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Notas de aulas – Geometria Analítica e Álgebra Linear 60
ESTUDOS DE RETAS E PLANOS
5.1. Equações da Reta (Vetorial, Paramétricas e Simétricas)
5.1.1. Equação Vetorial da Reta
Seja r uma reta. 
Sejam v⃗ um vetor paralelo à reta r e A um ponto pertencente à reta r.
(Qualquer vetor paralelo à reta é chamada de vetor diretor)
v⃗ r
 λ v⃗
 X
 
A 
O ponto X pertence à reta se, e somente se, existe um no real λ tal que A⃗X = λ v⃗. 
O que equivale a 
 X = A + λ v⃗ , λ∈ℝ (1)
Equação Vetorial da Reta 
5.1.2. Sistema de Equações Paramétricas da Reta
Sejam X=(x , y , z) , A=(x0 , y0 , z0) e v⃗=(a , b, c) num sistema de 
coordenadas. A equação (1) pode ser reescrita como:
(x ,y ,z) = (x0 , y0 , z0) + λ (a ,b,c) = (x0+ λa, y0 + λ b , z0 + λ c) , 
ou seja,
{x = x0 + λ ay = y0 + λ bz = z0 + λ c , λ∈ℝ (2)
Sistema de Equações Paramétricas da Reta 
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5.1.3. Sistema de Equações da Reta na Forma Simétrica
Sejam X=(x , y , z) , A=(x0 , y0 , z0) e v⃗=(a , b, c) num sistema de 
coordenadas. Se as coordenadas a , b, e c do vetor v⃗ forem não nulos, podemos, 
isolar λ no primeiro membro de cada equação: 
λ =
x − x0
a
, λ =
y − y0
b
, λ =
z− z0
c
.
Portanto, 
x − x0
a
=
y − y0
b
=
z− z0
c
 (3)
Sistema de Equações da Reta na Forma Simétrica 
Exercícios. 
1) Seja r a reta determinada pelos pontos A=(1,0 ,1) e B=(3,−2, 3) .
a) Obtenha equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica.
b) Verifique se o ponto P=(−9, 10,−9) pertence a reta r.
c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r , distintos de A e B.
2) Verifique se o ponto P=(−1, 0, 2) pertence à reta
 r : X =(−7, −3, −7) + t (2, 1, 3) , t∈ℝ .
3) Verifique se o ponto P=(4, 1, −1) pertence à reta
 r : X =(1, 0, 1) + λ (2, 1, 1) , λ∈ℝ.
4) Verifique se r=s nos casos:
a) r : {x = 1− λy = 2 + 2λz = 1− λ s : {x = 1 − 12μy = 2 + μz = 1 − 1
2
μ
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b) r : {x =
1
3
− λ
y = −1
3
+ λ
z = 2
3
− λ
s : {x = 1−μy = −1+ μz = 2−μ
c) r : X=(1, 1, 0) + λ (1, 0, −12
) s : X=(0, 1, 1
2
) + μ (−2, 0, 1)
5) Seja r : x−12
= y+ 2
4
= z . Determine as equações de r nas formas vetorial 
e paramétrica.
6) Dadas as equações: 2x−13
= 1−y
2
= z+ 1 .
a) Elas estão na forma simétrica de uma reta? Caso não estejam, passe as para 
forma simétrica.
b) Elas representam uma reta? Se sim, exiba um ponto e um vetor diretor da reta.
7) Escreva as equações paramétricas para a reta r , que passa pelo ponto 
P=(2, 0, 3) e é paralela à: 
a) reta s : 1−x5
= 3y
4
= z+ 3
6
.
b) reta t que passa pelos pontos B=(1, 0, 4) e C=(2, 1, 3) .
c) reta s ´ :{x = 1−2λy = 4 + λz = −1−λ λ∈ℝ .
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5.2. Equações do Plano (Eq. Vetorial, Eqs. Paramétricas, Eq. Geral)
Assim como um vetor não nulo determina a direção de uma reta, dois vetores L I 
determinam a direção de um plano.
