9. Termos Antecipados

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CAD 045 – Investimento e 
Cálculo Financeiro
Aula 10 – Séries de Pagamentos: 
Termos Antecipados. Equivalência de 
Capitais.
Prof. Bruno Pérez Ferriera
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Tópicos desta seção
 Séries de Pagamentos com termos 
antecipados;
 Aplicações:
 Prestações e Valores Futuros;
 Valor presente de uma série de valores;
 Prestações e Valores Presentes.
 Comparando ofertas na internet
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Séries de Pagamentos: Termos 
Antecipados
 Relembrando: ocorre quando a série conta 
com uma “entrada”, ou seja, com um 
pagamento logo no período t = 0.
 É um procedimento muito comum em 
financiamentos no comércio.
 A figura a seguir ilustra as características 
básicas
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Termos antecipados: ilustração
O primeiro pagamento 
ocorre antes do 1o
período de capitalização
Observe ainda que a entrada dos valores se dá no início 
de cada período, e com o valor futuro (S) “caindo” um 
período após a última prestação.
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Termos Antecipados: características
 O valor presente “cai” junto com a primeira 
prestação
 Diferenças principais em relação a termos 
vencidos:
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Valor Futuro para termos antecipados
 As deduções das fórmulas para termos antecipados 
são feitas com os mesmos valores utilizados para 
aquelas em termos vencidos;
 Partindo então do mesmo exemplo do caso de 
termos vencidos, considere um investidor que 
deseja saber quanto terá ao final de 4 meses se 
aplicar $500 por mês, à taxa de 1,5% ao mês, com 
a primeira aplicação se dando hoje.
 Tem-se então o seguinte diagrama:
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A soma destes quatro termos pode ser representada por:
Podemos aplicar novamente a fórmula da soma dos termos 
de uma P.G. Lembrando então da equação (4):
 3210 015,1015,1015,1015,1015,1500 S
 
 
   
 
    (7) 111
015,0
1015,01015,1500
1
1 4
1 




 





 









i
iiR
q
qaS
nn
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Termos antecipados: características
 A fórmula anterior diverge daquela para 
termos vencidos pelo fator (1+i), cuja 
presença se deve ao fato de que a saída 
ou entrada das prestações ocorre no início 
de cada período de capitalização, sendo 
necessário então ser capitalizado.
 Na HP12c, a operacionalização de termos 
antecipados envolve a inserção do 
comando g BEG (do inglês begin - início)
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Exemplo 1
Um investidor decide aplicar $1.500 por mês durante os próximos 
24 meses, a uma taxa de juros mensal de 1,20%. Sendo que sua 
primeira aplicação se dará hoje, quanto ele terá ao final do 
período acima?
Dados: R = $1.500,00; i = 1,2 % a.m.; n = 24; S = ? 
(termos antecipados)
Na HP 12 c:
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[PMT]
[Chs]
[n] [i] [FV]
Digitar 0 1.500 24 1,2 ?
  31,931.41$
0120,0
10120,10120,11500 24


S
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Exemplo 2
Uma empresa planeja aplicar 24 parcelas mensais de $15.500, a 
uma taxa média mensal de juros de 1,10%. Sendo que a primeira 
aplicação será feita apenas ao final do 3o mês, pergunta-se qual o 
montante a ser obtido um mês após a aplicação da 24a parcela?
Dados: R = $15.500,00; i = 1,1 % a.m.; n = 24; S = ? 
(termos antecipados)
tem-se então o seguinte diagrama:
lembre-se que, em termos antecipados, o valor futuro “cai” um 
período após a última prestação, ou seja, em t = 27.
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Exemplo 2 (continuação)
Uma empresa planeja aplicar 24 parcelas mensais de $15.500, a 
uma taxa média mensal de juros de 1,10%. Sendo que a primeira 
aplicação será feita apenas ao final do 3o mês, pergunta-se qual o 
montante a ser obtido um mês após a aplicação da 24a parcela?
Solução: R = $15.500,00; i = 1,1 % a.m.; n = 24; S = ? 
(termos antecipados)
Na HP 12 c:
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[PMT]
[Chs]
[n] [i] [FV]
Digitar 0 15.500 24 1,1 ?
  14,737.427$
0110,0
10110,10110,115500 24


S
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Prestação em conjunto com Valores 
Futuros
 Nesta seção, buscaremos valores de 
prestações a partir de valores futuros 
conhecidos. Usando então a equação (7):
 Os procedimentos operacionais na HP12c
continuam os mesmos, sempre lembrando 
do comando g BEG
   
i
iiRS
n ]11[1 
     ]11[1 

 nii
iSR
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Exemplo 3
Uma empresa deseja acumular $105.000 para compra de 
equipamentos especiais ao final de 18 meses. Para tanto, ela se 
dispõe a fazer 18 aplicações mensais a partir de hoje, a uma taxa 
de juros mensal média de 1,15%. A partir destes dados, de quanto 
deverá ser o valor destas aplicações?
Solução: S = $105.000,00; i = 1,15 % a.m.; n = 18; R = ? 
(termos antecipados)
Na HP 12 c:
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[FV] [n] [i] [PMT]
Digitar 0 105.000 18 1,15 ?
  68,223.5$10115,10115,1
0115,0105000
18 

