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18/02/2016 1 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 1 Luana Vital Raciocínio Lógico 1ª Edição – 13/01/2016 Fácil e descomplicado para concurso Professor: Maurício Barros Engenheiro Eletricista mabadasilva@gmail.com Ellen Mara Saulo Love Cabu Connor Módulo – I Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 2 Olá Pessoal! Sejam bem vindos ao mundo da lógica. Aqui é o lugar onde você aprende lógica de maneira fácil e descomplicada. Espero que sim! Andei muito pra chegar até aqui! Oi professor Maurício, quanto tempo! Estou ansiosa! Quer desvendar os mistérios do raciocínio lógico, então siga-nos. Beijos Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 2 18/02/2016 2 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 3 1 - Álgebra das proposições 1.1 - Proposições 1.2 - Frases interrogativas, exclamativas e imperativas 1.3 - Sentenças abertas 1.4 – Princípios fundamentais da lógica 2 - Proposições simples e compostas 2.1 - Proposições simples 2.2 - Proposições compostas 2.3 - Tabelas verdade dos conectivos, “e", "ou", "ou ... ou", "se então", "se e somente se”. 2.4 - Tautologia, Contradição e Contingência 2.5 - Representação literal das proposições 2.6 – Propriedade das operações lógicas 2.7 – Ordem de precedências dos conectivos lógicos 2.8 – Negação das Proposições 2.9 – Equivalências Lógicas O que vamos estudar no módulo I Ouvi dizer que aqui nós vamos aprender lógica, de maneira fácil e descomplicada. Tautologia, contradição, contingência, isso é de comer? Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 3 Acho fácil montar as tabelas verdade, mas sempre confundo as equivalências e negações. Oba! Adoro lógica Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 4 Ellen Mara Professor Maurício Eu acho que foi a galinha! Quem nasceu primeiro, Ou ovo ou a galinha? Có ró có có Có ró có có Dona Galinha 18/02/2016 3 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 5 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 6 1. Álgebra das proposições 1.1 – Proposições São frases declarativas ou expressões matemáticas que podem ser julgadas, como VERDADEIRA ou FALSA, mas nunca VERDADEIRA e FALSA ao mesmo tempo. Gente alguém sabe o que é uma proposição? Frases Declarativas: são frases que expressam uma afirmação (afirmativas) ou negação (negativas). Termina com ponto final. Exemplo: - O número 7 é impar. - Belo Horizonte é a capital do Rio de Janeiro. - Maria não passou no vestibular. 18/02/2016 4 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 7 1.2.1 - Frases interrogativas São frases que expressam uma pergunta. São empregadas quando se deseja obter alguma informação. Termina com ponto de interrogação. Exemplos: Você sabe porque o Joãozinho não foi a aula ontem? Com quem você foi? 1.2.2 - Frases exclamativas São frases que expressam surpresa, emoção. Termina com ponto de exclamação. Exemplos: - Que prova difícil! - Nossa! Isso foi o máximo! 1.2 – Frase interrogativas, exclamativas e imperativas. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 8 1.2.3 - Frases imperativas São frases que expressam uma ordem, um pedido, um convite. Podem vir com ponto-final ou ponto de exclamação. Exemplos: - Fecha a porta. - Não faça isso! Entendi! Então quer dizer que só nos interessa as proposições, ou seja, as frases que podemos classificar como VERDADEIRAS ou FALSAS. Luana Vital Sim Luana, mas não se esqueça que as proposições não poderão ser VERDADEIRA e FALSA ao mesmo tempo. Cabu Connor 18/02/2016 5 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 9 1.3 – Sentenças abertas São sentenças que não podemos afirmar de imediato se ela é verdadeira ou falsa. As sentenças abertas matemáticas apresenta variáveis. Exemplos: - x + 4 = 12 - 4y - 2 < -7 - Ele é professor de raciocínio lógico. - No feriado ocorreram x acidentes de trânsito. Muito bem é isso mesmo. Mas é importante lembrar que temos também as sentenças abertas. Aquelas que apresentam uma variável, e não podemos garantir se ela será VERDADEIRA ou FALSA. O resultado dependerá do valor atribuído a variável. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 10 RESUMO 1. Proposição é toda oração declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. 2. Uma proposição lógica é uma oração, ou seja, possui verbo, sujeito e predicado. Orações declarativas são aquelas que fazem uma afirmação ou uma negação. Uma consequência dessa segunda característica é que: Frases exclamativas, interrogativas, imperativas (exprimem desejo) não são proposições lógicas. 18/02/2016 6 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 11 1.4 – Princípios fundamentais da lógica A Lógica está fundamentada em três princípios: Princípio da Identidade, da Não Contradição e do Terceiro Excluído. Princípio da Identidade Princípio da Não Contradição Princípio do Terceiro Excluído Se um enunciado é VERDADEIRO, ele é verdadeiro, sempre; se ele é FALSO, ele é falso, sempre. Uma proposição NUNCA poderá ser VERDADERIA e FALSA ao mesmo tempo. Toda proposição ou é VERDADERIA ou é FALSA, isto é, verifica-se sempre um destes casos e NUNCA um terceiro valor. O que é, é; o que não é, não é. Uma coisa ou ela é, ou ela não é. Não pode ser e não ser ao mesmo tempo. Ou a afirmativa é verdadeira ou a sua negação é verdadeira. E pronto!!! Nossa! O que eu estou falando. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 12 ( ) Brasília é a capital de Minas Gerais. ( ) Você está bem? ( ) Todos os animais são mamíferos. ( ) -2x + 4 = 5 ( ) Lave a louça! ( ) Por que você não foi com elas? ( ) Ai Jesus! ( ) 5 ≤ 4 ( ) A noite todos os gatos são pardos. ( ) Agora acabei! ( ) O gato late. ( ) 17 ≠ 3.5 + 2 ( ) Que horas são? ( ) Leve o lixo para fora! ( ) Ele é um cantor de musica sertaneja. ( ) O cão mia. ( ) Arrume seu quarto! ( ) Todo homem é mortal. Observe as sentenças abaixo e marque as proposições: Vamos lá gente, 5 minutos para resolver o exercício. 18/02/2016 7 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 13 (FCC/ SEFAZ-SP-2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 14 (CESPE/UnB-BB/2007) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: i. O BB foi criado em 1980. ii. Faça seu trabalho corretamente. iii. Manuela tem mais de 40 anos de idade. ( ) CERTO ( ) ERRADO (CESPE/UnB-SEGUER/ES-2007) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. i. Mariana mora em Piúma. ii. Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. iii. A expressão algébrica x + y é positiva iv. Se Joana é economista, então ela não entende de politicas públicas v. A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. ( ) CERTO ( ) ERRADO 18/02/2016 8 Professor: Maurício Barros daSilva - Pag. 15 Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? — perguntou Ana. (2) Claro que sei! — respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — perguntou Ana. (4) O resto é dois. — respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. — respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. 