Definição. Se u⃗ e v⃗ são L I e paralelos a um plano π . O par (u⃗, v⃗) é 
chamado par de vetores diretores de π .
Seja A um ponto do plano π e (u⃗, v⃗) um par de vetores diretores de π . Um 
ponto X pertence a π se, e somente se, (u⃗, v⃗ , A⃗X) é L D, ou seja, se, e 
somente se, existem números reais λ e μ tais que A⃗X = λ u⃗ + μ v⃗ . Ou 
equivalentemente,
 X= A + λ u⃗ + μ v⃗ . Eq.Vetorial do Plano
Seja (O,E) um sistema de coordenadas. Suponhamos que as coordenadas dos pontos 
A e X e dos vetores diretores u⃗ e v⃗ são: 
A=(x0, y0, z0) , X=(x , y , z) , u⃗=(a1 , b1 , c1) e v⃗=(a2 , b2, c2) .
Da equação vetorial do plano, temos que 
(x , y , z)= (x0 , y0 , z0) + λ (a1 , b1 , c1) + μ (a2 ,b2, c2) , λ , μ ∈ ℝ .
E daí que,
{x = x0 + λ a1 + μ a2y = y0 + λb1 + μ b2z = z0 + λ c1 + μ c2 λ , μ ∈ ℝ .
Sistema de Eqs. Paramétricas do Plano
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Exercícios. 
1) Seja π o plano que contém o ponto A=(3, 7, 1) e é paralelo a u⃗=(1, 1, 1) 
e v⃗=(1, 1, 0) .
a) Obtenha duas equações vetoriais de π .
b) Obtenha equações paramétricas de π .
c) Verifique se o ponto (1, 2, 2) pertence a π .
d) Verifique se o vetor w⃗=(2, 2, 5) é paralelo a π .
2) a) Escreva uma equação vetorial do plano que tem equações paramétricas
π :{x = 6 + λ + μy = 1 + 7 λ + 4 μz = 4 + 5 λ + 2 μ (λ , μ ∈ ℝ) .
b) Obtenha três pontos não colineares desse plano.
Fixemos, agora, um sistema de coordenadas.
Seja π um plano que contém o ponto A=(x0, y0, z0) e que tenha 
u⃗=(a1 , b1 , c1) e v⃗=(a2 , b2, c2) como vetores diretores.
Seja X=(x , y , z) as coordenadas de um ponto pertencente a π . As 
coordenadas do vetor A⃗X é são (x−x0 , y−y0, z−z0) .
Sabemos que ( A⃗X, u⃗, v⃗) é L D, assim temos que 
 ∣x−x0 y−y0 z−z0a1 b1 c1a2 b2 c2 ∣= 0 . Desta equação temos
 ax+ by+ cz+ d = 0 Eq. Geral do Plano
sendo a =∣b1 c1b2 c2∣ , b=−∣a1 c1a2 c2∣ , c =∣a1 b1a2 b2∣ , d=−ax0−by0−cz0 .
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Exercícios. 
1) Ache uma equação do plano π que passa por A =(1, 0,−1) e é paralelo aos 
vetores u⃗= (2, 0, −2) e v⃗ = (1, −2, 0) .
2) Idem, π que passa por A =(1, 0, 1) , B= (−1, 0, 1) e C= (2, 1, 2) .
3) Dadas equações paramétricas de um plano π , 
{x = −1 + 2 λ − 3 μy = 1 + λ + μz = λ (λ , μ ∈ ℝ) ,
obtenha uma equação geral de π .
4) Um plano tem por equação x+ 2y−z−1=0 . Obtenha a equações paramétricas 
desse plano.
Proposição. Sejam ax+ by+ cz+ d=0 uma equação geral do plano π e 
u⃗=(m,n ,p) . Então, u⃗ é paralelo a π se, e somente se, am+ bn+ cp=0 .
Dem. Seja A=(x0 , y0 , z0) um ponto de π . Ou seja, ax0+ by0+ cz0+ d=0 .
