Lista 4 - GD I - 2023-2

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Universidade Federal do Piaúı - UFPI
Departamento de Matemática
Lista 4: Geometria Diferencial I
Prof. Ćıcero Aquino
1. Determine as linhas de curvatura do parabolóide hiperbólico H = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = x2−y2}.
2. Encontre as linhas de curvatura e as curvas assintóticas de uma superf́ıcie de revolução em R3.
3. Prove o Teorema de Beltrami-Enneper: Seja β : (−ε, ε) → S uma curva assintótica numa
superf́ıcie regular S ⊂ R3 com curvatura satisfazendo κ(0) ̸= 0. Seja p = β(0), prove que sua
torção τ satisfaz
|τ(0)| =
√
−K(p),
onde K é a curvatura Gaussiana de S.
4. Mostre que o parabolóide P de equação z = x2 + y2 não possui curvas assintóticas. Encontre
as linhas de curvatura desta superf́ıcie. Dados os pontos p = (1, 0, 1) e q = (−1, 0, 1) em P,
encontre uma geodésica γ em P ligando p a q. Que curva é essa?
5. Seja X uma parametrização local numa superf́ıcie regular S ⊂ R3. Considere α uma curva em
S escrita na parametrização X como α(t) = X(u(t), v(t)). Mostre que:
(a) α é principal se, somente se,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(v′(t))2 −u′(t)v′(t) (u′(t))2
E F G
e f g
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
(b) α é assintótica se, e somente se, e(u′(t))2 + 2fu′(t)v′(t) + g(v′(t))2 = 0.
6. Encontre as curvas assintóticas de um helicóide parametrizado por
X(u, v) = (u cos v , usenv , v)
e de um hiperbolóide de uma folha
H = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 − z2 = 1}.
7. Mostre que as geodésicas de um plano são retas e que as geodésicas de uma esfera são ćırcunferências
máximas.
8. Considere R → S uma reta numa superf́ıcie regular S de R3. Prove que α é uma geodésica de
S.
Semestre: 2023-2 -1- Data: 10/02/2024
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9. Encontre uma geodésica do parabolóide hiperbólico H = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = x2 − y2}.
10. Sejam S e S duas superf́ıcies regulares de R3. Suponha que existam parametrizações locais
X : U → S e X : U → S, onde U ⊂ R2 é um aberto, tais que E = E, F = F e G = G.
Mostre que a aplicação X ◦X−1 : X(U) → S é uma isometria local. Use isto para verificar que
o cilindro x2 + y2 = 1 é localmente isométrico ao plano R2.
11. Mostre que as seguintes superf́ıcies não são localmente isométricas duas a duas:
(a) esfera (b) plano (c) toro de revolução
12. Encontre duas superf́ıcies regulares em R3 com mesma curvatura Gaussiana, mas que não são
localmente isométricas.
13. Mostre que um difeomorfismo φ : S → S entre superf́ıcies regulares de R3 é uma isometria
se, e somente se, para qualquer parametrização local X : U ⊂ R2 → S, a parametrização
local Y = φ ◦ X : U → S possui os mesmos coeficientes da primeira forma fundamental da
parametrização X.
14. Sejam S1, S2 e S3 superf́ıcies regulares de R3. Mostre que:
(a) Se φ : S1 → S2 é uma isometria, então φ−1 : S2 → S1 é também uma isometria;
(b) Se φ : S1 → S2 e Se ξ : S2 → S3 são isometrias, então ξ ◦ φ : S1 → S3 é uma isometria.
15. Encontre os śımbolos de Christoffel da superf́ıcie de revolução em R3 obtida pela rotação do
gráfico da função f(x) = x2 + 1 em torno do eixo dos x.
16. Mostre que se x : U ⊂ R2 → S uma parametrização local ortogonal de uma superf́ıcie regular
de R3, isto é, F = 0, então a curvatura Gaussiana de S é dada por
K = − 1
2
√
EG
{(
Ev√
EG
)
v
+
(
Gu√
EG
)
u
}
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Semestre: 2023-2 -2- Data: 10/02/2024