1 A frase indicada por (3) não é uma proposição. ( ) CERTO ( ) ERRADO 2 A sentença (5) é F. ( ) CERTO ( ) ERRADO 3 A frase (2) é uma proposição. ( ) CERTO ( ) ERRADO (CESPE/SEBRAE-BA - NS/2008) Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 16 2 – Proposições simples e compostas 2.1 - Proposição simples - São representadas de forma única, não vem acompanhada de outras proposições. Exemplo: - O gato voa. - O cão late. - Todo homem é mortal. - Lima não é a capital do Peru. Gente agora que já sabemos o que é uma proposição, vamos falar da proposição simples, composta e dos 5 conectivos: e, ou, ou ... ou, se então, se e somente se. 18/02/2016 9 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 17 2.2 - Proposições compostas - são caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição simples conectadas pelos conectivos lógicos, “e”, “ou”, “ou..ou”, “se, então”, “se e somente se”. As proposições são colocadas em forma simbólica, usando-se letras minúsculas do alfabeto. Saulo Love Isso é fácil demais, já decorei todos os conectivos lógicos e todas as Tabelas Verdade. Eu sou bom nisso! Agora eu entendi, as proposições compostas, são proposições simples ligadas pelos conectivos lógicos. Exemplo: - O gato voa e o cão mia. - O cão late ou tomate é uma fruta - ou João é mineiro, ou é paulista. - Se Todo homem é mortal, então Belo Horizonte é a capital do Brasil. - Comprarei um apartamento na Barra se e somente se eu ganhar na loteria. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 18 Gente eu não quero ver ninguém decorando as tabelas verdade, quem decorou esquece. Precisamos entendê-las e não decorá-las. 2.3 – Tabelas verdade dos conectivos, “e, ou, ou ... ou, se então, se e somente se”. A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo conhecidos os valores das proposições simples . 2.3.1 – Representação de uma proposição simples p: Andréa gosta de jiló. 18/02/2016 10 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 19 Xiiiiiii!!! O que o professor Maurício falou? Menino ele falou que precisamos entender as tabelas verdade e não decorá-las. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 20 Vamos iniciar com a negação da proposição simples, utilizamos o símbolo “~” ou “¬” 2.3.2 – Negação da Proposição Simples: Não p (representação: ~p ou ¬p) Uma proposição é negação da outra quando: se p for VERDADEIRO, então ~p é FALSO, se p for FALSO, então ~p é VERDADEIRO. p: Carlinho gosta de jiló. ~p: Carlinho não gosta de jiló. 18/02/2016 11 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 21 2.3.3 – Conjunção: p e q (representação: p ^ q) A proposição composta resultante da operação de uma conjunção, de duas ou mais proposições simples, só será VERDADEIRA, se TODAS as proposições envolvidas forem VERDADEIRAS. p: Brasília é a capital do Brasil. q: 7 é um número ímpar. p ^ q: Brasília é a capital do Brasil e 7 é um número ímpar. Então quer dizer que em uma conjunção, o resultado só será VERDADEIRO, se todas as proposições que a compõe for VERDADEIRA. E a conjunção é representada pelo conectivo “e”, simbolizada pelo “^”. Expressões equivalentes em português para a conjunção: e, mas, também, além disso, ponto final entre as proposições. Nem = “e + não” Exemplo: Como doces e não engordo nem tenho azia. O número de linhas da tabela verdade é dado pela fórmula: Nlinhas = 2n , onde n é o número de proposições simples. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 22 2.3.4 – Disjunção: p ou q (representação: p v q) A proposição composta resultante da operação de uma “disjunção inclusiva”, de duas ou mais proposições simples, será VERDADEIRA, se PELO MENOS um das proposições envolvidas forem VERDADEIRAS. p: Raciocínio lógico é fácil. q: 8 ≤ 3. p v q: Raciocínio lógico é fácil ou 8 ≤ 3. Professor em uma disjunção, se uma proposição qualquer, que a compõe, for VERDADEIRA, o resultado já será VERDADEIRO. E a disjunção é representada pelo conectivo “ou”, simbolizada pelo “v” 18/02/2016 12 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 23 2.3.5 – Disjunção exclusiva: ou p ou q (representação: p v q) A proposição composta resultante da operação de uma disjunção exclusiva, de duas proposições simples, será VERDADEIRA, se uma proposição for VERDADEIRA e a outra FALSA. p: O Atlético tem mais títulos que o Cruzeiro. q: Jiló é uma fruta doce. p v q: Ou o Atlético tem mais títulos que o Cruzeiro ou jiló é uma fruta doce. A palavra exclusiva significa que um exclui o outro, ou seja, o resultado só será VERDADEIRO, se uma das proposições que a compõe, for VERDADEIRA e a outra FALSA. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 24 Sim meus queridos alunos, vocês estão certos. Adiantando gostaria que observassem nas tabelas verdade, quando o resultado é FALSO. Mais pra frente vamos falar da negação da proposição composta, e negar uma proposição nada mais é, do que dizer quando ela é FALSA na tabela verdade. Isso é IMPORTANTE porque evita as decorebas. Huuummm!!! Estou gostando da maneira como o professor Maurício ensina raciocínio lógico. Será que ele é casado! O professor Demóstenes sempre me falou, decora tudo e pronto. Agora o professor Maurício fala para esquecer. ??? 18/02/2016 13 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 25 2.3.6 – Implicação: Se p então q (representação: p q) A proposição composta resultante da operação de uma implicação, também conhecida como condicional, de duas proposições simples, será FALSA, se a primeira proposição for VERDADEIRA e a segunda for FALSA. - A primeira proposição (p) é chamada de antecedente e a segunda (q) de consequente. p: Luana nasceu em Belo Horizonte q: Luana é mineira. p q: Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então Luana é mineira. Gente esse é o conectivo mais cobrando em provas de concurso. É de extrema importância observar e entender que o resultado da tabela verdade, só é FALSO quando a 1ª parte for VERDADERA e a 2ª parte for FALSA. Entretanto isso é decoreba, temos que entender o porquê! Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 26 a) Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então Luana é mineira. (V) (V) (V) b) Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então Luana é mineira. (F) (V) (F) c) Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então Luana é mineira. (V) (F) (V)d) Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então Luana é mineira. (V) (F) (F) p q: Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então ela é mineira. Observe a proposição, se p então q, acima a: (1ª V e 2ª V) Luana nasceu em Belo Horizonte, então ela é mineira. (Nasceu em Belo Horizonte, é mineiro? VERDADEIRO) b: (1ª V e 2ª F) Luana nasceu em Belo Horizonte, então ela NÃO é mineira. (Nasceu em Belo Horizonte, não é mineiro? FALSO ) c: (1ª F e 2ª V) Luana NÃO nasceu em Belo Horizonte, então ela é mineira. (Nasceu em Ouro Preto, é mineiro? VERDADEIRO) d: (1ª F E 2ª F) Luana NÃO nasceu em Belo Horizonte, então ela NÃO é mineira. (Nasceu em Salvador, não é mineiro? VERDADEIRO) 18/02/2016 14 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 27 Como vimos, não tem jeito de uma pessoa nascer em Belo Horizonte e NÃO ser mineiro. É comum entre os professores de raciocínio lógico, como técnica para auxiliar a memória, associar a 2ª linha da tabela verdade a frase, “Vera Fischer é Falsa” V F = F (Vera Fischer = Falsa) Cara esse macete é legal para memorizar, a única opção FALSA da tabela verdade da condicional. Mas deve ter muita gente por ai que não conhece a Vera Fischer. Esse professor é antigo mesmo, deve ser do tempo do Onça1. 