Lista_de_Exercicios_Equações_de_Maxwell

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Segunda Lista de Eletromagnetismo
Equações de Maxwell
Março de 2015
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1. As quatro Equações de Maxwell na forma integral são dadas por:
∮
~E · d~S = Qint
ε0∮
~B · d~S = 0∮
~B · d~l = µ0I + µ0ε0 dφedt∮
~E · d~l = −dφm
dt
Usando os Teoremas do Divergente e do Rotacional, transforme as equações na forma diferencial.
Resposta : Caderno!
2. Verifique o Teorema do Divergente para o campo vetorial ~A = y2 iˆ+ (2xy + z2) jˆ + (2yz) kˆ, usando
o cubo de lado unitário abaixo.
3. Verifique o Teorema do Rotacional para o campo vetorial ~A = (2xz + 3y2) jˆ + (4yz2) kˆ, usando a
superfície quadrada abaixo.
4. Um dos campos abaixo não pode ser de natureza eletrostática. Qual deles não é um campo eletros-
tático?
(a) ~E = k(xyxˆ+ 2yzyˆ + 3xzzˆ)
(b) ~E = k[y2xˆ+ (2xy + z2)yˆ + 2yzzˆ]
Aqui k é uma constante com uma unidade apropriada.
Resposta : O item (a) não é eletrostático, pois ~∇× ~E 6= 0
1
5. Um campo elétrico (estático) em coordenadas cilíndricas é dado por:
~E =
1
ε0
[
2z2sen
(
φ
2
)
rˆ + z2 cos
(
φ
2
)
φˆ+ 4zrsen
(
φ
2
)
kˆ
]
Determine: (a) A densidade volumétrica de carga ρ. (b) A carga contida no volume delimitado por
−2 ≤ z ≤ 1, 1 ≤ r ≤ 4 e 0 ≤ φ ≤ pi.
Resposta : (a) ρ = sen
(
φ
2
) (
3z2
2r
+ 4r
)
. (b) 531 C.
6. Considere o campo magnético (estático) a seguir:
~B = µ0
[
y2z iˆ+ 2 (x+ 1) yz jˆ − (x+ 1) z2kˆ
]
Determine: (a) O vetor densidade de corrente. (b) A corrente que atravessa a superfície y = −1; 0
≤ x ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1.
Resposta :(a) ~J = −2 (x+ 1) y iˆ+ (y2 + z2) jˆ. (b) 4/3 A.
7. Considere o seguinte campo eletrostático em coordenadas esféricas:
~E = 3Ar2rˆ para r < a
onde A é uma constante de unidade apropriada.
(a) Ache a densidade de carga ρ para r < a.
(b) Ache a carga total Qt dentro da esfera de raio a e com seu centro na origem do sistema de
coordenadas.
Resposta :(a) ρ = 12Aε0r; (b) Qt = 12ε0Apia4
8. Dado um campo elétrico numa região do espaço (em coordenadas esféricas):
~E(~r) =
Arˆ +Bsen(θ)cos(φ)φˆ
r
com A e B constantes, determine a densidade de carga.
Resposta : ρ = ε0
r2
(A−Bsen(φ))
9. Em alguma região do espaço um campo elétrico é descrito por:
~E = A
(
xy iˆ+ x2 jˆ + zy kˆ
)
sendo A constante. Use as Equações de Maxwell para obter a densidade de carga ρ.
Resposta :ρ = 2yAε0
10. Em alguma região do espaço existem campos eletromagnéticos descritos por:
~E = A
[
(x2 + 2ayt)
(
iˆ+ jˆ
)]
~B = b (x+ y)
(
iˆ− jˆ
)
+ A (µ0ε0ay
2 + at2 − 2xt) kˆ
sendo A, a e b são constantes. Determine:
(a) A densidade de carga ρ.
2
(b) A densidade de corrente ~J .
(c) Com ambas as densidades ρ e ~J mostre que elas satisfazem a Equação da Continuidade, ou
seja, mostre que:
~∇ · ~J = −∂ρ
∂t
Resposta : (a) ρ = 2Aε0 (x+ at); (b) ~J =
(
2Aat
µ0
− 2Aaε0y
)
jˆ − 2b
µ0
kˆ.
11. Encontre a densidade de carga em uma região na qual existe um campo elétrico em coordenadas
cilíndricas dado por:
~E =
az
r
rˆ + br φˆ+ cr2z2 kˆ
sendo a, b e c constantes.
