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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
ESTATÍSTICA BÁSICA, INTRODUÇÃO À BIOESTATÍSTICA 
 
 
 
Prof. Denismar Alves Nogueira 
Prof. Eric Batista Ferreira 
TÉCNICAS DE SOMATÓRIO 
 
É muito frequente, em Estatística, trabalhar-se com variáveis 
quantitativas. Essas variáveis são em geral simbolizadas por alguma letra latina 
maiúscula, como X, Y, Z, etc. As observações ou dados, por sua vez, são 
representados pelas letras minúsculas correspondentes. Além disso, os dados 
são identificados por um índice, para indicar que trata-se da 1a observação, da 
2a, etc. Por exemplo, o símbolo x1 representa a 1
a observação do conjunto de 
dados (seja ele um censo ou uma amostra), referente à variável quantitativa X. 
 Como também é muito comum o interesse no cálculo de somas, 
somas de termos ao quadrado, cálculo de médias, etc, então é usual representar 
somas por um operador chamado somatório, que é representado pela letra 
grega “sigma” maiúscula . Assim, por exemplo, a soma: x1 + x2 + x3 + x4 é 
representada em notação de somatório da seguinte forma: 
xi
i

1
4 , ou seja, 
corresponde à soma dos termos “xi”, onde o índice i varia de 1 a 4. 
 
 Em função de sua própria definição, o operador somatório possui 
algumas regras, dadas a seguir: 
 1) Se k é uma constante, então: 
 
k
i
n


1
 = k + k + ... + k = n.k 
 2) Se k é uma constante e xi valores de uma variável quantitativa, 
então: 
 
kxi
i
n


1
 = k.x1 + k.x2 + ... + k.xn = k (x1 + x2 + ... + xn) = k.
xi
i
n


1
 
 3) O somatório de uma soma de variáveis é igual à soma dos 
somatórios de cada variável: 
 
 x y zi i i
i
n
 


1
 = 
xi
i
n


1
 + 
y i
i
n


1
 + 
zi
i
n


1
 
 4) O somatório de um produto é diferente do produto dos 
somatórios. 
 
  
   
    
   
  
n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
x y x . y
 
Obs.: Em conseqüência das regras 1, 2 e 3, se “a” e “b” são constantes, então: 
 
 a bxi
i
n



1
 = 
a
i
n


1
 + 
bxi
i
n


1
 = n.a + b. 
xi
i
n


1
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
1- Expresse as seguintes somas usando notação de somatório: 
a. y
1
 + y
2
 + ... + y
15
 = 
i
15
1i
y

 
b. x
2
1
 + x
2
2
 + ... + x
2
n
 = 
2
i
n
1i
x

 
c. z
1
1
 + z
2
3
 + z
3
5
 + ... + z
30
59
 = 



30
1i
i
1i2z
 
d. log x
1
 + log x
2
 + ... + log x
12
 = 


12
1i
ixlog
 
e. ( x
1
 - 1 ) + ( x
2
2
 - 2
2
)
2
 + ( x
3
3
 - 3
3
)
3
 + ... + ( x
n
n
 - n
n
)
n
 = 



n
1i
iii
i )ix(
 
2) Sabendo que: 
 



4
1
16
i
ix
 , 


4
1i
2
ix
= 84 , 



4
1
3 496
i
ix
, 



4
1i
i 20y
 , 



4
1i
ii 100yx
 
Determine o valor numérico das expressões: 
a) 
39610049625x)25x(
4
1i
4
1i
3
i
4
1i
3
i  

 
b) 
  
  

4
1i
4
1i
4
1i
2
i
3
ii
2
i
3
i
4
1i
3
i x405x27)3375x2025x405x27()15x3(
 
 
 
 
4
1i
4
1i
i 3375x2025   
  

4
1
4
1
4
1
23 )84405()49627()3375(4202540527
i i i
iii xxx
 
 
1728)33754()162025( 
 
c) 
    
    

4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
222 649636)649636()86(
i i i i i
iiiii xxxxx
 
 
 
 

4
1
4
1
2 1744256)1696()8436( )644(9636
i i
ii xx
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Desenvolva cada uma das seguintes expressões, colocando-as na sua forma 
mais simples possível: 
 
a) 


5
1i
ix
 b) 


5
1i
2
iixz
 c) 


6
1i
iiyx
 d) 



4
1i
i xx
 e) 



6
1i
2
i )xx(
 
 
2) Escreva em notação sigma (somatório) 
 
a) 
n21 x...xx 
 
b) 
2
n21 )x...xx( 
 
c) 
721 x...xx 
 
d) 
2
n
2
2
2
1 x...xx 
 
 
3) Calcule para os dados abaixo: 
 
i
 1 2 3 4 5 6 
iz
 7 3 8 9 4 3 
ix
 9 13 15 21 25 29 
 
a) 


3
1i
ix
 b) 


6
3i
ix
 c) 


6
1i
ix
 d) 


6
1i
2
ix
 
e) 


6
1i
iz
 f) 


6
1i
iixz
 g) 


6
1i
2
iixz
 
 
4) Sejam os conjuntos de dados: x = {4,3,0,1} e y = {3,0,1,3}. Obtenha os 
seguintes somatórios: 
a) 


4
1i
ix
 b) 


4
1i
2
ix
 c) 


4
1i
iiyx
 d) 
2
4
1i
i )x(
