C�� 	�J������ "� ������ �
�� | 5 |y x= − ��� ��
������	������D���;���	�������
���	����>�������	'��������
���	�����	� ��
�	����/��
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�	������� � � ����� � 
��
�	����/�
1�������	���� ��� ������	���� �	���� �	�	� �	�	� 
�	� �	�� 
�!*��� �������� �� ��- ���� �	� 
�!��� � ��
�� ��
�����	����	� ��
�	����<��
�
�
�
��
�	����<� � � � � � 
��
�	����=�
���������
�� 	;�����	��������!����	����
	!*���
2
2
6 7
4 5
y x x
y x x
 = + −

= − − +
�����
��	��
20 5 6x x= + −
�0 ( 6)( 1)x x⇔ = + − 6 ou 1x x⇔ = − =
�
&����� � �	�	 6x = − ����
��	� � � � 36 6( 6) 7 7y = + − − = − ��� @���� ( 6, 7)− − ��� �� ������ ��� �������!��� �
��
��������	��������	����
�
��� ���������
��
�
−
− − −
= + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= / % � =
< < / % �
# $ # $ # $ # $ # $	� 	� 	� 	� 	�� � � � � � � � � �
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
&������������	����	� ��
�	����<��������
��
�
−
− − −
+ − − − += + + +− −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
� �
= / % � =
< < / % �
# / < $ # . � $# $ #� $ # �$� � � �	� 	� 	� 	� 	�� � � �
� � ��#N$�
@����
�
−
− −−
   
   
   
+ − − − + −= + + − +∫
/ % � =� � � � � �
< / % �
=
<
/ < . � �
� � � � � �
�# $ � � � � � �� � �	� �� �
�
−
 − − −
+ − − − − + − − 
 
     −
− − − + − + + − − −     
     
=
− −
∫
� � �
�
� � � �
�
=
<
# /$ # <$ # <$
�# /$ <# /$$ # / <# <$$
� � �
# /$ � = �
�# /$ �# /$$ # �#=$$ # �#�$$
� � � �
#
# �#�$
# $	�� �
�
−
− − 
+ + − + +  
     
− − − + + − − −          
=
−
∫
=
<
�"/ # �.�$
"%= .� # �#.A$ .A$
� �
�"/ �� /. ��
<� �% # .%$ # ��$
� � � �
��
# $	�� �
−
−       
+ + − − − − + + − − +              
=∫
=
<
�"/ �.� �"/ �� ��
"�% ".< .A "%� �� .% ��
� � � � �
# $	�� �
[ ]
−
     
− + + − − − + + − +          
=∫
=
<
�.� �� ��
<� "�% "A/ <� "%� =
� � �
# $	�� �
�
−
− − + 
− + + + = + = − + = =  
=∫
=
<
�.� �� A �.� ��. "" "" "." "�%
""= �% .< .<
� � � � � � �
# $	�� �
�
�
3	�	����������	��������
��	����������������-��	�'����������	�
��
�	����=��
��	� 
�!���� = # $� � �
�
� ��
������ �
� ��
	�� �
�� ;���� � ��� ������	��� � − −�)( <' ��� 	� 
�!��� = # $� � �
�
�� �	���� �
� ��
	�� �
�� ;���� ���
������	��� −�' =)( ��
@�����	�������	���� ����	��	�	�������������������	�	������	��� ����!	����-��	�B�
�
1 2 3 4
2 3 4 1
8
7
) ) Area( ) Area( )
( ) Area( ) Area( )) )
Area( Area(
Area( Area(
( ) dx R R R R
R R R R
f x
−
+ + +
= + +
= −
−
∫ �
�
����� 1R ���	��������	�	�+�������+�� x ���	���	������- ������� f ������ ∈ − −�)( <'� '� 2R ���	��������	���	�
��� ��+�� x ��� 	�	�+�� ��� ��- ���� ��� f ������ ∈ −� %)( '� �'� � � 3R ��� 	� ������� 	���	� ��� ��+�� x ��� 	�	�+�� ���
��- ���� �� f ����� ∈ %'�) �(�
�
4R ��� 	� ������� 	���	� ��� ��+�� x ��� 	�	�+�� ��� ��- ���� �� f �����
∈ �'=)(� �
1�������	�����	�������	���� ����	�����������'�����������	��
��	�-��	����	���	�����������	���	������+�� � ���
�	�����
��	�-��	����	���	���������	�	�+�������+�� � ����������������������	� ��
�	���/��
�
�
� ���������
����������������-������������	�	�-��	��	��������� R ������ 1 2 3 4R R RR R ∪ ∪ ∪= '�	�����
� 1 2 3 4) ( ) ( ) ( )( ) ( A R A R A RA R A R + + += �
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
	
