Módulo de torção

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO IV– MÓDULO DE TORÇÃO
TOLEDO - PR
Agosto/2015.
Gabriela Juliani Moreira
Izabeli Isidoro dos Santos
Luísa Roberto Martins
Roberta Gonçalves Benetti
MÓDULO DE TORÇÃO
Relatório apresentado à disciplina de Física Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus de Toledo.
Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones
TOLEDO - PR
Agosto/2015.
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO	5
2. MATERIAIS E MÉTODOS	9
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO	11
4. CONCLUSÃO	20
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS	21
RESUMO
Por meio de um módulo experimental formado por uma balança de torção, foi obtido o momento de inércia de um sistema, relacionando-o com o torque. Na prática descrita, foi determinado o módulo de torção de um fio com a variação de quatro comprimentos (22 cm, 19 cm, 16 cm e 13 cm) a partir da medida do tempo de oscilação do sistema formado pelo fio, por alguns pesos e por uma haste metálica em torno de seu próprio eixo dez vezes, sendo este solto a partir de um ângulo conhecido. Tal procedimento foi repetido algumas vezes com hastes e pesos diferentes, resultando em tempos diferentes para o cálculo do módulo de torção. A partir da realização dos cálculos, verificou-se a relação do módulo de torção com o aumento do comprimento do fio e, consequentemente, aumento do momento de inércia do sistema. Tal relação mostrava que o aumento do comprimento do fio implicava em um decréscimo no módulo de torção, fazendo com que o período de oscilação para cada configuração de massa aumentasse. Este fato é explicado pela Leis de Hooke e Newton. 
1. INTRODUÇÃO
O pêndulo de torção é um sistema físico no qual um corpo com uma distribuição qualquer de massa é suspenso por um fio, de modo que, ao ser retirado de sua posição de equilíbrio, inicia oscilações harmônicas em torno dessa posição inicial. Sistemas mecânicos vibratórios incluem como exemplo, pêndulos de torção, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro (NUSSENZVEIG, 2002).
Diante de forças externas, os corpos rígidos, devido as forças internas entre as moléculas ou átomos serem muito intensas, não se rompem sob a aplicação de forças externas de menor intensidade. Ao cessar a força, o corpo tende a voltar a sua forma original ou posição de equilíbrio através de uma força ou torque restaurador que se opõe a força ou torque deformador. Caso as forças externas superarem as forças internas, as primeiras geram tensões de cisalhamento que tendem a separar as camadas dos materiais, gerando deformações em torno do eixo do cilindro. As deformações podem ser temporárias ou permanentes, dependendo da intensidade da força (ESPINOZA-QUIÑONES, 2015).
No pêndulo de torção, o fio pode ter uma maior densidade linear, a distribuição de massa do corpo pode ser arbitrária e a força restauradora não é devida à gravidade, e sim da tentativa do sistema de eliminar as deformações sofridas (HALLIDAY, 1988).
A Figura 1 exemplifica um cilindro com as laterais sendo submetidas a forças tangenciais, ao terem os extremos fixados, provocando uma torção.
Figura 1: Exemplo de deformação por torção em um cilindro
 (ESPINOZA-QUIÑONES, 2015).
O corpo se comporta como um sistema elástico quando, após cessar a força externa, ele volta a sua condição original, tendo assim, uma relação linear, governada pela Lei de Hooke, entre a deformação angular e a força elástica restauradora.
Conforme Espinoza-Quiñones, a formulação matemática do módulo de torção de um fio de aço, parte do princípio de que a deformação de cisalhamento (ε) cresce com o comprimento do cilindro (z). 
Dividindo o corpo sólido em camadas cilíndricas de raio interno r, espessura dr, e comprimento L, o aumento de deformação por unidade segue a seguinte tendência:
 (01)
 
A tensão de cisalhamento σ definida como:
 (02)
 
Dentro do limite estático do fio sob torção, as tensões de cisalhamento obedecem a Lei de Hooke, exibindo valores proporcionais a deformação de cisalhamento. Sendo S o módulo de cisalhamento:
 (03)
A força tangencial diferencial atuando em cada camada do cilindro pode ser relacionada com o ângulo de torção do extremo inferior do fio, usando a tensão de cisalhamento:
 (04)
O torque para restaurar o fio de um ângulo pode ser obtido relacionando a força tangencial aplicada à camada cilíndrica com raio interno da camada.
