Homomorfismos e anel quociente

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Homomorfismos e anel quociente
Apresentação
A álgebra abstrata é um campo de estudo fundamental da Matemática, pois dela derivam as 
ferramentas algébricas de que você faz uso ao longo do seu dia, sem se ater a teoremas, lemas e 
axiomas que asseguram o correto processo lógico de funcionamento dessas operações. Na álgebra 
abstrata, um importante conceito é o de estrutura algébrica, que consiste em um conjunto sobre o 
qual está associada uma ou mais operações e que satisfazem certos axiomas. Entre algumas das 
estruturas algébricas mais importantes, estão os grupos e os anéis.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que você tenha em 
mente a definição de anel, uma vez que os conceitos aqui estudados vão se apoiar nisso.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá o conceito de homomorfismo e isomorfismo de 
anéis. De maneira simples, homomorfismos são aplicações que têm como objetivo comparar 
estruturas algébricas de mesma natureza. Você também aprenderá a descrever as características de 
um anel quociente e a construir a tábua de um anel quociente, operacionalizando seus conceitos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir homomorfismo e isomorfismo de anéis.•
Descrever as características de um anel quociente.•
Construir a tábua de um anel quociente.•
Infográfico
A correta compreensão e operacionalização das ferramentas matemáticas é essencial na 
construção de um modelo matemático adequado, como, por exemplo, a tábua para um anel 
quociente, uma vez que, se esse modelo for construído de forma equivocada, gerará resultados 
equivocados.
Neste Infográfico, veja, passo a passo, como realizar a construção da tábua multiplicativa para um 
anel quociente.
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Conteúdo do livro
A Matemática é uma ciência que se destaca pelas abstrações que usa para a construção do 
conhecimento, sendo que, à medida que esse conhecimento avança, essas abstrações se tornam 
cada vez mais complexas. Nessa complexidade, destacam-se as estruturas algébricas.
No capítulo Homomorfismos e anel quociente, da obra Álgebra, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, inicialmente, aprenda a definição de homomorfismo e isomorfismo para anéis para, 
posteriormente, identificar um anel quociente e as características deste e, por fim, conhecer passo 
a passo a construção das tábuas de adição e multiplicação para um anel quociente.
Boa leitura.
ÁLGEBRA
Fabio Santiago
Homomorfismo e 
anel quociente
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir homomorfismo e isomorfismo de anéis.
 � Descrever as características de um anel quociente.
 � Construir a tábua de um anel quociente.
Introdução
Neste capítulo, você vai aprender os fundamentos do homomorfismo e 
do isomorfismo de anéis. Para isso, você vai estudar a correta definição 
das estruturas algébricas, pois os homomorfismos e isomorfismos são 
essencialmente aplicações sobre anéis. 
Em um segundo momento, você vai estudar as características de 
um anel quociente, compreendendo como este é definido e quais são 
as suas propriedades. Por fim, você vai aprender a construir a tábua de 
um anel quociente.
1 Homomorfismo e isomorfismo de anéis
O homomorfismo e o isomorfismo, essencialmente, podem ser entendidos 
como aplicações entre anéis. Nesse sentido, é importante que você compreenda 
a definição de anel. 
Definição de anel: Seja R um conjunto não vazio, juntamente com duas 
operações binárias denotadas respectivamente por + e *, este é dito ser um 
anel quando as propriedades a seguir são satisfeitas.
1. (R, +) é um grupo abeliano, ou seja:
 ■ para ∀a, b, c ∈ R, tem-se: a + (b + c) = (a + b) + c;
 ■ existe 0 ∈ R, tal que a + 0 = 0 + a = a para todo a ∈ R;
 ■ para todo a ∈ R, ∃ –a R, tal que a + (–a) = 0 = (–a) + a;
 ■ a + b = b + a para todo a, b ∈ R.
2. O operador binário * é associativo — ou seja, para todo a, b ∈ R, é válido:
a * (b * c) = a * (b * c).
3. Verificam-se as leis distributivas para todo ∀a, b, c ∈ R — ou seja:
 ■ a * (b + c) = (a * b) + (a * c);
 ■ (b + c) * a = (b * a) + (c * a).
