Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo- Tópico 3

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LEI DE GAUSS, 
POTENCIAL 
ELÉTRICO E 
ENERGIA 
ELETROSTÁTICA 
 
 
 
Hugo de León Carvalho Cedro 
 
 
 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
2 
 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula LEI DE GAUSS, POTENCIAL ELÉTRICO E 
ENERGIA ELETROSTÁTICA. Nesta aula vamos realizar uma abordagem 
diferente para calcular o campo elétrico quando estamos lidando com situações 
nas quais a distribuição das cargas permite utilizar uma abordagem chamada 
criada por Gauss e que leva seu nome. Posteriormente vamos entender o que é o 
potencial elétrico, como ele se relaciona com a distribuição de cargas no espaço e 
qual a sua relação com a energia, chamada energia eletrostática. 
 
INTRODUÇÃO 
 De acordo com a apresentação da distribuição das cargas elétricas 
(unidimensional, bidimensional ou tridimensional), diferentes efeitos dessa distribuição 
podem ser observados, assim como diferentes maneiras podem ser utilizadas para 
determinar a intensidade das forças atuantes em determinado ponto. Vamos iniciar esta 
aula com uma abordagem diferente para o cálculo do campo elétrico, agora, baseado na 
distribuição contínua de cargas utilizando os conceitos de densidade de carga elétrica em 
função do tipo de distribuição, linear, superficial ou volumétrica. Em seguida vamos 
determinar o que é o potencial elétrico e como ele se relaciona com a energia envolvida 
nos problemas eletrostáticos, chamada energia eletrostática. Assim, será possível 
determinar em diversos pontos do espaço o potencial elétrico envolvido em função de 
uma distribuição de cargas elétricas. 
 