Consideremos o ponto B=A+ u⃗ . Logo, B=(x0+ m, y0+ n , z0+ p) . 
Sabemos que o vetor u⃗ é paralelo a π se, e somente se, B pertence a 
π , isto é, se, e somente se, a (x0+ m) + b (y0+ n) + c (z0+ p) + d= 0 . O 
que implica que ax0+ by0+ cz0+ d+ am+ bn+ cp= 0 . Portanto,
am+ bn+ cp=0 .
Exercício. Verifique se os vetores u⃗=(1, 2, 1) e v⃗=(3, 2, 3) são paralelos ao plano 
π : 2x−3y+ 4z−600=0 .
Resp.: u⃗ é paralelo e v⃗ não é paralelo 
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5.3. Interseção de Retas e Planos
Exercícios
1) Interseção de duas retas.
Dados os pontos A=(1, 2, 1) e B=(3,0,−1) . Verifique se são concorrentes 
as retas AB e r : X = (3, 0 ,−1) + λ (1, 1, 1) . Se forem obtenha o ponto de 
interseção.
2) Interseção de reta e plano.
Obtenha a interseção da reta r com o plano π :
a) r : X = (1, 0 ,1) + λ (2, 1, 3) e π : x+ y+ z=20
b) r : X=(0, 1 ,1) + λ (2, 1, −3) e π : X=(1, 0 ,0) + λ (1, 0, 0) + μ (0, 1, 1)
c) r :
x
3
=
y−1
2
=
z−3
8 e 
π : 2x+ y−z−6=0
d) r : X=(2, 3 ,1) + λ (1, −1, 4) e π : X=(−4, −6 ,2)+ λ(2, 1, 3)+ μ(3, 3, 2)
3) Interseção de dois planos.
Determine a interseção dos planos π1 e π2 :
a) π1 : x+ 2y+ 3z−1=0 e π2: x−y+ 2z=0
b) π1 : x+ y+ z−1=0 e π2: x+ y−z=0
c) π1 : x+ y+ z−1=0 e π2: 2x+ 2y+ 2z−1=0
d) π1 : x+ y+ z−1=0 e π2: 3x+ 3y+ 3z−3=0
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5.4. Equações de Reta na Forma Planar
Definição. Seja um sistema linear de duas equações e três incógnitas
 {a1x+ b1y+ c1z+ d1=0a2 x+ b2y+ c2 z+ d2=0 .
Se a1 ,b1 ,c1 e a2 ,b2 ,c2 não são proporcionais e se r é a reta descritapelo 
sistema do tipo acima, então o sistema é chamado de sistema de equações planares da 
reta. 
Em outras palavras, uma reta pode ser vista como interseção de dois planos π1 
e π2 . 
Exemplos. (Veja a resolução das exercícios 3a e 3b)
a) {x+ 2y+ 3z−1=0x − y + 2z = 0 são as equações planares da reta r : X=(−2,0,1)+ λ (7,1,−3)
b) {x+ y+ z−1=0x + y − z = 0 são as equações planares da reta r : X=(0,1 /2,1/2)+ λ (1,−1,0)
Exercícios.