1. Tempo do Onça - Referência ao "governador - (1725 à 1732)" capitão Luiz Vahia Monteiro, na sua gestão a cidade era limpa e ordeira, onde desocupados, vagabundos, meliantes e foras da lei, não tinham vez. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 28 1. Se p, q. 2. q, se p. 3. Quando p, q. 4. Todo p é q. 5. p implica q. 6. p é condição suficiente para q. 7. q é condição necessária para p. 8. p somente se q. 9. p logo q. 10. Basta p para q. Dessa forma, a proposição composta, Se nasci em Belo Horizonte, então sou mineiro, pode ser escrita: p: Nasci em Belo Horizonte q: Sou mineiro • Se nasci em Belo Horizonte, sou mineiro. • Sou mineiro, se nasci em Belo Horizonte. • Quando nasce em Belo Horizonte, é mineiro. • Todo belo-horizontino é mineiro. • Nascer em Belo Horizonte implica ser mineiro. • Nascer em Belo Horizonte é condição suficiente para ser mineiro. • Ser mineiro é condição necessária para ter nascido em Belo Horizonte. • Sou belo-horizontino somente se sou mineiro. p q Expressões equivalentes em português para a condicional "se, então" Eu não sabia que a proposição se p, então q, poderia ser escrita na forma “Todo p é q” 18/02/2016 15 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 29 CESPE/Agente/MPE 2008 - Apostila pag. 131, ex. 50 ( ) CERTO ( ) ERRADO Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 30 CESPE 2007/PCPA 18/02/2016 16 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 31 (1ª parte) (2ª parte) Ex1: João passou de ano, então João passou em matemática. • João passar de ano é condição suficiente para João ter passado em matemática. • João passar em matemática é condição necessária para João passar de ano. Note: Estar em Portugal é condição necessária para estar em Lisboa, mas não suficiente para estar em Lisboa. por exemplo posso estar em outra cidade, Coimbra. Lisboa Portugal * Coimbra Ex2: Se estou em Lisboa, então estou em Portugal • Estar em Lisboa é condição suficiente para estar em Portugal. • Estar em Portugal é condição necessária para estar em Lisboa. Condição suficiente e condição necessária. Toda vez que tivermos uma condicional se, então, p q, podemos representar da seguinte forma: • a 1ª parte é condição suficiente para a 2ª parte. • a 2ª parte é condição necessária para a 1ª parte. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 32 Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou como falsas — F —, mas não ambas; são freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto. A proposição simbolizada por AB — lida como “se A, então B”, “A é condição suficiente para B”, ou “B é condição necessária para A” — tem valor lógico F quando A é V e B é F; nos demais casos, seu valor lógico é V. A proposição AvB — lida como “A e B”— tem valor lógico V quando A e B forem V e valor lógico F, nos demais casos. A proposição ¬A, a negação de A, tem valores lógicos contrários aos de A. Com base nas definições apresentadas acima, julgue os itens que se seguem. 1 - A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 18/02/2016 17 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 33 2.3.6.1 - Relação transitiva Na matemática, relação transitiva é a que se estabelece entre três elementos de um mesmo conjunto, de tal forma que , se o primeiro tem relação com o segundo e este tem relação com um terceiro, então o primeiro elemento tem relação com o terceiro. Se A B e B C, então A C É importante lembrar que é valido a propriedade transitiva, em implicações lógicas, ou seja: Se p q e q r, então p r Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 34 2.3.7 – Dupla Implicação (bicondicional): Se p então q e se q então p (representação: p q) A proposição composta resultante da operação de uma dupla implicação, também conhecida como bicondicional, de duas proposições simples, será VERDADEIRA, se ambas as proposições envolvidas tiverem o mesmo valo lógico. Caso contrário se uma for VERDADERA e a outra FALSA, o resultado será FALSO. p: Saulo vai casar. q: Saulo comprou um apartamento. p q: Saulo vai casar, se e somente se comprar um apartamento. Calma! Confia no professor que ele ajuda. Vamos fazer o seguinte, a bicondicional será VERDADEIRA, somente quando a balança estiver equilibrada, ou seja, quando for (V e V) ou (F e F) = V = V Será que se eu escrever, p se e somente se q é a mesma coisa que q se e somente se p? Nossa! Sempre confundo ou ... ou com o se e somente se. 18/02/2016 18 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 35 Na aula passada, a Ellen perguntou se a propriedade comutativa é válida para o conectivo “se e somente se”. Quem arrisca? É sim professor, já verifiquei! É só construir a tabela verdade para a bicondicional, “p q” e para “q p”, e verificar os resultados. Muito bem, você brilhou Luana. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 36 Condição necessária e suficiente Na bicondicional a primeira parte da proposição é condição necessária e suficiente para a segunda parte e vice versa. A estrutura bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, que podemos separar em duas condicionais conectadas por uma conjunção. Exemplo: • Ana fica alegre se e somente se Carlos sorri. Desmembrando em duas condicionais conectadas por uma conjunção: • Ana fica alegre somente se Carlos sorri e Carlos sorri somente se Ana fica alegre. Resposta • João lava o carro somente se Pedro o empresta e Pedro empresta o carro somente se João o lava. • João lavar o carro é condição necessária e suficiente para Pedro emprestá-lo • Pedro empresta o carro se e somente se João o lava. Exercício: Reescreva de três formas diferente a proposição: “João lava o carro se e somente se Pedro o empresta a João. 18/02/201619 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 37 CESPE/Téc. do Seguro Social/INSS2008 Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples “É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função”, e que B represente a proposição simples “É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão”. Considerando as proposições A e B acima, julgue os itens subseqüentes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao raciocínio lógico. 1 - Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta “Ou A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira. ( ) CERTO ( ) ERRADO A “É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função”, (Verdadeiro) B “É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão”. (Falso) Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 38 2 - A proposição composta “Se A então B” é necessariamente verdadeira. ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO 3 - Represente-se por ¬A a proposição composta que é a negação da proposição A, isto é, ¬A é falso quando A é verdadeiro e ¬A é verdadeiro quando A é falso. Desse modo, as proposições “Se ¬A então ¬B” e “Se A então B” têm valores lógicos iguais. 