APOSTILA-PROBLEMAS DE CONTAGEM

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1Problemas de Contagem - Matemática - 2024
2024
Unimontes - Curso de Matemática - Professor Paulo Roberto - Unimontes 2024
2 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 3 
2 ORIGENS DA LINGUAGEM NUMÉRICA E DA CONTAGEM .......................... 4 
3 CONTAGEM ..................................................................................................... 9 
3.1 Princípios básicos de contagem ................................................................. 11 
3.2 Fatorial ........................................................................................................ 13 
4 AGRUPAMENTOS ......................................................................................... 15 
4.1 Arranjo ........................................................................................................ 15 
4.2 Permutação ................................................................................................ 16 
4.3 Permutações com repetições ..................................................................... 19 
4.3.1 Amostras ordenadas ................................................................................... 21 
4.3.2 Diferenças entre arranjo e permutação....................................................... 22 
4.4 Combinação ................................................................................................ 25 
5 BINÔMIO DE NEWTON .................................................................................. 27 
6 TRIÂNGULO DE PASCAL .............................................................................. 30 
7 APLICAÇÃO DA ANÁLISE COMBINATóRIA ................................................. 33 
7.1 Geometria plana ......................................................................................... 33 
7.2 Computação ............................................................................................... 34 
8 PROBABILIDADE ........................................................................................... 35 
8.1 Espaço amostral ......................................................................................... 36 
8.2 Evento ......................................................................................................... 37 
9 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E EVENTOS COMPLEMENTARES
 .........................................................................................................................37 
3Problemas de Contagem - Matemática - 2024
4 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
Prezado aluno! 
 
 Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Material apresentado tem como objetivo, uma primeira leitura sobre os conteúdos 
envolvendo os problemas de contagem, os quais se relacionam com arranjos, 
permutações, Binômio de Newton dentre outros conhecimentos necessários para o 
desenvolvimento desses saberes matemáticos.
1 INTRODUÇÃO
5Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
A matemática foi considerada por muitos séculos a ciência dos números, da 
grandeza e da forma. Por isso quando se busca pelos primeiros vestígios de atividade 
matemática, encontram-se resquícios arqueológicos que refletem a consciência humana 
de operações numéricas, contagem ou padrões e formas geométricos. De modo geral, 
os vestígios matemáticos são encontrados no domínio das culturas primitivas. Regras de 
operação podem existir como parte de uma tradição oral, às vezes na forma de música 
ou de versos, ou ainda podem ser percebidos na linguagem da mágica e dos rituais 
(BOYER; MERZBACH, 2012). Algumas vezes, os vestígios matemáticos são 
encontrados em observações do comportamento animal, o que os distancia ainda mais 
do domínio do historiador (BOYER; MERZBACH, 2012). 
 Neste contexto, Aragão (2009) menciona que a matemática, antes de ser uma 
ciência, foi um conjunto de métodos empíricos, aplicados pelos nossos antepassados à 
vida prática do quotidiano e, por isso, pode-se dizer que tem raízes biológicas. As noções 
de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que 
com semelhanças, por exemplo, a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de 
tamanho entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma redonda da 
lua e a retilínea de um pinheiro, entre outras (BOYER; MERZBACH, 2012). 
Boyer e Merzbach (2012) explicam que das experiências caóticas deve ter 
surgido a percepção de que existem analogias; e desta percepção de semelhanças em 
números e formas, nascem a ciência e a matemática. As próprias diferenças parecem 
indicar semelhanças ao contrastar um lobo e muitos, um carneiro e um rebanho, uma 
árvore e uma floresta... tudo sugere que um lobo, um carneiro e uma árvore têm algo em 
comum: a unicidade. Outra observação se daria em grupos, como os pares, que podem 
ser postos em correspondência biunívoca, as mãos podem ser emparelhadas com os 
pés, os olhos e as orelhas ou as narinas. Este foi um grande passo no caminho até a 
matemática moderna. Essas descobertas podem ter se dado por um indivíduo ou uma 
determinada tribo. Acredita-se que a percepção tenha sido gradual, e desenvolvida tão 
cedo pelo homem quanto o uso do fogo, talvez há 300.000 anos. 
2 ORIGENS DA LINGUAGEM NUMÉRICA E DA CONTAGEM
6 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Para Aragão (2009), a primeira correspondência biunívoca foi sem dúvida aquela 
que se via entre os objetos e os dedos das mãos e dos pés. A operação de contar, de 
descobrir o número de elementos de um conjunto depende do ato de comparar. O 
indivíduo primitivo conseguia saber, por exemplo, se tinha mais filhos do que lanças. 
 Nossos antepassados mais antigos inicialmente contavam somente até dois; 
qualquer conjunto além desse nível era designado por “muitos”. A ideia de número tornou-
se mais ampla e vívida somente na linguagem de sinais, em que os dedos de uma mão 
podem ser usados para indicar um conjunto de dois, três, quatro ou cinco objetos. O 
número 1 inicialmente não era reconhecido como um verdadeiro número. E quando os 
dedos humanos, dos pés e das mãos, eram inadequados, usavam-se montes de pedras 
para representar uma correspondência com elementos de outro conjunto. O homem 
primitivo, quando usava esse método de representação, costumava amontoar as pedras 
em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação da mão e do 
pé. Para conservar as informações, o homem pré-histórico fazia o registro de um número 
por meio de entalhes em um bastão ou pedaço de osso (BOYER; MERZBACH, 2012). 
Conforme Boyer e Merzbach (2012), a ação de contar com os dedos, ou por meio 
de grupos de cinco e dez, parece ter surgido mais tarde do que a contagem por grupos 
de dois e três. No entanto, os sistemas quinário e decimal substituíram o binário e o 
ternário. Vejamos, na Figura 1, um exemplo de sistema vigesimal usado pelos Maias de 
Yucatan e da América Central. 
7Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
Na representação de intervalos de tempo entre datas em seu calendário, os 
maias usavam uma numeração com valor na posição, geralmente com 20 como base 
primária e 5 como auxiliar, como vemos na Figura 1. As unidades eram representadas 
por pontos, e cinco, por barras horizontais (BOYER; MERZBACH, 2012). 
As talhas numéricas (tally sticks, bastões numéricos entalhados) eram utilizadas 
entre povos primitivos com inúmeras finalidades: registro de transações ou obrigações, 
cômputo de dias de viagem, registro de períodos de tempo, calendários, repartição de 
bens, etc. Vejamos alguns exemplos de talhas numéricas do Paleolítico Superior Europeu 
até o mais recente, encontrado em 1937, com idade de aproximadamente 30 mil anos 
(ALMEIDA, 2001). 
 
Exemplo: 
 