1) Obtenha uma equação vetorial da reta r a partir de suas equações planares:
a) { x=32x−z+ 1=0 b) {y=2z=0
2) Obtenha equações na forma planar para as seguintes retas:
a) { x=1−λy=2+ 2λz=3+ 3λ b) {
x=2
y=1+ λ
z=1+ λ
c) {x=1−3λy=0z=1+ λ
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5.5. Posição Relativa de Retas e Planos
5.5.1. Posição Relativa de Retas
Duas retas r e s podem ser 
a) coplanares {concorrentes : r∩s={P} , P : ponto de interseçãoparalelas : r∩s=∅coincidentes: r=s
b) reversas (não situadas no mesmo plano): r∩s=∅
Seja (O, e1 , e2 , e3) é um sistema de coordenadas e sejam A∈r , r⃗ vetor 
diretor de r, B∈s e s⃗ vetor diretor de s. Assim,
i) se ( r⃗ , s⃗) é L D então r⃗ e s⃗ são paralelas {coincidentes se A∈s ou se B∈rdistintos se A∉s ou B∉r
ii) se ( r⃗ , s⃗) é L I então r⃗ e s⃗ não são paralelas { reversas ( r⃗ , s⃗ , A⃗B) é LIconcorrentes ( r⃗ ,s⃗ , A⃗B) é LD 
Exercícios. Estude a posição relativa das retas:
a) r : X = (1,2 ,3)+ λ (0,1 ,3) s : X =(0,1,0)+ λ(1,1,1)
b) r : X = (1,2,3)+ λ (0,1,3) s1 : X =(1,3,6)+ λ (0,2,6)
c) r : X = (1,2 ,3)+ λ (0,1 ,3) s2: {x+ y=z= 6x−y−z=−4
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5.5.2. Posição Relativada de Reta r e Plano π
Há três possibilidades: { r ⊂ π (r∩π=r )r e π paralelos ( r∩π=∅)r e π transversais ( r∩π=P) .
Sejam ax+ by+ cz+ d=0 a equação geral do plano π , u⃗ , v⃗ vetores 
diretores de π , r⃗ = (m,n,p) vetor diretor de r e A∈r . Temos que:
i) a reta r é paralela a π  o vetor r⃗ é paralelo a π ;
e mais, am+ bn+ cp=0 , (u⃗, v⃗ , r⃗ ) é L D e A∉π
ii) r⊂π  o vetor r⃗ é paralelo a π ;
e mais, am+ bn+ cp=0 e (u⃗, v⃗ , r⃗ ) é L D e A∈π
iii) a reta r é transversal a π  o vetor r⃗ não é paralelo a π .
e mais, am+ bn+ cp≠0 e (u⃗, v⃗ , r⃗ ) é L I
Exercícios. Estude a posição relativa de r e π :
a) r : {x=1+ λy=1−λz=λ π : x+ y−z+ 2=0
b) r : X=(1,1 ,0)+ λ (1,−1,1) π : x+ y−2=0
c) r : X=(1,1,1)+ λ (3,2,1) π : X=(1,1,3)+ λ (1,−1,1)+ μ(0,1,3)
d) r : X=(2,2,1)+ λ(3,3,0) π : X=(1,10 ,1)+ λ (1,1,1)+ μ(0,0,3)
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5.5.3. Posição Relativada de Planos π1 e π2
Dois planos π1 e π2 podem ser:
i) paralelos distintos (π1 ∩ π2=∅)
ii) paralelos coincidentes (π1 ∩ π2= π1= π2)
iii) transversais (π1 ∩ π2= reta)
Analisando a intersecção de π1 e π2 , podemos decidir a posição relativa dos 
planos. Conhecendo-se as equações gerais dos planos, a análise da posição relativa é 
mais simples.
Proposição. Sejam π1 : a1 x+ b1y+ c1z+ d1=0 e π2: a2x+ b2 y+ c2z+ d2=0 .
a) π1 //π2  a1 ,b1,c1 e a2,b2 ,c2 são proporcionais e:
i) se d1 e d2 estão na mesma proporção então π1 = π2 .
ii) se d1 e d2 não seguem a proporcionalidade, então são π1 e π2 
distintos.
b) π1 e π2 são transversais  a1 ,b1 ,c1 e a2 ,b2 ,c2 não são proporcionais.
Exercícios Estude a posição relativa dos planos π1 e π2 :
a) π1 : x+ 10y−z−4=0 π2: 4x+ 40y−4z−16=0
b) π1 : 2x−y+ z−1=0 π2: 4x−2y+ 2z−9=0
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5.6. Perpendicularidade e Ortogonalidade
Seja (O, i⃗ , j⃗ , k⃗) sistema de coordenadas ortogonal.
