2- Juros Compostos

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Engenharia Econômica
Matemática Financeira
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente.
JUROS COMPOSTOS
2
Fórmulas de Juros Compostos
e
Sendo:
FV = Valor futuro
PV = Valor presente
i = taxa de juros
n = prazo
JUROS COMPOSTOS
3
HP 12C
JUROS COMPOSTOS
4
Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 em um ano, quanto deverá depositar hoje em um alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
Resp:
FV = $ 27.500,00
n = 12 meses
i = 1,7% a.m. (0,017)
PV = 27.500,00 / (1 + 0,017)12 = $ 22.463,70
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
5
Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
Resp:
PV = $ 12.000,00
n = 8 meses
i = 3,5% a.m. (0,035)
FV = 12.000,00 × (1 + 0,035)8 = $ 15.801,71
Exercício
JUROS COMPOSTOS
6
Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.
Resp:
PV = $ 40.000,00
FV = $ 43.894,63
n = 4 meses
i = 2,35% a.m.
Exercício
JUROS COMPOSTOS
7
Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% a.m., um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
Resp:
PV = $ 22.000,00
FV = $ 26.596,40
i = 2,4% a.m.
n = 8 meses
Exercício
JUROS COMPOSTOS
8
Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% a.m..
Resp:
PV = $ 88.000,00
n = 5 meses
i = 4,5% a.m.
FV = 88.000,00 × (1 + 0,045)5 = $ 109.664,01
J = $ 109.664,01 - $ 88.000,00 = $ 21.664,02
Exercício
JUROS COMPOSTOS
9
Duas taxas de juros compostas serão equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzirem o mesmo volume de juros.
Exemplo: Um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15,97% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo volume de juros ($ 172.444,41). Verifique.
Taxa Equivalente no Regime de Juros Compostos
JUROS COMPOSTOS
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Qual a taxa de juros compostos mensal equivalente a 25% a.a.?
Resp:
C × (1 + im)12 = C × (1 + ia)1
C × (1 + im)12 = C × (1 + 0,25)1
im = 1,877% a.m.
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
11
Qual a taxa de juros compostos trimestral equivalente a 25% a.a.?
Resp:
C × (1 + it)4 = C × (1 + ia)1
C × (1 + im)4 = C × (1 + 0,25)1
im = 5,737% a.m.
Exercício
JUROS COMPOSTOS
12
Qual a melhor opção: aplicar um capital de $ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% a.s. ou à taxa de 20,78% a.a.?
Resp:
FV(9,9% a.s.) = 60.000,00 × (1 + 0,099)2 = $ 72.468,00
FV(20,78% a.a.) = 60.000,00 × (1 + 0,2078)1 = $ 72.468,00
Ambas geram, para o mesmo capital e o mesmo prazo, o mesmo montante. Portanto, são equivalentes!
Exercício
JUROS COMPOSTOS
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A taxa efetiva de juros é a taxa apurada durante todo o prazo da operação, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.
Exemplo: Uma taxa de 3,8% a.m. determina uma taxa efetiva de juros de 56,45% a.a..
Taxa Efetiva de Juros
JUROS COMPOSTOS
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Quando o prazo de capitalização dos juros não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros, dizemos que esta taxa de juros é nominal.
Exemplo: Considere a taxa de juros de 36% a.a. capitalizada mensalmente. Como os prazos (da taxa e da capitalização) não são coincidentes dizemos que 36% a.a. é a taxa nominal de juros.
Taxa Nominal de Juros
JUROS COMPOSTOS
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Quando se trata de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcional.
Continuação do exemplo: Para a taxa nominal de 36% a.a. a taxa por período de capitalização será 36%/12 = 3% a.m. 
Taxa Nominal de Juros
JUROS COMPOSTOS
16
Continuação do exemplo: Ao capitalizarmos mensalmente a taxa de 3% a.m. durante um ano, encontraremos uma taxa efetiva de 42,6% a.a. (bem superior à taxa nominal de 36% a.a.).
Portanto, a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação. Ao dizer que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente, apura-se que a taxa efetiva de juros atinge 42,6% a.a.!!! 
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
JUROS COMPOSTOS
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Continuação do exemplo: Para que 36% a.a. fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta de 2,6% a.m..
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
JUROS COMPOSTOS
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Quando os prazos não forem coincidentes e não houver menção explicita de se tratar de uma taxa efetiva, usaremos a taxa proporcional para alinhar os prazos.
Quando eu omitir o prazo da capitalização, use o mesmo prazo da taxa. Exemplo: Se aparecer uma expressão única do tipo “10% a.a.” é porque o prazo da capitalização é anual também. 
Convenção
JUROS COMPOSTOS
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Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal de juros de 32% a.a., capitalizados trimestralmente. Determine o montante e o custo efetivo do empréstimo.
Resp:
Taxa trimestral proporcional = 32% / 4 = 8% a.t.
FV = 11.000,00 × (1,08)4 = $ 14.965,40
Taxa efetiva = (1,08)4 – 1 = 36% a.a.
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
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A caderneta de poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva dessa aplicação financeira.
Resp:
Taxa efetiva = (1+ 0,005)12 – 1 = 6,17% a.a.
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
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A equivalência financeira se verifica quando dois ou mais capitais produzem o mesmo resultado se expressos em certa data comum (data focal) de comparação, usando uma mesma taxa de juros.
Equivalência Financeira em Juros Compostos
JUROS COMPOSTOS
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Uma empresa deve $ 180.000,00 a um banco, sendo o vencimento daqui a 3 meses. Prevendo dificuldades de caixa no período, a empresa negocia com o banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje. Sendo de 3,6% a.m. a taxa de juros, pede-se calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal:
a) Hoje;
b) Daqui a 3 meses;
c) Daqui a 5 meses; 
Exemplo
JUROS COMPOSTOS
23
0
1
2
3
4
5
6
(tempo)
Dívida atual
Dívida proposta
Graficamente
$ 180.000,00
P
P
JUROS COMPOSTOS
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Solução item a)
Data focal = hoje
JUROS COMPOSTOS
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Solução item b)
Data focal = 3º mês
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Solução item c)
Data focal = 5º mês
JUROS COMPOSTOS
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Você possui um título vencível daqui a 4 meses com valor nominal (resgate) de $ 407.164,90. Lhe é proposta a troca deste título por outro de valor nominal de $ 480.000,00 vencível daqui a 8 meses. Sendo de 5% a.m. a rentabilidade mínima exigida por você, avalie se a troca lhe é vantajosa. 
Exercício
JUROS COMPOSTOS
28
0
4
8
(tempo)
Graficamente
$ 407.164,90
$ 480.000,00
JUROS COMPOSTOS
29
Inicialmente, precisamos calcular a rentabilidade implícita na proposta.
Como? Escolhendo uma data focal (qualquer) e calculando qual taxa torna os dois títulos equivalentes.
Em seguida, comparamos esta taxa com a rentabilidade mínima (5% a.m.) exigida por você.
Comentários
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30
Solução
Data focal = 4º mês
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Outra forma de resolver é calculando o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título, usando SUA taxa de atratividade (5% a.m.)
Comentário
JUROS COMPOSTOS
32
Solução
Data focal = 4º mês
Como este valor é menor que $ 407.164,90 a troca não é vantajosa.
JUROS COMPOSTOS
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