�
�
�
��
�	����A�
M�	����	� ,��
�	�����-��
������-��	��������
��	���������
��	���������������������	�������
������*��'������
− −
− −
= − + −∫ ∫
/ �
"
< /
# $ #% # $$ #% # $$� � � � 	� � � 	� �
�
����K	�
− −
− −
− −
− −
= − + − = − − + + −+∫ ∫ ∫ ∫
/ �
� �
"
< /
/ �
< /
# $ #% # $$ #% # $$ # / < $ # . �$� � � � 	� � � 	� � � � �	� 	� �
�
− −
− −
= − − + + −
− − − − − −
= − − − − − − − − + − + + − − − + − −
 
+ 
 
          
          
          
/ �� � � �
"
< /
� � � � � �
� �
# $ / < . �
� � � �
# /$ # <$ # �$ # �$ # /$ # /$
�# /$ .� �# <$ <# <$ . �# �$ . �# /$
� � � � � �
� � � �
� � � �
( ) ( )      = − − − − − + − + − − +      
      
"
�.� "��
# $ <� "%= .� ".< .A <�$ <� "%�
� �
� �
�
( )     = − − + + −       "
�.� "%%
# $ <= "A/ �%
� �
� �
�
�
− −   
= + = + =      
"
��. �.� "%% A% "" "%
# $ < 
���	�������-��	�
� � � �
� �
�
�
&�	���	������
− −
−
  − −= = − − + = − − + = − − − + − 
  
∫ ∫
%% % � � � �
�
�
� � �
# �$ # �$
# $ # $ # . �$ . � . �# �$
� � � �
� �
� � � � 	� � � 	� � �
− +
= − + + = − + = =�
"�� "�� "�� ��� "%%
# $ �% �� <� 
���	�������-��	�
� � � �
� �
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�

= = − = − = − = − =

∫ ∫
�� � � �
�
% % %
� �� ��
# $ # $ #� $ � �#�$ �� 
���	�������-��	�
� � � �
�
� � � � 	� � 	� �
�
  −
= = − = − = − − + = − + = 
 
