Aceitação por Amostragem e Atributos

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Gestão da Qualidade
Seção 6 - Aceitação por Amostragem e Atributos
1
Objetivos:
O aluno deverá utilizar a norma NBR 5426 com competência.
2
Lote de Engrenagens 
1000 Peças
Fornecedor
Lote com 1% de Defeituosos
photoxpress.com
3
Analisa uma amostra de 50 peças
Cliente
Aceita o lote se encontrar 1 ou 0 defeituosos na amostra.
Recusa se encontrar 2 ou mais defeituosos
photoxpress.com
4
Qual a probabilidade de encontrar “0” defeituosos na amostra?
Qual a probabilidade de encontrar “1”defeituoso na amostra?
Qual a probabilidade de aceitar o lote, ou seja, PA (X ≤ 1)
Vejamos antes alguns conceitos
5
Modelos de Dados
Variáveis
Atributos
Contados
6
Tipo de dado desta medição
No nosso exemplo:
Conta-se o número de peças DEFEITUOSAS e o número de peças NÃO DEFEITUOSAS. Isto é:
Mas, quando:
o tamanho da amostra (n) é alto (n≥50) 
 e a quantidade de esperada de defeituosos é baixa (np≤5)
 aplica-se a fórmula de cálculo de DADOS CONTADOS (Poisson)
Atributos
Contados
7
Distribuição Binomial
P(x=k) = Cn,k . pk (1-p) n-k
Cn,k = Combinação de n elementos k a k
Cn,k = -----------------
n!
k! . (n- k)!
n! = n fatorial = 1x2x3x4x.....x n
Exemplo: Qual a probabilidade de encontrar 10 peças defeituosas (k) em uma amostra de tamanho 50 (n), para um processo que está produzindo 20% defeituosos (p)?
P(x=10) = 13,98%
Atributos
8
Distribuição de Poisson
Exemplo: Qual a probabilidade de encontrar 2 defeitos (k) em uma amostra de tamanho 50 (n), para um processo que está produzindo 4 defeitos por 100 un (u = 0,04 defeitos por unidade)?
P(x=2) = 27,07%
P(x=k) = --------------
ck e-c
k!
c = n.u
u = taxa unitária de defeitos
e = número de Euler = 2,7183
Contados
9
Qual a probabilidade de encontrar “0” defeituosos na amostra?
Agora podemos resolver as questões propostas anteriormente:
Qual formula usar – Binomial ou Poisson?
Contando número de defeituosos (e não defeitos) é Binomial (Atributos), mas como n=50 e np= 0,05 (n = 50 e p = 1% = 0,01) usa-se a aproximação por Poisson.
Lembrete: critério para usar Poisson quando for Atributo:
o tamanho da amostra (n) é alto (n≥50) 
e a quantidade de esperada de defeituosos é baixa (np≤5)
10
c = n.u = 50 x 0,01=0,5
K = 0
n = 50
u = 1% = 0,01
P(x=0) = -----------------
0,5 e
0
-0,5
0!
= ----------------- = 0,6065 = 60,6%
1 . e
-0,5
1
Qual a probabilidade de encontrar “0” defeituosos na amostra?
Estou usando “u” em vez de “p”, pois, como vimos no CEP, “p” é para “atributos e “u” é para “dados contados” que usa Poisson.
P(x=k) = --------------
ck e-c
k!
11
Qual a probabilidade de encontrar “1” defeituoso na amostra?
K = 1
n = 50
u = 1% = 0,01
P(x=1) = -----------------
0,5 e
1
-0,5
1!
=----------------- = 0,303 = 30,3%
0,5 . e
-0,5
1
P(x=k) = --------------
ck e-c
k!
c = n.u = 50 x 0,01=0,5
12
Qual a probabilidade de aceitar o lote, ou seja, PA (X ≤ 1)
PA (X ≤ 1) = P(x=0) + P(x=1) = 60,6 + 30,3 = 90,9 %
Portanto, com este plano (n=50 e Ac = 1):
90,9 % de probabilidade de aceitar o lote
9,1% de probabilidade de rejeitá-lo (mesmo estando bom – é o Risco do Produtor.)