5.6.1. Perpendicularidade entre retas r e s :
Sejam r⃗=(a1,b1 ,c1) e s⃗=(a2 ,b2 ,c2) vetores diretores das retas r e s , 
respectivamente.
Condição de ortogonalidade das retas:
r e s são ortogonais

r⃗ ⋅s⃗ = 0

a1a2+ b1b2+ c1c2= 0
Exercícios 
1) Sejam r : { y=3x−38 = z+ 1−6 (= λ) e s : x3 = y+ 15 = z−34 duas retas. 
Verifique se elas são ortogonais. Caso sejam, verifique se são perpendiculares.
2) Obtenha as equações paramétricas da reta s que contém o ponto 
P=(−1,3,1) e é perpendicular a r :
x−1
2
=
y−1
3
= z .
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5.6.2. Vetor normal a um plano
Definição.: Dado um plano π , qualquer vetor não nulo ortogonal a π é um vetor 
normal a π . 
Este vetor será denotado por n⃗ e satisfaz a condição n⃗=λ u⃗∧ v⃗ , sendo u⃗ e v⃗ 
dois vetores diretores do plano π .
Exercício. Obtenha um vetor normal ao plano π determinado pelos pontos 
A=(1, 1, 2) , B=(3, 4, 1) , C=(2, 2,−3) .
Resp.: n⃗=(−14, 9,−1)
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Curiosidade:
Sejam A=(x0 , y0 , z0) e X=(x ,y ,z) dois pontos de um plano π . 
Suponha que n⃗=(a,b,c) seja o vetor normal a esse plano.
O vetor A⃗X = (x−x0 , y−y0 , z−z0) é paralelo ao plano. 
Nestas condições sabemos que:
n⃗ e A⃗X são ortogonais  n⃗⋅ A⃗X=0  a(x−x0)+ b(y−y0)+ c (z−z0)=0
 ax+ by+ cz−ax0−by0−cz0=0
Indicando por d a expressão −ax0−by0−cz0 temos a equação
ax+ by+ cz+ d=0 , que é a equação geral do plano π .
Após este estudo, podemos enunciar o seguinte resultado:
Proposição. 
π : ax+ by+ cz+ d=0  n⃗= (a,b ,c) é um vetor normal ao plano π
Exercício: Obtenha uma equação geral ao plano π que contém, o ponto 
A=(1,0,2) , sabendo que n⃗=(1,1,4) é um vetor normal a π .
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5.6.3. Perpendicularidade entre retas e planos
Sejam n⃗ um vetor normal a π e r⃗ um vetor diretor de r . 
Resultado. r e π são perpendiculares  r⃗ e n⃗ são paralelos
Exercício. 1) Sejam π : X=(3,4 ,5)+ λ(6,7,8)+ μ(9,10 ,11) e 
r : X=(0,1 ,0)+ λ(1,1,3) . Verifique se o plano π e a reta r são perpendiculares.
2) Escreva uma equação geral do plano π que contém a origem O do sistema de 
coordenadas e é perpendicular à reta r : X=(1,0,0)+ λ(2,3,7) .
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5.6.4. Perpendicularidade entre planos
Sejam n⃗1 e n⃗2 vetores normais aos planos π1 e π2 , respectivamente. 
Temos que: π1 ⇒ π2  n⃗1 e n⃗2 são ortogonais  n⃗1⋅ n⃗2=0 
Exercício. Verifique se π1 : X=(0,0,1)+ λ(1,0,1)+ μ(−1,−1,1) e 
π2: 2x−7y+ 16z−40=0 são perpendiculares.
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5.7. Ângulos
Seja (O, i⃗ , j⃗ , k⃗) sistema de coordenadas ortogonal.
5.7.1. Ângulo entre retas
Dadas as retas r e s , θ = ang(r ,s) um ângulo agudo.
Sejam r⃗ e s⃗ vetores diretores, respectivamente, das retas r e s. Já 
sabemos que, se α = ang( r⃗ , s⃗) , logo cosα =
r⃗⋅⃗s
∥r⃗∥∥s⃗∥
,0 ⩽α ⩽ π .