Na Figura 2a, vemos o mais antigo exemplo de talha registrado nos textos de 
História da Matemática,da causa, apresentando uma relação de dependência resumida na regra “se A 
então B”. Porém, se não houver um arco ligando duas variáveis, assume-se que elas são 
independentes. 
59Problemas de Contagem - Matemática - 2024
O Princípio da Inclusão-Exclusão
Os princípios da inclusão-exclusão são uma ferramenta essencial na teoria dos conjuntos, 
utilizada para contar o número de elementos em uniões de conjuntos, considerando suas 
sobreposições. Seja 
 um conjunto finito de conjuntos. O princípio da inclusão-exclusão afirma que a 
cardinalidade da união desses conjuntos pode ser expressa como:
Essa expressão é uma generalização do princípio básico de inclusão-exclusão para dois 
conjuntos. Cada termo na expressão representa a contribuição para a cardinalidade da 
união dos conjuntos, levando em conta a interseção de diferentes números de conjuntos. 
Os termos são alternadamente adicionados e subtraídos para compensar a 
sobrecontagem das interseções.
Este termo adiciona a cardinalidade de cada conjunto individualmente. Cada conjunto 
contribui uma vez para a contagem total.
Primeira soma: 
Termo inicial: representa a cardinalidade da união de todos os conjuntos.
Subtração das interseções de dois conjuntos
Este termo subtrai a cardinalidade das interseções de cada par de conjuntos. A subtração 
é necessária para evitar a contagem dupla dos elementos que estão em mais de um 
conjunto.
Adição das interseções de três conjuntos
Este termo adiciona a cardinalidade das interseções de três conjuntos. Isso compensa a 
subtração dupla que ocorreu no termo anterior. A adição é necessária para garantir que os 
elementos compartilhados por três conjuntos sejam contados corretamente.
nAAAA ,...,,, 321
n
n
n
nkji
kji
n
nji
ji
n
i
i
n
AAAAAAAAA
AAAA
ÇÇÇ-+-ÇÇ+Ç-
=ÈÈÈÈ
-
££m, então pelo menos um dos recipientes 
deve conter mais de um objeto.
n, então a função t, que associa cada um dos n elementos a um dos m recipientes, não pode 
ser injetora.
Continuação das adições e subtrações
Exemplo. Para três conjuntos, a expressão seria:
Essa parte da expressão continua adicionando e subtraindo as cardinalidades das 
interseções de conjuntos maiores. O sinal alterna em cada termo, seguindo o padrão (-
1)^{n-1}, garantindo que a sobreposição de todos os conjuntos seja corretamente 
considerada.
Essa fórmula é extremamente útil em diversas áreas da matemática, incluindo 
combinatória, teoria dos grafos, probabilidade e análise de algoritmos, proporcionando 
uma maneira sistemática de contar elementos em uniões complexas de conjuntos.
O Princípio da Casa dos Pombos
O princípio da casa dos pombos foi formulado pelo matemático alemão Dirichlet, também 
conhecido como Peter Gustav Lejeune Dirichlet, no século XIX. Dirichlet é conhecido por 
suas contribuições em várias áreas da matemática, incluindo teoria dos números, análise 
matemática e física matemática. O princípio da casa dos pombos é uma das suas ideias 
mais influentes e é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática, especialmente 
em combinatorial e teoria dos grafos. Ele fornece um método simples e poderoso para 
provar resultados relacionados à distribuição de elementos em conjuntos finitos.
O princípio da casa dos pombos, também conhecido como o princípio da gaveta ou 
princípio da caixa postal, é um conceito fundamental em combinatorial. Ele afirma 
que se n pombos são colocados em m casas e n>m, então pelo menos uma casa deve 
conter mais de um pombo.
Em termos matemáticos, o princípio da casa dos pombos pode ser expresso como:
Se n é um número inteiro positivo e m é um número inteiro positivo menor do que 
Aplicações: Este princípio é usado em muitos problemas de contagem para mostrar 
que é impossível distribuir um número de elementos em um conjunto de recipientes 
de uma certa maneira sem que ocorra uma certa condição, como a repetição de 
algum elemento em um recipiente. É uma ferramenta valiosa em combinatorial e 
teoria dos grafos, fornecendo insights sobre limitações na distribuição de elementos 
em conjuntos finitos.
n
n AAA ÇÇÇ- - ...)1( 21
1
CBACBCABACBACBA ÇÇ-Ç-Ç-Ç-++=ÈÈ
Unimontes - Curso de Matemática - Professor Paulo Roberto - Unimontes 2024
62 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 . Essa função pode ser usada para representar uma sequência de números 
como uma série infinita, facilitando a manipulação algébrica da sequência.
 é dada pela série de potência 
 . Essa função é útil para representar sequências cujos termos estão 
relacionados a coeficientes de séries de potência de funções exponenciais.
 As manipulações algébricas tornam a solução de diversos problemas mais 
fáceis e fornecem uma maneira elegante de representar e analisar padrões 
em sequências numéricas.
Existem vários tipos de funções geradoras, sendo as mais comuns as 
seguintes:
Função geradora de momentos: Seja a uma sequência de números reais. A n
função geradora de momentos da sequência a é dada por n
Função geradora ordinária (ou série de potência geradora): Seja a uma n 
sequência de números reais. A função geradora ordinária da sequência 
Função geradora exponencial: Seja a uma sequência de números reais. A n
função geradora exponencial da sequência a é dada por n
 . Essa função é usada para calcular momentos estatísticos de uma 
distribuição de probabilidade discreta.
Função geradora de probabilidade: Seja p uma sequência de probabilidades n
tal que 
A função geradorade probabilidade da sequência p é dada porn
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63Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
14.1 Bibliografia Básica 
HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar- Volume 5. 7ª.ed. São Paulo: 
Atual, 2004. 
 
MORGADO, A.C.O.; CARVALHO, J. B.P; CARVALHO, P.C.; FERNANDEZ, P. Análise 
combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 2005. 
 
SANTOS, J.P.O.; MURARI, I.T.C.; MELLO, M.P. Introdução à análise combinatória. 4ª 
ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. 
14.2 Bibliografia Complementar 
ALMEIDA, M. C. Origens dos numerais. In: SEMINÁRIO DE HISTóRIA DA 
MATEMÁTICA, 4., 2001, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: SBHMat, 2001. p. 119–130. 
 
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à 
administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. 
 
ARAGÃO, M. J. História da matemática. Rio de Janeiro: Interciência, 2009 
 
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística: para cursos de engenharia 
e informática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
 
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 1996. 
 
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012 
 
BRITO, R. Probabilidade condicional: o que é, exemplos e exercícios! Stoodi, 22 jul. 
2018. Disponível em: https://www.stoodi.com.br/blog/2018/07/11/probabilidade- -
condicional/. Acesso em: 19 abril 2021. 
 
CAVALCANTI, G. D. C. Coeficientes binomiais e o Triângulo de Pascal. Recife: UFPE, 
2006. Notas de aula da disciplina Matemática Discreta, do Centro de Informática, da 
Universidade Federal de Pernambuco. Disponível em: https://www.cin.ufpe.br/~gdcc/ 
matdis/aulas/binomial.pdf. Acesso em: 19 abril 2021. 
 
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3. ed. São Paulo: EDUSP, 
2008. 
 
14 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
64 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
DIAS, V. G. Quadratura: da antiguidade à atualidade. 2014. Dissertação (Mestrado 
Profissional em Matemática) — Programa de Pós-Graduação em Matemática, Centro de 
Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, 
2014. 
 
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
(Coleção Schaum). (Coleção Schaum). 
 
MANN, P. S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2006 
 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
MURTEIRA, B. J. F. Probabilidades e estatística. 2. ed. Lisboa: McGraw-Hill, 1990. 2 
v. 
 
ROSEN, K. H. Matemática discreta e suas aplicações. 6. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2009 
 
SAFIER, F. Pré-Cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
 
SAMPAIO, F. A. Matemágica: história, aplicações e jogos matemáticos. São Paulo: 
Papirus, 2018a. v. 1. E-book. 
 
SAMPAIO, F. A. Matemágica: história, aplicações e jogos matemáticos. São Paulo: 
Papirus, 2018b. v. 2. E-book. 
 
SANTOS, J. P. O.; MELLO, M. P.; MURARI, I. T. C. Introdução à análise combinatória. 
4. ed. Campinas: Ed. Unicamp, 2008. 
 
SILVEIRA, J. F. Raciocínio lógico matemático: curso completo preparatório para 
concursos. [2015?]. Disponível em: . Acesso em: 19 abril 2021. 
 
SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J.; SRINIVASAN, A. Probabilidade e estatística. 3. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum). 
 
SPIEGEL, M. R.; STEPHENS, L. J. Estatística. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Coleção Schaum) 
 
TABORDA, A. Mapa mental: probabilidade. Desconversa, 13 ago. 2015. Disponível em: 
https://descomplica.com.br/blog/matematica/mapa-mental-probabilidade/. Acesso em: 
19 abril 2021. 
65Problemas de Contagem - Matemática - 2024
Supondo que não haja restrição em relação aos caracteres em nenhum dos padrões apresentados, 
quantas placas a mais, em relação ao sistema antigo, poderão ser formadas com o novo padrão de 
emplacamento?
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá 
disponibilizar a seus clientes é
Questão 8) As Resoluções do CONTRAN nº 590, de 24/05/2016, nº 279, de 06/03/2018, e nº 741, 
de 17/09/2018, estabeleceram um novo padrão das placas de identificação de veículos brasileiros, 
seguindo as regras do MERCOSUL. Segundo essas resoluções, “as Placas de Identificação 
Veicular [...] deverão [...] conter 7 (sete) caracteres alfanuméricos”. Assim, no Brasil, “a placa 
MERCOSUL terá a seguinte disposição: LLLNLNN, em que L é letra e N é número”, em 
substituição ao padrão pré-Mercosul, LLLNNNN.
a) 8. b) 9. c) 11. d) 18. e) 24.
Questão 7) (Enem 2019) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para transmitir músicas a 
partir do seu computador para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves seletoras 
e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas chaves corresponde 
a uma frequência diferente de transmissão.
a) 6. b) 8. c) 12. d) 16. e) 24
A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada por
Questão 2) Considere que uma pessoa possui 3 camisas de cores diferentes (vermelha, azul e 
branca), 2 calças de modelos diferentes (jeans e social) e 2 sapatos de tipos diferentes (tênis e 
sapato social). De quantas modos diferentes essa pessoa pode se vestir?
Questão 5) Uma pessoa viajará de avião entre duas cidades onde, é necessário fazer conexão, 
pois nenhuma companhia oferece voos diretos. Da cidade A até a cidade B, onde será realizada a 
conexão, três companhias aéreas oferecem opções de voos. Da cidade B para a C, outras quatro 
companhias realizam este trajeto. De quantas formas diferentes este passageiro pode viajar de A 
para C e, voltar para A, utilizando voos diferentes?
Questão 4) Um aluno precisa escolher duas atividades extracurriculares para participar na escola, 
uma cultural e outra esportiva. Ele pode escolher entre o Clube de Teatro, o Clube de Música ou o 
Clube de Dança. Além disso, ele deve escolher a equipe de Futebol ou a de Vôlei. Quantas 
escolhas diferentes o aluno pode fazer?
Questão 1) Uma pizzaria oferece as seguintes opções de sabores de pizza: frango, calabresa, 
presunto e vegetariana. Além disso, a pizzaria oferece três tamanhos de pizza: pequeno, médio e 
grande. Quantas composições diferentes de pizza podemos criar?
Questão 6) (Enem 2022) Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais 
de 1 000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor 
do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em 
relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e 
bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais 
disponíveis.
Questão 3) Uma loja de doces oferece 4 sabores de sorvete (chocolate, morango, baunilha e 
creme) e 3 coberturas (calda de chocolate, calda de caramelo e chantilly). Quantas combinações 
diferentes de sorvete com cobertura é possível elaborar na loja?
LISTA DE EXERCICIOS- 01
Unimontes - Curso de Matemática - Professor Paulo Roberto - Unimontes 2024
66 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
Questão 9) Quantos números naturais pares ou múltiplos de 5, com 3 algarismos distintos, podem 
ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5, 6, 8, 7 e 9?
Questão 14)Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos 
distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 74631 será:
Questão 10) (UFMS-RS) Num acidente rodoviário, após ouvir várias testemunhas, conclui-
se que o motorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituída de 2 
vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 
5. Isso não facilitou o trabalho de polícia, pois o número de placas suspeitas é de:
Questão 13) (UEPG-PR) Um trem éconstituído de uma locomotiva e cinco vagões distintos, 
um dos quais é um vagão-restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que 
o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de 
modos diferentes em que a composição pode ser montada é igual a:
a) 10 800 b) 10 080 c) 8 100 d) 1 080 e) 524
Questão 11)Um hacker sabe que a senha de acesso a um arquivo secreto é um número 
natural de quatro algarismos distintos. Com o objetivo de acessar esse arquivo, o hacker 
programou o computador para testar, como senha, todos os números naturais nessas 
condições. O computador vai testar esses números um a um, demorando 5 segundos em 
cada tentativa. O tempo máximo para que o arquivo seja aberto é de quantas horas?
A)56 B)120 C)720 D)2401 E)6720
a)270 b)210 c)180 d)90 e)60
Questão 17)(FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e 
terminam por vogal é:
a)24 b)48 c)96 d)120 e)144
Questão 15)(UTFPR) O número de palavras código de 5 letras que podem ser formadas 
com as letras a, b, c, d, e, f, g, h, sem que nenhuma letra possa ser repetida, é:
Questão 12)(UFPR) –Dentre todos os números de quatro algarismos distintos formados 
com os algarismos pertencentes ao conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, quantos são divisíveis por 
2?
a)18 b)96 c)120 d)360 e)600
Questão 16)Uma prova de matemática deve ter apenas 6 questões escolhidas entre 5 
questões de álgebra, 4 de geometria e 3 de trigonometria. Um aluno pretende escolher 3 
de álgebra, 2 de geometria e 1 de trigonometria. O número de provas que esse aluno 
poderá montar é:
formas ele poderá escolher as empresas? 
a)De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas entre as 10?
b)Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, 
de quantas
Questão 18)(FGV-SP) Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 
empresas para a compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S.
Unimontes - Curso de Matemática - Professor Paulo Roberto - Unimontes 2024um rádio de lobo inscrito com 55 incisões, com idade aproximada 
de 30 mil anos. 
8 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 Em 1927, foram escavados no Abri Cellier ossos com entalhes com uma idade 
estimada em 24 mil anos. À direita da Figura 2b tem-se um osso de ave, gravado com 
duas séries de incisões; outro osso, à esquerda, apresenta uma série de incisões. 
(BOYER; MERZBACH, 2012). 
O “adorador” é uma figura em marfim de mamute, com 30 mm comprimento, 14 
mm de altura e 4,5 mm de espessura, como se vê na Figura 2c. Pode representar uma 
criatura híbrida em atitude de adoração. As filas de pontos no verso podem representar 
observações astronômicas ou calendáricas. Os cerca de 49 pontos no verso estão 
arranjados em quatro filas de 13, 10, 12 e 13 pontos; nos lados há um total de 
aproximadamente 30 incisões em grupos de 6, 13, 7 e 13. Foi escavado em 1979 e é 
datado de, aproximadamente 35 a 32 mil anos. 
 Algumas interpretações de talhas como calendários lunares podem ser 
observadas: 
 