∫ ∫
== = � � �
.
� � �
= � /. �� A
# $ # $ # �$ � �#=$ �#�$ .% ��
� � � � �
�
� � � � 	� � 	� � ���	�	
�
�
���-��	���
��	�������
100 25 9 100 100 1727 7 17 24 unidades de área.
3 2 2 3 3 3
( )A R + + + = + + = + ==
�
�
�����������	
��
�
�����
�
��� ����� �
�� � =
�� 
 ��� 	� 
�!��� �+�������	�� �	�
�	�'� = "� ��� 
�	� ���	� D���;���	�� ��
ey
x
= ��� 
�	�
D�����������
��-���	'��������
��
���	����	�D������������-��������������
	��	���������
�������-����
����������
	��	�����1����	�������������	����	��������������
	��	�������
��	��
��R ��������	�	��	�
��
�	����%����������������������!����	���
��	���������	�	�������#%'"$'��#�'�"$���#"'��$��
�
��
�	����%�
�
��� 3	�	��+�����	���	�-��	��	��������R �������	!���>��	��-����� x ��	�	'�������������������	��������������
��
����*����
���	�	��������
���	�>�������	� ����	���� "� ��� � �� ���K	�	�
��
�	����"���	�������� "� ���������
�
�� ��� ������
��� ���������	����� ������	�'� 	� �������	� �
������� �� �� ��- ���� ��� = '�� 
 �K-� 	� �������	�
�� �������� ="�� ��	�������� � '� ����������
������������	�����������	�'�����������
��	� �������	��
���������
����- �������
ey
x
= ���	� �������	��� �������� = "� ��
�
��
�	����"�
@����
�
= − + −= + ∫ ∫
"
% "
" � # "$ # "$# $ # $ # $
� 
 	� 	�
�
� � � � � �
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
� 3	�	� ���������	�� 	� -��	� �	� �������R ���� ���	!��� >� �	��-���� � y �� ����� �
�� ������ �	��� ���� �� ��������
�������� ��� ����*��� �	��	� �+�����	�� 	� ������� � �	�	� ����� � ∈ ≤ ≤ ≤ ≤�O# ' $ :" ' �� P
� � � 
 � �
�
��
R ��� �	�
��
�	�������������� ����������
������������	�����D���;���	�� ��
��	� �������	��
��������������	��� �����
��- ������� =
�
�
���	� �������	��� �������� = ��� � ��
�
�
��
�	������
@���'�
1
)( ln( )
e
e
y
y dyA R −= ∫
�
�
�
��� �������	���	� ������	���	����������������������������	� ������	������+���������#�$'������	� ������	�����
�	����#�$����
���	�
����;	!������
������������������	!�����
��	���	����� ������
�	�����3����
�����	���
�	���������1-��
���"��
������ ( ) ln | |G x x= '�������� 1( )G x
x
′ = ��3���	����
1
0 1
1
10
( 1) ( 1)( ) ln | |
e
x exee dx dx
x
A R e x e x x − + −= − + −=∫ ∫ �
{ {
01
( ) ( 1) 1 ( ln ) ( ln1 1) 2 1 1A R e e e e e e e= − − + − − − = − + = − �
���	�������-��	��
�
�
�����������	
��
�
�����
�
@����������
����6�����	�����	�����������	�	�������	�����;������
����B�
Q���� :[ , ]a b e f a b< →R �����������
	������[ , ]a b '�������+������ [ , ]c a b∈ ��	���
������ �
� � � .( ) ( ) ( )
b
a
f x dx f c b a= −∫ �
�������	��'�������	����
��� 3 [1,3]1 :e f< →R ���� ����	������� =
�
A
# $
�
� � ����������
	�����[1,3] ��@����
�����6�����	����7	����8������	�	�2�����	��'�������+����� [1,3]c∈ ��	���
��
�
1-��
���22� 03%��4�1-��
������5��	���678��	�	�������	����4��9	�	����� �%"/:" 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
{
3 3
( )
3
3
1
9 18( ) (9 3 1)
f c
c c
dx
x
= − =∫ � � � � � � � � #N$�
0�����F����� 3
9( )
c
f c = ����D	�	������	����������#�
������	$����� f ����������	���[1,3] ��
3����
�����	���
�
3 3 33 1 2
3 2 2 2
111
3
1
9 9 9 9 9 1 9 4
2 2 2 2(3 ) 2(1 ) 2 29
x x
x x
dx
− + −  
= − = − = − + = − + =  
− 
=∫ � � � #NN$�
�
1���	�	����#N$�����#NN$����
��	�
3 3 3
3
18 9 94 4 18
2 2
c c c
c
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ��
@���� �� ��	��� �
�� �+����� � [1,3]c∈ '� � � �	�	� �� �
	�� 	� 
�!��� f �	��
��� ����� �	���� ������� �� �	����
��������� f ����
��	�������
�
3
3
3
9 9 9 18 2
92 99
22
( )f = = =
  
    
 
= ��
7�K	��	� ��
�	������ �	� 
�!��� � ,f �� ����	�����������	� 
�!��� f ����� ������	���[1,3] ��
������������	���� ����
3
9
2
c = ��	�	����
	��	� 
�!���	��
������	�����������&������������	��� ����	�����	� ������	�� �
3
3
1
9 dx
x∫ �����
�������	�����	�-��	����������
�������	���3 1 2− = �����	��
�	�� ( ) 2f c = ��
�
�
� � � � � 
��
�	������

Continue navegando