18/02/2016 20 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 39 2.4.1 – Tautologia (logicamente verdadeira) Chama-se tautologia toda proposição composta, que apresenta a última coluna da tabela verdade, formada somente por valores lógicos VERDADEIRO, indepen- dente dos valores que a compõe. 2.4 - Tautologia, Contradição e Contingência Vamos falar agora de um assunto bem tranquilo, que são as TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS Exercício 1: Verificar se a proposição composta [p v ~(p ^ q)] é uma tautologia. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 40 2.4.2 – Contradição (Proposição logicamente falsa) Chama-se contradição toda proposição composta, que apresenta a última coluna da tabela verdade, formada somente por valores lógicos FALSO, independente dos valores lógicos que a compõe. Essa sou eu, deixa que eu faço. Exercício 2: Verificar se a proposição composta [~p ^ (p ^ ~q)] é uma contradição. 18/02/2016 21 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 41 2.4.3 – Contingência (nem uma tautologia nem contradição) Chama-se contingência toda proposição composta, que apresenta a última coluna da tabela verdade, formada por valores lógicos VERDADEIROS e FALSOS. Assim até eu né! Na contingência o resultado da tabela verdade, deve conter valores lógicos V e F Exercício 3: Verificar se a proposição composta [(p v q) q] é uma contingência. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 42 CESPE /Técnico/SERPRO -2008 18/02/2016 22 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 43 ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 44 2.5 – Representação literal das proposições Para representar as proposições usaremos letras minúsculas, ”p”, “q”, “r” e “s”. p: A água do mar é salgada. q: Luana Vital é uma mulher bonita. r: Saulo Love é mineiro. s: 2 é um número primo. 2.6 – Propriedades das operações lógicas i) Propriedade idempotente (operações “ou” e “e”) • p ^ p p • p v p p ii) Propriedade comutativa (operações “ou” e “e”) • p ^ q q ^ p • p v q q v p iii) Propriedade associativa (operações “ou” e “e”) • (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) • (p v q) v r p v (q v r) iv) Distributiva (“e” em relação a ‘ou” e “ou” em relação a “e”) • p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) • p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) É importante observar a propriedade comutativa, uma vez que as bancas de concursos, tentam esconder as respostas das questões, alterando a ordem das proposições. 18/02/2016 23 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 45 2.7 – Ordem de precedência dos conectivos lógicos Você brilhou, temos que tomar cuidado com a condicional. Bom alunos, assim como na matemática, as operações lógicas devem ser realizadas, segundo uma ordem de prioridade, e devemos obedecer a ordem conforme a tabela ao lado. É verdade Ellen, quando a banca altera a ordem das proposições, “1ª parte e 2ª parte”, muitos candidatos não encontram a resposta. É professor, mas na condicional se alterarmos a ordem das proposições, encontraremos um resultado diferente para tabela verdade. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 46 Exercícios: Os valores lógicos de A e B são V e F, respectivamente, determinar o valor lógico das proposições abaixo: • ~B • A B → ~A • (A v B) (A → B) • ~B v A • B → A v ~A • (A B) ~(A v ~B) 18/02/2016 24 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 47 2.8 – Negação das Proposições 2.8.1 – Negação da Proposição Simples A negação de uma proposição altera o seu valor lógico, indicando ideia contrária. Sendo assim, uma proposição VERDADEIRA, sua negação é FALSA e, uma proposição FALSA, sua negação é VERDADEIRA. p: Luana gosta de namorar. ~p: - Luana não gosta de namorar. - É falso que Luana gosta de namorar. - Não é verdade que Luana gosta de namorar. 2.6.2 – Dupla Negação A dupla negação de uma proposição, equivale a afirmação desta. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 48 p: Luana gosta de namorar. ~p: - Luana não gosta de namorar. - É falso que Luana gosta de namorar. - Não é verdade que Luana gosta de namorar. ~(~p) – Luana gosta de namorar. Observem que os valores da 1ª e da 3ª coluna, da tabela, são idênticos. As proposições cujas tabelas verdade são iguais, são chamadas de equivalentes, e são representadas com o símbolo . p ~(~p) Para negar uma proposição simples, basta colocar o advérbio de negação, “não”, antes do verbo de ligação. 18/02/2016 25 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 49 (TRT 10a Região 2013/CESPE-UnB) - Pag. 133 – ex. 85 A negação da proposição “O motorista foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para a qual está habilitado” é “O motorista não foi pego dirigindo veículo de categoria igual àquela para a qual não está habilitado”. ( ) CERTO ( ) ERRADO Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 50 2.8.2 – Negação da Proposição Composta 2.8.2.1 – Negação da Conjunção (e) – “^” (Lei De Morgan) Como já visto anteriormente, o conectivo "e" dá a ideia de simultaneidade, ou seja, para que a proposição composta interligada com o conectivo “^” seja verdadeira, todas as proposições simples envolvidas devem ser VERDADEIRAS. Ex.: Ronaldo pai do menino João, de 10 anos, fez a seguinte promessa: João se você passar de ano direto, sem recuperação, vai ganhar “um PS3 e uma bike”. p: João ganhou um PS3. q: João ganhou uma bike. p ^ q: (João ganhou um PS3 e uma bike). ~(p ^ q): (João NÃO ganhou um PS3ou João NÃO ganhou uma bike). Na negação uma é o contrário da outra. A negação do “e” é “ou”. Logo: ~(p ^ q) = ~p v ~q NEGAR uma proposição composta, nada mais é do que dizer onde ela é FALSA, na tabela verdade. Entretanto no caso da conjunção e disjunção, vamos dar uma canja, usando a regra do chuveirinho. Nega a 1ª, nega o conectivo, nega a 2ª. NÃO ESQUECER: - Negação do conectivo “e” é “ou” - Negação do conectivo “ou” é “e” 18/02/2016 26 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 51 CESPE /Assistente/PARÁ -2007 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 52 2.8.2.2 – Negação da Disjunção “inclusiva” (ou) – “v” (Lei De Morgan) O conectivo “ou”, para que a proposição composta seja VERDADEIRA, pelo menos uma das proposições que a compõe deve ser VERDADEIRA. Ex.: Ronaldo pai do menino João, 10 anos, fez a seguinte promessa: João se você não perder média no semestre, vai ganhar um PS3 ou uma bike. p: João ganhou um PS3. q: João ganhou uma bike. p v q: (João ganhou um PS3 ou ganhou uma bike). ~(p v q): (João NÃO ganhou um PS3 e João NÃO ganhou uma bike). Na negação uma é o contrário da outra. A negação do “ou” é “e”. Logo: ~(p v q) = ~p ^ ~q Senhores essa regra é válida somente para a conjunção e disjunção inclusiva. Para a disjunção exclusiva, condicional e bicondicional, vamos usar o resultado FALSO da tabela verdade. Fora isso, se eu pegar alguém decorando tabela verdade, vai escrever cem vezes no quadro, “Eu nunca mais vou decorar as fórmulas de negação e equivalência das proposições compostas.” As leis De Morgan estabelecem condições para a negação da conjunção e da disjunção. 