Resposta :ρ = 2zcr2ε0
12. Encontre a densidade de carga em uma região na qual existe um campo elétrico em coordenadas
esféricas dado por:
~E = ar2rˆ +
b cos θ
r
θˆ + c φˆ
sendo a, b e c constantes.
Resposta :ρ = 4arε0 + bε0r2
(
1
sen(θ)
− 2sen(θ)
)
13. Quais dos campos vetoriais abaixo podem representar campos magnéticos? Para cada um destes
determine a densidade de corrente ~J .
(a) ~A (x, y, z) = A1x2z iˆ+ A2 jˆ − A1xz2 kˆ
(b) ~B (x, y, z) = B1xy2 iˆ+B2x2y−1 jˆ + 3B3 kˆ
(c) ~C (x, y, z) = C0
(
e
x
y iˆ+ e
y
z jˆ + e
z
x kˆ
)
(d) ~D (x, y, z) = D1 ln
(
x
y
)
iˆ−D1
(
y
x
)
jˆ +D2 kˆ
(e) ~E (x, y, z) = E0
(
z2 iˆ+ y2 jˆ + x2 kˆ
)
Resposta : Os campos (a) e (d) podem ser magnéticos. As suas densidades são (a) ~J (x, y, z) =
A1(x2+z2)
µ0
jˆ e (d) ~J (x, y, z) =
D1( y
x2
+ 1
y )
µ0
kˆ
14. Dado o campo elétrico induzido, encontre a variação temporal do campo magnético:
~E(x, y, z) = E0
[(
z
z0
)2
iˆ+
(
x
x0
)2
jˆ +
(
y
y0
)2
kˆ
]
sendo z0, y0 e x0 constantes.
Resposta :∂ ~B
∂t
= −E0
[(
2y
yo2
)
iˆ+
(
2z
zo2
)
jˆ +
(
2x
xo2
)
kˆ
]
3
15. No circuito RC abaixo o capacitor de placas planas e circulares de raio r0 possui uma diferença de
potencial ∆V .
Quando a chave é fechada ela começa a se descarregar e um campo magnético surge entre as placas
do capacitor:
~B =
µ0∆V
2piR
e−
t
RC
(
r
r02
)
φˆ
sendo R a resistência, C a capacitância e µ0 a permeabilidade. Determine o vetor densidade de
deslocamento ~JD.
Resposta : ~JD =
(
∆V
R
e−
t
RC
1
pir02
)
kˆ
16. Considere o vetor campo elétrico ~E (x, y, z) = Q0
ε0L7
(
xy2z2 iˆ+ x2yz2 jˆ + x2y2z kˆ
)
, onde as constantes
Q0 e L têm dimensões, respectivamente, de carga e comprimento.
(a) Determine a densidade de volumétrica de carga ρ (x, y, z).
(b) Calcule a carga total contida no cubo 0 ≤ x ≤ 2L, 0 ≤ y ≤ 2L, 0 ≤ z ≤ 2L.
17. O campo magnético a seguir:
~B = a sin (by) ebx kˆ
é produzido por uma corrente estacionária. Considerando a e b constantes determine qual é a den-
sidade dessa corrente.
Resposta : ~J = abebx
µ0
[
cos(by)ˆi− sen(by)jˆ
]
18. Determinar o vetor campo magnético sabendo que o vetor campo elétrico é dado por:
~E = E0 cos (ωt− βz) iˆ
sendo ω e β constantes.
Resposta : ~B = βE0
ω
cos (ωt− βz) jˆ
19. Determinar o vetor campo magnético quando o vetor campo elétrico for dado por:
~E = E0sen (x) sen (t) jˆ
Resposta : ~B = E0 cos (x) cos (t) kˆ
4
20. Um vetor campo magnético no espaço livre ( ~J = 0 e σ = 0) é dado por:
~B = B0 cos (ωt− βz) jˆ
sendo ω e β constantes.
Resposta : ~E = βB0
ωε0
cos (ωt− βz) iˆ
21. Um vetor campo elétrico no vácuo é dado por ~E = E0sen (βz) cos (ωt) iˆ, sendo ω e β constantes.
Determinar o vetor campo magnético.