LEI DE GAUSS 
 As linhas de campo elétrico são um indicativo da intensidade desse campo em 
determinada região do espaço, mas também indicam a direção e sentido do campo 
elétrico, assim, podemos pensar que existe uma “quantidade” de campo elétrico que 
atravessa uma superfície delimitada, através desse conceito vamos iniciar nossa discussão 
da lei de Gauss. 
 Se pensarmos em uma superfície, de forma qualquer, poderíamos calcular a área 
dessa superfície utilizando o cálculo integral, e para isso chamamos cada elemento de 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
3 
área de dA. Podemos ainda pensar que essas áreas de superfície estão orientadas em 
função de um vetor unitário que é ortogonal a essa superfície. Para tal, imagine a folha 
 de um caderno, se atravessamos um lápis de forma ortogonal a folha, esse lápis seria o 
vetor unitário e a ponta dele mostra a direção e o sentido dessa área. 
 Esse conceito é importante para calcularmos a quantidade de campo elétrico que 
atravessa uma superfície, visto que essa travessia ocorre em função de uma direção e 
sentido. De modo análogo a quantidade de fluido que passa por uma superfície, podemos 
entender essa quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície como o fluxo de 
campo elétrico. 
 O fluxo de campo elétrico é dado pela multiplicação do vetor campo elétrico pela 
área, então quando o vetor campo elétrico e o vetor ortogonal associado a superfície são 
paralelos, temos: 
𝜙 = 𝐸. 𝐴 
(3. 1) 
 Onde 𝜙 representa o fluxo elétrico, E o campo elétrico e A a área associada. 
Quando a superfície que estamos analisando está inclinada em relação a 
horizontal, temos uma situação na qual o fluxo de campo elétrico não é o mesmo visto 
que o vetor unitário associado é ortogonal. Assim precisamos encontrar uma expressão 
que forneça esse fluxo de modo semelhante, e vamos realizar esse cálculo através do 
somatório das contribuições do campo elétrico que se encontram paralelas ao vetor área 
dA. Assim, temos: 
𝑑𝜙 = �⃗� . 𝑑𝐴 
(3. 2) 
𝜙 = |�⃗� |. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝐴 
(3. 3) 
 O que nos leva a integral de superfície: 
𝜙 = ∫ �⃗� . 𝑑𝐴 
(3. 4) 
 É importante perceber que a expressão que fornece o fluxo de campo elétrico 
através de uma superfície é dada por um produto escalar entre o vetor área e o vetor 
campo elétrico, dessa forma o valor do fluxo depende da direção desses vetores, como 
exemplo, vamos calcular o fluxo elétrico quando o vetor campo elétrico é E= (10 i+ 50 j) 
e o vetor área é da forma dA j. 
𝜙 = ∫ �⃗� . 𝑑𝐴 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
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𝜙 = ∫(10𝑖 + 50𝑗). 𝑑𝐴𝑗 
𝜙 = ∫(0𝑖 + 50𝑑𝐴𝑗) 
𝜙 = ∫(50𝑑𝐴𝑗) 
𝜙 = 50𝐴 (Nm²/C) 
 Se a área dessa face possui 2 m², o valor do fluxo é: 
𝜙 = 100 (Nm²/C) 
 Agora vamos imaginar uma superfície fechada na qual identificamos determinado 
fluxo elétrico, um cubo pode ser um exemplo de superfície fechada, vamos imaginar que 
o cubo está alinhado a uma página de livro, então a página e duas das faces do cubo são 
paralelas, visto que uma face está na mesma posição da página, a nossa vista, e a outra 
não está visível, visto que a primeira face esconde a segunda. 
 Com isso imagine um fluxo elétrico que entra de forma ortogonal à página desse 
livro, então esse fluxo entra no cubo pela face que estamos vendo e sai pela face oposta 
(que não vemos). 
 Partindo dos vetores (vetor área e vetor campo elétrico), podemos medir o ângulo 
entre eles, com esse ângulo será possível calcular o fluxo elétrico através dessa superfície. 
A partir do ângulo podemos definir o valor do fluxo elétrico e o seu sinal, em função do 
valor do cosseno do ângulo entre os dois vetores. 
 Em geral, o vetor área aponta de forma positiva para fora da superfície fechada, 
assim, quando o vetor área e o vetor campo elétrico apontam em direções diferentes, 
sendo que o vetor campo elétrico aponta para dentro da superfície e o vetor área para fora, 
vemos que o ângulo entre eles é de 180°, calculando o cosseno de esse ângulo temos o 
valor de -1, assim o valor do fluxo elétrico é negativo. 
 Quando os vetores apontam na mesma direção, ou fazem um ângulo menor que 
90° entre si, vemos que o valor do cosseno desse ângulo é positivo, com isso, temos um 
valor positivo. 
 Assim, vemos que quando os vetores possuem a mesma direção e sentido, ou 
ângulo menor que 90° o fluxo elétrico que passa pela superfície é positivo. Quando os 
vetores possuem mesma direção e sentidos opostos, ou ângulo maior que 90°, temos um 
fluxo elétrico negativo. 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
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 Caso o ângulo seja de 90°, ou algum múltiplo de 90°, situação que não está 
incluída na discussão acima, temos que op valor do cosseno desse ângulo é 0, assim 
vemos que não existe fluxo elétrico através dessa superfície. É fácil perceber que se o 
fluxo está tangenciando uma superfície do cubo, ou se esse fluxo passa através de uma 
face de forma paralela, não existe um fluxo elétrico efetivo através a superfície, de forma 
matemática, temos esta situação dada pelo cosseno de 90°, que vale 0, consequentemente 
o valor do fluxo é nulo. 
 Ainda utilizando esse cubo, vamos analisar o fluxo elétrico através de suas faces, 
quando analisamos as faces superior, inferior, direita e esquerda, pela discussão realizada, 
lembrando que o fluxo está na direção ortogonal à folha de leitura e entrando nela, vemos 
que o vetor área é ortogonal a todas essas faces, quanto ao vetor campo elétrico, este é 
paralelo a todas as faces, consequentemente, ele é ortogonal aos vetores campo elétrico, 
o que nos permite identificar que o ângulo entre eles é 90°. 
 Se o ângulo entre os vetores é 90°, o valor do cosseno é 0, consequentemente o 
fluxo é nulo. Agora, analisando a face por onde o fluxo entra no cubo, percebemos que o 
ângulo entre eles é de 180° visto que cada vetor aponta em um sentido na mesma direção, 
portanto, o valor desse fluxo é negativo. Para o fluxo da face oposta, que não podemos 
ver, o fluxo sairá, visto que entrou por uma face e segue a mesma direção e sentido, 
consequentementesai na outra face. Como o fluxo elétrico sai na outra face, ele possui a 
mesma direção e sentido do vetor área, que também aponta para fora, assim, o fluxo 
elétrico é positivo. 
 Para determinar o fluxo elétrico total através da superfície do cubo, precisamos 
somar as contribuições em todas as suas faces, temos que 4 faces possuem valor nulo, as 
outras duas possuem o valor EA e -EA. Assim, o fluxo total é nulo, como segue: 
Equação somando todas as contribuições 
 A partir de agora, podemos efetivamente falar sobre a lei de Gauss, para isso 
vamos precisar do conceito de fluxo elétrico, carga envolvida e superfície gaussiana. Uma 
superfície gaussiana é uma superfície fechada que envolve uma distribuição de cargas, 
assim, ela pode assumir algumas formas, quanto maior a simetria dessa forma, mais 
simples será a resolução do problema. A carga envolvida, é aquela que está contida dentro 
da superfície gaussiana. 
 A lei de Gauss tem como fundamento relacionar o fluxo elétrico com a carga 
envolvida pela superfície, assim podemos escrever que: 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
6 
0 ∮�⃗� . 𝑑𝐴 = 𝑞 
(3. 5) 
 Que pode ser escrito na forma: 
∮�⃗� . 𝑑𝐴 =
𝑞
0
 
