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Pontifícia Universidade Católica de Campinas
Engenharia Civil
Cálculo B - 04379
Integral Indefinida, Regra da Substituição e Áreas entre as Curvas
1
(ATENÇÃO: os exercícios marcados com �*� são sugestões para serem entregues!)
1*) Ache a integral indefinida geral:
a)
´
x−3/4dx
b)
´
3
√
x dx
c)
´
(x3 + 6x+ 1) dx
d)
´
x (1 + 2x4) dx
e)
´
(1− t) (2 + t2) dt
f)
´ (
x2 + 1 + 1
x2+1
)
dx
g)
´
(2−√x)2 dx
h)
´
(3eu + sec2 u) du
i)
´
senx
1−sen2xdx
k)
´
sen 2x
senx
dx
2) A função da velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula se movendo ao
longo de uma reta: v(t) = t2 − 2t− 8, 1 6 t 6 6. Encontre, para o intervalo dado,
a) o deslocamento da partícula;
b) a distância percorrida pela partícula.
3*) A função da aceleração (em metros por segundo ao quadrado) e a velocidade inicial são dadas
para uma partícula se movimentando ao longo de uma reta: a(t) = t+4, v(0) = 5, 0 6 t 6 10.
Encontre:
a) a velocidade da partícula no instante t;
b) a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo dado.
4) A corrente elétrica em um fio é definida como a derivada da carga: I(t) = Q′(t). O que
representa a integral
´ b
a
I(t) dt?
5) A área da região delimitada pelo eixo-y à esquerda e pela parábola x = 2y − y2 à direita (a
região sombreada na figura abaixo), é dada pela integral
´ 2
0
(2y − y2) dy. Encontre a área da
região. (Dica: gire sua cabeça no sentido horário e pense na área sombreada como sendo a
área embaixo da curva x = 2y − y2 de y = 0 até y = 2.)
1
Exercícios retirados/adaptados de Stewart, J., Cálculo, v. 1, 5
a
ed.; e Anton, H., Cálculo: um novo horizonte, v. 1, 6
a
ed..
1
ls
Figura Ex.5 Figura Ex.6
6*) As fronteiras da região sombreada na figura acima são o eixo-y, a reta y = 1, e a curva y = 4
√
x.
Encontre a área desta região escrevendo x com função de y e integrando em relação a y (como
no exercício anterior).
7) Se o óleo vaza de um tanque a uma taxa de r(t) galões por minuto no instante t, o que´ 120
0
r (t) dt representa?
8*) A água de um reservatório flui a uma taxa de r(t) = 200−4t litros por minuto, onde 0 6 t 6 50.
Encontre o volume de água que vazou do reservatório nos primeiros 10 minutos.
9) Use a regra da substituição para calcular
´
x3 cos (x4 + 2) dx.
10) Calcule a integral indefinida
´ √
2x+ 1 dx.
11) Encontre
´
x√
1−4x2dx.
12) Calcule as integrais fazendo a substituição indicada:
a)
´
cos 3x dx, u = 3x
b)
´
x (4 + x2)
10
dx, u = 4 + x2
c)
´
x2
√
x3 + 1dx, u = x3 + 1
d)
´
sen
√
x√
x
dx, u =
√
x
e)
´
4
(1+2x)3
dx, u = 1 + 2x
f)
´
esen θ cos θdθ, u = sen θ
13*) Calcule a integral definida se ela existir:
a)
´ 2
0
(x− 1)25 dx
b)
´ 7
0
√
4 + 3x dx
c)
´ 1
0
x2 (1 + 2x3)
5
dx
d)
´ √pi
0
x cos (x2) dx
e)
´ pi
0
sec2 (t/4) dt
2
f)
´ 1/2
1/6
cossec (pit) cotg (pit) dt
g)
´ pi/6
−pi/6 tg
3θ dθ
h)
´ 2
0
dx
(2x−3)2
i)
´ 2
1
e1/x
x2
dx
j)
´ 1
0
xe−x
2
dx
k)
´ pi/3
0
sen θ
cos2 θ
dθ
l)
´ pi/2
−pi/2
x2senx
1+x6
dx
14) Se f é contínua e
´ 4
0
f(x) dx = 10, encontre
´ 2
0
f(2x) dx.
15) Uma população de bactérias começa com 400 bactérias e cresce a uma taxa de r(t) =
(450,268) e1,12567t bactérias por hora. Qual será a população após três horas?
16*) Encontre a área da região sombreada:
a) b) c)
17*) Encontre os valores de c tal que a área da região limitada pelas parábolas y = x2 − c2 e
y = c2 − x2 seja 576.
18) Suponha que 0 < c < pi/2. Para que valores de c a área da região limitada pelas curvas y =
cosx, y = cos (x− c), e x = 0 é igual à área da região limitada pelas curvas y = cos (x− c),
x = pi, e y = 0?
19) Encontre o número b tal que a reta y = b divide a região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4
em duas regiões com áreas iguais.
3
Respostas
1)
a) 4x1/4 + C
b)
3
4x
4/3 + C
c)
1
4x
4 + 3x2 + x+ C
d)
1
2x
2 + 13x
6 + C
e) 2t− t2 + 13 t3 − 14 t4 + C
f)
x3
3 + x+ tg
−1x+ C
g) 4x− 83x3/2 + 12x2 + C
h) 3eu + tgu+ C
i) secx+ C
k) 2senx+ C
2)
a) − 103 m
b)
98
3 m
3)
a) v(t) = 12 t
2 + 4t+ 5m/s2
b) 416 23m
4) Variação de carga entre os instantes t = a e
t = b.
5)
4
3
6)
1
5
7) Quantidade de galões de óleo que vazou do
tanque nas primeiras duas horas (120
minutos).
8) 1800 litros.
9)
1
4 sen
(
x4 + 2
)
+ C
10)
1
3 (2x+ 1)
3/2
+ C
11) − 14
√
1− 4x2 + C
12)
a)
1
3 sen 3x+ C
b)
1
22
(
4 + x2
)11
+ C
c)
2
9
(
x3 + 1
)3/2
+ C
d) −2 cos√x+ C
e) − 1
(1+2x)2
+ C
f) esen θ + C
13)
a) 0
b) 26
c)
182
9
d) 0
e) 4
f)
1
pi
g) 0
h) não existe
i) e−√e
j)
1
2 (1− 1/e)
k) 1
l) 0
14) 5
15) 11713 bactérias
16)
a)
32
3
b)
16
3 − ln 3− 43
√
2
c) 9
17) −6 e +6
18)
pi
3
19) 42/3 ≈ 2,52
4