13
Este processo chama-se Aceitação por Amostragem
Porque fazer inspeção por amostragem e não Inspeção 100%?
Inspeção 100%
Amostragem
É mais cara
Não é garantia de bom resultado:
Cansaço do inspetor
Interrupções – neces. Pessoais
Monotonia (sonolência, falta de atenção)
Estado de espírito do inspetor
É muito mais barata
É mais rápida
As vezes é impossível inspeção 100% (teste destrutivo, p. ex.)
14
Objetivo do processo “Aceitação por Amostragem”
Conhecer a qualidade:
 dos produtos acabados
 das matérias primas
 Minimizar o custo total da inspeção devido aos erros de amostragem
15
Normas ABNT (Normas Brasileiras)
NBR 5425 – Guia para Inspeção por Amostragem no Controle e Certificação da Qualidade
NBR 5426 – Planos de Amostragem e procedimentos na Inspeção por ATRIBUTOS
NBR 5427 – Guia para utilização da NBR 5426
NBR 5428 – Procedimentos Estatísticos para determinação da validade de Inspeção por Atributos feita pelos fornecedores
NBR 5429 – Planos de Amostragem e Procedimentos na Inspeção por VARIÁVEIS
NBR 5430 – Guia de utilização da NBR 5429
16
Plano Amostral por Variáveis
Controle dos dados de Variáveis
Medidos com instrumentos
Escala contínua de valores
Fornece informação mais detalhada sobre a População
17
Plano Amostral por Atributos
Controle dos dados por atributos
Na verdade, este plano aplica-se tanto para atributos como dados contados .
Lembrete do curso de CEP
Atributos
Conta-se a ocorrência e a não ocorrência.
Quantas são loiras e quantas não são loiras numa amostra.
Número de peças defeituosas numa amostra
Dados Contados
Conta-se a ocorrência , mas não se conta a não ocorrência.
Número de buracos em 10Km de determinada estrada.
Número de defeitos numa amostra (1 peça pode ter mais de um defeito)
18
Mais simples e econômico que o Plano por Variáveis (passa/não passa – defeituoso/não defeituoso).
 Menos informação sobre o processo e ou qualidade do produto
Plano Amostral por Atributos
(continuação)
19
Inspeção por Amostragem por Atributos
3 tipos de Planos de Amostragem por Atributos:
1. Plano de inspeção amostral simples:
Toma-se uma única amostra de tamanho “n” e por ela aceita-se ou rejeita-se o LOTE.
20
2. Plano de inspeção por amostragem dupla:
Toma-se uma amostra “n1”. Se o número de defeituosos (ou defeitos) estiver abaixo de um determinado valor (Ac) aceita-se o lote . Se estiver acima de um outro valor (Re) , rejeita-se o Lote. 
Se estiver entre os 2 limites (Ac e Re) – toma-se uma segunda amostra “n2”.
Aceita-se ou rejeita-se em função do resultado das 2 amostras juntas onde tem-se outro valor de Ac.
(continuação)
Inspeção por Amostragem por Atributos
21
3. Plano de inspeção por amostragem múltipla:
Vai-se amostrando em sequência até 7 amostragens – a cada amostra compara-se com um valor de Ac e Re correspondente aquele tamanho de amostra. Se atingir o valor de Ac, aceita-se o Lote, se atingir o valor de Re, rejeita-se o lote. Desta forma pode-se ter a definição já na primeira amostra, ou na segunda ou na terceira e assim por diante, até a sétima amostra.
(continuação)
Inspeção por Amostragem por Atributos
22
Plano de Inspeção por Amostragem Simples
Estabelecer acordos entre fornecedor e cliente (consumidor) como:
1. O que é boa qualidade 
	NQA – Nível de Qualidade Aceitável
2. O que é má qualidade (não dá para aceitar)
FTD – Fração Tolerável de Defeitos (Defeituosos)
23
NQA – Nível de Qualidade Aceitável
Qual a porcentagem de defeituosos (ou defeitos) no lote (vejam não é na amostra) que o consumidor considera boa (dá para aceitar sem grandes dificuldades).