(3. 6) 
 Ainda, sobre a carga envolvida, vemos que ela é a soma de todas as cargas, dessa 
forma pode assumir diferentes valores, e esses valores estão diretamente relacionados ao 
fluxo elétrico, se o somatório é positivo, temos um fluxo elétrico para fora da superfície, 
caso seja negativo, temos um fluxo elétrico que aponta para dentro da superfície, por fim, 
se esse somatório é nulo, não há fluxo elétrico. 
 Algumas simetrias podem ser utilizadas para realizar o cálculo do campo elétrico 
quando conhecemos a carga envolvida na situação. Se temos uma única carga elétrica 
puntiforme, para calcular o campo elétrico em determinado ponto, basta conhecer o valor 
dessa carga a distância desse ponto. 
 Podemos para esta situação utilizar uma superfície gaussiana esférica, visto que 
temos uma carga puntiforme e a simetria da esfera nos permite realizar essa relação. Para 
que esta situação possua simetria vamos considerar que a carga está localizada 
exatamente no centro dessa esfera, assim o campo elétrico gerado é simétrico em qualquer 
posição da esfera. 
 Lembrando que essa esfera é uma superfície fechada que representa a superfície 
gaussiana, assim, através dela podemos calcular o campo elétrico gerado pelas cargas 
envolvidas no problema como segue: 
∮ �⃗� . 𝑑𝐴 = ∮(�⃗� 1 + �⃗� 2 + �⃗� 3 + ⋯+ �⃗� 𝑛). �̂�𝑑𝐴 
(3. 7) 
∮(�⃗� 1 + �⃗� 2 + �⃗� 3 + ⋯+ �⃗� 𝑛). �̂�𝑑𝐴 = 
𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 + ⋯+ 𝑞𝑛
0
 
(3. 8) 
 Assim, temos que esse somatório está relacionado a diversas cargas puntiformes, 
de modo geral temos: 
∮ �⃗� . 𝑑𝐴 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
0
 
(3. 9) 
 Que relaciona toda a carga envolvida na situação ao campo elétrico. 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
7 
 Analisando a questão da área envolvida e do campo elétrico, vemos que a área da 
superfície gaussiana será dada pela área de uma esfera, tomando o módulo do campo 
elétrico, sabemos que este não varia ao longo da simetria dessa esfera, então temos: 
∮ �⃗� . 𝑑𝐴 = 𝐸 ∮𝑑𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟2) 
(3. 10) 
𝐸(4𝜋𝑟2) =
𝑞𝑒𝑛𝑣
0
 
(3. 11) 
𝐸 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
4𝜋0𝑟2
 
(3. 12) 
Assim, percebemos que encontramos a mesma expressão para o campo elétrico 
que foi identificada anteriormente, mas agora conseguimos essa relação através da lei de 
Gauss com uma superfície gaussiana de simetria esférica. 
Vamos analisar a seguinte situação, temos uma partícula com carga elétrica de 
5𝑒𝜋0, queremos identificar o módulo do campo elétrico gerado por essa partícula a uma 
distância r=10 m. Utilizando a lei de Gauss com simetria esférica facilmente identicamos 
que: 
𝐸 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
4𝜋0𝑟2
= 
5𝑒𝜋0
4𝜋010²
=
5𝑒
400
 