 (05)
O torque para restaurar as posições iniciais das camadas cilíndricas do fio é dado pela integral de zero até a camada da periferia do cilindro de raio R:
 (06)
Portanto, ao fazer um pequeno torque, o fio reage com um torque restaurador:
 (07)
Onde, , representando uma constante que depende das propriedades do material do fio, denominado módulo de torção.
Em posse de uma barra horizontal suspensa, em equilíbrio,com um fio vertical de comprimento L e raio r, que possui um momento de inércia. Considera-se esta barra como uma haste fina em torno do eixo que passa pelo centro, perpendicular ao comprimento, apresentando momento de inércia:
Desviando a barra, no plano horizontal, de um pequeno ângulo em relação a posição de equilíbrio e aplicando a Lei de Hooke para a torção, o fio que reage com um pequeno torque restaurador em relação ao ângulo.
De acordo com a segunda Lei de Newton, um torque ao levar o sistema para a sua posição de equilíbrio tem resposta dinâmica dependente da inércia do sistema. Assim, quanto maior a inércia, o sistema gira com menor aceleração angular. A segunda Lei de Newton para rotações é, portanto:
 (08)
 (09)
Igualando as duas equações (8) e (9) obtêm-se a equação que representa o movimento oscilatório do corpo elástico a torção.
 (10)
A equação (10) representa um sistema oscilador harmônico simples (unidimensional). A variável , caracteriza o único grau de liberdade , descreve os pequenos desvios que limitam o movimento oscilatório para regiões onde o sistema se comporta elasticamente. Deformações permanente ocorrem quando o limite elástico do fio é violado, fazendo com que o sistema não retorne à posição de equilíbrio. 
A equação (10) é uma equação ordinária para e de segunda ordem, cuja solução geral é da forma:
 	(11)
Como , substituindo na equação (11), e derivando duas vezes, tem-se:
 (12)
O período independente da amplitude de oscilação, desde que não ultrapasse o limite de elasticidade do fio, tal fato constitui o isocronismo das pequenas oscilações do pendulo, descoberto por Galileu.
2. MATERIAIS E MÉTODOS
Materiais necessários
Para a realização da prática foi utilizado uma balança de torção básica para mecânica, composta por uma haste cilíndrica vertical acoplada na parte de baixo, uma mesa quadrada com quatro sapatas niveladoras e amortecedoras, e na parte de cima, a um suporte horizontal; duas pequenas hastes auxiliares, com furo transversal central passante e parafusos nos seus extremos (para prender o arame); duas travas auxiliares de latão para corpos de provas; e também duas hastes com um corpo central e com rebaixos nos extremos, de comprimento de aproximadamente10 e 20 cm. Foi utilizadotambém um jogo de peso (discos e cestas) e um fio de aço para ser ajustado a comprimentos diferentes. Para a medição de massa, tempo e comprimento do fio, foi utilizado balança, cronômetro digital e uma régua, respectivamente.
Procedimento experimental
Inicialmente foram pesadas as massas dos discos e as cestas. Após o nivelamento da balança de torção para a determinação do tempo de oscilação das duas hastes (10 e 20cm), manteve-se os pesos equilibrados em suas extremidades; as hastes estavam suspensas por um fio no qual foi ajustado em 4 alturas, de 22 cm;19cm; 16cm; e 13 cm. Para cada comprimento de fio, utilizou-se um cronometro digital para medir o tempo no qual a haste com cada configuração de peso oscilava. A haste foi posicionada em um ângulo de aproximadamente 50°, no plano horizontal, provocando assim uma pequena torção no fio eo tempo era medido até que o pêndulo realizasse 10 oscilações completas. O mesmo procedimento foi feito mais três vezes, em diferentes pesos e mudando de haste.A Figura 2 representa uma demonstração da balança de torção utilizada no experimento.