Quando se consideram os conjuntos dos números complexos, racionais e reais, os quais 
são denotados respectivamente por ℚ, ℂ e ℝ, com as operações usuais de soma (+) e 
multiplicação (∙), obtém-se o corpo dos números racionais, dos números complexos 
e dos números reais. Em cada um deles, a operação de multiplicação (∙) é comutativa, 
e 1 é o elemento neutro para essa operação.
A partir do entendimento do conceito de anel e de suas propriedades, 
torna-se possível compreender o homomorfismo, conforme definido a seguir.
Definição de homomorfismo: A aplicação f: A → B de um anel A em um 
anel B é denominada homomorfismo de anéis quando são verificadas as pro-
priedades a seguir.
 � Para ∀x, y ∈ A, f(x + y) = f(x) + f(y).
 � Para ∀x, y ∈ A, f(x ∙ y) = f(x) ∙ f(y).
Homomorfismo e anel quociente2
A Figura 1 ilustra o conceito de homomorfismo entre os anéis A e B.
Figura 1. Representação do conceito de 
homomorfismo. 
Se, além disso, f for bijetora, dizemos que f é um isomorfismo de anéis. 
Nesse caso, afirma-se que os anéis A e B são isomorfos.
Se os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀) são tais que (A, +, *) = (B, ⊕, ⨀), afirma-se que f: A → B é um 
endomorfismo de anéis. Por sua vez, se f: A → A, então f é um automorfismo de anel A.
Sejam A = ℝ e B = ℝ × ℝ e a função f: A → B, então f(x) = (0, x) é um homomorfismo 
do anel A no anel B, pois:
 � para todo x, y ∈ ℝ, tem-se f(x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) = f(x) + f(y);
 � para todo x, y ∈ ℝ, tem-se f(x * y) = (0, x) * (0, y) = f(x) * f(y).
3Homomorfismo e anel quociente
Seja f: ℤ → C(M2(ℤ)) definida por:
para todo a ∈ ℤ, a aplicação f é um homomorfismo de anéis, ou seja, ℤ é isomorfo 
a C(M2(ℤ)).
Segundo Andrade (2014), o núcleo de um homomorfismo de f: A → B, 
denotado por ker( f ), ou simplesmente N( f ), é definido como sendo o conjunto 
de todos os elementos de A cuja imagem pela função f é igual ao zero do anel 
B. Matematicamente, tem-se:
N( f ) = {x ∈ A| f(x) = 0B}
Considera-se novamente o homomorfismo dado pela função f: A → B, tal que f(x) = (0, x), 
onde A = ℝ e B = ℝ × ℝ. Para determinar o núcleo de f, inicialmente suponha que 
a ∈ N(f ). Logo, pela definição de núcleo, tem-se: f(a) = (0, a) e (0, a) = (0, 0). Portanto, 
para que a igualdade seja mantida, deve-se ter a = 0. Assim, o núcleo de f é o conjunto 
N(f ) = {0}.
Agora que você já conhece a definição formal de homomorfismo e a de-
finição de núcleo de um homomorfismo, faz-se necessário compreender as 
propriedades dos homomorfismos, as quais se encontram demonstradas em 
Dias (2001). Seja f: A → B um homomorfismo de anéis, então, são válidas as 
propriedades descritas a seguir.
Homomorfismo e anel quociente4
1. f(0A) = 0B, sendo 0A o zero do anel A e 0B o zero do anel B.
2. f(–x) = –f(x) ∀x ∈ A.
3. f(x – y) = f(x) – f(y) para todo x, y ∈ A. 
4. A função f é uma função injetora se, e somente se, N( f ) = {0A}.
5. Se S é um subanel de A, então f(S) é um subanel de B.
6. Se f for uma função sobrejetora e A possuir unidade 1A, então o mesmo 
acontece com B, e a unidade de B é f(1a) = 1B.
7. Se f for sobrejetora, A tiver unidade e x for invertível (com relação à 
multiplicação), então f(x) também e invertível.
A seguir, é apresentado o conceito formal de isomorfismo.