� Na Figura 2d, consta uma placa óssea de Abri Lartet (Dordonha), 
contendo na face 118 marcas e no verso 90, correspondendo a um registro 
de onze meses; 
� Na Figura 2f, um bastão de Isturitz, registrando provavelmente em uma 
das faces 4 e nos outros 5 meses lunares; 
� Na Figura 2e, o osso de águia de Le Placard (Dordonha), contendo cada 
lado aparentemente seis meses lunares, totalizando um ano lunar. 
 
No sítio de Mezin (Ucrânia), foram encontrados, em 1908, ossos de mamute com 
incisões, como mostra a Figura 2g, datando de 29 a 15,1 mil anos atrás. 
 É importante mencionar que a técnica de entalhes não se limitou ao continente 
europeu. Na Austrália, encontramos objetos de pedra denominados cylcon, como pode 
ser visto na Figura 2h, contendo entalhes paralelos, provavelmente empregados para 
contar emus, guerreiros mortos, etc. A mais antiga pedra cylcon encontrada em um 
contexto arqueológico datável tem uma idade aproximada de 20 mil anos. 
 
9Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
De acordo com Boyer e Merzbach (2012), acredita-se que o desenvolvimento da 
linguagem tenha sido essencial para o surgimento do pensamento matemático abstrato 
e que as palavras que exprimem ideias numéricas apareceram lentamente. É provável 
que os sinais para números tenham surgido antes das palavras para eles, pois é mais 
fácil fazer incisões em um bastão do que estabelecer uma frase bem formulada para 
identificar um número. 
 É possível perceber a demora no desenvolvimento da linguagem para exprimir 
abstrações como o número no fato de que as expressões verbais numéricas primitivas 
invariavelmente se referem a coleções concretas específicas, como “dois peixes” ou “dois 
bastões”, e, mais tarde, uma dessas frases seria adotada para indicar todos os conjuntos 
de dois objetos. Essa tendência do desenvolvimento da linguagem do concreto para o 
abstrato ainda pode ser percebida em muitas medidas de comprimento usadas 
atualmente; por exemplo, a altura de um cavalo é medida em “palmos”, e as palavras 
“pé” e “ell” (ou elbow, cotovelo) também derivam de partes do corpo (BOYER; 
MERZBACH, 2012). 
A distinção entre conceitos abstratos e repetidas situações concretas levou 
milhares de anos para ser descoberta pelo homem, o que demonstra a complexidade 
para o estabelecimento de fundamento para a matemática. Muitas perguntas relativas à 
origem da matemática ainda não foram respondidas; enquanto há argumentos de que ela 
10 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
tenha surgido em resposta a necessidades práticas, há outros afirmando que ela surgiu 
da conexão com rituais religiosos primitivos (BOYER; MERZBACH, 2012). 
O número inteiro é o mais antigo da matemática. A noção de fração, por outro 
lado, surgiu tarde e não estava relacionada com os sistemas para os inteiros. 
Aparentemente, para as tribos primitivas, as frações não eram necessárias e, para 
questões quantitativas, o homem prático pode escolher unidades suficientemente 
pequenas, podendo dispensar as frações (BOYER; MERZBACH, 2012). Pode-se afirmar 
que o desenvolvimento das frações não foi um produto da Idade da Pedra, mas com as 
culturas mais avançadas desenvolvidas, durante a Idade do Bronze, pode ter surgido a 
necessidade de utilizá-las (BOYER, 1996). 
Aragão (2009) destaca que, embora o conceito de número seja recente, há 
muitos milênios os seres humanos os utilizavam, representavam e combinavam, por meio 
de operações. Os números eram utilizados não apenas para contar, mas para medir 
grandezas, indicar direções e posições no espaço, etc. 
Em matemática, a definição de contagem é o ato de determinar um número de 
elementos de um conjunto (finito), e existem evidências arqueológicas que possibilitam 
concluir que o processo de contar tenha sido utilizado há mais de 50 mil anos por culturas 
primitivas para acompanhar os dados econômicos e sociais, como: 
� Quantidade de membros do grupo, das presas, etc.; 
� Propriedades e dívidas. 
 
O princípio de contagem levou ao desenvolvimento da notação matemática, dos 
sistemas numéricos e da escrita atual. Ela ainda pode ocorrer de várias formas, por 
exemplo, verbalmente, falando cada número em voz alta (ou mentalmente) para 
acompanhar o progresso, utilizado com frequência para contar objetos presentes em vez 
de uma variedade de coisas no decorrer do tempo (horas, dias, semanas, etc.). Também 
pode ser por meio de marcações, com base de contagem unitária, registrando uma marca 
para cada objeto e contando seu total, o que é útil quando se deseja contar objetos ao 
3 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
11Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
longo de períodos, como o número de ocorrências de algo durante um dia. A contagem 
usual é realizada em base decimal, já os computadores usam base binária (zeros e uns). 
A realização da contagem permite determinar a quantidade de elementos de 
determinado conjunto, por exemplo, o censo demográfico, que, por meio dela, sabe o 
número de elementos dos seguintes conjuntos: 
 
� Quantidade de pessoas que vivem em determinado estado ou cidade; 
� Quantidade de pessoas do sexo masculino e do feminino que vivem em 
determinado lugar. 
 
Estar diante desse princípio é como encarar uma situação na qual avaliar as 
possibilidades de uma escolha e suas possíveis consequências torna-se necessário. 
 Por exemplo, considere que você deseja comprar um carro e que há 4 cores 
disponíveis: preto, prata, vermelho e branco; também existem 3 potências para o seu 
motor: 1.0, 1.5 e 2.0; além disso, há a possibilidade de ele ser com 2 ou 4 portas. Logo, 
quais são as possibilidades de montagem para esse carro? Conforme Santos, Mello e 
Murari (2008, p. 39), frente a uma típica situação que utiliza o princípio fundamental da 
contagem, 
 
[…] quando um evento é composto por m maneiras diferentes, e se para cada 
uma dessas m maneiras possíveis de ocorrência desse evento houver outro que 
pode ser realizado de n maneiras distintas, então, o número de maneiras 
possíveis de ocorrerem ambos os eventos é o resultado do produto entre m e n. 
 