Figura 2: Esquema do módulo experimental. (ESPINOZA-QUIÑONES, 2015).
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
As medidas das massas e comprimento do fio empregado e das hastes estão dispostas na Tabela 1.
Tabela 1 – Massa e comprimento dos fios e hastes.
	Instrumento
	Massa (g) (±0,005)
	Comprimento (cm) (±0,05)
	Haste menor
	7,34
	9,90
	Haste maior
	11,05
	18,90
	Fio metálico 1
	5,71
	22,00
	Fio metálico 2
	5,71
	19,00
	Fio metálico 3
	5,71
	16,00
	Fio metálico 4
	5,71
	13,00
As massas de cada configuração de pesos juntamente com as cestas estão dispostas na Tabela 2.
Tabela 2 – Massa e largura da haste para cada configuração
	Configuração
	Largura da haste (cm)(±0,05)
	Número de pesos utilizados
	Massa (g)(±0,005)
	1
	18,90
	6 pesos
	335,97
	2
	18,90
	4 pesos
	235,79
	3
	18,90
	2 pesos
	135,57
	4
	9,90
	2 pesos
	135,57
Para os quatro comprimentos regulados do fio (L), montaram-se diferentes configurações de massa, três configurações com a haste maior e uma configuração com a haste menor, variando as massas, resultando em diferentes momentos de inércia. Para cada comprimento de fio utilizado no módulo de torção foi possível construir uma tabela contendo o tempo das 5 repetições com 10 oscilações cada uma, para cada configuração de massa.
A Tabela 3 apresenta os dados para o comprimento do fio de 22 cm, o período médio (obtido pela divisão da média do tempo total pelo número de oscilações) e o desvio padrão do período apresentado pelos dados experimentais.
Tabela 3 – Dados para o comprimento de 22 cm.
	Config.
	Haste (cm)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	Ts(s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	18,90
	80,28
	80,30
	79,82
	80,69
	80,68
	8,0354± 0,3580
	2
	18,90
	67,66
	67,11
	67,35
	67,20
	67,10
	6,7284 ± 0,2328
	3
	18,90
	51,33
	51,27
	51,76
	51,75
	51,80
	5,1582 ± 0,0945
	4
	9,90
	26,64
	26,65
	26,63
	26,60
	26,55
	2,6614 ± 0,0404
Os valores obtidos para o fio de comprimento 19 cm, 16 cm e 13 cm estão dispostos nas Tabelas 4, 5 e 6, respectivamente. 
Tabela 4 – Dados para o comprimento de 19 cm.
	Config.
	Haste (cm)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	Ts(s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	18,90
	74,87
	74,89
	74,42
	74,38
	74,39
	7,4590 ± 0,2652
	2
	18,90
	62,48
	62,80
	62,46
	62,49
	62,71
	6,2588 ± 0,1562
	3
	18,90
	48,39
	48,17
	48,36
	48,26
	48,08
	4,8252 ± 0,1295
	4
	9,90
	24,61
	24,46
	24,61
	24,86
	24,54
	2,4616 ± 0,1497
Tabela 5 – Dados para o comprimento de 16 cm.
	Config.
	Haste (cm)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	Ts(s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	18,90
	68,92
	68,63
	68,30
	68,95
	68,59
	6,8678 ± 0,2671
	2
	18,90
	57,78
	57,89
	58,12
	58,02
	58,04
	5,7970 ± 0,1345
	3
	18,90
	44,19
	44,32
	44,22
	44,23
	44,49
	4,4290 ± 0,1218
	4
	9,90
	23,23
	23,30
	23,03
	23,33
	23,23
	2,3224± 0,1170
Tabela 6 – Dados para o comprimento de 13 cm.
	Config.