18/02/2016 27 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 53 (CESPE/SEDUC/CE – 2009) A negação da proposição “A prova será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado.” pode ser escrita como a) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação não será alterado. b) A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. c) A prova será aplicada no local previsto mas o seu horário de aplicação não será alterado. d) A prova não será aplicada no local previsto e o seu horário de aplicação não será alterado. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 54 2.8.2.3 – Negação da Disjunção “exclusiva” (ou ... ou) – “v” Relembrando: A proposição composta da operação da disjunção exclusiva, só será verdadeiras, se as proposições envolvidas tiverem valor lógico contrários. Maneira mais difícil He he he he ... Para quem gosta de decorar, ai vai a negação da disjunção exclusiva. (Mantém a 1ª parte, seguido do conectivo "e", mantém 2ª parte), coloca o conectivo "ou", (nega a 1ª parte, seguido do conectivo "e", nega a 2ª parte). ~(p v q) = (p ^ q) v (~p ^ ~q) Nossa!!! A Luana tá ficando da cor da bota dela. 18/02/2016 28 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 55 Exemplo: Ronaldo pai do menino João, 10 anos, fez a seguinte promessa: João se você não perder média no semestre, vou te dar um presente, você escolhe, “ou um PS3 ou uma bike”. p: João ganhou um PS3. q: João ganhou uma bike. p v q: Ou João ganhou um PS3 ou ganhou uma bike. ~(p v q): Negação da disjunção exclusiva - 1ª maneira: (João ganhou um PS3 e ganhou uma bike) ou (João NÃO ganhou um PS3 e NÃO ganhou uma bike.); - 2ª maneira: João ganhou um PS3 se e somente se ganhou uma bike. 1º caso) ~(p v q) = (p ^ q) v (~p ^ ~q) (Forma Geral) 2º caso) ~(p v q) = p q Negar uma proposição composta , nada mais é do que dizer onde ela é falsa na tabela verdade. A tabela da disjunção exclusiva é FALSA, na 1ª e 4ª linha , dai tiramos a Forma Geral da negação: (p ^ q) v (~p ^~q) Maneira mais fácil É importante observar que a negação da “Disjunção Exclusiva”, é a própria bicondicional. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 56 A negação da proposição P, "Ou Ana é médica ou Ana é advogada" pode ser escrito como: i) "Ana é médica se e somente se Ana é advogada" ii) "Ana é médica e Ana é advogada ou Ana não é médica e Ana não é advogada". ( ) CERTO ( ) ERRADO 18/02/2016 29 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 57 Vamos lá Sr. Love, eu falei para não ficar decorando, agora para de resmungar, só falta copiar mais 93 vezes. Bem feito, esse menino é chato mesmo. Ele se acha o sabichão! O professor Maurício deveria ter mandado ele copiar 200 vezes. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 58 Maneira mais difícil De novo não!!! Ainda para quem gosta de decorar! (Mantém a 1ª parte, seguido do conectivo "e", nega a 2ª parte). ~(p q) = (p ^ ~q) 2.8.2.4 – Negação da Implicação, (Condicional) - (se, então) “” Relembrando: A proposição composta representada por uma condicional, se p, então que, só é FALSA, se a 1ª for VERDADERIA e a 2ª for FALSA, e nos demais casos é VERDADEIRA. 18/02/2016 30 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 59 Se observarmos a tabela verdade da condicional, percebemos que ela só é FALSA na 2ª linha, quando a 1ª é VERDADEIRA e a 2ª é FALSA, assim temos a negação da condicional: p ^ ~q p: Luana nasceu em Belo Horizonte q: Luana é mineira. p q: Se Luana nasceu em Belo Horizonte, então Luana é mineira. ~( p q): Luana nasceu em Belo Horizonte e Luana não é mineira. Logo: ~( p q) = p ^ ~q ~( p q) p ^ ~q (mantém a 1ª, troca a implicação pelo “e”, nega a 2ª. Maneira mais fácil Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 60 CESPE/Técnico TRT/2013 (pag. 134 – ex. 103) Considerando a proposição P: “Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei”, julgue os itens seguintes, acerca da lógica sentencial. A negação da proposição P pode ser expressa por “Se nesse jogo há juiz, então há jogada fora da lei”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 18/02/2016 31 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 61 2.8.2.5 – Negação da dupla Implicação, (bicondicional) - (se e somente se) “ ” A bicondicional é FALSA se as proposições envolvidas tiverem valores lógicos diferentes. Então negar, nada mais é do que verificar onde o resultado da bicondicional é FALSO na tabela verdade. Maneira mais difícil Professor Maurício, decorar essas fórmulas tá pesado demais!!! (Mantém a 1ª parte, seguido do conectivo "e", nega 2ª parte), coloca o conectivo "ou", (nega a 1ª parte, seguido do conectivo "e", mantém a 2ª parte). Tá bom Connor, vamos ver se a Luana pode nos ajudar. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 62 Negação da bicondicional, quando ela é FALSA? Já sabemos que o resultado é FALSO, na 2ª linha ou na 3ª linha, dai tiramos a fórmula da negação. - Na 2ª linha, a primeira parte é VERDADEIRA “p” e a segunda parte é FALSA, “~q”, logo temos: (p ^ ~q); - Na 3ª linha a primeira parte é FALSA “~p” e a segunda parte é VERDADEIRA “q”, logo temos: (~p ^ q); - Logo a forma geral da negação é: (p ^ ~q) v (~p ^ q). Ok professor Maurício, posso sim. Uma vez que conheço a tabela verdade, não preciso ficar decorando fórmulas. A bicondicional é FALSA na 2ª e 3ª linha, dai tiramos a negação: ~(p q) = (p ^ ~q) v (~p ^ q) Maneira mais fácil (p ^ ~q) - 1ª parte é V, “p”, “e” 2ª parte é F, “~q” (~p ^ q) - 1ª parte é F, “~p”, “e” 2ª parte é V, “q”18/02/2016 32 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 63 p: Ellen Mara comprou um carro zero. q: Ellen Mara passou no concurso da PF. p q: Ellen Mara comprará um carro zero se e somente se passar no concurso da PF. ~(p q): (p ^ ~q) v (~p ^ q) (Forma Geral) - 1ª maneira: (Ellen comprou um carro zero e NÃO passou no concurso da PF) ou (Ellen NÃO comprou um carro zero e passou no concurso da PF). - 2ª maneira: Ou Ellen compra um carro zero ou Ellen passa no concurso da PF 1º caso) ~(p q) = (p ^ ~q) v (~p ^ q) (Forma Geral) 2º caso) ~(p q) = p v q Luana você brilhou!!! Também é importante observar que a negação da bicondicional e a própria disjunção exclusiva. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 64 IDECAN/Analista/AGU 2014 Considere a seguinte proposição: “serei aprovado se e somente se eu estudar muito”. A sua negação pode ser escrita como: a) “Serei aprovado ou estudarei muito.” b) “Estudarei muito e não serei aprovado ou serei aprovado e não estudarei muito.” c) “Serei aprovado ou não estudarei muito e estudarei muito ou não serei aprovado.” d) “Serei aprovado e não estudarei muito ou não estudarei muito e não serei aprovado.” e) “Não serei aprovado e não estudarei muito ou estudarei muito e não serei aprovado.” 18/02/2016 33 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 65 CESPE/TCE –ES 2012 (pag. 133 – ex. 80) ( ) CERTO ( ) ERRADO Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 66 ( p q) ~q ~p (inverte e nega) – chamada de contrapositiva) ( p q) ~p v q (nega a 1ª parte, troca a implicação pelo “ou”, mantém a 2ª parte.) 