Dentro do plano de amostragem é definido como aquele valor de % de defeituosos (ou defeitos) no lote que tem 95% de probabilidade de aceitação (PA).
Vamos dar um exemplo para clarear...
24
Exemplo do Cálculo do NQA
Tamanho da amostra n = 110 peças.
 O cliente aceita encontrar até 4 defeitos na amostra (Ac).
Cálculo da Probabilidade de Aceitação (PA) para LOTES com 0% de defeitos:
Poisson :
P(x=k) = --------------
ck e-c
k!
25
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
c = n.u = número de defeitos esperado encontrar na AMOSTRA se ela representasse fielmente o LOTE.
u = número de defeitos por 100 unidades ou porcentagem de defeituosos no LOTE (o que se supõe existir no lote se estiver dentro da normalidade daquele processo) expresso em taxa unitária e não porcentagem. Ex. 10% defeitos = 0,1 defeitos/unidade
k = número de defeitos (ou defeituosos) na AMOSTRA que quero calcular a probabilidade de encontrar.
k! = k fatorial = 1 x 2 x 3 x 4 x .... x k
26
Calculando para LOTES com 0% de defeitos
u = 0 % de defeitos no LOTE
n = 110 peças a inspecionar
k = 0 defeitos na amostra
c = 110 x 0 = 0
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
27
P(x=0) = -----------------
00 e-0
0!
=----------------- = 1 = 100%
1 . 1
1
Portanto PA = 100 % de probabilidade de aceitar o LOTE com 0% de defeitos.
Probabilidade de encontrar 1 defeito na amostra = 0%, pois o LOTE não tem defeitos.
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
28
Calculando agora para LOTES com 1 % de defeitos. Neste caso é preciso calcular as probabilidades de encontrar 0 a 4 defeitos na amostra (o nível de aceitação do lote é Ac ≤ 4)
u = 1 % de defeitos no LOTE = 0,01
n = 110 peças a inspecionar
k = 0 defeito na amostra
c = 110 x 0,01 = 1,1
P(x=0) = -----------------
1,10 e-1,1
0!
= ----------------- = 0,3329 = 33,29%
1 . 0,3329
1
1. Calculo de P para x = 0
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
29
u = 1 % de defeitos no LOTE = 0,01
n = 110 peças a inspecionar
k = 1 defeito na amostra
c = 110 x 0,01 = 1,1
P(x=1) = -----------------
1,10 e-1,1
1!
=----------------- = 0,3662 = 36,62%
1,1 . 0,3329
1
2. Cálculo de P para x = 1
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
30
3. Calculo de P para x=2
P(x=2) = -----------------
1,12 e-1,1
2!
= ----------------- = 0,2014 = 20,14%
1,21 . 0,3329
1 x 2
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
4. Cálculo de P para x=3
P(x=3) = -----------------
1,13 e-1,1
3!
= ----------------- = 0,0738 = 7,38 %
1,33 . 0,3329
1 x 2 x 3
31
6. Cálculo de PA para x ≤ 4 (quando u = 1 %) 
PA (x ≤4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P (x=4) 
5. Calculo de P para x=4
P(x=4) = -----------------
1,14 e-1,1
4!
=----------------- = 0,0203 = 2,03%
1,46 . 0,3329
1 x 2 x 3 x 4
PA (x ≤4) = 33,29 + 36,62 + 20,14 + 7,38 + 2,03 = 99,45%
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
32
Portanto, a Probabilidade de Aceitação (PA) de um LOTE com 1% de defeituosos (ou defeitos), tomando-se uma amostra de tamanho “n” = 110 e aceitando-se como OK até 4 defeitos na amostra é de 99,5%.
