Limites e Continuidade

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Limites e Continuidade
Antes de conceituarmos limites, vamos analisar algumas seqüências de números. Esta noção, embora intuitiva, nos dará uma boa idéia do comportamento destas seqüências e nos ajudara a compreender o comportamento de algumas funções.
;
Observe que os termos da seqüência estão aumentando sem ter um limite. Desta forma, podemos dizer que os termos da seqüência estão tendendo para o infinito. Podemos denotar por: 
 (x tende para o infinito).
;
Observe que os termos da seqüência estão decrescendo, mas estão limitado pelo 0 (zero). Desta forma, podemos dizer que os termos da seqüência estão tendendo para zero. Podemos denotar por: 
 (x tende para zero).
;
Observe que os termos da seqüência estão decrescendo sem ter um limite. Ou seja, podemos dizer que os termos da seqüência estão tendendo para menos infinito. Podemos denotar por: 
 (x tende para menos infinito).
.
Observe que os termos da seqüência estão oscilando sem tender para nenhum limite.
Vamos agora tomar como exemplo algumas funções e analisar o seu comportamento.
Exemplo 1: Seja a função 
.
Solução: Observe que esta função está definida para todos os valores de x, exceto para 
(
). O que faremos agora é investigar o que ocorre com a função para valores próximos de 
. Para isso observe a tabela abaixo:
�Com base na tabela, quando os valores de x estão próximos de 1, por valores menores do que 1, 
 está se aproximando de 3, por valores menores do que 3. Da mesma forma, quando os valores de x estão próximos de 1, por valores maiores do que 1, 
 está se aproximando de 3, por valores maiores do que 3. assim, podemos escrever: 
.
 
Exemplo 2: Seja a função 
, calcule 
.
Solução: Como a função está definida para todos os valores de x, isto é, 
, para calcular o limite, basta calcular a função no ponto 
, isto é:
.
�
Exemplo 3: Seja a função 
, calcule 
.
Solução: Da mesma forma que no exemplo anterior, como a função está definida para todos os valores de x, isto é, 
, para calcular o limite, basta calcular a função no ponto 
, isto é:
.
 Outros Exemplos: Vamos analisar o que ocorre com os limites das seguintes funções:
Definição: Seja 
definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de 
 quando 
 (x tende para a) é L, e escrevemos 
 se para todo 
, existir 
, tal que 
sempre que 
.
Exercícios
Seja 
 a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
Seja 
 a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
�
Calcule os limites, se existirem:
�
;
�
Limites Laterais
Definição: Seja 
uma função definida em um intervalo aberto 
. Dizemos que um número L é o limite à direita da função 
 quando x tende para a, e escrevemos: 
.
Definição: Seja 
uma função definida em um intervalo aberto 
. Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função 
 quando x tende para a, e escrevemos: 
.
Teorema: Se 
é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então 
 se, e somente se 
 e 
. Assim, escrevemos 
Exemplo 4: Dada a função 
, determinar, se possível 
.
Exemplo 5: Dada a função
. Determine, se existir, 
. Faça um esboço do gráfico.
Exercícios
Seja 
 . Calcule:
�
 
�
Seja 
 . Calcule: 
 e faça um esboço do gráfico.
Seja 
. Esboce o gráfico e calcule os limites indicados, se existirem:
�
 
 
 
�
Seja a função 
. Calcule os limites indicados, se existirem:
�
 
 
�
Verifique se 
existe. Caso positivo determine seu valor.
�
Calculo de Limites
Expressões indeterminadas
Exemplo 6: Sejam as funções 
 e 
. Tem-se que 
 e 
. Agora, 
. Como sabemos, 
 pode ser qualquer coisa, mas para este caso, precisamos determinar quanto isso vale. No entanto, com um simples artifício matemático, podemos resolver este problema. Ou seja:
Exemplo 7: Sejam as funções 
 e 
. Tem-se que 
 e 
. Agora, 
Outras indeterminações
Outras indeterminações são expressas pelas seguintes sentenças: 
.
Para resolver limites envolvendo indeterminações, é necessário proceder com alguns artifícios algébricos. Nos exemplos a seguir apresentaremos alguns destes artifícios.
Exemplo 8: Calcule 
Exemplo 9: Calcule 
Exemplo 10: Calcule 
Exemplo 11: Calcule 
Exercícios: Calcule os seguintes limites indeterminados
�
�
Limites no Infinito
Dada uma função 
, estamos interessados em saber qual o comportamento desta função para valores de x muito grandes, ou seja, 
, e também o que ocorre com a função para valores de x muito pequenos, ou seja, 
. 
Para resolvermos estes problemas, vamos enunciar o seguinte teorema:
Teorema: Se n é um número inteiro positivo, então:
;
Exemplo 12: Determinar 
Exemplo 13: Encontrar 
Exemplo 14: Encontrar 
�
Limites Infinitos
Quando iniciamos este capitulo, estudamos o comportamento da função 
 e observamos que para valores de x próximos de 1, os valores de 
 tendiam para 3. No entanto, para outras funções que possuem características muito semelhantes a esta, isto não acontece. Para vermos isto melhor vamos analisar o que ocorre com a função 
para valores de x muito próximos de 
. Ou seja, vamos calcular 
 .
Para isto, vamos calcular inicialmente seus limites laterais.
Portanto, como os limites laterais são iguais, concluímos que 
.
Teorema: Se n é um número inteiro positivo qualquer, então:
Exemplo 15: Determinar 
Exemplo 16: Determinar 
Exemplo 17: Determinar 
; 
 e 
.
Exemplo 18: Determinar 
Exemplo 19: Determinar 
Exemplo 20: Determinar 
Exemplo 21: Determinar 
Exemplo 22: Determinar 
Exemplo 23: Determinar 
Obs. Um resultado que bastante interessante e ajuda muito na hora de resolver limites infinitos envolvendo polinômios, é para calcular-los basta que calculemos o limite da maior potência, ou seja: 
.
Exercícios
Se 
, calcule: 
 e 
.
Se 
, calcule: 
 e 
.
Nos exercícios a seguir, calcule os limites:
�
�
�
Continuidade
Dizemos que uma função 
é contínua num ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas:
 está definida no ponto a;
;
.
Os gráficos abaixo são exemplos de funções descontinuas.
Exemplo 24: Dada 
. f é contínua em 
?
Exemplo 25: Dada 
. f é contínua em 
?
Exemplo 26: Dada 
. f é contínua em 
?
Exercícios: Investigue a continuidade das funções nos pontos indicados
 em 
.
 em 
.
 em 
.
�
�
x�
� EMBED Equation.3 ����
�
0�
1�
�
0,5�
2�
�
0,75�
2,5�
�
0,8�
2,6�
�
0,9�
2,8�
�
0,99�
2,98�
�
0,999�
2,998�
�
0,9999�
2,9998�
�
x�
� EMBED Equation.3 ����
�
2�
5�
�
1,5�
4�
�
1,25�
3,5�
�
1,2�
3,4�
�
1,1�
3,2�
�
1,01�
3,02�
�
1,001�
3,002�
�
1,0001�
3,0002�
�
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