INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS

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Curso: Licenciatura em Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Aluno: Sérgio Ferreira Guimarães Júnior – AQ3000311 
 
CAPÍTULO 15.3 
INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 
 
Para as integrais de funções de uma variável real, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Porém, 
para integrais duplas, queremos integrar a função 𝑓 não somente sobre retângulos, como também sobre uma 
região 𝐷 de forma mais geral, como a ilustrada abaixo. 
 
 
 
Vamos supor que 𝐷 seja uma região limitada. O que significa que 𝐷 está contida em uma região retangular 𝑅 
como na figura abaixo. 
 
 
 
Definimos então uma nova função 𝐹, com domínio 𝑅, por 
 
(1) 𝐹(𝑥, 𝑦) = {
𝑓(𝑥, 𝑦), se (𝑥, 𝑦) está em 𝐷
0, se (𝑥, 𝑦) está em 𝑅, mas não em 𝐷
 
 
Se 𝐹 for integrável em 𝑅, então definimos a integral dupla de 𝑓 em 𝐷 por 
 
(2) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 onde 𝐹 é dada por (1) 
 
A Definição (2) faz sentido porque 𝑅 é um retângulo e, portanto, ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴 já foi definida na Seção 15.1. 
O procedimento usado é razoável, pois os valores de 𝐹(𝑥, 𝑦) são 0 quando (𝑥, 𝑦) está fora da região 𝐷 e dessa 
forma não contribuem para o valor da integral. 
• Isso significa que não importa qual o retângulo 𝑅 tomado, desde que contenha 𝐷. 
No caso em que ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴, podemos ainda interpretar como o volume do sólido que está acima de 𝐷 e 
abaixo da superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (o gráfico de 𝑓). 
Você pode constatar que isso é razoável comparando os gráficos de 𝑓 e 𝐹 e lembrando que ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 é 
o volume abaixo do gráfico de 𝑅. 
 
O gráfico mostra também que 𝐹 provavelmente tem descontinuidades nos pontos de fronteira de 𝐷. Apesar disso, 
se 𝑓 for contínua em 𝐷 e se a curva fronteira de 𝐷 for “comportada” (em um sentido que está fora do escopo 
deste livro), então pode ser mostrado que ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴 existe e, portanto ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝐷 𝑑𝐴 existe. 
• Em particular, esse é o caso para os tipos de regiões listados a seguir. 
 
REGIÕES DO TIPO 1 
Uma região plana 𝐷 é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de 𝑥, ou seja, 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2}, onde 𝑔1 e 𝑔2 são contínuas em [𝑎, 𝑏] 
EXEMPLO DE REGIÕES DO TIPO 1 
 
Para calcular ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝐷 𝑑𝐴 quando 𝐷 é do tipo I, escolhemos um retângulo 𝑅 = [𝑎, 𝑏] 𝑥 [𝑐, 𝑑] que contenha 
𝐷 e consideramos a função 𝐹 definida na Equação (1). Ou seja, 𝐹 coincide com 𝑓 em 𝐷 e 𝐹 é 0 fora da região 
𝐷. 
 
Então, pelo Teorema de Fubini, 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = ∬ 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑑
𝑐
𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
porque 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) quando 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥). Portanto, temos a seguinte fórmula, que nos permite 
calcular a integral dupla como uma integral iterada. 
 
(3) Se 𝑓 é contínua em uma região 𝐷 do 𝐭𝐢𝐩𝐨 𝐈 tal que 
 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)} 
então 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
A integral do lado direito de (3) é uma integral iterada semelhante às consideradas na seção anterior, exceto que 
na integral de dentro consideramos 𝑥 constante não só em 𝑓(𝑥, 𝑦), mas também nos limites de integração 𝑔1(𝑥)e 
𝑔2(𝑥). 
 
REGIÕES DO TIPO 2 
Consideraremos também regiões planas do tipo II, que podem ser expressas como 
 
(4) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦)} 
onde ℎ1 e ℎ2 são contínuas. 
EXEMPLO DE REGIÕES DO TIPO 1 
 
Utilizando o mesmo método que usamos para estabelecer (3), podemos mostrar que 
 
(5) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
𝑑𝑥
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 
 
onde 𝐷 e uma regiao do 𝐭𝐢𝐩𝐨 𝐈𝐈 dada pela Equacao (4). 
 