Resposta : ~B = −E0β
ω
cos (βz) sen (ωt) jˆ
22. Um vetor campo magnético no espaço livre ( ~J = 0) é dado por:
~B = Bxsen (αx) sen (ωt− βz) iˆ+Bz cos (αx) cos (ωt− βz) kˆ
sendo ω, β e α constantes. Determine o vetor campo elétrico.
Resposta : ~E = (−βBx+αBz)
ωε0µ0
sen (αx) sen (ωt− βz) jˆ
23. A densidade de corrente de deslocamento é dada por ~Jd = J0 cos (ωt− kz) iˆ, sendo J0, ω e k cons-
tantes. Determine:
(a) Determine o vetor campo elétrico ~E;
(b) Determine o vetor campo magnético ~B
Resposta : (a) ~E = j0
ε0ω
sen (ωt− kz) iˆ e (b) ~B = j0k
ε0ω2
sen (ωt− kz) jˆ
24. O campo elétrico em um determinado meio é dado por:
~E = E0e
(
x
x0
−kt
)
jˆ
sendo k e x0 constantes. Determine o vetor campo magnético.
Resposta : ~B = E0
kx0
e
(
x
x0
−kt
)
kˆ
25. O campo elétrico em um determinado meio é dado por
~E (z, t) = E0e
−βzsen (kz − ωt) iˆ
(a) Determine o campo magnético ~B.
(b) Determine a densidade de corrente ~J .
Resposta : (a) ~B = E0e−βz
[
β
ω
cos (kz − ωt) + k
ω
sin (kz − ωt)] jˆ e (b) ~J = 2kβ
µ0ω
E0e
−βz sin (kz − ωt) iˆ
5
26. A partir das Equações de Maxwell na forma diferencial determine as equações de onda (espaço livre),
para os campos elétrico e magnético.
Resposta : Caderno!
27. Considere as Equações de Maxwell na forma diferencial. Determine as equações de onda para os
campos elétrico e magnético num meio linear e homogêneo onde a densidade de carga é ρ = 0, mas
a densidade de corrente de condução é ~J = σ ~E, sendo σ a condutividade do meio.
Resposta :

∇2 ~B − µ0ε0 ∂2 ~B∂t2 − µ0σ ∂
~B
∂t
= 0
∇2 ~E − µ0ε0 ∂2 ~E∂t2 − µ0σ ∂
~E
∂t
= 0
28. A partir das Equações de Maxwell demonstre que a Equação da Continuidade da Carga é dada por:~∇ · ~J + ∂ρ
∂t
= 0
29. Materiais condutores são eletricamente neutros. Os elétrons na banda de condução estão livres para
se moverem sob a influência de um campo elétrico, e a relação entre a densidade de corrente e o
campo elétrico é a Lei de Ohm, ~J = σ ~E, sendo σ a condutividade do material. Se um excesso de
cargas livres é introduzido no seu interior, essa carga irá eventualmente se mover para a superfície do
condutor, deixando mais uma vez o interior neutro. Suponha que no instante t = 0 uma densidade
de carga ρ0 esteja no interior do condutor. Qual é a expressão da densidade de carga em função do
tempo?
Resposta : ρ (t) = ρ0e−
σ
ε
t
30. Considere os campos vetoriais bidimensionais representados na figura abaixo. Quatro destes campos
têm divergência nula e três tem o rotacional nulo na região apresentada. Tente identificar esses casos.
Pense! Depois lhe daremos as respostas!
6
Bibliografia
1. Exercícios 2, 3 e 6 extraídos do livro: Griffiths, David J. Eletrodinâmica.-3. ed.- São Paulo: Person
Addison Wesley, 2011.
2. Exercícios 12, 13 e 15 extraídos do livro: Fleisch, Daniel. A Student’s Guide to Maxwell
Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.
3. Exercícios 7 e 8 extraídos do livro: Dugdale, David. Essentials of Electromagnetism. American
Institute of Physics; 1993 edition.
4. Exercícios 16, 17, 18, 19, 20 e 27 extraídos do livro: Paul, Clayton R. Eletromagnetismo para
Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
5. Exercícios 11, 14, 21, 22 e 23 extraídos do curso: FAP 2292, Física 3 para o Curso de Engenharia
Elétrica da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. 2010.
6. Exercício 28 extraído do livro: Purcell, Edward M. Curso de Física de Berkeley, volume 2,
Eletricidade e Magnetismo. São Paulo: LTC, 1970.
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