𝐸 =
𝑒
80
 𝑁/𝐶 
 Agora, vamos supor que uma casca carregada com −155𝑒𝜋0 distante de 9m da 
partícula central, especificada no exemplo anterior, envolve esta carga, queremos 
identificar o campo elétrico a uma distância de 10 m da partícula central. O primeiro passo 
é identificar a carga envolvida, que é dada pela soma de todas as cargas (com sinal): 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 5𝑒𝜋0 − 155𝑒𝜋0 = −150𝑒𝜋0 
𝐸 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
4𝜋0𝑟2
= 
−150𝑒𝜋0
4𝜋010²
=
−150𝑒
400
 
𝐸 = −
3𝑒
4
 𝑁/𝐶 
 Ainda, pode ser necessário utilizar os conceitos de densidade de carga para 
calcular a carga envolvida na situação e para isso, vamos reforçar as densidades de carga. 
Temos: 
A densidade volumétrica de carga: 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
8 
𝑑𝑞
𝑑𝑉
= 𝜌 → 𝜌 =
𝑞
𝑉
 
 Quando distribuída sobre uma superfície, a densidade superficial de carga: 
𝑑𝑞
𝑑𝐴
= 𝜎 → 𝜎 =
𝑞
𝐴
 
 A densidade linear de carga: 
𝑑𝑞
𝑑𝑙
= 𝛾 → 𝛾 =
𝑞
𝑙
 
 As relações acima podem ser utilizadas para identificar o valor da carga envolvida 
no problema. 
 
POTENCIAL ELÉTRICO E ENERGIA ELETROSTÁTICA 
 De forma semelhante a energia potencial gravitacional, existe uma energia 
potencial elétrica que pode ser associada a força elétrica, deste modo, as forças elétricas 
são forças conservativas. 
 É possível definir o potencial elétrico como a energia por unidade de carga, dada 
da seguinte forma: 
𝑉 =
𝑈
𝑞
 
(3. 13) 
 Onde V é o potencial elétrico e U a energia potencial elétrica. Analisando as 
unidades, percebemos que o potencial elétrico é dado em J/C, mas também é possível 
escrever esse potencial com a unidades V, onde V representa Volt. Então, identicamos 
que 1 J/C é igual a 1 V. 
 Quando pensamos em energia potencial, é interessante analisar a diferença entre 
essas energias em relação a dois pontos, ou a diferença de potenciais, pois em geral o que 
nos interessa é o valor dessa diferença. Se temos uma diferença de potencial dada pelas 
energias, vemos que: 
𝑉1 =
𝑈1
𝑞
 ; 𝑉2 =
𝑈2
𝑞
 
 Assim: 
∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 
(3. 14) 
∆𝑉 =
𝑈2
𝑞
−
𝑈1
𝑞
 
(3. 15) 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
9 
 Que pode ser escrito como: 
∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞
 
(3. 16) 
 Quando analisamos a diferença de potencial, é possível identificar que essa 
diferença é igual ao negativo do trabalho. Temos: 
∆𝑈 = −𝑊 
(3. 17) 
 Onde W representa o trabalho. Assim, a diferença entre as energias potenciais 
final e inicial, nos leva a seguinte definição: 
∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 =
∆𝑈
𝑞
= −
𝑊
𝑞
 
(3. 18) 
 Desta forma, a diferença de potencial é igual ao negativo do trabalho que a força 
elétrica realiza para deslocar uma partícula de um ponto A para um ponto B, dividido pela 
carga. 
Da relação acima, conseguimos identificar que a energia potencial envolvida no 
problema é dada por: 
∆𝑈
𝑞
= ∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 
(3. 19) 
∆𝑈 = 𝑞∆𝑉 = 𝑞(𝑉2 − 𝑉1) 
(3. 20) 
 Agora, vamos observar algumas relações que podem ser identificadas entre a força 
elétrica, o trabalho, a energia potencial elétrica e o potencial elétrico. 
 Se considerarmos um campo elétrico que aponta para o centro da terra, ou seja, 
possui direção e sentido para o centro de uma esfera (aproximadamente), podemos 
calcular a variação da energia potencial e o potencial elétrico. Se o módulo do campo 
elétrico é de 100 N/C, podemos calcular a variação dessa energia que é necessária para 
que um elétron se mova por 200m na direção desse campo. 
 Observe que o trabalho é dado pela relação do produto escalar entre os vetores 
força e distância como segue: 
𝑊 = 𝐹 . 𝑑 
(3. 21) 
 Como a força é elétrica, sabemos que: 
𝐹 = 𝑞. �⃗� 
(3. 22) 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
10 
 Assim, o trabalho é dado por: 
𝑊 = 𝑞. 𝐸. 𝑑. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
(3. 23) 
Para resolução desta situação, precisamos conhecer a direção na qual o elétron se 
move, visto que o ângulo envolvido é aquele formadoentre o campo elétrico e o 
deslocamento. Como o elétron se move no sentido oposto ao do campo elétrico, vemos 
que o ângulo formado entre os vetores é de 180°, assim: 
𝑊 = −𝑒. 100.200. cos (180) 
𝑊 = −𝑒. 20000. (−1) 
𝑊 = 20000𝑒 
 Considerando e como 1,602. 10-19, temos: 
𝑊 = 20000.1,602. 10−19 
𝑊 = 3,204. 10−15 𝐽 
 