	Haste (cm)
	Tempo para 10 oscilações T10 (s)
	Ts(s)
	
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	1
	18,90
	61,37
	61,72
	61,39
	61,80
	61,43
	6,1542 ± 0,2022
	2
	18,90
	51,60
	51,58
	51,77
	51,50
	51,90
	5,1670 ± 0,1619
	3
	18,90
	39,76
	39,53
	39,58
	39,48
	39,73
	3,9616 ± 0,1234
	4
	9,90
	20,51
	20,50
	20,61
	20,78
	20,73
	2,0626± 0,1266
Sendo assim, determinou-se o momento de inércia resultante de cada configuração, juntamente com seu erro. O momento de inércia se dá pela equação (13) e seu erro pela equação (14). Também foi necessário o cálculo dos períodos ao quadrado, e seu erro determinado pela equação (15). Esses dados estão dispostos nas Tabelas 7,8,9 e 10 para cada comprimento de fio.
	 (13)
Onde: 
Mc é a massa do cilindro;
Rc é o raio do cilindro;
Mv é a massa da haste;
L é o comprimento da haste;
Mt é a massa total do jogo de pesos;
r o comprimento do braço da haste;
 (14)
(15)
Onde:
T= período;
Delta T= erro do período;
Para o cálculo do momento de inércia desprezou-se a inércia do fio e a trava auxiliar foi considerada como um cilindro reto uniforme.
Tabela 7 –Momento inercial resultante para cada configuração de massas e haste, período de oscilação ao quadrado e seu desvio para o fio de 22 cm.
	Configuração
	Momento de Inércia
(·10-3 (kg·m2))
	T2 (s2)
	1
	3,03 ±0,003
	64,57±5,75
	2
	2,14 ±0,003
	45,27±3,13
	3
	1,24±0,002
	26,61±0,97
	4
	0,34±0,001
	7,08±0,21
Tabela 8 – Momento inercial resultante para cada configuração de massas e haste, período de oscilação ao quadrado e seu desvio para o fio de 19 cm.
	Configuração
	Momento de Inércia
(·10-3 (kg·m2))
	T2 (s2)
	1
	3,03 ±0,003
	55,64± 3,96
	2
	2,14 ±0,002
	39,17± 1,96
	3
	1,24±0,001
	23,28± 2,02
	4
	0,34±0,001
	6,06± 0,74
Tabela 9 – Momento inercial resultante para cada configuração de massas e haste, período de oscilação ao quadrado e seu desvio para o fio de 16 cm.
	Configuração
	Momento de Inércia
(·10-3 (kg·m2))
	T2 (s2)
	1
	3,03 ±0,003
	47,17± 3,67
	2
	2,14 ±0,002
	33,60± 1,56
	3
	1,24±0,001
	19,61± 1,08
	4
	0,34±0,001
	5,39± 0,54
Tabela 10 – Momento inercial resultante para cada configuração de massas e haste, período de oscilação ao quadrado e seu desvio para o fio de 13 cm.
	Configuração
	Momento de Inércia
(·10-3 (kg·m2))
	T2 (s2)
	1
	3,03 ±0,003
	37,87± 2,49
	2
	2,14 ±0,002
	26,70± 1,67
	3
	1,24±0,001
	15,69± 0,98
	4
	0,34±0,001
	4,25± 0,52
Elevando-se a equação (12) ao quadrado, obtêm-se a equação (16). Percebe-se uma reação linear entre o quadrado do período e o momento de inércia do sistema. 
(16)
Dessa forma plotou-se os gráficos para cada um dos comprimentos dos fios, do quadrado do período versus momento de inércia. As figuras 3, 4, 5 e 6, demonstram as curvas encontradas.
Figura 3- Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de comprimento de 22 cm.
Figura 4- Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de comprimento de 19 cm.
Figura 5 - Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de comprimento de 16 cm.
Figura 6- Período ao quadrado em função do momento de inércia para o fio de comprimento de 13 cm.
Da equação da reta resultante de cada curva plotada, foi possível determinar o módulo de torção a partir do coeficiente angular da reta, pela seguinte relação:
Onde b é o coeficiente angular da reta .
A Tabela 11 indica as equações da reta, os coeficientes angulares e o módulo de torção determinado respectivamente para cada comprimento de fio utilizado. Pela equação h determinou-se o erro do módulo de torção.
Tabela 11 – Valores de módulo de torção calcula3dosa partir dos coeficientes angulares das equações das retas.
