1- Juros Simples

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Engenharia Econômica
Matemática Financeira
Juro
A matemática financeira estuda o valor do dinheiro ao longo do tempo.
Uma unidade monetária hoje deve valer mais que a mesma unidade monetária amanhã...
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
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Juro
... afinal, postergar um recebimento envolve um sacrifício (abre-se mão da oportunidade de uso do dinheiro)...
... o JURO é, portanto, a recompensa recebida por esse sacrifício.
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Taxa de Juro
A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro.
Exemplo: Se o capital emprestado for $100 e a taxa de juro for 10% ao ano, então o juro anual será $10. 
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Taxa de Juro
Uma taxa de juro deve remunerar:
O risco envolvido na operação;
A perda do poder de compra (inflação);
O custo de oportunidade do capital.
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Taxa de Juro
Taxas de juro se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, ano etc)...
... e podem ser representadas de duas maneiras: taxa percentual (10% a.a.) ou taxa unitária (0,1 a.a.)
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Diagrama do Fluxo de Caixa
O diagrama do fluxo de caixa exprime os movimentos financeiros de entradas e saídas ao longo do tempo.
0
1
2
3
4
5
6
(tempo)
Entradas (+)
Saídas (-)
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Regras Básicas
O prazo da operação e a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.
Exemplo: Um fundo oferece juros de 1% a.m. com rendimentos creditados mensalmente.
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Regras Básicas
Se prazo da operação e a taxa de juros não estiverem na mesma unidade de tempo devemos transformar a taxa de juros.
Veremos mais adiante como fazer tais transformações (taxa proporcional ou taxa equivalente).
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Regimes de Capitalização dos Juros
Capitalização Simples: Os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação. Juros crescem de forma linear.
Capitalização Composta: Os juros incidem sobre o saldo do período anterior. Juros crescem de forma exponencial (juros sobre juros).
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Fórmulas de Juros Simples
O valor dos juros (simples) é calculado a partir da seguinte expressão:
J = valor dos juros (em $)
C = capital (em $)
i = taxa de juros (na forma unitária)
n = prazo
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Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% a.m. durante um trimestre sob o regime de capitalização simples. Calcule o valor dos juros acumulados no período.
Resposta: 
C = $ 80.000,00
i = 2,5% a.m. (0,025)
n = 3 meses
J = 80.000,00 × 0,025 × 3 = $ 6.000,00
Exemplo
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Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros (simples) de 1,8% a.m. produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcule o prazo da aplicação.
Resposta: 
C = $ 250.000,00
i = 1,8% a.m. (0,018)
J = $ 27.000,00
n = 27.000,00 / (250.000,00 × 0,018) = 6 meses
Exercício
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Montante e Capital
O montante (M) é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros:
No entanto, sabemos que
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Montante e Capital
Substituindo e colocando C em evidência temos:
Neste caso, (1 + i × n) é chamado fator de capitalização (ou valor futuro) dos juros simples.
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Montante e Capital
Isolando C, podemos reescrever como:
Neste caso, 1/(1 + i × n) é chamado fator de atualização (ou valor presente) dos juros simples.
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Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% a.m. durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período.
Resposta: 
C = $ 18.000,00
i = 1,5% a.m. (0,015)
n = 8 meses
M = 18.000,00 × (1 + 0,015 × 8) = $ 20.160,00
Exemplo
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Uma dívida de $900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor aceite antecipar o pagamento para hoje. Calcule o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
Resposta: 
M = $ 900.000,00
n = 4 meses
i = 7% a.m. (0,07)
C = 900.000,00 / (1 + 0,07 × 4) = $ 703.125,00
Exercício
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Taxa proporcional: obtida através da divisão entre a taxa de juros e o número de vezes em que ocorrerão os juros.
Exemplo: Suponha uma taxa de juros de 18% a.a. com capitalização mensal, teremos que a taxa proporcional será 18% / 12 = 1,5% a.m.
Taxa Proporcional
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Utiliza-se taxas proporcionais em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo etc.
Taxa Proporcional
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Duas taxas de juros simples serão equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzirem o mesmo volume de juros.
Exemplo: Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo volume de juros ($ 150.000,00). Verifique.
Taxa Equivalente no Regime de Juros Simples
CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES
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No regime de juros simples, taxas proporcionais e taxas equivalentes são consideradas a MESMA COISA!!!
No regime de juros composto, que veremos em breve, estas taxas serão diferentes.
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
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No regime simples, calcular a taxa de juros semestral proporcional (equivalente) a:
60% a.a.
Resp: i = 60% / 2 = 30% a.s.
9% a.t.
Resp: i = 9% × 2 = 18% a.s.
Exemplos
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No regime simples, calcular a taxa de juros mensal proporcional (equivalente) a:
12% a.a.
Resp: i = 12% / 12 = 1% a.m.
0,1% a.d.
Resp: i = 0,1% × 30 = 3% a.m.
Exercícios
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Juro Exato: utiliza-se o calendário do ano civil. Portanto, ano com 365 dias.
Juro Comercial: admite-se que cada mês tem 30 dias. Portanto, ano com 360 dias.
Juro Exato e Juro Comercial
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Dois ou mais capitais são equivalentes se, dada uma taxa de juros, produzem resultados iguais em uma determinada data comum.
Exemplo: Se a taxa de juros (simples) for 20% a.a., então $ 100,00 hoje ou $ 120,00 daqui a um ano são financeiramente equivalentes.
Equivalência Financeira
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Determinar se $ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber, hoje, $ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% a.m..
Resp:
M = 296.000,00 × (1 + 8 × 0,06) = $ 438.080,00
Sim, são financeiramente equivalentes!
Exercício
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