 Da relação ∆𝑈 = −𝑊, podemos calcular a energia potencial envolvida, como 
segue: 
∆𝑈 = −𝑊 = −3,204. 10−15 𝐽 
 Para calcular o potencial elétrico, utilizamos: 
∆𝑉 =
∆𝑈
𝑞
=
−3,204. 10−15 𝐽
−1,602. 10−19
 
∆𝑉 = 20000 𝑉 
∆𝑉 = 20 𝑘𝑉 
Para finalizar, existe uma expressão semelhante a do campo elétrico e da força 
elétrica utilizada para calcular o potencial de uma distribuição discreta de partículas, 
expressão que será apresentada sem demonstração, mas que pode ser deduzida facilmente 
pela integração da combinação das equações 3.16, 3.17 e 3.23. O que nos leva a um valor 
escalar, que é o potencial elétrico que pode ser calculado através da expressão: 
𝑉(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑞
𝑟
 
(3. 24) 
 
Através dessa expressão é possível calcular o potencial elétrico em ponto do 
espaço para diversas cargas. É válido lembrar que o potencial elétrico é um escalar, não 
um vetor como o campo elétrico e a força elétrica, para uma distribuição discreta de 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
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cargas é possível realizar a soma dos valores (escalares) do modo tradicional, para isto a 
expressão acima pode ser escrita como: 
𝑉(𝑟) = ∑
1
4𝜋0
𝑞𝑘
𝑟𝑘
𝑁
𝑘=1
 
(3. 25) 
 
RESUMO 
O primeiro objetivo desta aula foi descrever de um modo mais simples como é 
possível calcular o campo elétrico utilizando uma expressão baseada em simetrias, 
conhecida como lei de Gauss que utiliza superfícies fechadas chamadas de superfícies 
gaussianas. 
∮�⃗� . 𝑑𝐴 =
𝑞
0
 
 Em seguida identificamos o que era o potencial elétrico e como ele se relaciona 
com a energia potencial elétrica, de forma matemática definimos esse potencial como: 
𝑉 =
𝑈
𝑞
 
 Por fim, nosso objetivo final foi descrever o potencial elétrico para uma 
distribuição de cargas, no caso de distribuições discretas podemos expressar esse 
potencial como: 
𝑉(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑞
𝑟
 
 
 
 
 
 Lei De Gauss, Potencial Elétrico E Energia 
Eletrostática 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
FERREIRA, F. G. Princípios básicos de eletromagnetismo e termodinâmica. 
Curitiba: Intersaberes, 2017. 
 
 
MACIEL, E. B. Fundamentos da física. Curitiba: Intersaberes, 2021. 
 
 
NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson education do Brasil, 2012. 
 
 
OLIVEIRA, I. Introdução ao eletromagnetismo. São Paulo: Blucher, 2021. 
 
 
RAMOS, A. Eletromagnetismo. São Paulo: Blucher, 2016. 
 
 
SILVA, E. S. et al. Eletromagnetismo: Fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson 
education do Brasil, 2014. 
 
 
TELLES, D. D.; NETTO, J. M. Física com aplicação tecnológica: eletrostática, 
eletricidade e magnetismo. São Paulo: Blucher, 2018. 
 
 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: Eletromagnetismo, Sears e Zemansky: 
Eletromagnetismo. 12. Ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009.