Temos duas situações a considerar:
i) r⃗ ⋅ s⃗ > 0 ⇒ cosα > 0 ⇒ 0 ⩽α < π /2 ⇒ θ= α . Logo,
cosθ = r⃗⋅⃗s
∥r⃗∥∥s⃗∥
=
∣⃗r ⋅ s⃗∣
∥r⃗∥∥s⃗∥
.
ii) r⃗ ⋅ s⃗ < 0 ⇒ cosα < 0 ⇒
π
2
⩽ α < π ⇒ θ= π−α . Logo,
cosθ = cos(π−α) =−cosα =− r⃗ ⋅ s⃗
∥r⃗∥∥s⃗∥
= ∣⃗r⋅⃗s∣
∥r⃗∥∥s⃗∥
.
Em qualquer das situações temos que : cosθ =
∣r⃗⋅⃗s∣
∥r⃗∥∥s⃗∥
.
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Exercícios.
1) Determine a medida angular (em radianos) entre as retas 
r : X=(1,1,9)+ λ(0,1,−1) e s : {x−1=yz=4 .
2) Ache o cosseno do ângulo entre as retas r : X=(−52 ,2,0)+ λ (
1
2
,1,1) e 
s : {3x−2y+ 16=03x−z=0 .
5.7.2. Ângulo entre reta e plano
Definição. Sejam r uma reta e π um plano. Seja, também, s um reta qualquer 
perpendicular a π . Ângulo entre a reta e o plano é definido como:
 θ = ang(r ,π)=
π
2
− ang(s ,r )
Seja φ = ang(r ,s) . Assim, cosφ =
∣⃗n⋅ r⃗∣
∥n⃗∥∥r⃗∥ , sendo n⃗ o vetor diretor de s 
e também vetor norma a π .
Como : θ =
π
2
− φ ⇒ senθ = sen( π
2
−φ) = cosφ , temos que
senθ= cosφ = ∣⃗n⋅ r⃗∣
∥n⃗∥∥r⃗∥
.
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Exercícios. 1) Ache a medida (em radianos) do ângulo entre 
r : X=(0,1,0)+ λ(−1,−1,0) e π : y+ z−10=0 .
2) Idem para r : x=y=z e π : z=0
5.7.3. Ângulo entre planos
Definição. A medida angular entre os planos π1 e π2 é a medida angular entre duas 
retas quaisquer, r1 e r2 , respectivamente perpendiculares a π1 e π2 .
Sejam n⃗1 e n⃗2 os vetores diretores das retas r1 e r2. Então,
cosθ =
∣n⃗1⋅n⃗2∣
∥n⃗1∥∥n⃗2∥
, sendo θ = ang(π1, π2)= ang(r1, r2)= ang(n⃗1 , n⃗2) .
Exercícios. Ache a medida angular θ entre os planos π1 : x−y+ z=20 e 
π2: x+ y+ z=0 .
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5.8. Distâncias
Seja (0, i⃗ , j⃗ , k⃗) um sistema de coordenadas ortogonal (positiva se necessário).
5.8.1. Distância entre pontos A=(x1 , y1 ,z1) e B=(x2 ,y2 ,z2) : 
d(A ,B) =∥A⃗B∥= √(x1−x2)2 + (y1−y2)2 + (z1−z2)2 .
5.8.2. Distância de ponto a reta. 
Sejam r :X=A+ λ r⃗ , λ∈ℝ uma reta e P∉r .
Seja M a projeção ortogonal de P sobre a reta r
d(P ,r) : é dado pela norma do vetor P⃗M
Lembremos que:
i) a área do paralelogramo é dado pelo produto da base (∥r⃗∥) pela altura 
(∥P⃗M∥=d(P ,r ))
ii) por outro lado, a área do paralelogramo é dado por ∥A⃗P∧ r⃗∥
Desta forma, temos que ∥A⃗P∧ r⃗∥=∥r⃗∥ d(P,r ) ⇒ d(P,r)= ∥A⃗P∧ r⃗∥
∥ r⃗∥
.