EXEMPLO Calcule ∬ (𝑥 + 2𝑦)𝐷 𝑑𝐴, onde 𝐷 é a região limitada pelas parábolas 𝑦 = 2𝑥
2 e 𝑦 = 1 + 𝑥2. 
 
SOLUÇÃO As parábolas se interceptam quando 2𝑥2 = 1 + 𝑥2, ou seja, 𝑥2 = 1, logo 𝑥 = ±1. Observamos 
que a região 𝐷, ilustrada na figura abaixo, é uma região do tipo I, mas não do tipo II, e podemos escrever que 
 
 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|−1 ≤ 𝑦 ≤ 1, 2𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 1 + 𝑥2} 
 
Como a fronteira de baixo é 𝑦 = 2𝑥2 e a de cima é 𝑦 = 1 + 𝑥2, a Equação (3) leva a 
 
∬(𝑥 + 2𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦)
1+𝑥2
2𝑥2
𝑑𝑦
1
−1
𝑑𝑥 
 
= ∫ [𝑥𝑦 + 𝑦2]
𝑦=2𝑥2
𝑦=1+𝑥2
1
−1
𝑑𝑥 
 
= ∫ [𝑥(1 + 𝑥2) + (1 + 𝑥2)2 − 𝑥(2𝑥2) − (2𝑥2)2]
1
−1
𝑑𝑥 
 
= ∫ (−3𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)
1
−1
𝑑𝑥 
 
= −3
𝑥5
5
−
𝑥4
4
+ 2
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 𝑥]
−1
1
=
32
15
 
 
OBSERVAÇÃO Quando escrevemos uma integral dupla como no exemplo acima, é essencial desenhar um 
diagrama. Frequentemente é útil desenhar uma seta vertical, como na figura acima. Assim, os limites de 
integração da integral de dentro podem ser lidos do diagrama desta forma: a seta começa na fronteira de baixo 
𝑦 = 𝑔1(𝑥), que fornece o extremo inferior da integral, e termina na fronteira de cima 𝑦 = 𝑔2(𝑥), que dá o extremo 
superior de integracao. Para uma região do tipo II, a seta e desenhada horizontalmente da fronteira esquerda para 
a fronteira direita. 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA 
 
Suponha que todas as seguintes integrais existam. As primeiras três propriedades das integrais duplas sobre uma 
região 𝐷 seguem imediatamente da Definição(2) e das Propriedades 7, 8 e 9 da Seção 15.1. 
 
(6) ∬[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]
𝐷
𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 + ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 
 
(7) ∬ 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = 𝑐 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 
 
Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) para todo (𝑥, 𝑦) em 𝐷, então 
 
(8) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 ≥ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 
 
Se 𝐷 = 𝐷1 ∪ 𝐷2, onde 𝐷1 e 𝐷2 não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras, então 
 
(9) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷1
𝑑𝐴 + ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷2
𝑑𝐴 
 
Se integrarmos a função constante 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 sobre uma região 𝐷, obteremos a área de 𝐷: 
 
(10) ∬ 1
𝐷
𝑑𝐴 = 𝐴(𝐷) 
 
Podemos combinar as Propriedades (7), (8) e (10) para demonstrar a seguinte propriedade: 
 
(11) Se 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑀 para todo (𝑥, 𝑦) em 𝐷, então 
 
𝑚𝐴(𝐷) ≤ ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑑𝐴 ≤ 𝑀𝐴(𝐷) 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
EXERCÍCIO 13 Calcule a integral dupla ∬ 𝑥 cos 𝑦𝐷 𝑑𝐴, 𝐷 é limitada por 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥
2, 𝑦 = 1. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
∬ 𝑥 cos 𝑦
𝐷
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥 cos 𝑦
𝑥2
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥 sen 𝑦]𝑦=0
𝑦=𝑥2
1
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 sen 𝑥2
1
0
𝑑𝑥 =
1
2
cos 𝑥2]
0
1
=
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟏) 
 
 
EXERCÍCIO 33 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada ∫ ∫ (1 − 𝑥 − 𝑦)
1−𝑥
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥. 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
O sólido está abaixo do plano 𝑧 = 1 − 𝑥 − 𝑦 ou 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 e acima da região 
𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥} no plano 𝑥𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 15.4 
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES 
 
Suponha que queiramos calcular a integral dupla ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴, onde 𝑅 é uma das regiões mostradas na figura 
abaixo. Em qualquer dos casos, a descrição de 𝑅 é complicada em coordenadas retangulares, mas a descrição de 
𝑅 fica mais fácil utilizando-se coordenadas polares. 
 