P(x=0) = 11,08 %
P(x=1) = 24,38 %
P(x=2) = 26,81 %
P(x=3) = 19,60 %
P(x=4) = 10,82 %
P(x≤4) = 92,75 %
Como NQA é a taxa de defeituosos (ou defeitos) no LOTE que tem 95% de PA, vamos calcular um lote com 2% de defeituosos (u = 0,02):
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
33
Construindo um gráfico com estes dados:
PA = Porcentagem de Aceitação
100
%
90
U = % defeituosos ou defeitos no LOTE
0
1
2
%
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
34
Localizando o valor de “u” que corresponda a 95% de Probabilidade de Aceitação
PA = Porcentagem de Aceitação
100
%
90
U = % defeituosos ou defeitos no LOTE
0
1
2
%
95%
NQA = 1,8%
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
35
Portanto, para um PLANO DE AMOSTRAGEM de:
n = 110 peças
Critério de aceitação Ac ≤ 4 defeitos na amostra
O NQA é de 1,8 % (LOTES com 1,8% de defeitos são considerados BONS e têm 95% de probabilidade de serem aceitos e 5% de probabilidade de serem rejeitados (RISCO DO PRODUTOR).
Exemplo do Cálculo do NQA
(continuação)
36
Fração Tolerável de Defeituosos
Existe outro parâmetro a ser definido entre PRODUTOR e CLIENTE para estabelecer o PLANO DE AMOSTRAGEM aceitável por ambos – é o FTD.
FTD – é o nível máximo de defeitos (ou defeituosos) que o cliente pode tolerar, ou seja, deste nível de defeitos para cima NÃO DÁ PARA ACEITAR O LOTE. 
37
Fração Tolerável de Defeituosos (continuação)
Assim como o NQA é definido como o valor de defeituosos do LOTE que tenha 95% de Probabilidade de ser aceito, o FTD é o valor (%) de defeituosos do LOTE que tenha 10% de Probabilidade de ser aceito. É o chamado RISCO DO CONSUMIDOR. O risco de aceitar um lote ruim, que deveria ser rejeitado.
38
Voltando ao exemplo que estávamos vendo:
n = 110 Ac = 4 
Vamos calcular a PA (Probabilidade de Aceitação) para diversos valores de defeituosos no LOTE (de 6% para cima) até acharmos o valor que corresponda a 10% de probabilidade de aceitação.
Fração Tolerável de Defeituosos (continuação)
39
1. Probabilidade de Aceitação de um lote com 6% de defeituosos (ou defeitos)
PA (x ≤4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P (x=4) 
PA (x ≤4) = 0,14 + 0,90 + 2,96 + 6,52 + 10,76 =
Para c = 110 x 0,06 = 6,6 
21,27 %
Fração Tolerável de Defeituosos (continuação)
40
2. Probabilidade de Aceitação de um lote com 7% de defeituosos (ou defeitos)
PA (x ≤4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P (x=4) 
PA (x ≤4) = 0,05 + 0,35+ 1,34 + 3,45 + 6,63 =
Para c = 110 x 0,07 = 7,7 
11,81 %
Fração Tolerável de Defeituosos (continuação)
41
3. Probabilidade de Aceitação de um lote com 8% de defeituosos (ou defeitos)
PA (x ≤4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P (x=4) 
PA (x ≤4) = 0,02 + 0,13 + 0,58+ 1,71 + 3,77 =
Para c = 110 x 0,08 = 8,8 
6,21 %
Fração Tolerável de Defeituosos (continuação)
42
Colocando na curva estes valores:
PA = Porcentagem de Aceitação
100
%
90
U = % defeituosos ou defeitos no LOTE
0
1
2
%
95%
NQA = 1,8%
3
4
5
6
7
8
10
FTD = 7,1 %
Fração Tolerável de Defeituosos (continuação)
43
Portanto, este PLANO DE AMOSTRAGEM (n=110 e Ac=4) tem um NQA = 1,8% e FTD = 7,1%.
Agora é, CLIENTE e FORNECEDOR verificarem se para eles está bom. Se não concordarem, vão buscar outro plano, com outro valor de “n” e de “Ac”.