R
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Exemplo 4
Um equipamento no valor de $95.600 está a venda para 
pagamento simples ao final de 12 meses. Entretanto, possíveis 
compradores podem financiá-lo em 7 parcelas mensais, sendo 
que a primeira destas é devida ao final do 5o mês. Qual o valor 
da prestação, sabendo-se que a taxa de juros mensal da 
operação é de 2,25%?
Solução: S = $95.600,00; i = 2,25 % a.m.; n = 7 ; R = ? 
(termos antecipados)
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Exemplo 4 (continuação)
Um equipamento no valor de $95.600 está a venda para 
pagamento simples ao final de 12 meses. Entretanto, possíveis 
compradores podem financiá-lo em 7 parcelas mensais, sendo 
que a primeira destas é devida ao final do 5o mês. Qual o valor 
da prestação, sabendo-se que a taxa de juros mensal da 
operação é de 2,25%?
Solução: S = $95.600,00; i = 2,25 % a.m.; n = 7 ; R = ? 
(termos antecipados)
Na HP 12 c:
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[FV] [n] [i] [PMT]
Digitar 0 95.600 7 2,25 ?
  78,481.12$
0225,0
10225,10225,195600 7


R
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Valor Presente em Termos Antecipados
 Este é um procedimento importante no 
comércio varejista, em que a primeira 
prestação é paga à vista. Lembrando que:
 Por igualdade, obtemos:
 niPS  1 e    i
iiRS
n ]11[1 

   
  ii
iiRP n
n



1
]11[1
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Exemplo 5
Um veículo está sendo oferecido em 36 prestações mensais, 
iguais e consecutivas de $2.150, as quais internalizam a taxa de
juros mensal de 1,75%. Sabendo-se que a primeira prestação já é
devida à vista, qual o valor também à vista do veículo?
Solução: R = $2.150,00; i = 1,75 % a.m.; n = 36 ; P = ? 
(termos antecipados)
Na HP 12 c:
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[PMT]
[Chs]
[n] [i] [PV]
Digitar 0 -2.150 36 1,75 ?
 
  59,065.58$0175,00175,1
10175,10175,12150
36
36



P
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Exemplo 6
Se o veículo acima fosse oferecido nas mesmas condições, 
exceto pelo fato de que a primeira parcela se daria em 60 dias, 
ainda seria possível levantar o valor à vista usando fórmulas de 
termos antecipados? Em caso afirmativo, qual seria este valor?
Solução: R = $2.150,00; i = 1,75 % a.m.; n = 36 ; P = ? 
(termos antecipados)
Na HP12c:
(a)
(b)
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[PMT]
[Chs]
[n] [i] [PV]
Digitar 0 -2.150 36 1,75 58.065,59
 
  236
36
2 0175,1
59,065.5859,065.58$
0175,00175,1
10175,10175,12150



 PP
Teclas [g]
[END]
[f]
[Fin]
[FV]
[Chs]
[n] [i] [PV]
Digitar 0 58.065,59 2 1,75 ?
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Termos Antecipados, Prestações e 
Valores Presentes
 Este último ponto de séries de pagamentos tem 
aplicação extremamente freqüente no comércio 
varejista, sendo muito comum estabelecer-se 
planos de pagamentos nos quais a primeira 
prestação já é paga à vista. 
 A fórmula de cálculo tem por base a fórmula do 
valor presente para termos antecipados. Assim:
   
 




ii
iiRP n
n
1
]11[1  
    ]11[1
1


 n
n
ii
iiPR
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Característica Importante
 Esta fórmula de cálculo é extremamente útil 
na resolução de problemas com prazos de 
carência incomuns, em casos onde o 
primeiro pagamento se dá em questão de 
poucos dias. Tais casos são tratados nos 
dois últimos exemplos a seguir.
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Exemplo 7
Um equipamento de valor à vista de $22.750 é vendido em 4 
prestações mensais, à taxa de 2,50% ao mês e com a primeira 
parcela também à vista. A par destes dados, qual o valor da 
prestação mensal?
Solução: P = $22.750,00; i = 2,5 % a.m.; n = 4 ; R = ? 
(termos antecipados)Na HP 12 c:
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[PV] [n] [i] [PMT]
Digitar 0 22.750 4 2,5 ?
  86,899.5$10250,1025,1
0250,00250,122750
4
4



R
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Exemplo 8
Considerando os mesmos dados, qual seria a parcela mensal 
caso a empresa permitisse o primeiro pagamento em 10 dias?
Na HP12c:
(a)
(b)
Teclas [g]
[BEG]
[f]
[Fin]
[PV] [n] [i] [PMT]
Digitar 0 22.938,03 4 2,5 ?
Teclas [g]
[END]
[f]
[Fin]
[PV]
[Chs]
[n] [i] [FV]
Digitar 0 22.750 10/30 2,5 22.938,03
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Exercícios
 Vieira Sobrinho:
 Demais exercícios das págs. 154-163.
 Samanez:
 Demais exercícios do cap.5.
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Leitura Sugerida:
 Básica:
 VIEIRA SOBRINHO, J.D. Matemática Financeira. 
7. ed. São Paulo: Atlas , 2000. Páginas 115-124.
 Complementar:
 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: 
Aplicações à Análise de Investimentos. 4. ed. São 
Paulo: Prentice Hall, 2004. páginas 89-120.