Retornando para a situação inicial da montagem do carro, as possibilidades 
referentes à composição desse automóvel são dadas pela multiplicação entre as 
maneiras de se escolher cada um dos eventos, ou seja: opções de cores × opções de 
potência de motor × opções de quantidade de portas, logo o cálculo será dado por: 
4 × 3 × 2 = 24 
 
Assim, há 24 possibilidades de composições para esse carro perante as 
condições estabelecidas, de modo geral, problemas dessa natureza são resolvidos pelo 
12 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
princípio fundamental da contagem, que é aplicado multiplicando o número de opções 
entre as escolhas disponíveis. 
 
Há , o primeiro envolve e, o segundo, dois princípios básicos de contagem adição
multiplicação. 
Princípio da Regra da Soma: Suponha que algum eventoE possa ocorrer de m 
maneiras e um segundo evento F possa ocorrer de n maneiras. Suponha também que 
ambos os eventos não podem acontecer simultaneamente. Então E ou F podem ocorrer 
de m + n maneiras 
Princípio da Regra do Produto: Suponha que existe um evento E que possa 
ocorrer de m maneiras e, independentemente deste, há um segundo evento F que pode 
ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer de mn maneiras. 
(BOYER; MERZBACH, 2012). 
Os princípios acima podem ser estendidos para três ou mais eventos. Ou seja, 
suponha que um evento E1 possa ocorrer de n1 maneiras, um segundo evento E2 possa 
ocorrer de n2 maneiras e, seguindo E2, um terceiro evento E3 possa ocorrer de n3 
maneiras e assim por diante. Então: 
Regra da Soma: Se nenhum par de eventos pode ocorrer ao mesmo tempo, logo 
um dos eventos pode ocorrer de: 
Regra do Produto: Se os eventos ocorrem um após o outro, então todos os 
eventos podem ocorrer na ordem indicada de: 
 
n1 · n2 · n3 · . . . maneiras. 
 
n1 + n2 + n3 + · · · maneiras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem (PFC): Também conhecido como regra do 
produto, este teorema afirma que se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e 
outro evento independente dele pode ocorrer de n maneiras diferentes, então os dois 
eventos juntos podem ocorrer de m×n maneiras diferentes.
Princípio da Adição: Também chamado de regra da soma, este teorema estabelece 
que se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e outro evento, sendo 
mutuamente exclusivo do primeiro, pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o 
número total de maneiras de ocorrer pelo menos um desses eventos é m+n.
3.1 Princípios Básicos de Contagem
13Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
(a) O número m de maneiras que um estudante pode escolher uma de cada tipo 
de disciplina é: 
m = 3(4)(2) = 24 
(b) O número n de maneiras que um estudante pode escolher apenas uma 
disciplina é: 
n = 3 + 4 + 2 = 9 
 
Há uma dos dois princípios recéminterpretação conjuntista -vistos. 
Especificamente, suponha que n(A) denota o número de elementos em um conjunto A. 
Então: 
(1) Princípio da Regra da Soma: Suponha que A e B são conjuntos disjuntos. 
Logo: 
 
 
(2) Princípio da Regra do Produto: Seja A × B o produto cartesiano dos 
conjuntos A e B. Logo: 
Exemplos
1) No restaurante de uma empresa, há 3 opções de carnes, 5 de guarnições, 4 
de saladas e 2 de sobremesas no cardápio de hoje. Quantas são as possibilidades de 
composição de pratos a serem consumidos? Observe que temos 4 eventos referentes às 
opções do cardápio, e que cada um deles apresenta outras possibilidades de escolha; 
logo, o total de maneiras de montagem será de: 
 
Suponha que uma faculdade tenha três disciplinas diferentes de história, quatro 
disciplinas diferentes de literatura e duas disciplinas diferentes de sociologia. 
As m maneiras de aplicar o produtório de n conjuntos contendo uma quantidade m é i 
finita
n(A × B) = n(A) · n(B)
n1-n32
1
1i mm...mm m = m ´´´´´Õ
=
n
i
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 
14 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
d) 3.888
2^4 * 2^5 = (2*2*2*2 )(3*3*3*3*3)=3888 maneiras.
a) 1.440
e) 4.320
O número total de preços que podem ser representados por esse código é:
b) 2.880
No código de barra-exemplo, acima, as disposições das barras: L1-L2-L3-L1-L3
Solução:
EXEMPLO RESOLVIDO 1) (UFRGS) Para colocar preço em seus produtos, uma 
empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco 
linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis 
e espaços de duas larguras possíveis.
Portanto, pelo princípio multiplicativo, o total de formas possíveis é
c) 3.125
Há 4 espaços fixados, com duas opções de largura, então há 2^4 possibilidades para a 
escolha dos espaços. Além disso, as linhas também são fixadas e cada uma possui 3 
possibilidades de larguras, o que compreende um total de 3^5 possibilidades. Ou seja, o 
total de formas pode ser calculado multiplicando o número de possibilidades para os 
espaços pelo número de possibilidades para as linhas, usando o princípio multiplicativo.
Para os espaços, há 2^4 possibilidades, já que há 4 espaços com 2 opções de largura 
cada. Já para as linhas, há 3^5 possibilidades, já que há 5 linhas com 3 opções de largura 
cada.
Dimensões:
linhas:
L =1 mm - fina1
L =2 mm - média2
L =4 mm - larga3
espaços:
e =6 mm - médio1
e =3 mm - largo2
L2 L3 L1 L3
e1e1 e1e2
L1
1º código: L1-e1-L2-e1- L3-e1-L1-e1-L3
2º código: L1-e2-L2-e1- L3-e1-L1-e1-L3
3º código: L1-e2-L2-e2- L3-e1-L1-e1-L3
4º código: L1-e2-L2-e2- L3-e2-L1-e1-L3
5º código: L1-e2-L2-e2- L3-e2-L1-e2-L3
15Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
fatorial no denominador e numerador, assim, eles são eliminados. Observe essa 
aplicação no exemplo a seguir. 
 
Simplifique os fatoriais: 
 
 
 
O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é denotado por n! e se lê “n 
fatorial” ou “fatorial de n”. Logo, 
Consequentemente, 1! = 1 e n! = n(n − l)!. É também conveniente definir 0! = 1. 
 
Exemplo: 
 
 
 
(c) Para valores grandes de n, usa-se a aproximação de Stirling (onde e = 
2,7128…): 
 
 
 
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n−2)*(n−1)*n = n*(n−1)*(n−2) · . . . · 3 · 2 · 1 
 
1/2 n -nn!= (2pn) n e
16 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
 
 
 
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n−2)*(n−1)*n = n*(n−1)*(n−2) · . . . · 3 · 2 · 1 
Contextualização Histórica do Surgimento da Função Gama e o do Fatorial
A palavra comunica um trabalho que foi realizado. O fatorial de 3 é porque factura 3*2*1 
esses números trabalharam juntos para que o produto numérico deles totalizasse 6. 
O conceito de fatorial (n!) foi organizado pela primeira vez em 1808 por Cristian Kramp 
(1760-1826), a partir das observações de Arborgaste (matemático político francês na época 
da Revolução Francesa), mas a curiosa notação (!) foi cunhada por Francisco de Borja 
Garção (1759-1829). Contudo, desde os anos 200 a 500 dC, um matemático árabe, Sefer 
Yetzirah, já havia apresentado sequência numéricas semelhantes a fatoriais. 
Aparentemente, a notação foi utilizada involuntariamente em um livro daquele autor para 
expressar surpresa ou estupefação por um determinado resultado, mas a “notação” foi bem 
aceita entre os europeus.
O resultado da integração por partes de uma sequência numérica utilizada em uma integral 
especial, denominada FUNÇÃO GAMA:
Como exemplo, fazemos a funão gama de n=1, que terá como resultado 1.
A função Gama de n=2, tem como resultado 2. 
Se fizermos a função gama de 4, o resultado será 3, ou seja,
 
 !)!1()(
0
1 xxdxexn xn =-==G -
¥
-
ò
1)1(
111
)1(
0
0
0
00
11 =--úû
ù
êë
é
--=úû
ù
êë
é
-=-====G
¥
¥
¥-
¥
--
¥
-
òò
eee
edxedxexn
x
xxx
=--+-=====G
¥---
¥
-
¥
---
¥
-
òòò 0
2
0
2
0
13
0
1 )(2)3( xxxxxxn exexedxexdxexdxexn
2)]0(20[)](2[)3( 00202 =--+----¥+¥-==G ---¥-¥-¥- eeeeeen
 
 dxexnnnnn xn -
¥
-
ò=+G=G=
0
1)1()(!
 
 p=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=÷
ø
ö
ç
è
æ
G=÷
ø
ö
ç
è
æ
- -
¥ -
ò
2
0
2
322
2
1
!
2
1
!
2
1
dxex x
curiosidade!
17Problemas de Contagem - Matemática - 2024
1n e ,n 1,*2*3*...*3)-(n*2)-(n*1)-(n*n = n! >ÎN
3.2 Fatorial
18 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
p)!-(n
 n!
, =pnA
Até aqui, estudamos como calcular as possibilidades de um evento, no entanto, 
para esses grupos, não existiam distinções ou ordenamentos para os seus elementos. 
Na análise combinatória, existem subtópicos que abordam e diferenciam a maneira como 
os elementos de um grupo podem ser organizados e/ou constituídos mediante alguma 
especificação. (BOYER; MERZBACH, 2012). 
Os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, onde n ≥ 1, e p é um número 
natural tal que p ≤ n, são todos os agrupamentos de p elementos distintos, que são 
diferentes entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo 
(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
Simbolicamente, a indicação de umarranjo é dada por:
 
Onde: 
n = total de elementos do grupo; 
p = total de elementos por arranjo. 
 