A curva de aceitação (ver slide anterior) recebe o nome de:
CCO = Curva Característica da Operação.
44
Curva Característica da Operação
Dependendo do valor que cliente e fornecedor definam como tamanho de amostra (n) a inspecionar por lote e da quantidade de defeituosos aceitáveis na amostra (Ac) teremos diversas CCO.
45
Curva Característica da Operação (continuação)
PA = Porcentagem de Aceitação
100
%
95
U = % defeituosos ou defeitos no LOTE
0
1
2
%
3
4
5
10
10
20
Curva 1
n = 110
Ac = 0
Curva 2
n = 110
Ac = 4
Curva 3
n = 110
Ac = 12
Para Ac = 0 NQA = 0,1% FTD = 2,2%
 Ac = 4 NQA = 1,8% FTD = 7,1% 
 Ac = 12 NQA = 6,7% FTD = 16,2%
46
Mantendo o número de Aceitação (Ac) na amostra constante e variando o tamanho da amostra (n) também teremos várias curvas
PA = Porcentagem de Aceitação
U = % defeituosos ou defeitos no LOTE
%
Curva 1
n = 110
Ac = 0
Curva 2
n = 35
Ac = 0
Curva 3
n = 15
Ac = 0
Para n = 110 NQA = 0,1% FTD = 2,2%
 n = 35 NQA = 0,2% FTD = 6,5% 
 n = 15 NQA = 0,5% FTD = 14,5%
Curva Característica da Operação (continuação)
100
%
95
0
1
2
3
4
5
10
10
20
47
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426
Passo 1 – Ter o tamanho do lote do fornecedor e o NQA que o cliente aceita.
Ex.: N = 3500 peças NQA = 1,5%
Passo 2 – Selecionar a letra do código literal na Tabela 1 (da NBR 5426) – Codificação de Amostragem.
Esta letra é que determina o tamanho da Amostra (n), em função do tamanho do lote (N) e do nível de inspeção desejado.
48
Esta tabela é dividida em 2 séries de colunas:
Níveis Gerais de Inspeção (fixa uma relação entre o tamanho do lote e o tamanho da amostra para 3 níveis de inspeção)
 Nível II – é a relação normalmente utilizada.
 Nível I – quando for necessário uma MENOR discriminação (tamanho de amostra menor)
 Nível III – Quando for necessário uma MAIOR discriminação (tamanho de amostra maior)
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426 (continuação)
49
Níveis Especiais de Inspeção
S1 – S2 – S3 – S4 – Quando forem necessários tamanhos de amostra relativamente pequenos e onde possam ou devam ser tolerados grandes riscos de amostragem.
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426 (continuação)
50
Continuando o exemplo do uso da Tabela 1
 N = 3500 peças – pela Tabela 1:
Nível de inspeção escolhido II (Normal)
Letra do Código Literal = L
Passo 3 – Encontrar o tamanho da amostra e os critérios de aceitação (Ac) e rejeição (Re)
 Tabela 2 (da NBR 5426) – PLANO DE AMOSTRAGEM SIMPLES – NORMAL
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426 (continuação)
51
Ou seja: Encontrando-se até 7 defeitos na amostra de 200 peças aceita-se o LOTE. 8 defeitos – rejeita-se o LOTE.
No exemplo:
Letra L NQA = 1,5%
n = 200 peças
Ac = 7 defeitos
Re = 8 defeitos
Escolha do Plano
a Partir da NBR – 5426 (continuação)
52
Passo 4 – Encontrar a FTD (Fração Tolerável de Defeituosos) que na NBR é chamada de QL = Qualidade Limite.
Tabela 49 e 50 (mesma página) – Valores tabulados para CCO de planos de amostragem simples	
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426 (continuação)
53
Para achar a FTD necessito de 2 parâmetros para acessar a tabela 50: o NQA (no ex. = 1,5%) e a Pa (Probabilidade de Aceitação) que para FTD é definida como 10% (ou seja, para o nível de defeituosos no LOTE equivalente ao FTD temos 10% de probabilidade de aceitar este lote (ruim) – é o risco do Consumidor - e 90 % de probabilidade de rejeitá-lo).