 
 
As coordenadas polares (𝑟, 𝜃) de um ponto estão relacionadas com as coordenadas retangulares (𝑥, 𝑦) pelas 
equações 
 
 
 
As regiões da figura acima são casos especiais de um retângulo polar 𝑅 = {(𝑟, 𝜃)|𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽} que 
é apresentado na Figura 3. Para calcular a integral dupla ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴, onde 𝑅 é um retângulo polar, dividimos 
o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑚 subintervalos [𝑟𝑖−1, 𝑟𝑖] de larguras iguais 𝛥𝑟 = (𝑏 − 𝑎)/𝑚 e dividimos o intervalo [𝛼, 𝛽] 
em 𝑛 subintervalos [𝜃𝑗−1, 𝜃𝑗]de larguras iguais 𝛥𝜃 = (𝛽 − 𝛼)/𝑛. Então os círculos 𝑟 = 𝑟𝑖e os raios 𝜃 = 𝜃𝑗 
dividem o retângulo polar 𝑅 nos retângulos polares menores mostrados na Figura 4. 
 
 
 
As coordenadas retangulares do centro 𝑅𝑖𝑗 são (𝑟𝑖
∗ cos 𝜃𝑗
∗ , 𝑟𝑖
∗ sen 𝜃𝑗∗), portanto uma soma de Riemann típica é 
 
 
Portanto, temos 
 
 
 
A fórmula em (2) diz que convertemos coordenadas retangulares para coordenadas polares em uma integral dupla 
escrevendo 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 e 𝑥 = 𝑟 sen 𝜃, usando os limites de integração adequados para 𝑟 e 𝜃 e substituindo 𝑑𝐴 
por 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃. 
 
EXEMPLO Calcule ∬ (3𝑥 + 4𝑦2)𝑅 𝑑𝐴, onde 𝑅 é a região no semiplano limitada pelos círculos 𝑥
2 + 𝑦2 = 1 
e 𝑥2 + 𝑦2 = 4. 
 
SOLUÇÃO A região 𝑅 pode ser descrita como 
 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≥ 0, 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4} 
 
É a metade do anel mostrado na figura abaixo, e em coordenadas polares é dado por 1 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. 
Portanto, pela Fórmula (2), temos 
 
 
 
Isso é semelhante à região com coordenadas retangulares do tipo II vista na seção anterior. De fato, combinando 
a Fórmula (2) desta seção com a Fórmula (5) da seção anterior, obtemos o seguinte: 
 
 
 
Em particular, tomando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1, ℎ1(𝜃) = 0 e ℎ2(𝜃) = ℎ(𝜃) nessa fórmula, vemos que a área da região 𝐷 
limitada por 𝜃 = 𝛼, 𝜃 = 𝛽 e 𝑟 = ℎ(𝜃) é 
 
𝐴(𝐷) = ∬ 1
𝐷
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑟
ℎ(𝜃)
0
𝑑𝑟
𝛽
𝛼
𝑑𝜃 = ∫ [
𝑟2
2
]
0
ℎ(𝜃)𝛽
𝛼
𝑑𝜃 = ∫
1
2
[ℎ(𝜃)]2
𝛽
𝛼
𝑑𝜃 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
EXERCÍCIO 1 Uma região 𝑅 é mostrada na figura ao lado. Decida se 
você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴 como uma integral iterada, onde 𝑓 é uma função qualquer 
contínua em 𝑅. 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
A região 𝑅 é mais facilmente descrita por coordenadas polares: 
 
𝑅 = {(𝑟, 𝜃)|0 ≤ 𝑟 ≤ 4, 0 ≤ 𝜃 ≤
3𝜋
2
} 
 
Portanto, 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen 𝜃)
4
0
𝑟 𝑑𝑟
3𝜋 2⁄
0
𝑑𝜃 
 
 
EXERCÍCIO 3 Uma região 𝑅 é mostrada na figura ao lado. Decida 
se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑅 𝑑𝐴 como uma integral iterada, onde 𝑓 é uma função 
qualquer contínua em 𝑅. 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
A região 𝑅 é mais facilmente descrita por coordenadas retangulares: 
 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤
1
2 𝑥 +
1
2
} 
 
Portanto, 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
(𝑥+1) 2⁄
0
𝑑𝑦
1
−1
𝑑𝑥 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010