Definição de isomorfismo: Sejam A e B anéis, tais que a função f: A → B 
é um homomorfismo, se, além disso, a aplicação f for bijetora, tem-se um 
isomorfismo do anel A no anel B.
Como observa Andrade (2014), se existe um isomorfismo de f: A → B, então f–1: B → A 
também é um isomorfismo, e denotamos por A ≅ B. Além disso, ainda segundo o 
autor, se A e B são anéis isomorfos, então eles têm as mesmas propriedades, sendo a 
diferença entre eles os nomes dos elementos.
Seja A = ℝ munido das operaçõesusuais de soma (+) e multiplicação (*), onde (A, +, *) 
é um anel. Considere então a aplicação identidade, ou seja, iA: A ⟶ A, ou ainda iA(x) = x. 
Nesse sentido, é fácil constatar que a aplicação mencionada é um isomorfismo, pois:
iA(a + b) = a + b = iA(a) + iA(a + b)
iA(a * b) = iA(a) * iB(b)
5Homomorfismo e anel quociente
2 Anéis quocientes e suas características 
Neste tópico, você vai estudar os anéis quocientes, partindo da compreensão 
do teorema demonstrado a seguir, com base em Dias (2001).
Teorema: Sejam A um anel e I ≠ ∅ um subconjunto de A. O subconjunto I é 
um ideal de A se, e somente se, para todo a, b ∈ I e r ∈ A, tem-se:
 � a – b ∈ I;
 � a * r ∈ I e r * a ∈ I.
Sejam (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀) anéis, se a aplicação f: A → B é um homomorfismo de anéis, 
então I = ker(f ) é um ideal de A.
Considere o exemplo dado por Andrade (2014), aqui adaptado com as devidas 
considerações.
Seja A um anel tal que A = ℤ. Além disso, seja I = 2ℤ um subconjunto não vazio do 
anel A. Sendo I o conjunto dos inteiros pares, então, é evidente que I ≠ ∅, pois 0 ∈ I. 
Além disso, se x, y ∈ I, então estes podem ser escritos como x = 2m e y = 2n, onde m, 
n ∈ ℤ. Nesse sentido, x – y = 2m – 2n = 2(m – n) ∈ I, e se a ∈ A, então a * x = a * (2m) = 
2(a * m) ∈ I. Portanto, pode-se concluir que 2ℤ é um ideal em ℤ.
A seguir, será apresentada uma proposição cuja demonstração pode ser 
encontrada em Dias (2001).
Proposição: Seja A um anel, e considera-se a ∈ A, então, tem-se:
1. a * A = {a * r, r ∈ A} é um ideal à direita de A;
2. A * a = {r * a, r ∈ A} é um ideal à esquerda de A;
3. se A é comutativo, então a * A = A * a é um ideal de A;
Homomorfismo e anel quociente6
4. se A é comutativo com unidade 1A, então a * A é o menor ideal de A 
que contém a.
Considere S ⊆ R um subanel. É possível afirmar que I ⊆ S é um ideal se I ⊆ R é um ideal?
Para responder a essa pergunta, inicialmente deve-se considerar R = M2(ℤ). Além 
disso, sejam:
Assim, tem-se que S ⊆ R, I é ideal de S, mas não é ideal de R, pois
Das igualdades anteriores, é possível concluir que I é um ideal de S. No entanto, I 
não é um ideal de R, pois:
Como observa Andrade (2014), seja A um anel comutativo e a1, a2, a3, …, 
an ∈ A, sendo n ≥ 1. O conjunto formado por todas as combinações do tipo x1 
* a1 + x2 * a2 + x3 * a3 + xn * an, sendo x1, x2, x3, ..., xn ∈ A, é um ideal, sendo A 
denominado de ideal gerado por a1, a2, a3, ..., an e denotado por <a1, a2, a3, ..., 
an>. Ainda segundo o referido autor, no caso em que I = <a> = {x * a|x ∈ A} 
é um ideal gerado por um único elemento a de um anel comutativo A, então 
I é denominado ideal principal gerado por a.