2.9 – Equivalências Lógicas 2.9.1 – Equivalência da condicional Meus queridos, esse é outro tópico que precisamos entender, para evitar as decorebas. Verificamos na tabela abaixo, a equivalência lógica da condicional. Macete para não ter que construir a tabela verdade, para verificar a equivalência 1) - Inverte e nega as duas proposições.. 2) - Troca pelo “ou”, ou seja, nega a 2ª linha da tabela ,onde a condicional é FALSA. ~(p ^ ~q) = ~p v q 18/02/2016 34 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 67 Vamos lá, hora da revisão. ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO CESPE/Tec. TRT 17ª / 2013 - (pag. 134 – ex. 103 a 105) Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 68 Professor deixa eu ver se entendi! Se eu negar a 2ª linha da tabela verdade, que é FALSA, eu encontro a fórmula da equivalência da condicional, com o conectivo “ou”. Isso é o que o senhor está chamando de troca pelo “ou”. Muito bem, você brilhou! Mas vamos deixar o senhor de lado. Esse entendimento é importante porque evita as decorebas. Negando a segunda linha, da tabela verdade da condicional, você tem a equivalência com o conectivo “ou”. RELEMBRANDO! Equivalência da Condicional. 1. Inverte e nega (Contrapositiva) 2. Troca pelo “ou” , onde você nega a 2ª linha da tabela verdade , ou seja, onde ela é FALSA. 18/02/2016 35 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 69 Vamos fechar esse tópico, falando da equivalência lógica da bicondicional, o que podemos verificar na tabela abaixo. EQUIVALÊNCIA LÓGICA • 1ª - Nega as duas proposições : ~p ~q. • 2ª - Substitui por duas condicionais ligadas pelo conectivo “ e” (p q) ^ (q p) Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 70 Considerando a proposição P: “Chove se e somente se faz frio”, julgue o item seguinte, acerca da lógica sentencial. i) A proposição P é equivalente a “Se chove, então faz frio e se faz frio então chove”. ( ) CERTO ( ) ERRADO 18/02/2016 36 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 71 UTFPR - ME/Assist. 2011 Não é verdade que Papai Noel não existe e que a vida é bela. Se a noite não é uma criança, Papai Noel não existe. Portanto, naturalmente, tem-se X. O raciocínio em referência será válido, tomando necessariamente, as duas premissas, se X for substituído por: a) a vida é bela ou a noite não é uma criança; b) a vida não é bela e a noite não é uma criança; c) a vida não é bela ou a noite é uma criança; d) a vida é bela e a noite não é uma criança; e) a vida não é bela e a noite é uma criança. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 72 BOM PESSOAL, TERMINAMOS O MÓDULO I Agora temos um bom conhecimento, para resolver grande parte das questões, de Raciocínio Lógico das provas. Lembrete Esquecer as decorebas e entender, sempre é mais fácil do que ficar decorando. Obrigado e até a próxima. 1. Sejam p e q as proposições, que conclusão tiramos da expressão abaixo? 2. Como evitar a decoreba? (Mantém a 1ª, nega a 2ª, conectadas pelo “e”), coloca o conectivo “ou”, (nega a 1ª, mantém a 2ª, conectada pelo “e”)“ 18/02/2016 37 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 73 Módulo – II 3 – Silogismo 3.1 – Estrutura do Silogismo 3.1.1 – Argumento válido 3.1.2 – Argumento inválido 3.1.3 – Silogismo Disjuntivo, “ou” 3.1.4 - Silogismo Hipotético, “se, então” 3.2 – Proposições categóricas, (Todo, Nenhum, Algum) 3.2.1 – Diagramas Lógicos 3.2.2 – Negação das proposições categóricas O que vamos estudar no módulo II Ufa!!! Com certeza ficou mais fácil entender do que ter que ficar decorando. Silogismo!!! Será que é de comer? Agora eu entendi, não esqueço mais, as equivalências e negações das proposições. Estou ansiosa para o próximo módulo. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 74 3. Silogismo: - Argumento com 2 premissas e com uma conclusão. - É uma forma de raciocínio dedutivo, estruturado a partir de duas proposições, da qual se obtém por dedução uma conclusão. Raciocínio dedutivo: parte do geral para o particular Exemplo: P1: Todos os Homens são mortais. P2: Sócrates é um homem. C: logo, Sócrates é mortal. . O que é argumentar? Argumentar é apresentar um proposição como sendo consequência de um ou mais proposições. Premissas Conclusão 18/02/2016 38 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 75 3.1 – Estrutura do silogismo (premissas e conclusão) Premissa 1: É a premissa geral, que vem citada primeiro. P1: Todos os homens são mortais. João é um homem. logo, João é mortal. Premissa 2: É a premissa mais particular, que vem citada em segundo. Todos os homens são mortais. P2: João é um homem. logo, João é mortal. Conclusão: É a proposição deduzida das premissas 1 e 2. Todos os homens são mortais. João é um homem. C: logo, João é mortal. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 76 3.1.1 - Argumento válido: Um argumento será válido ou bem construído, quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória das premissas. Para testar a validade de um argumento, devemos considerar as premissas como verdadeiras, mesmo que não forem, e a partir dai verificar se a conclusão é verdadeira. Exemplo: Todos os homens são mortais. (Verdadeiro) Aristóteles é um homem. (Verdadeiro) logo, Aristóteles é mortal. Homens Mortais Aristóteles 18/02/2016 39 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 77 3.1.2 - Argumentoinválido (sofisma ou falácia): Dizemos que um argumento é inválido ou mal construído, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo: Toda pessoa elegante se veste bem. Ana se veste bem. Logo, Ana é elegante. Sofisma é o enunciado falso com aparência de verdadeiro. Falácia é um argumento logicamente inconsistente, sem fundamento ou falho. Elegante Veste bem Ana Ana A Ana se vestir bem não quer dizer que ele seja elegante. Ele pode estar dentro do conjunto elegante ou não. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 78 3.1.3 - Silogismo Disjuntivo: É aquele cuja premissa maior é uma proposição disjuntiva. A premissa menor nega um dos membros. A conclusão afirma o outro. Silogismos disjuntivo válido - Representação simbólica P1: p v q P2: ~p Logo: q P1: p v q P2: ~q Logo: p Exemplo1: P1: “O Brasil investe em educação ou o Brasil afunda no atraso” (F) (V) P2: “O Brasil não investe em educação” (V) Logo: “Brasil afunda no atraso” Para o argumento ser válido, exemplo1, a premissa menor deve negar um dos membros e a conclusão afirmar o outro. Caso contrário o argumento será inválido, exemplo2, uma vez que, a conclusão poderá ser verdadeira ou falsa. Argumento válido: a premissa menor nega a primeira e a conclusão afirma a segunda. Forma de silogismo 18/02/2016 40 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 79 (UnB/Agente/MPE/AM-2008) – Considere as seguintes proposições: I – Mariana fica zangada ou ela não acorda cedo. II – Mariana não fica zangada. Nessa situação, o raciocínio que tem como premissas a proposição I e a proposição “ela não acorda cedo”, e tem por conclusão a proposição II, é válido ( ) CERTO ( ) ERRADO Exemplo2: P1: “O Brasil investe em educação ou o Brasil afunda no atraso” (V) (V) / (F) P2: “O Brasil investe em educação” (V) Logo: “Brasil não afunda no atraso” Argumento inválido: Quando a premissa menor é afirmativa não podemos garantir a conclusão. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 80 3.1.4 - Silogismo Condicional, “se, então” P1: Se p, então q P2: p Logo: q Exemplo1: Silogismo condicional inválido (falácia) P1: Se Deus existe, então a vida faz sentido. (V) ou (F) (V) P2: Ora, a vida faz sentido. (V) Logo, Deus existe. P1: Se p, então q P2: ~q Logo: ~p É válida a propriedade transitiva em implicações lógicas, ou seja: Se p q e q r, então p r Silogismos condicional válido - Representação simbólica Forma de silogismo 18/02/2016 41 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 81 Exemplo2: Silogismo condicional válido P1: Se Deus existe, então a vida faz sentido. (V) (V) P2: Ora, Deus existe. (V) Logo, a vida faz sentido. Exemplo2: Silogismo condicional válido P1: Se Deus existe, então a vida faz sentido. (F) (F) P2: Ora, a vida não faz sentido. (V) Logo, Deus não existe. P1: Se p, então q; P2: p Logo: q P1: Se p, então q; P2: ~q Logo: ~p Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 82 (UnB/Agente/MPE/AM-2008) – Considere as seguintes proposições: “Se o ladrão deixou pistas, então o ladrão não é profissional” e “O ladrão não deixou pistas”, sejam premissas e a proposição “O ladrão é profissional” seja a conclusão. Então é correto afirmar que essas proposições constituem m raciocínio válido. ( ) CERTO ( ) ERRADO 18/02/2016 42 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 83 (CESPE/Agente de Polícia/DF-2013) Considerando que P e Q representem proposições conhecidas e que V e F representem, respectivamente, os valores verdadeiro e falso, julgue os próximos itens: P1: Se a impunidade é alta, então a criminalidade é alta. P2: A impunidade é alta ou a justiça é eficaz. P3: Se a justiça é eficaz, então não há criminosos livres. P4: Há criminosos livres. C: Portanto a criminalidade é alta. Considerando o argumento apresentado acima, em que P1, P2, P3 e P4 são as premissas e C, a conclusão, julgue o item subsequente. O argumento apresentado é um argumento válido. ( ) CERTO ( ) ERRADO Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 84 É válida a relação transitiva : A B B C Então, A C Sim Luana, vamos pensar de outra forma. João irmão de Maria Maria irmã de José Logo, João irmão de José. 18/02/2016 43 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 85 3.2 – Proposições categóricas As proposições categóricas são formadas com os 4 termos Todo, Nenhum, Algum e Algum não, representadas por diagramas lógicos. 3.2.1 – Diagramas Lógicos a) TODO A é B Proposições do tipo Todo A é B, afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Exemplo: Todo cachorro é quadrúpede. 1. Todo elemento de A é elemento de B. 2. Conjunto A é igual a B Temos duas representações possíveis. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 86 Observações: Quando a proposição Todo A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? - “Algum A é B” é necessariamente verdadeira. - “Nenhum A é B” é necessariamente falsa. - “Algum A não é B” é necessariamente falsa. Se a proposição “Todo A é B” for VERDADEIRA, qual será o valor lógico para as proposições , “Algum, Nenhum e Algum Não”? Ellen a resposta a sua pergunta pode ser vista no quadro abaixo. Sua dúvida é muito importante, porque já foi questão de prova de concurso, FCC/IPEA. Nessa aula vamos resolver essa questão. . 18/02/2016 44 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 87 b) Nenhum A é B Proposições do tipo Nenhum A é B, afirmam que o conjunto A e o conjunto B são disjuntos, ou seja, não tem elemento em comum. Exemplo: Nenhum cachorro é felino. Temos uma representação possível. 1. Não há elementos em comum entre os conjuntos A e B. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 88 Observações: Quando a proposição Nenhum A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? - “Todo A é B” é necessariamente falsa. - “Algum A é B” é necessariamente falsa. - “Algum A não é B” é necessariamente verdadeira. Meus alunos, volto a insistir, evitem as decorebas. Entender a matéria é mais inteligente e mais fácil . 18/02/2016 45 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 89 c) Algum A é B Proposições do tipo Algum A é B, afirmam que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Exemplo: Algum politico é honesto. Temos quatro representações possível. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 90 Observações: Quando a proposição Algum A é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? - “Nenhum A é B” é necessariamente falsa. - “Todo A é B” é indeterminado. - “Algum A não é B” é indeterminado. 18/02/2016 46 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 91 d) - Algum A não éB É importante observar que “Algum A não é B”, não é equivalente a que “Algum B não é A”. Exemplo: “Algum mineiro não é belohorizontino”, não equivale a dizer que “Algum belohorizontino não é mineiro”. Temos três representações possível. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 92 Observações: Quando a proposição Algum A não é B é verdadeira, qual será o valor lógico das demais proposições categóricas? - “Nenhum A é B” é indeterminado. - “Algum A é B” é indeterminado. - “Todo A é B” é necessariamente falso. 18/02/2016 47 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 93 HORA DA REVISÃO! O que lembram das proposições categóricas, “Todo”, “Nenhum”, “Algum” e “Algum não”’ Pessoal não é isso! Estou querendo saber, se vocês entenderam e sabem representar através dos diagramas, as proposições categóricas. E Todo A é B tem duas e Nenhum A é B tem uma representação . Professor Maurício, “Algum A é B” tem quatro e “Algum A não é B” tem três representações possíveis, através dos diagramas. Nossa que colada! Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 94 ( FCC/Téc/IPEA/2004) - Considerando “toda prova de Lógica é difícil" uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. e) “alguma prova de Lógica não é difícil" é uma proposição verdadeira ou falsa Espero que todos realmente tenham entendido, caso contrário lembraram de mim na hora da prova. Ellen vamos resolver a questão do FCC, foi uma dúvida sua. 18/02/2016 48 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 95 3.3 - Negação das proposições categóricas, “Todo”, “Nenhum“, “Algum” “Algum não” Proposição categórica Exemplo Negação Exemplo Negação Todo A é B Todo político é desonesto - Algum A não é B; ou - Pelo menos um A não é B; - Algum politico não é desonesto; - Pelo menos um politico não é desonesto; Nenhum A é B Nenhum político é desonesto - Algum A é B; ou - Pelo menos um A é B; - Algum politico é desonesto - Pelo menos um politico é desonesto. Algum A é B Algum político é desonesto - Nenhum A é B - Nenhum politico é desonesto Algum A não é B Algum político não é desonesto - Todo A é B - Todo politico é desonesto. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 96 CESPE/Técnico/ANCINE 2012 – (pag. 132 – ex. 73) 18/02/2016 49 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 97 ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO ( ) CERTO ( ) ERRADO Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 98 Equivalência entre “Nenhum” e “Todo”: Exemplos: • Todo A não é B = Nenhum A é B Todo politico não é honesto = Nenhum político é honesto. • Nenhum A não é B = Todo A é B Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. Todo A não é B Nenhum A é B Nenhum A não é B Todo A é B Vamos a um exemplo concreto. 1. Todo cruzeirense não entende de futebol. 2. Nenhuma mulher não gosta de fofoca. Ninguém não viu o ladrão entrando em casa. 18/02/2016 50 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 99 REVISÃO SOBRE CONJUNTOS Representação: os conjuntos geralmente são indicados por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, ... , e os elementos por letras minúsculas: a, b, c, d, ... Relação de Pertinência: A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. A={0; 2; 4; 6; 8} • (2 ∈ 𝐴) - O elemento 2 pertence ao conjunto A. • (3 ∉ 𝐴) - O elemento 3 não pertence ao conjunto A. Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 100 Relação de Inclusão: A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro conjunto. SIMBOLOGIA TRADUÇÃO 𝐴 ⊂ B O conjunto A está contido no conjunto B. 𝐷 ⊄ 𝐸 O conjunto D não está contido no conjunto E. 𝐵 ⊃ 𝐴 O conjunto B contém o conjunto A. 𝐸 ⊅ 𝐷 O conjunto E não contém o conjunto D. 18/02/2016 51 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 101 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 102 18/02/2016 52 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 103 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 104 18/02/2016 53 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 105 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 106 Conjunto A é subconjunto de U Os elementos que faltam para A ficar igual ao conjunto U. 18/02/2016 54 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 107 (MACK-SP) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 183 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 108 Terminadas as provas de um concurso municipal, todos os candidatos foram entrevistados para opinarem sobre o grau de dificuldade das provas de português e matemática. Foram feitas as seguintes perguntas, para que respondessem sim ou não: • A prova de matemática estava fácil? • A prova de português estava fácil? Responderam sim à primeira pergunta 900 candidatos; 700 responderam sim à segunda; 250 responderam sim a ambas; 400 responderam não a ambas. Quantas pessoas participaram do concurso? a) 1750 pessoas b) 2250 pessoas c) 1850 pessoas d) 1600 pessoas e) 1500 pessoas AOCP/Câmara Municipal de Campo Mourão - 2006 18/02/2016 55 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 109 UnB/CESPE – CADE/Analista Administrativo. 2013 Em uma escola, uma pesquisa, entre seus alunos, acerca de práticas esportivas de futebol, voleibol e natação revelou que cada um dos entrevistados pratica pelo menos um desses esportes. As quantidades de alunos entrevistados que praticam esses esportes estão mostradas na tabela abaixo. Com base nas informações e na tabela acima, julgue os próximos itens. 1 Mais de 130 dos alunos praticam apenas 2 dessas atividades esportivas. ( ) Certo ( ) Errado 2 Entre os alunos, 20 praticam voleibol e natação, mas não jogam futebol. ( ) Certo ( ) Errado Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 110 Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra" seja verdadeira, julgue o item seguinte. Se A for o conjunto dos compradores que escrituram o imóvel, e B for o conjunto dos que o registram, então B será subconjunto de A. UnB/CESPE – TCE-RN - 2015 ( ) Certo ( ) Errado 18/02/2016 56 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 111 PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas asmercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 112 Razão centesimal Toda a razão que tem no numerador o número 100, denomina-se razão centesimal. 5 100 , 18 100 , 115 100 , 225 100 Por exemplo: representar uma razão centesimal de outras formas: 5 100 = 0,05 = 5% 18 100 = 0,18 = 18% 115 100 = 1,15 = 115% 225 100 = 2,25 = 225% 18/02/2016 57 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 113 Usando regra de três 1) 2) 1) 300 -------------- 100% x -------------- 10% 2) 200 -------------- 100% x -------------- 25% Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 114 Certo comerciante aplicou R$ 4.000,00 em um negócio que achou ser lucrativo, mas perdeu 30% da aplicação. Dias depois, recuperou 25% do que havia perdido. Sendo assim, do total investido, ele conseguiu ficar com (A) R$ 300,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.500,00 (D) R$ 3.100,00 FUMARC - PREFEITURA MUNICIPAL DE RIO ACIMA/ASSISTENTE DE SEÇÃO/2012 18/02/2016 58 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 115 ESAF-SMF-RJ/Agente de Fazenda 2010 Em uma determinada cidade, 25% dos automóveis são da marca A e 50% dos automóveis são da marca B. Ademais, 30% dos automóveis da marca A são pretos e 20% dos automóveis da marca B também são pretos. Dado que só existem automóveis pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que são pretos? a) 17,5% b) 23,33% c) 7,5% d) 22,75% e) 50% Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 116 João constatou que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água mineral em sua mercearia teve um aumento percentual de 14% com relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia de João vendeu 171 garrafas de água mineral em dezembro e que X representa o número de garrafas de água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar que X é um número entre: (A) 132 e 139 (B) 139 e 146 (C) 146 e 152 (D) 152 e 157 (E) 157 e 164 NCE/Adm./Infraero - 2004 18/02/2016 59 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 117 Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pretende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente: a) 15%; b) 19%; c) 23%; d) 28%; e) 30%. NCE/ANTT/2005 Professor: Maurício Barros da Silva - Pag. 118 Em um hospital, uma equipe de enfermeiros, trabalhando em turnos de 6 horas, consegue atender todos os pacientes quando todos os leitos estão ocupados. A secretaria de saúde local está planejando ampliar o número de leitos do hospital e, como não poderá contratar mais profissionais, está negociando com os enfermeiros um aumento salarial para eles trabalharem em turnos de 8 horas, mesmo sabendo que, com essa nova jornada, o rendimento médio cai em 20%. Nessa situação, considerando-se o aumento da jornada dos enfermeiros e a consequente queda do rendimento médio desses profissionais, é correto afirmar que o hospital A) poderá aumentar sua capacidade de atendimento em aproximadamente 6,7%. B) não terá condições de aumentar o número de leitos. C) poderá duplicar a sua capacidade de atendimento. D) poderá aumentar sua capacidade de atendimento em aproximadamente 33,3%. E) poderá aumentar sua capacidade de atendimento em aproximadamente 20%. UnB/CESPE/SESA-ES 2013
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