	Comprimento do fio (cm)
	Equação da reta
	R² do ajuste
	Coeficiente angular da reta (s² kg-1m-2)
	Módulo de torção
(kg m² s-2)(10-3)
	22,00
	y =-0,07389+21307,48x
	0,99988
	21307,48 ± 135,86 
	1,853
	19,00
	y = 0,06598+18353,49x
	0,99967
	18353,49 ± 192,89
	2,151
	16,00
	y =0,23023+15533,20x
	0,99991
	15533,20 ± 87,24
	2,541
	13,00
	y = 0,08172+12471,57x
	0,99993
	12471,57 ± 61,89
	3,165
Manipulando-se a equação (18) percebe-se uma relação linear entre o módulo de torção e o inverso do comprimento do fio:
(18)
Dessa forma, plotou-se o gráfico entre o módulo de torção e o inverso do comprimento do fio, a fim de se determinar o módulo de cisalhamento (S). A Figura 7 indica a curva plotada.
Figura 7- Módulo de torção versus inverso do comprimento.
O valor encontrado para R² foi de 0,99827, o que indica um ajuste linear adequado. A equação da reta encontrada é y= 1,470.10-4+(3,792.10-4 ± 9,118.10-6)x.
A partir da relação entre K e 1/L e considerando o coeficiente angular da equação da reta, tem-se que:
O erro do módulo de cisalhamento foi determinado segundo a equação (19):
(19)
Uma vez que R= 0,0003 m e b= 3,792.10-4 kg m s-2 encontrou-se o valor do módulo de cisalhamento, sendo:
S=29,803x109± 7,166x108 Pa
Com a realização do experimento, e análise dos dados, é possível observar que o aumento do momento de inércia do sistema implica em um aumento no período da oscilação. Tal informação foi comprovada na linearidade encontrada nos gráficos construídos, os quais apresentavam os coeficientes das retas sempre positivos.
Além disso, o aumento no comprimento do fio utilizado resultou, também, em aumento nos períodos de oscilação, uma vez que este gera um aumento no momento inercial do sistema. 
As Leis de Hooke e Newton explicam o comportamento elástico impostos pela tensão de torção. O módulo encontrado para a tensão de cisalhamento representa uma proporção entre a tensão aplicada e a deformação de cisalhamento. Geralmente, este valor é elevado e depende do material que é utilizado.
O valor de tensão de cisalhamento encontrado mostrou-se próximo do valor encontrado na bibliográfica para a tensão de cisalhamento da liga metálica do aço carbono (aproximadamente ).
Durante a realização do experimento, foram notadas algumas dificuldades que podem implicar em erros experimentais tais como a dificuldade em se determinar o ângulo do ponto de partida e o fato de que o fio não esticava-se totalmente, gerando indeterminações na medida de seu comprimento.
	Liga metálica
	Módulo de cisalhamento (GPa)
	Aço carbono
	77
	Aço níquel
	76
	Aço estrutural
	79,3
	Aço inoxidável
	77,2
	Ferro Dúctil
	65
	Ferro Maleável
	64
4. CONCLUSÃO
Com a realização dos experimentos pertinentes a análise do módulo de torção, pode-se observar a utilização do movimento oscilatório para determinação de alguns parâmetros físicos como módulo de torção e tensão de cisalhamento. A utilização de fios de comprimentos diferentes mostrou que o período não depende do ângulo de lançamento, desde que, este não aja deformando o fio.
Além disso, foi observada a relação do módulo de torção com o momento de inércia do sistema, mudando o comprimento do fio e a massa total do sistema, percebendo que o período aumenta com o aumento do momento inercial total do sistema.Desta forma, pode-se concluir que os resultados experimentais estão em concordância com o que é proposto em teoria.
	
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
QUIÑONES, F.R.E. Apostila de Física Geral e Experimental II. Centro de Massa de um sistema de partículas.
HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. 2002. Fundamentos de Física. 6a Ed., Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos, Vol.2.
NUSSENZVEIG, H.M., 2002.Curso de Física Básica: Mecânica, 4.Ed., São Paulo.