Agora que você já aprendeu o conceito de ideal, você está apto a compreen-
der o conceito de anel quociente. Para isso, considere I um ideal de um anel 
comutativo A. O anel quociente de A por I é o conjunto dado por:
A/I = {x + I|x ∈ A}
7Homomorfismo e anel quociente
Como observa Andrade (2014), as operações de adição e multiplicação são 
definidas nesse anel quociente conforme apresentado a seguir.
 � Adição: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, ∀x, y ∈ A.
 � Multiplicação: (x + I) * (y + I) = (x * y) + I, ∀x, y ∈ A.
Antes de verificar um exemplo de anel quociente, considere o seguinte 
teorema.
Teorema: Sejam R um anel e I um ideal de R. A função dada por f: R → R/I, 
definida por f(a) = a + I para todo a ∈ R, é um homomorfismo sobrejetor de 
anéis com núcleo I. Ou seja, todo ideal de R é nucleo de um homomorfismo 
de anéis com domínio R.
Agora você vai aprender a demonstrar esse teorema. Os passos aqui apresen-
tados são os mesmo de Dias (2011). Assim, tem-se que f é um homomorfismo 
de anéis, uma vez que se verificam, para todo a, b ∈ R, as seguintes igualdades:
f(a + b) = (a + b) + I = (a + I) + (b + I) = f(a) + f(b)
f(ab) = (ab) + I = (a + I) + (b + I) = f(a) * f(b)
Além disso, tem-se: Ker( f ) = {a ∈ R, f(a) = 0s} = {a ∈ R; a + I = 0 + I} = 
{a ∈ R;a ∈ I} = I.
A seguir, é apresentado um exemplo de anel quociente e algumas opera-
ções relacionadas. A operacionalização da tábua de cálculo será estudada em 
detalhes no tópico seguinte.
Seja (A, +, *) um anel com as operações de adição e multiplicação usuais. Além disso, 
assume-se que A = ℤ seja o ideal dado por I = 5ℤ. Assim, tem-se:
 � 0 + I = {..., –20, –15, –5, 0, 5, 10, 15, 20...} = I
 � 1 + I = {..., –19, –14, –4, 1, 6, 11, 16, 21...}
 � 2 + I = {..., –18, –13, –3, 2., 7, 12, 17, 22...}
 � 3 + I = {..., –17, –12, –2, 3., 8, 13, 18, 23...}
 � 4 + I = {..., –16, –11, –1, 4., 9, 14, 19, 24...}
 � 5 + I = {..., –15, –10, 0, 5.,10, 15, 20, 25...} = I
Portanto, o anel quociente de A por I é dado por A/I = {I, 1 + I. 2 + I, 3 + I, 4 + I}.
Homomorfismo e anel quociente8
Considerando-se o anel quociente dado pelo exemplo anterior, ou seja, A/I = {I, 1 + I, 
2 + I, 3 + I, 4 + I}, a adição dos elementos {1 + I, 2 + I} desse anel é dada por:
(1 + I) + (2 + I) = (2 + 1) + I = 3 + I
Por sua vez, tem-se a multiplicação entre os elementos (2 + I) * (I) = (2 + I) * (0 + I) 
= (2 * 0) + I = I.
Até este ponto, você estudou alguns dos elementos que compõem a tábua 
de multiplicação e soma do anel quociente A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}. 
No entanto, esta não se restringe aos elementos mostrados. O desenvolvimento 
completo da tábua de multiplicação será apresentado a seguir.
3 Construindo a tábua de um anel quociente
Neste tópico, você vai aprender a desenvolver a tábua completa da adição e 
multiplicação do anel quociente estudado no tópico anterior. Para isso, considere 
novamente o anel quociente.
Seja (A, +, *) um anel com as operações de adição e multiplicação usuais. 
Além disso, assume-se que A = ℤ seja o ideal dado por I = 5ℤ. Assim, tem-se:
 � 0 + I = {..., –20, –15, –5, 0 5, 10, 15, 20...} = I
 � 1 + I = {..., –19, –14, –4, 1, 6, 11, 16, 21...}
 � 2 + I = {..., –18, –13, –3, 2., 7, 12, 17, 22...}
 � 3 + I = {..., –17, –12, –2, 3., 8, 13, 18, 23...}
 � 4 + I = {..., –16, –11, –1, 4., 9, 14, 19, 24...}
 � 5 + I = {..., –15, –10, 0, 5.,10, 15, 20, 25...} = I
Portanto, o anel quociente de A por I é dado por: A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 
+ I, 4 + I}. Para obter a tábua da adição, deve-se inicialmente considerar a 
definição de soma para um anel quociente.