4.1 Arranjos
4. AGRUPAMENTOS
Contexto Histórico
A análise combinatória ganha forma no século XVII, partindo do francês Blaise Pascal, 
depois Fermat, Leibliz e Wallis com intuito de entender a probabilidade em jogos de azar.
200.678.643
(54)!
 54!*55*56*57*58*59*60
6)!-(60
 60!
p)!-(n
 n!
6,60 ====== pnA
Exemplo.
Para comprar um bilhete da Mega-
Sena, temos a possibilidade de 
marcar seis números de um total de 
60. a) Quantos arranjos de bilhetes 
possíveis podem existir, de forma a 
não repetir as sequências e portanto 
gerar um bilhete premiado?
b) Em dezembro de 2023, o prêmio 
estava em 588 milhões. A R$ 5,00 
cada bilhete um apostador deverá 
garantir sua vitória com quanto, 
apostando em cada arranjo?
19Problemas de Contagem - Matemática - 2024
60
(2)!
 !2345
3)!-(5
 5!
p)!-(n
 n!
3,5, =
´´´
==Þ= AA pn
 
 
 
4.1 Arranjos
Seja o conjunto A={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar 
com os elementos de A?
oBS: Arranjos simples 
 .‘o arranjo de 5 elementos tomados de 3 a 3 é igual a 60 agrupamentos’
A ordem dos elementos é considerada. Exemplo 12 e 21 ainda que formados pelos 
mesmos elementos esses agrupamentos são diferentes. Esses agrupamentos são 
denominados ARRANJOS SIMPLES.
Exercícios
a) não há repetição de elementos;
Solução:
Exemplo: Quantos elementos distintos poemos formar com os elementos do conjunto 
B={1, 2, 3, 4, 5}?
Definição 
b) a ordem dos elementos é considerada.
2. Resolver a equação: [A =10 A .x,3 x,2
3. Com os números 0, 1, 2, 5, 6, sem repetir, quantos números compreendidos entre 
100 e 1000 podem formar?
Pode-se dizer que:
Temos os seguintes agrupamentos (seis): 12,13, 21,23, 31,32.
1. Calcular [A - A ]/A .6,2 4,1 5,2
4. Em um campeonato de futebol participam dez clubes, todos com a mesma 
possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes poderemos ter a classificação 
para os três primeiros lugares?
5. Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os 
elementosdo conjunto ? }7/{a primeira carta pode ser escolhida de 52 
maneiras, a segunda de 51, e a terceira de 50 maneiras. Logo, 
 
 
r
fatores nrnnnnnn =××××× )(...,
)!(
!
)1)...(3)(2)(1(),(
rn
n
rnnnnnrnP
-
=+----=
4.3.1 Permutações com repetições - Amostras Ordenadas
25Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são repetidos, n2 são 
repetidos, . . ., nr são repetidos . A fórmula geral é a seguinte: 
 
 
Indicamos a demonstração do teorema acima com um exemplo específico. 
Suponha que queremos formar todas as possíveis “palavras” com cinco letras, usando 
os caracteres da palavra “BABBY”. Existem 5! = 120 permutações dos objetos B1, A, B2, 
B3, Y, onde os três Bs são distinguidos. Observe que as seis permutações a seguir: 
 
 
 
Produzem a mesma palavra quando os subscritos são removidos. O 6 vem do 
fato de que há 3! = 3·2·1 = 6 maneiras distintas para colocar os três B’s nas três primeiras 
posições da permutação. Isso é verdade para cada conjunto de três posições nas quais 
os B’s podem aparecer. Consequentemente, o número de palavras diferentes de cinco 
letras que podem ser formadas, usando as letras da palavra “BABBY” é: 
 
Exemplo: 
 
Encontre o número m de palavras de sete letras que podem ser formadas, 
usando as letras da palavra “BENZENE” (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
Buscamos o número de permutações de 7 objetos, dos quais 3 são indistinguíveis 
(os três E’s), e 2 são indistinguíveis (os dois N’s). Pelo Teorema 5.6, 
 
 
!!...!*!*
!
),...,,,(
321
321
r
r
nnnn
n
nnnnnP =
26 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Segundo SANTOS (2008), tanto no arranjo quanto na permutação, a ordem dos 
elementos organizados faz diferença e é importante. Na ordem de uma fila de crianças, 
por exemplo, a organização Cláudia, Mara e Fernanda é diferente de Fernanda, Mara e 
Cláudia, que, por sua vez, é diferente de Mara, Cláudia e Fernanda, e assim por diante. 
Então, como saber quando a situação-problema é de arranjo ou permutação? É 
bem simples! 
Sempre que o número de objetos a serem organizados for maior que os 
agrupamentos que você precisa fazer, isso será arranjo. Por outro lado, quando o 
agrupamento tiver o mesmo número que a quantidade de objetos que você possui, então, 
será permutação (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
Suponha que você tenha em mãos um baralho, contendo 52 cartas. De quantas 
maneiras diferentes estas cartas podem ser apresentadas, de acordo com a sua ordem? 
Essa resolução será realizada com a permutação, pois você possui 52 cartas a serem 
combinadas em 52 posições distintas. Assim: 
 
 
 
Caso a intenção fosse organizar as cartas desse mesmo baralho, agrupadas de 
duas a duas, quantas seriam as diferentes possibilidades? 
 
4.3.2 Diferenças entre arranjo e permutação
27Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
 
1) Em um pacote de 6 balas, foram colocados 6 sabores diferentes. De quantas 
maneiras distintas as balas, por ordem de sabores, podem ser retiradas do pacote? 
Como as balas poderão ser escolhidas aleatoriamente, não há uma ordem de 
sabores definida. Você sabe que são 6 balas e 6 sabores distintos a serem retirados em 
ordens também distintas. Assim, trata-se de um problema a ser resolvido com 
permutação (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): 
 
Logo, seria possível obter 720 combinações diferentes na ordem dos sabores. 
 
2) Uma operadora de telefones pretende iniciar suas atividades. Atualmente, os 
números de telefones têm 8 dígitos. Para seu funcionamento, foram liberadas quaisquer 
Problemas utilizando arranjo e permutação
28 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
sequências numéricas, desde que o primeiro dígito fosse 5. Quantos números diferentes 
essa operadora poderá disponibilizar para seus clientes? Como o primeiro número da 
sequência, obrigatoriamente, precisa ser 5, resta a organização dos números de 0 a 9, 
em 7 posições diferentes. Resolveremos esse problema com um arranjo de 10 
algarismos, organizados de 7 em 7. 
 
Logo, estariam disponíveis 604.800 combinações numéricas diferentes, com o 
número inicial sendo igual a 5. 
 
3) Uma empresa necessita organizar trios de trabalho para operar três 
equipamentos diferentes, ininterruptamente, durante 30 dias. Considerando que essa 
empresa possua um total de 273 funcionários, de quantas formas diferentes eles podem 
ser organizados, pensando inclusive nas diferentes possibilidades de operação de cada 
um dos equipamentos (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? 
Novamente, você precisa organizar um número de funcionários de maneiras 
diferentes, em grupos menores que o total de pessoas que trabalham na empresa. 
 
Seriam possíveis 20.123.376 trios diferentes, considerando a operação de 
equipamentos distintos. 
29Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
4) Em uma confecção de panos de prato, os lotes produzidos deverão conter uma 
sequência de 3 letras. Quantos lotes poderão ser produzidos até que uma nova forma de 
controlar os lotes seja necessária? Nosso alfabeto possui 26 letras que deverão ser 
distribuídas em 3 posições: 
 
A confecção poderá produzir 15.600 lotes até que uma nova maneira de controlar 
os lotes seja necessária. 
 
 
Combinações são subconjuntos do grupo em que a ordem dos elementos não é 
um fator a ser considerado. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Para calcular uma 
combinação simples de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p é um número natural 
tal que p ≤ n são as escolhas não ordenadas de p desses n elementos, utiliza-se a 
seguinte relação: 
 
4.4 Combinação
30 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Onde: 
n = total de elementos do grupo; 
p = total de elementos por combinação. 
 
Diferentemente do arranjo, na combinação, não se faz presente a ordem entre 
os elementos, não sendo atribuída posição/qualificação/diferença conforme a disposição 
dos elementos do grupo em questão. Assim, estamos diante de uma combinação 
quando, ao obtermos os agrupamentos possíveis, eles permanecem iguais ao se inverter 
a posição dos elementos. 
1) Cinco alunos compõem um grupo de pesquisa que foi selecionado para se 
apresentar em uma feira internacional. No entanto, apenas dois deverão representar essa 
pesquisa. Assim, quantos grupos podem ser formados? 
Note que, para o grupo a ser formado, não existe uma especificação para a 
escolha, assim, estamos diante de um caso de combinação que será resolvido por: 
 
 
 
Logo, podem ser formados 10 grupos diferentes. 
 