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5.8.3. Distância de ponto (P) a plano (π) .
Sejam A∈π e P∉π . E ponto M sendo a projeção ortogonal se P sobre
π , temos que P⃗M= projn⃗ A⃗P =
A⃗P⋅n⃗
∥n⃗∥2
n⃗ . O que implica que ∥ P⃗M∥= ∣A⃗P⋅⃗n∣
∥n⃗∥
. 
Logo,
d(P , π)= ∣A⃗P⋅ n⃗∣
∥n⃗∥
.
Na versão em coordenadas, considerando P=(x0 ,y0 ,z0) ∉π , 
A=(x , y ,z) ∈π e π : ax+ by+ cz+ d=0 , temos que:
d(P ,π)=
∣ax0+ by0+ cz0+ d∣
√a2+ b2+ c2
.
5.8.4. Distância entre duas retas.
a) quando as retas r e s são concorrentes, a distância d(r ,s)=0
b) quando as retas são paralelas 
d(r,s) é distância de um ponto a qualquer ponto P0 de uma delas à outra reta
LYI abril/2013
Notas de aulas – Geometria Analítica e Álgebra Linear 81
Obs.: o cálculo da distância de duas retas paralelas reduz ao cálculo da distância de um 
ponto a uma reta.
d(r ,s)=d(P0, r) , P0∈s Ou d(r ,s)=d(P0, s), P0∈r .
c) quando as retas são reversas
Sejam r : X=P+ λ r⃗ e s : X=Q+ λ s⃗ duas retas reversas ( r⃗ e s⃗ são L I).
Seja v⃗ ortogonal a r⃗ e s⃗ , isto é, v⃗= r⃗∧s⃗ .
d(r ,s) =∥proj v⃗ Q⃗P ∥=
∣Q⃗P⋅ v⃗∣
∥v⃗∥
=
∣Q⃗P⋅ r⃗∧s⃗∣
∥r⃗∧s⃗∥
.
5.8.5. Distância entre reta r e plano π
a) r é transversal π ⇒ d(r ,π) = 0
b) r é está contida em π ⇒ d(r ,π) = 0
c) r é paralela a π ⇒d(r , π) = d(P0 ,π) , P0 ∈ r
“reduz ao cálculo da distância de um ponto a plano”
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Notas de aulas – Geometria Analítica e Álgebra Linear 82
5.8.6. Distância entre planos π1 e π2
a) π1 e π2 são transversais ou paralelascoincidentes ⇒ d(π1,π2)= 0
b) π1 e π2 são paralelas ⇒ {d(π1 ,π2)=d(P,π1) , P∈π2oud(π1 ,π2)=d(Q,π2), Q∈π1
“reduz ao cálculo da distância de um ponto a plano”
Exercícios. 
1) Calcule a distância do ponto P=(−1,1 ,−3) a reta r : X=(0,3,0)+ λ(1,−2,2) .
2) Calcule a distância entre as retas r : {y=−2x+ 3z=2x e s : {x=−1−2λy=1+ 4λz=−3−4λ .
3) Calcule a distância do ponto P=(0,0,5 ) ao plano π : 4x−4y+ 2z+ 14=0 .
4) Calcule a distância entre planos π1 : 2x−2y+ z−5=0 e π : 4x−4y+ 2z+ 14=0 .
Dica: reduza ao caso calculado no exercício anterior
5) Calcular a distância da ponto P=(−4, 2, 5) ao plano π : 2x+ y+ 2z+ 8=0 .
6) Calcular a distância da ponto r : (−4, 2, 5)+ λ(−1, 0, 1) ao plano 
π : 2x+ y+ 2z+ 8=0 . Dica: reduza ao caso calculado no exercício anterior
7) Calcule a distância entre retas r : X=(−1, 2, 0)+ λ (1,3 ,1) e s : {3x−2y−3=0y−z−2=0 .
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