Adição: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, ∀x, y ∈ A.
9Homomorfismo e anel quociente
Aplicando-se a definição da adição ao anel quociente A/I = {I, 1 + I, 2 + 
I, 3 + I, 4 + I}, obtém-se:
 � (0 + I) + (0 + I) = (0 + 0) + I = I
 � (1 + I) + (0 + I) = (1 + 0) + I = 1 + I
 � (2 + I) + (0 + I) = (2 + 0) + I = 2 + I
 � (3 + I) + (0 + I) = (3 + 0) + I = 3 + I
 � (4 + I) + (0 + I) = (4 + 0) + I = 4 + I
 � (0 + I) + (1 + I) = (0 + 1) + I = 1 + I
 � (1 + I) + (1 + I) = (1 + 1) + I = 2 + I 
 � (2 + I) + (1 + I) = (2 + 1) + I = 3 + I
 � (3 + I) + (1 + I) = (3 + 1) + I = 4 + I
 � (4 + I) + (1 + I) = (4 + 1) + I = 0 + I
 � (0 + I) + (2 + I) = (0 + 2) + I = 2 + I
 � (1 + I) + (2 + I) = (1 + 2) + I = 3 + I
 � (2 + I) + (2 + I) = (2 + 2) + I = 4 + I
 � (3 + I) + (2 + I) = (3 + 2) + I = 0 + I
 � (4 + I) + (2 + I) = (4 + 2) + I = 1 + I
 � (0 + I) + (3 + I) = (0 + 3) + I = 3 + I
 � (1 + I) + (3 + I) = (1 + 3) + I = 4 + I
 � (2 + I) + (3 + I) = (2 + 3) + I = 0 + I
 � (3 + I) + (3 + I) = (3 + 3) + I = 1 + I
 � (4 + I) + (3 + I) = (4 + 3) + I = 2 + I
 � (0 + I) + (4 + I) = (0 + 4) + I = 4 + I
 � (1 + I) + (4 + I) = (1 + 4) + I = 0 + I
 � (2 + I) + (4 + I) = (2 + 4) + I = 1 + I
 � (3 + I) + (4 + I) = (3 + 4) + I = 2 + I
 � (4 + I) + (4 + I) = (4 + 4) + I = 3 + I
Organizando-se as operações anteriores na tábua de adição para o anel 
quociente A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, obtém-se o Quadro 1.
Homomorfismo e anel quociente10
+ I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I
I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I
1 + I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I I
2 + I 2 + I 3 + I 4 + I I 1 + I
3 + I 3 + I 4 + I I 1 + I 2 + I
4 + I 4 + I I 1 + I 2 + I 3 + I
Quadro 1. Tábua do anel quociente
Tendo sido obtida a tábua da adição para o anel quociente A/I = {I, 1 + 
I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, deve-se então obtera tábua da multiplicação. Assim, 
considerando-se a definição de multiplicação para um anel quociente, tem-se 
que:
Multiplicação: (x + I) * (y + I) = (x * y) + I, ∀x, y ∈ A.
