Atividade 2-GD-2024-2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ATIVIDADE INDIVIDUAL - GEOMETRIA DIFERENCIAL I
Professor : Cícero
Aluno: Nota:
Instruções Gerais:
(a) Esta atividade é individual e vale 4,0 pontos
(b) A atividade pode ser respondida usando lápis ou caneta esferográfica azul ou preta
(c) Soluções rasuradas ou com elevado grau de desorganização não serão consideradas válidas
(d) Soluções descontinuadas ou que utilizem notações inapropriadas não serão consideradas válidas
(e) Soluções utilizando resultados auxiliares sem justificativa não serão consideradas integralmente
(f) Esta atividade deverá ser entregue dia 24 de janeiro de 2025
Teresina , 20 de janeiro de 2025
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1. Determine as linhas de curvatura do parabolóide hiperbólico H = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = x2−y2}.
2. Encontre as linhas de curvatura e as curvas assintóticas de uma superfície de revolução em R3.
3. Prove o Teorema de Beltrami-Enneper: Seja β : (−ε, ε) → S uma curva assintótica numa
superfície regular S ⊂ R3 com curvatura satisfazendo κ(0) ̸= 0. Seja p = β(0), prove que sua
torção τ satisfaz
|τ(0)| =
√
−K(p),
onde K é a curvatura Gaussiana de S.
4. Mostre que o parabolóide P de equação z = x2 + y2 não possui curvas assintóticas. Encontre
as linhas de curvatura desta superfície. Dados os pontos p = (1, 0, 1) e q = (−1, 0, 1) em P ,
encontre uma geodésica γ em P ligando p a q. Que curva é essa?
5. Seja X uma parametrização local numa superfície regular S ⊂ R3. Considere α uma curva em
S escrita na parametrização X como α(t) = X(u(t), v(t)). Mostre que:
(a) α é principal se, somente se,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(v′(t))2 −u′(t)v′(t) (u′(t))2
E F G
e f g
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
(b) α é assintótica se, e somente se, e(u′(t))2 + 2fu′(t)v′(t) + g(v′(t))2 = 0.
6. Encontre as curvas assintóticas de um helicóide parametrizado por
X(u, v) = (u cos v , usenv , v)
e de um hiperbolóide de uma folha
H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 − z2 = 1}.
7. Mostre que as geodésicas de um plano são retas e que as geodésicas de uma esfera são círcun-
ferências máximas.
8. Considere α : R → S uma reta numa superfície regular S de R3. Prove que α é uma geodésica
de S.
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