Pela tabela (NQA = 1,5% e Pa = 10%) temos:
FTD = QL = 5,89 %
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426 (continuação)
54
Ou seja: adotando-se este plano:
n = 200
Ac = 7
Tem-se:
95% de probabilidade de aceitar-se um lote bom (com 1,5% de defeituosos no máximo – NQA ) 
Com RISCO DO PRODUTOR de 5% de rejeitar um lote bom
10% de probabilidade de aceitar-se um lote ruim (com 5,89% de defeituosos – FTD) (RISCO DO CONSUMIDOR)
Escolha do Plano a Partir da NBR – 5426 (continuação)
55
Exercício
Estabelecer um plano de amostragem simples para LOTES com 5000 peças e com NQA combinado com o CLIENTE de 1% de defeituosos (ou defeitos).
Encontrar:
n
Ac
Re
FTD
Tabelas a usar: Tabela 1 – Tabela 2 – Tabela 49 / 50
56
Esquema de Aplicação dos Planos de Amostragem
Simples
Dupla
Múltipla
57
Simples
Exemplo: Regime de Inspeção – NORMAL
Nível = II
Tamanho do LOTE = 2000 peças
NQA = 1% - pela Tabela 2: Letra K : n = 125 peças
Critério de julgamento: Ac = 3 Re = 4	 
58
Inspecionar a Amostra
125 Peças
Menor ou igual a 3
Igual ou maior que 4
Nº. de Defeituosas
Aceitar o LOTE
Rejeitar o LOTE
Simples (continuação)
59
Dupla
Exemplo: Regime de Inspeção – NORMAL
Nível = II
Tamanho do LOTE = 15000 peças
NQA = 2,5% - 
pela Tabela 5 (Letra M) :
1a. Amostra: n1 = 200 peças
2a. Amostra: n2 = 200 peças
Acumuladas: n1 + n2 = 400 peças
Critério de julgamento: 
1a. Amostra: Ac = 7 Re = 11
1a + 2a. Amostras: Ac = 18 Re = 19
60
Menor ou igual a 18
Inspecionar a 1ª. Amostra
200 peças
No. de Defeituosas
Aceitar o LOTE
Rejeitar o LOTE
Menor ou igual a 7
Maior ou igual a 11
Maior que 7 e menor que 11
No. de defeituosas das amostras somadas 
Dupla (continuação)
Inspecionar a 2ª. Amostra
200 peças
Igual ou maior que 19
61
Múltipla
Exemplo: Regime de Inspeção – NORMAL
Nível = II
Tamanho do LOTE = 15000 peças (Tabela 1 – Letra M)
NQA = 1% - 
7 amostras sequenciais tamanho 80 cada.
Total das 7 amostras = 560 peças
Critério de julgamento: 
1a. Amostra: Ac = 0 Re = 4
1a +2a. Amostras: Ac = 1 Re = 6
1a +2a+3a Amostras: Ac= 3 Re = 8
as 7 amostras juntas: Ac= 13 Re = 14
62
Igual a 0
Igual ou maior que 4
Maior que 0 e menor que 4
No. de defeituosas das 2 amostras somadas 
Maior que 1 e menor que 6
1
Múltipla (continuação)
Inspecionar a 1ª. Amostra
80 peças
No. de Defeituosas
Aceitar o LOTE
Rejeitar o LOTE
Inspecionar a 2ª. Amostra
80 peças
Igual a 1
Igual ou maior que 6
63
No. de Defeituosas das 3 amostras somadas
Menor ou igual a 3
Maior que 3 e menor que 8
E assim por diante até a sétima alternativa, se for o caso.
Igual ou maior a 8
Múltipla (continuação)
1
Inspecionar a 3ª. Amostra
80 peças
Aceitar o LOTE
Rejeitar o LOTE
64
Bibliografia
Juran, J. M. – Quality Control Handbook 
Mirshawka, Victor – Controle da Qualidade Industrial
65