 � (0 + I) * (0 + I) = (0 * 0) + I = I
 � (1 + I) * (0 + I) = (1 * 0) + I = I
 � (2 + I) * (0 + I) = (2 * 0) + I = I
 � (3 + I) * (0 + I) = (3 * 0) + I = I
 � (4 + I) * (0 + I) = (4 * 0) + I = I
 � (0 + I) * (1 + I) = (0 * 1) + I = I
 � (1 + I) * (1 + I) = (1 * 1) + I = 1 + I
 � (2 + I) * (1 + I) = (2 * 1) + I = 2 + I
 � (3 + I) * (1 + I) = (3 * 1) + I = 3 + I
 � (4 + I) * (1 + I) = (4 * 1) + I = 4 + I
 � (0 + I) * (2 + I) = (0 * 2) + I = I
 � (1 + I) * (2 + I) = (1 * 2) + I = 2 + I
 � (2 + I) * (2 + I) = (2 * 2) + I = 4 + I
 � (3 + I) * (2 + I) = (3 * 2) + I = 1 + I
 � (4 + I) * (2 + I) = (4 * 2) + I = 3 + I
 � (0 + I) * (3 + I) = (0 * 3) + I = I
 � (1 + I) * (3 + I) = (1 * 3) + I = 3 + I
 � (2 + I) * (3 + I) = (2 * 3) + I = 1 + I
 � (3 + I) * (3 + I) = (3 * 3) + I = 4 + I
 � (4 + I) * (3 + I) = (4 * 3) + I =2 + I
11Homomorfismo e anel quociente
 � (0 + I) * (4 + I) = (0 * 4) + I = I
 � (1 + I) * (4 + I) = (1 * 4) + I = 4 + I
 � (2 + I) * (4 + I) = (2 * 4) + I = 3 + I
 � (3 + I) * (4 + I) = (3 * 4) + I = 2 + I
 � (4 + I) * (4 + I) = (4 * 4) + I = 1 + I
De posse de todas as operações que compõem a multiplicação do anel 
quociente A/I = {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}, pode-se montar a tábua de multi-
plicação para este, a fim de organizar os dados (Quadro 2).
* I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I
I I I I I I
1 + I I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I
2 + I I 2 + I 4 + I 1 + I 3 + I
3 + I I 3 + I 1 + I 4 + I 2 + I
4 + I I 4 + I 3 + I 2 + I 1 + I
Quadro 2. Tábua do anel quociente
Para a generalização dos resultados aqui obtidos, basta empregar as defi-
nições encontradas neste capítulo.
ANDRADE, L. N. Introdução a álgebra: questões comentadas e resolvidas. João Pessoa: 
Edição do autor, 2014. Disponível em: http://www.mat.ufpb.br/lenimar/textos/intal-
gebra_lna.pdf. Acesso em: 9 out. 2020.
DIAS, I. Teoria de anéis: notas de aula. [S. l.: s. n.], 2001. Disponível em: https://sites.icmc.
usp.br/iresdias/material/sma306.pdf. Acesso em: 9 out. 2020.
Homomorfismo e anel quociente12
Leituras recomendadas
ARTIN, M. Álgebra. 2. ed. Boston: Pearson Education, 2011.
COELHO, F. U.; AGUIAR, M. A história da álgebra e o pensamento algébrico: correlações 
com o ensino. Estudos Avançados, v. 32, n. 94, p. 171–187, 2018. Disponível em: https://
doi.org/10.1590/s0103-40142018.3294.0013. Acesso em: 9 out. 2020.
ELEMENTOS de álgebra: aula 02: anéis. [S. l.: s. n.], 2018. 1 vídeo (22 min). Publicado no 
canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=3g3R1rniSUo&ab_
channel=UNIVESP. A Acesso em: 9 out. 2020.
ELEMENTOS de álgebra: aula 04: anel quociente e corpo. [S. l.: s. n.], 2018. 1 vídeo 
(21 min). Publicado no canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=5tc3Y6Cl-DE&ab_channel=UNIVESP. Acesso em: 9 out. 2020.
ELEMENTOS de álgebra: aula 05: homomorfismo. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (24 
min). Publicado no canal UNIVESP. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=Jx8QjqUWGvE&ab_channel=UNIVESP. Acesso em: 9 out. 2020. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro: Instituto de 
Matemática Pura e Aplicada, 1988. (Coleção Projeto Euclides).
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e 
Aplicada, 1979. (Coleção Projeto Euclides).
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
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13Homomorfismo e anel quociente
Dica do professor
A obtenção de chaves de acesso em sistemas de criptografia nem sempre é uma tarefa fácil, uma 
vez que elas devem ser seguras, a fim de protegerem as informações das quais elas se dispõem a 
garantir a segurança.
Nesta Dica do Professor, entenda como os anéis quocientes podem ser empregados para gerar 
números em cartões funcionais de uma empresa.