2) Um professor resolveu elaborar 18 questões para compor a sua prova, porém, 
constatou que haveria pouco tempo para a sua resolução e propôs aos seus alunos que 
escolhessem 15 das 18 questões disponíveis. De quantas maneiras cada aluno poderá 
realizar essas escolhas? 
31Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Existem 18 questões disponíveis dentre as quais 15 devem ser escolhidas, como 
a ordem de escolha não foi imposta, o resultado é obtido por: 
 
 
 
Logo, cada aluno tem 816 maneiras diferentes de escolher as questões da prova. 
Descoberto por Isaac Newton, o binômio de Newton é útil para o cálculo de 
potência de um binômio do tipo , ou seja, a soma de duas variáveis distintas 
elevada a determinado valor, facilitando a determinação dessa expressão algébrica que, 
quando n for um número pequeno, é de fácil determinação, caso contrário, é um processo 
muito trabalhoso. A seguir, observe o desenvolvimento de alguns binômios: 
 
 
 
Assim, Newton observou que os termos obtidos pelo desenvolvimento de 
obedecem sempre ao mesmo formato, representado pelo somatório (SANTOS; 
MELLO; MURARI, 2008): 
 
Onde o número binomial é representado por:
å
=
- ´÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=+
n
i
inn ba
i
n
ba
0
1)(
in
i ba
i
n
T ´÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= -
+
1
1
5 BINÔMIO DE NEWTON
32 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
Nessa temática, alguns termos recebem uma nomeação especial devido às suas 
características,que podem ser observadas a seguir (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): 
 
� Termo médio ou central: indica o termo que se localiza ao centro perante 
os demais e, se o desenvolvimento ocorrer com um número par, sua 
posição é calculada por 
� Termo independente: é a variável cujo expoente é igual a 0. 
 
Os números binomiais possuem algumas propriedades, ou seja, características 
próprias de sua constituição. 
 
Se os coeficientes binomiais possuem mesmo numerador e a soma dos 
denominadores é igual ao numerador, ou seja, n, p e k ∈ ℕ e p + k = n, logo: 
Estes são chamados de complementares. 
 
Exemplo: 
 
 
A relação de Stifel afirma que, se n, p e k ∈ ℕ e p ≥ p – 1 ≥ 0, então, é valido que: 
 
Exemplo: 
 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
k
n
p
n
÷÷
ø
ö
çç
è
æ +
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- p
n
p
n
p
n 1
1
33Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
O símbolo que se lê “nCr” ou “combinação de n por r”, onde r e n são 
inteiros positivos com r ≤ n, é definido como se segue (SANTOS; MELLO; 
MURARI, 2008):
 
 
Observe que n − (n − r) = r. Isso nos leva à importante relação a seguir: 
 
Motivados por esse fato, definimos 0! = 1. Afinal: 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o sexto termo obtido pela expansão de 
Observe que as informações são: a = a; b = –5b e n = 9, i + 1 = 6, logo, i =5. 
Assim:
 
 
2) Desenvolva a potência descrita por 
Para desenvolver essa potência, é necessário encontrar os termos que a 
compõem. Logo: 
)!(!
!
1*2*3)...2)(1(
)1)...(3)(2)(1(
rnr
n
rrr
rnnnnn
p
n
-
=
--
+----
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
nba
b
n
a
n
r
n
rn
n
=+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
 para 
iin
i ba
i
n
T ´÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= -
+1
9)5( ba -
4)32( xy +
34 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Desse modo, o triângulo de Pascal pode ser representado também pelos 
resultados numéricos obtidos pelo desenvolvimento desse cálculo, como pode ser 
verificado na Figura 2 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 
Esse intrigante dispositivo matemático sempre foi estudado por inúmeros 
cientistas e, por meio dessas análises, chegou-se à conclusão de algumas propriedades. 
 
� O primeiro e o último elemento de cada linha são sempre equivalentes a 
1. 
� Ao longo das linhas do triângulo de Pascal, os elementos distantes uma 
posição dos extremos corresponde aos números naturais, uma vez que: 
� Em toda linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são 
iguais, por isso recebem o nome de números binomiais complementares, 
ou seja:
 
 
 
!
)!(!1
!
11
n
pn
n
n
nn
=
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
 
 
 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
pn
n
p
n
35Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
O triângulo de Pascal corresponde a uma organização de todos os coeficientes 
binomiais em um formato específico. É um triângulo aritmético dividido entre linhas e 
colunas que se inicia pelo número 0, assim, os números binomiais estudados e 
calculados anteriormente são os componentes constituintes e principais desse polígono, 
como apresentado na Figura 1 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 
Um número binomial pode ser calculado por uma combinação, ou seja, 
encontramos o seu resultado pela relação: 
 
 
)!(!
!
pnp
n
p
n
-
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
6 TRIÂNGULO DE PASCAL
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
36 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
� A soma dos termos de cada linha do triângulo de Pascal é uma potência 
de 2, cujo expoente é o próprio número da linha. Essa relação é descrita 
por: 
� A soma dos elementos de qualquer coluna, partindo do elemento até outro 
qualquer, equivale ao elemento localizado na coluna à direita da 
considerada e na linha imediatamente abaixo. 
� A soma dos elementos dispostos na mesma diagonal a partir do primeiro 
elemento da primeira coluna até o de qualquer outra é igual ao elemento 
imediatamente abaixo deste (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
� Resultados obtidos por potências de onze são encontrados a partir dos 
elementos das linhas do triângulo de Pascal; assim, na primeira linha, há 
o resultado 1 equivalente a 11º já na leitura da segunda linha, é encontrado 
o número 11 frutos de 11¹ na terceira linha, a leitura feita é do número 121 
resultados de 11² e assim sucessivamente. 
� Com base na relação de Stifel, todo número que compõe esse triângulo é 
fruto do resultado entre a soma dos dois números localizados acima dele. 
 
 
 
n
n
k k
n
n
nnnn
2...
210 0
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
å
=
37Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Note que, para traçar um quadrado, são necessários quatro pontos distintos, 
logo, ao calcular a combinação desses pontos, é possível determinar o resultado 
almejado. 
 
Assim, 210 quadrados diferentes podem ser construídos a partir dos pontos da 
circunferência. 
Na computação, em geral, várias situações englobando problemas de contagem 
ocorrem. As concepções dessa temática possibilitam o desenvolvimento de linguagens 
de programação, criptografia e software. A seguir, são apresentados alguns exemplos 
relacionados a computação que necessitam das relações estudadas pela análise 
combinatória (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 
Exemplos: 
 
1) Em um sistema computacional que possui cinco unidades de entrada/saída A, 
B, C, D e E e quatro processadores X, Y, Z e W, sabe-se que qualquer unidade de 
entrada/saída pode ser conectada a um processador. Quantas maneiras distintas 
possibilitam a conexão entre uma unidade de entrada/saída a um processador? Note que 
esse problema representa uma situação típica do princípio fundamental da contagem, em 
que a solução é encontrada pela multiplicação entre as possibilidades de cada evento, 
logo: 
 
5 × 4 = 20 
 
Assim, existem 20 possibilidades diferentes de se estabelecer essa conexão 
entre o computador e a unidade de entrada/saída. 
7.2 Computação
38 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Conforme Safier (2011), a análise combinatória consiste na arte de identificar 
uma sequência de possibilidades e contabilizá-la. Logo, perante essa amplitude de 
oportunidades, relacionar esses fundamentos torna-se uma tarefa fácil, uma vez que 
vários ramos da ciência podem estar inseridos nessa dinâmica, conforme demonstram 
os exemplos a seguir. 
Geometria plana é um ramo da matemática que se dedica ao estudo das figuras 
planas e de suas respectivas concepções. Assim, relacionar esses fundamentos aos de 
combinatória possibilita a contagem de quantidade de circunferências possíveis de serem 
construídas, ou ainda, a contabilização de triângulos dada uma quantidade de pontos. 
Observe atentamente as resoluções a seguir e acompanhe essa associação de 
conteúdos da matemática. 
Exemplos: 
 
1) Quantos triângulos distintos podem ser formados utilizando os 14 pontos 
dispostos em um plano? Admita que não existem 3 pontos alinhados. 
Atente-se ao fato de que, para construir um triângulo, são necessários 3 pontos 
quaisquer desde que não se encontrem alinhados. Como a informação é de que esse 
fato não ocorre entre os pontos disponíveis, o total de triângulos pode ser calculado pela 
combinação desses pontos tomados 3 a 3, ou seja: 
 
Assim, é possível concluir que 364 triângulos distintos podem ser formados.2) Sob uma circunferência, são marcados 10 pontos distintos. Quantos 
quadrados distintos podem ser traçados com os vértices nesses pontos? 
7. APLICAÇÃO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA
7.1 Geometria plana
39Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
O espaço amostral, também chamado de universo, é um conjunto que possui 
todos os pontos amostrais de um evento aleatório, por exemplo, quando se referir ao 
experimento lançar uma moeda, ele será formado por cara e coroa. Além disso, como se 
trata de um conjunto, qualquer notação deste pode representá-lo (SANTOS; MELLO; 
MURARI, 2008). 
Assim, o espaço amostral, seus subconjuntos e as operações que o envolvem 
herdam as propriedades e operações dos conjuntos numéricos, por isso, pode-se dizer 
que os possíveis resultados do lançamento de duas moedas são: 
 
Nesse caso, S representa o conjunto de pares ordenados, formados pelos 
resultados dos dois dados. Já o número de elementos de um espaço amostral é 
representado da seguinte maneira: dado o espaço amostral Ω, o número de elementos 
de Ω é n(Ω). 
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os 
resultados possíveis é chamado espaço amostral, que vamos indicar por U ou Ω. 
Veja os seguintes exemplos. 
 
� Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima: U = {cara, coroa}. 
� Lançar um dado e observar a face voltada para cima: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
8.1 Espaço amostral
40 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
2) Uma sequência de caracteres utilizada para indicar palavras, frases ou textos 
na programação de computadores recebe o nome de string, assim, quantos strings de 8 
bits possuem exatamente quatro bits 1’? Para descobrir o resultado, basta calcular a 
combinação desses elementos, ou seja: 
 
Logo, existem 70 possibilidades distintas de constituir strings mediante as 
condições apresentadas. 
A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e 
pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. 
 Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas 
vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, 
no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível, não se pode 
determiná-lo antes de ser realizado e não podemos prever, mas podemos saber quais 
são os possíveis resultados. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome 
de fenômenos aleatórios (ou casuais). 
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que 
buscamos os resultados prováveis, as chances e as probabilidades de um determinado 
resultado ocorrer. 
 
 
8 PROBABILIDADE
41Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral, ou seja, os 
resultados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno. Resultados esses que 
queremos que aconteçam ou não. 
No lançamento de um dado, por exemplo, em relação à face voltada para cima, 
podemos ter os seguintes eventos (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 
� O número é par: {2, 4, 6}. 
� O número é menor que 5: U = {1, 2, 3, 4}. 
� O número é 8: {}. 
 
 
Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos com eventos 
mutuamente excludentes (também chamados de eventos mutuamente exclusivos). Caso 
dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes, no máximo um deles irá ocorrer a 
cada vez que repetirmos o experimento. Por conseguinte, a ocorrência de um evento 
exclui a ocorrência do outro, ou de outros eventos. 
8.2 Eventos
9 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E COMPLEMENTARES
42 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Considerando, por exemplo, dois lançamentos de uma moeda, esse experimento 
tem quatro resultados possíveis: cara/cara, cara/coroa, coroa/cara, coroa/coroa. Esses 
resultados são mutuamente excludentes, uma vez que um, e somente um, deles irá 
ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes. 
Chama-se evento complementar de um evento A e é representado por Ā o 
conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral U que não pertencem ao 
evento A (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
No lançamento de um dado, temos o seu espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Considere os eventos a seguir. 
 
� O evento A: o número obtido é menor que 3. 
� O evento Ā: o número obtido é maior ou igual a 3. 
 
Observe que os eventos A = {1, 2} e Ā = {3, 4, 5, 6}. Estes são complementares, 
pois, A ∩ Ā = { } e A Ā = U, a interseção (o que há de comum entre os conjuntos) entre 
os dois conjuntos resulta em um resultado vazio, visto que os dois conjuntos não 
possuem resultados em comum, e a união (unir todos os elementos dos conjuntos 
envolvidos) entre os dois conjuntos resulta no conjunto espaço amostral U. 
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um 
evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois 
eventos são dependentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento afeta 
a probabilidade de ocorrência do outro evento. 
 Os eventos independentes e dependentes são chamados de com e sem 
reposição, respectivamente. 
Com reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem. 
É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante, portanto, não se altera a 
probabilidade de sorteio do evento seguinte. 
9.1 Eventos independentes e eventos dependentes
43Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha macho para um 
experimento é de? 
No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número 
maior do que 4? 
Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma bola, 
ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da bola sorteada 
seja divisível por 3? 
 Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de que 
a soma dos valores sorteados seja igual a 5? Maria ganhou de João nove pulseiras, 
quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas 
de prata e três de ouro. Ela guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua 
pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema 
com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, 
então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a 
probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que 
ganhou de João é igual a? 
 Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são 
brancas. Qual a probabilidade de, ao retirar duas bolas sucessivamente, sem reposição, 
obtermos a 1ª vermelha e a 2ª branca? 
 Para se calcular as probabilidades de ocorrer determinado evento, como os 
casos apresentados acima, além dos conceitos de espaço amostral, eventos e tipos de 
eventos, apresentados neste capítulo anteriormente, foi preciso saber diferenciar os tipos 
de probabilidade, que veremos adiante: probabilidade de um evento em um espaço 
amostral finito; probabilidade condicional; e probabilidades de eventos independentes. 
Além de sabermos apresentar os cálculos de probabilidade nas 3 maneiras diferentes de 
apresentação: valor fracionário, valor numérico e valor percentual (SANTOS; MELLO; 
MURARI, 2008). 
44 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu conjunto de 
origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte. 
 
Exemplo de evento independente: 
 
Dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados como 
eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito 
algum nas probabilidades de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento 
(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 
Exemplo de evento dependente: 
 
A retirada de duas bolas, sem reposição, de uma urna contendo 20bolas 
numeradas de 1 a 20 são dependentes, pois as probabilidades do resultado da retirada 
da segunda bola estão diretamente ligadas a retirada da primeira bola. Especificamente, 
se na primeira bola retirada saiu a de número 10, e se não houver reposição, com certeza 
não existirá a probabilidade de que, na segunda retirada, a bola 10 apareça, pois esta 
não se encontra mais na urna, ou seja, a primeira retirada afetou completamente as 
probabilidades de retirada da segunda bola. 
 
 
Como se calcular questões e/ou experimentos de probabilidade? Considere uma 
área muito visitada no Museu de Animais. Em um recipiente, existem 12 aranhas, das 
10 CÁLCULO DE PROBABILIDADE
45Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
10.1 Resultados da probabilidade 
Como citado anteriormente, podemos apresentar os resultados obtidos nos 
cálculos de probabilidade de três maneiras diferentes: 
 
Valor fracionário: quando se faz um cálculo de probabilidade, como veremos 
adiante, o primeiro resultado obtido é o fracionário, em que temos um número que fica 
na parte superior da fração, chamado de numerador, e outro valor, na parte inferior da 
mesma fração, chamado de denominador (a/b). 
Exemplo: 
 
Valor numérico: quando acharmos o valor fracionário e realizarmos a divisão 
proposta, ou seja, o numerador (em cima) dividido pelo denominador (embaixo) obterá 
um resultado, que chamaremos de valor numérico. É o resultado da divisão do valor 
fracionário. 
Exemplo: 
 
Valor percentual: ao chegarmos ao valor numérico, podemos transformar 
qualquer um deles em valor percentual, apenas multiplicando o valor por 100 (cem) e 
após colocar o símbolo de porcentagem (%). 
Exemplo: 0,40 × 100 = 40% (quarenta por cento). 
 
Os resultados podem ser apresentados em qualquer uma das três maneiras, isso 
vai depender do que for pedido no enunciado de algum problema/questão/ experimento. 
A probabilidade de um evento em um espaço amostral finito também é conhecida 
como probabilidade clássica. A regra da probabilidade clássica é aplicada para se 
calcularem as probabilidades de eventos a um experimento para o qual os resultados 
sejam igualmente possíveis (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
11 PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
46 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Dado um experimento aleatório, sendo U o seu espaço amostral, vamos admitir 
que todos os elementos de U tenham a mesma chance de acontecer 
Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que: 
 
Todas as possíveis respostas favoráveis (eventos) são divididas por todas de 
respostas possíveis (espaço amostral) (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 
47Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
No início do texto referente ao título Cálculo de probabilidade, apresentamos 
várias questões sobre probabilidade. Vamos aproveitar agora que aprendemos a calcular 
a probabilidade de um evento em um espaço amostral finito (probabilidade clássica) e 
resolvermos estas (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): 
 
1) Considere uma área muito visitada do Museu de Animais. Em um recipiente 
existem 12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha 
macho para um experimento é de quanto? 
Solução: 
No total, existem 12 aranhas no recipiente e todas elas possuem a mesma 
possibilidade de serem sorteadas (espaço amostral) e queremos sortear aranhas- -
macho. Se o problema apresenta que 8 das aranhas são fêmeas, então 4 são machos 
(evento). 
Colocando os valores na fórmula: 
 
 
48 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número 
maior do que 4 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? 
Solução: 
Um dado possui 6 faces numeradas, ou seja, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
possuem as mesmas possibilidades, ao jogarmos o dado, da face desse número cair 
voltada para cima (espaço amostral). O problema pede a probabilidade de sair a face 
para cima de um número maior do que 4. Temos como possíveis respostas os números 
5 e 6 (evento). 
 
Colocando na fórmula: 
 
 
 
3) Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando uma bola, ao 
acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da bola sorteada seja 
divisível por 3? 
Solução: 
Na urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20, em que todas possuem a mesma 
possibilidade de serem retiradas (espaço amostral). O problema quer calcular a 
probabilidade de se retirar uma bola, cujo número seja divisível por 3. Esses números 
são: 3, 6, 9, 12, 15 e 18, ou seja, temos 6 possíveis números que são favoráveis ao que 
o problema está solicitando (evento). 
 Colocando na fórmula: 
 
49Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
4) Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de que 
a soma dos valores sorteados seja igual a 5 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? 
Solução: 
Em primeiro lugar, precisamos calcular o valor do espaço amostral e da 
quantidade de possíveis respostas. Utilizando a operação que foi citada no Fique Atento 
acima, como estamos jogando 3 dados ao mesmo tempo, vamos utilizar a operação: 
 
 
O problema está solicitando as respostas em que a soma de todos os dados ao 
mesmo tempo sejam 5. Vamos achar essas possíveis respostas: (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 
1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) e (2, 2, 1), totalizando 6 possíveis respostas favoráveis. Colocando 
na fórmula: 
 Simplificando, ou seja, dividindo os dois valores por 6, chegamos ao 
valor final 
1
36
 (valor fracionário). A cada 36 vezes que jogarmos os 3 dados ao mesmo 
tempo, 1 das jogadas dará como soma de todos os números o valor 5. 
 
