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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS ESTATÍSTICA BÁSICA, INTRODUÇÃO À BIOESTATÍSTICA Prof. Denismar Alves Nogueira Prof. Eric Batista Ferreira TÉCNICAS DE SOMATÓRIO É muito frequente, em Estatística, trabalhar-se com variáveis quantitativas. Essas variáveis são em geral simbolizadas por alguma letra latina maiúscula, como X, Y, Z, etc. As observações ou dados, por sua vez, são representados pelas letras minúsculas correspondentes. Além disso, os dados são identificados por um índice, para indicar que trata-se da 1a observação, da 2a, etc. Por exemplo, o símbolo x1 representa a 1 a observação do conjunto de dados (seja ele um censo ou uma amostra), referente à variável quantitativa X. Como também é muito comum o interesse no cálculo de somas, somas de termos ao quadrado, cálculo de médias, etc, então é usual representar somas por um operador chamado somatório, que é representado pela letra grega “sigma” maiúscula . Assim, por exemplo, a soma: x1 + x2 + x3 + x4 é representada em notação de somatório da seguinte forma: xi i 1 4 , ou seja, corresponde à soma dos termos “xi”, onde o índice i varia de 1 a 4. Em função de sua própria definição, o operador somatório possui algumas regras, dadas a seguir: 1) Se k é uma constante, então: k i n 1 = k + k + ... + k = n.k 2) Se k é uma constante e xi valores de uma variável quantitativa, então: kxi i n 1 = k.x1 + k.x2 + ... + k.xn = k (x1 + x2 + ... + xn) = k. xi i n 1 3) O somatório de uma soma de variáveis é igual à soma dos somatórios de cada variável: x y zi i i i n 1 = xi i n 1 + y i i n 1 + zi i n 1 4) O somatório de um produto é diferente do produto dos somatórios. n n n i i i i i 1 i 1 i 1 x y x . y Obs.: Em conseqüência das regras 1, 2 e 3, se “a” e “b” são constantes, então: a bxi i n 1 = a i n 1 + bxi i n 1 = n.a + b. xi i n 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1- Expresse as seguintes somas usando notação de somatório: a. y 1 + y 2 + ... + y 15 = i 15 1i y b. x 2 1 + x 2 2 + ... + x 2 n = 2 i n 1i x c. z 1 1 + z 2 3 + z 3 5 + ... + z 30 59 = 30 1i i 1i2z d. log x 1 + log x 2 + ... + log x 12 = 12 1i ixlog e. ( x 1 - 1 ) + ( x 2 2 - 2 2 ) 2 + ( x 3 3 - 3 3 ) 3 + ... + ( x n n - n n ) n = n 1i iii i )ix( 2) Sabendo que: 4 1 16 i ix , 4 1i 2 ix = 84 , 4 1 3 496 i ix , 4 1i i 20y , 4 1i ii 100yx Determine o valor numérico das expressões: a) 39610049625x)25x( 4 1i 4 1i 3 i 4 1i 3 i b) 4 1i 4 1i 4 1i 2 i 3 ii 2 i 3 i 4 1i 3 i x405x27)3375x2025x405x27()15x3( 4 1i 4 1i i 3375x2025 4 1 4 1 4 1 23 )84405()49627()3375(4202540527 i i i iii xxx 1728)33754()162025( c) 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 222 649636)649636()86( i i i i i iiiii xxxxx 4 1 4 1 2 1744256)1696()8436( )644(9636 i i ii xx EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Desenvolva cada uma das seguintes expressões, colocando-as na sua forma mais simples possível: a) 5 1i ix b) 5 1i 2 iixz c) 6 1i iiyx d) 4 1i i xx e) 6 1i 2 i )xx( 2) Escreva em notação sigma (somatório) a) n21 x...xx b) 2 n21 )x...xx( c) 721 x...xx d) 2 n 2 2 2 1 x...xx 3) Calcule para os dados abaixo: i 1 2 3 4 5 6 iz 7 3 8 9 4 3 ix 9 13 15 21 25 29 a) 3 1i ix b) 6 3i ix c) 6 1i ix d) 6 1i 2 ix e) 6 1i iz f) 6 1i iixz g) 6 1i 2 iixz 4) Sejam os conjuntos de dados: x = {4,3,0,1} e y = {3,0,1,3}. Obtenha os seguintes somatórios: a) 4 1i ix b) 4 1i 2 ix c) 4 1i iiyx d) 2 4 1i i )x(
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