Propriedades de Ideais em Anéis

Prévia do material em texto

Lista 7 - MAT0123 - 2009
Deborah Raphael
1. Mostre que a intersecção de ideais de um anel A é também um ideal de A.
2. Seja {Jn}n∈IN uma sucessão de ideais de um anel A. Prove que, se J0 ⊂ J1 ⊂ ... ⊂
Jn ⊂ ... então J =
⋃
n∈IN
Jn é um ideal de A.
3. Dê um exemplo que mostre que união de ideais nem sempre é um ideal.
4. Seja p um número primo fixado e seja A definido por
A = {m/n | m, n ∈ ZZ, n 6= 0 e mdc(p, n) = 1} .
a) Prove que A é um subanel de lQ.
b) Prove que I = {m/n ∈ A | p|m} é um ideal de A.
c) Faça p = 7 e considere o anel quociente A/I. Denotando os elementos de A/I
por a/b e convencionando que a/1 será denotado ā, mostre que:
i) 1/3 + 2 = 0̄ ii) 9/2 = 1̄ iii) A/I é domı́nio de integridade.
5. Seja A um anel e a ∈ A fixado. Prove que I = {x ∈ A : x · a = 0} é um ideal à
esquerda de A.
6. Seja A um anel e a ∈ A fixado. O conjunto I = {x ∈ A : x · a = a · x = 0} é um
ideal (bilateral) de A? Prove ou dê um contra-exemplo.
7. Seja M2[ZZ] o anel das matrizes 2× 2 com coeficientes em ZZ. Decida se I = {A ∈
M2[ZZ] | det(A) = 0} é um ideal de M2[ZZ].
8. Decida se a afirmação é falsa ou verdadeira e justifique através de uma prova ou de
um contraexemplo.
a) Os anéis lQ, IR e lC não têm ideais próprios (ou seja ideais distintos do {0} e do
próprio anel).
b) Se A é um anel comutativo e I é um ideal de A, então o anel quociente A/I é
comutativo.
c) Se A é um domı́nio de integridade e I é um ideal de A, então o anel quociente
A/I é anel de integridade.
d) No anel lQ[X], considere o ideal gerado pelo polinômio X3 + X,
I = {p · (X3 + X) ∈ lQ[X] | p ∈ lQ[X]}
e considere o anel quociente lQ[X]/I. O anel quociente é um domı́nio de integridade.
e) Seja A um anel e I um ideal próprio de A. Se a é um divisor de zero em A então
ā é um divisor de zero em A/I.
f) Seja A um anel e I um ideal próprio de A. Se a é um elemento inverśıvel de A
então ā é um elemento inverśıvel de A/I.
f) Seja A um anel e I um ideal próprio de A. Se a é um elemento inverśıvel de A e
se ā · b̄ = 0̄ em A/I então podemos deduzir que b̄ = 0̄.
g) Seja A um anel e I um ideal próprio de A. Se ā · b̄ = 0̄ em A/I então podemos
deduzir que a e b não podem ser ambos elementos inverśıveis do anel A.
9. Sejam I e J ideais de um anel A. Prove que:
a) I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J} é um ideal de A.
b) I · J =
{
n∑
i=1
xi · yi |n ∈ IN∗, xi ∈ I, yi ∈ J
}
.
10. Seja I um ideal à esquerda e J um ideal à direita do anel A. Prove então que I · J
é um anel de A.
11. Seja A um anel comutativo e seja N = {x ∈ A : xn = 0 para algum n ∈ IN∗}.
Prove que N é um ideal de A (N é chamado Radical de A). Mais ainda, prove que
se x ∈ A/N e xn = 0 para algum inteiro n ≥ 1 então x = 0. (Sugestão: Prove que
se xn ∈ N para algum n inteiro ≥ 1 então x ∈ N).
12. Seja A um anel comutativo com unidade 1 ∈ A, e seja P um ideal de A. Dizemos
que P é um ideal primo de A se P 6= A e ∀x, y ∈ A, se x · y ∈ P então x ∈ P ou
y ∈ P . Prove que:
a) P é um ideal primo de A ⇔ A/P é um domı́nio de integridade.
b) Os únicos ideais primos de ZZ são {0} e os ideais principais p · ZZ onde p é um
número primo.
c) Se P é um ideal maximal de A então P é um ideal primo de A.
13. Seja A = C[0, 1] o anel das funções reais cont́ınuas (com as operações usuais de
soma e produto de funções) definidas no intervalo [0, 1]. Prove que, se M é um ideal
maximal de A então ∃ a ∈ [0, 1] tal que
M = {f ∈ A : f(a) = 0}