 
 
50 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
A probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com 
base em um anterior e, evidentemente, ambos precisam ser conjuntos não vazios 
pertencentes a um espaço amostral finito. Por exemplo, se no lançamento simultâneo de 
dois dados obtêm-se números em suas faces superiores, qual a probabilidade de que a 
soma desses números seja 8, desde que seus resultados sejam ímpares? Veja que ela 
está condicionada aos resultados ímpares nos dois dados, logo, lançamentos que têm 
um ou dois números pares na face superior podem ser descartados, havendo uma 
redução no espaço amostral (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
O novo espaço amostral é composto dos seguintes pares: 
 
{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}. 
 
Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de se obter 
8 no lançamento de dois dados é de 2/9, considerando que os resultados obtidos são 
ambos ímpares. Para entender melhor a probabilidade condicional, considere um espaço 
amostral S finito não vazio e um evento A de S, se quiser outro evento B desse espaço 
S, a nova probabilidade é indicada por P(B|a), denominada como a probabilidade 
condicional de B em relação ao A. Assim, ela formará um novo espaço amostral, pois 
agora este será A e os elementos do evento B pertencerão a B ∩ A, como você pode ver 
na Figura 2. 
 
12 PROBABILIDADE CONDICIONAL
51Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
Há diversos casos para ilustrar a probabilidade condicional, por exemplo, as 
chances de um bebê nascer menina é um evento A, mas a probabilidade de essa criança 
ter doença celíaca (intolerância ao glúten) se trata de um evento B. Essa situação pode 
ser considerada uma probabilidade condicional, porque a doença celíaca atinge mais 
mulheres do que homens. Se as chances fossem iguais para pessoas dos dois gêneros, 
esses eventos não estariam condicionados e seriam uma probabilidade marginal ou 
incondicional, pois, a possibilidade de que um deles ocorra não influencia na do outro 
(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 Assim, se os eventos forem independentes, a probabilidade não será 
condicional, pois você representa a probabilidade condicional com a seguinteexpressão: 
P (A|B), que se lê “a probabilidade condicional de A em relação a B”. Já a fórmula para 
calculá-la é: 
 
P (A|B) = P(A∩B)/P(B) 
 
Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ocorrerem ao 
mesmo tempo é dada por: 
P(A∩B) = P(A).P(B) 
 
Já se você colocar isso na fórmula da probabilidade condicional, encontrar: 
52 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
P (A|B) = P(A∩B)/P(B) 
P (A|B) = P(A).P(B)/P(B) 
P (A|B) = P(A).P(B)/P(B) 
P(A|B) = P(A) 
 
Portanto, a probabilidade de A ocorrer não se altera. 
Se a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade de 
ocorrência de um evento A, então dizemos que a probabilidade de A está condicionada 
à probabilidade de B e representamos por P(A/B). Lê-se: probabilidade de A dado B 
(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
 A/B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu ou 
que a ocorrência de B esteja garantida (os eventos A e B são dependentes). 
 
 
 
53Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
Resolvendo o problema citado anteriormente: 
 
Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro. 
Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três de ouro. Ela guarda 
todas essas pulseiras, e apenas essas em sua pequena caixa de joias. Uma noite, 
arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma 
pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. 
Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria 
retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a (SANTOS; MELLO; 
MURARI, 2008)? 
Solução: 
54 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Verificamos que a condição é ser uma pulseira de prata, por isso, precisamos 
saber o total de pulseiras de prata que Maria ganhou: 12. 
 Ela quer saber a probabilidade de que essa pulseira que ela está pegando no 
escuro tenha sido dada de presente pelo João. Então, precisamos verificar quantas 
pulseiras de prata João deu de presente: 4. 
Utilizando a fórmula: 
 
 
Dois eventos, A e B, são chamados independentes quando a probabilidade de 
ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro, ou seja 
(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): 
P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A) 
 
Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A 
e B será: 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 
 
 
12.1 Probabilidade de eventos independentes
55Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
Calculando a probabilidade de ocorrer o segundo evento, e sabendo que não 
houve reposição, dentro da urna há 7 bolas (espaço amostral), e queremos sortear, desta 
vez, uma bola branca, sabendo que, dentro dessa urna, há um total de 5 bolas dessa cor 
(evento): 
 
 
 
Calculando a probabilidade de que os eventos ocorram como fora solicitado, 
utilizaremos a fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 
 
 
O teorema de Bayes é uma fórmula matemática usada para o cálculo da 
probabilidade de um evento dado que outro já ocorreu, o que se chama probabilidade 
condicional. Para esse teorema, precisa-se ter alguma informação anterior ou saber que 
determinado evento já ocorreu e qual sua probabilidade. Baseada nessa inferência 
bayesiana, surge a expressão grau de crença, ou a confiança em algum evento anterior 
(SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 
56 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
 
 
Resolvendo o problema citado anteriormente: 
 
Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são 
brancas. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas, sucessivamente, sem 
reposição, sendo a 1ª vermelha e a 2ª branca (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? 
Solução: 
Calculando a probabilidade de ocorrer o primeiro evento, em que dentro da urna 
há 8 bolas (espaço amostral) e queremos sortear uma bola vermelha, tendo, dentro da 
urna, um total de 3 dessa cor (evento): 
57Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a inferência bayesiana, uma 
abordagem particular da inferência estatística. Assim, quando for aplicado, as 
probabilidades envolvidas nele podem ter diferentes interpretações de probabilidade. 
Com a interpretação bayesiana, o teorema expressa como a probabilidade de um 
evento (ou seu grau de crença) deve ser alterada após considerar as evidências sobre 
sua ocorrência. Apesar do pioneirismo, essa abordagem caiu em esquecimento nas 
ciências e foi preterida pela frequentista, que ainda é hegemônica, mas devido ao grande 
aumento na capacidade de processamento dos computadores, a bayesiana renasceu 
com muita força. 
Para calcular pelo teorema de Bayes a probabilidade de um evento A dado que 
um B ocorreu, P(A|B), tem-se a seguinte fórmula: 
 
Em que, 
P(B|A): probabilidade de B acontecer dado que A ocorreu; 
P(A): probabilidade de A ocorrer; 
P(B): probabilidade de B ocorrer. 
 
A inteligência artificial é um campo amplo há muitas décadas, que vem sendo 
impulsionado rapidamente com a informática e a computação. Sua aplicação nos 
sistemas especialistas procura escrever programas que copiem e reproduzam os modos 
como os seres humanos pensam, falam, compreendem e aprendem, elaborando uma 
réplica da inteligência humana e aplicando-a nas diversas áreas da empresa. 
Esses sistemas especialistas aplicam a inteligência artificial nas empresas e, 
segundo O´Brien (2004), situam-se na área da ciência cognitiva, a qual utiliza disciplinas 
como biologia, neurologia, psicologia e matemática para verificar como os seres humanos 
aprendem, criam e desenvolvem as aplicações baseadas no conhecimento com 
14 PROBABILIDADE E INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
58 Problemas de Contagem - Matemática - 2024
 
acompanhamento de um especialista. Trata-se de sistemas que agem e comportam-se 
como um ser humano, utilizados para solucionar problemas em áreas específicas da 
empresa. 
Os dois grandes paradigmas para o desenvolvimento de sistemas especialistas 
em inteligência artificial são o simbólico e o subsimbólico (conexionista). No paradigma 
conexionista, utiliza-se técnicas de redes neurais para representar e solucionar 
problemas em um domínio específico, sendo aplicável aos domínios nos quais a forma 
de raciocínio do especialista não pode ser totalmente explicitada. No simbólico, por sua 
vez, o conhecimento é disposto em uma base de conhecimentos, em que as inferências 
são representadas por meio de regras do tipo SE-ENTÃO. Geralmente, o raciocínio do 
sistema se baseia em uma árvore de decisões, mas nesse caso, o conhecimento do 
especialista deve ser adquirido e representado do modo mais aprofundado possível para 
permitir que o sistema emule seu comportamento. 
 A rede bayesiana trabalha com relações causais quantificadas por valores de 
probabilidade condicional e, segundo Murteira (1990), “a causalidade é a vantagem de 
nossa existência e a desvantagem de nossa matemática. Acreditamos em causalidade 
em nossas interações com a realidade, mas é difícil capturá-la em nossos modelos”. 
Portanto, considerando que a causa precede o efeito, é fundamental ter um processo 
unidirecional para modelar a causalidade se B causa A, então B ocorre antes de A. Já no 
contexto da lógica clássica, a implicação não capta uma relação causal por problemas 
de falta de direcionalidade, em que (B->A) é equivalente a (]B->]A), assim não permite 
que a causalidade seja modelada. 
As redes bayesianas são compostas de duas partes complementares: uma 
qualitativa e outra quantitativa (GAAG, 1996). A parte qualitativa é um modelo gráfico 
(grafo acíclico direcionado), em que as variáveis incluem os nodos e as regras, relações 
de dependência entre elas, chamadas de arcos direcionados. Assim, um arco ligando as 
variáveis A e B (na forma A->B) indica que a variável B é a consequência e a variável A 
se trata