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Exercícios
1) Se os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀) são tais que (A, +, *) = (B, ⊕, ⨀), além disso, a 
aplicação f: A→B é um endomorfismo de anéis, então é correto afirmar que a 
aplicação f: A→A é um:
A) endomorfismo.
B) automorfismo.
C) homomorfismo inverso.
D) anel quociente.
E) anel de polinômio.
2) O anel quociente de A por I é o conjunto dado por:
A/I = {x + I | x ∈ A}
Sobre ele estão definidas as seguintes operações de adição e multiplicação, 
respectivamente:
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, ∀x, y ∈ A 
(x + I) * (y + I) = (x * y) + I, ∀x, y ∈ A
Dito isso, considere o anel A dado por A = Z, o ideal I = 6Z, calcule 
(4 + I) * (5 + I) e assinale a alternativa correta:
A) I.
B) 1 + I.
C) 2 + I.
D) 3 + I.
E) 4 + I.
3) 
Considerando os anéis (A, +, *) e (B, ⊕, ⨀), bem como a aplicação 
f: A→B, em que se verificam as propriedades:
Para ∀x, y ∈ A, f(x + y) = f(x) + f(y) 
Para ∀x, y ∈ A, f(x * y) = f(x) * f(y)
Julgue as afirmações que seguem e marque V para verdadeiro e F para falso:
( ) Se S é um subanel de A, então f(S) é um subanel de B. 
( ) Para todo x, y ∈ A, f(x − y) ≠ f(x) − f(y). 
( ) Se f for uma função sobrejetora e A ter unidade 1A, então o mesmo acontece com B, e a 
unidade de B é f(1a) = 1B. 
( ) A função f é uma função injetora se, e somente se, N(f) = {0A}.
A ordem correta de preenchimento das lacunas, de cima para baixo, é:
A) F – V – F – F.
B) V – F – V – F.
C) V – F – F – V.
D) V – F – V – V.
E) V – V – F – V.
4) Sejam A um anel e I ≠ ∅ um subconjunto de A, o subconjunto I é um ideal de A se, e 
somente se, para todo a, b ∈ I e r ∈ A, têm-se:
a − b ∈ I, a * r ∈ I e r * a ∈ I.
A partir disso, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas:
I. Sejam R um anel e I um ideal de R, a função dada por f: R→R/I, sendo definida por f(a) = a + 
I, para todo a ∈ R, é um homomorfismo sobrejetor de anéis com núcleo I.
PORQUE
II. Todo ideal de R é núcleo de um homomorfismo de anéis com domínio R.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições falsas.
5) Sejam A = Z, assim como o ideal I = 4Z com as operações de soma e multiplicação habituais. 
Sobre a operacionalização desse anel quociente, julgue as afirmações que seguem:
I. É válida a igualdade (1 + I) + (2 + I) = (2 + I). 
II. É válida a igualdade (3 + I) * (3 + I) = (1 + I). 
III. É válida a igualdade (3 + I) * (2 + I) = (2 + I).
Está correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) III, apenas.
D) I e II.
E) II e III.
Na prática
Em sala de aula, os temas abordados pela Matemática podem vir a ser considerados abstratos 
demais, gerando, muitas vezes, desmotivação na maioria dos alunos e contribuindo para a 
existência de certa resistência no aprendizado dessa ciência.
Neste Na Prática, veja como a professora Roberta despertou o interesse de seus alunos ao 
aproximá-los de um problema real de gerenciamento de filas.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Isomorfismo
Acompanhe, neste vídeo, uma explicação didática sobre o conceito de isomorfismo entre espaços e 
suas implicações.
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Homomorfismos
Neste vídeo disponibilizado pela Univesp, assista a uma detalhada apresentação sobre 
homomorfismo de anéis.
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Anel quociente e corpo
Neste vídeo, o professor Pedro Fagundes, da Univesp, aborda os conceitos de anel quociente e 
corpo e traz alguns exemplos. Aproveite.
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Anéis
Assista a este vídeo para saber mais sobre a estrutura algébrica anel, uma das estruturas básicas da 
álgebra abstrata.
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Lista de exercícios
Para aprender homomorfismos e anel quociente, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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