Gabarito Lista de Exercícios 1

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Gabarito da Lista de Exerc´ıcios 1: Matrizes
e Sistemas Lineares
Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Matema´tica
MTM5512 - Geometria Anal´ıtica
1. x = 2, y = −1 e z = 3√4.
2. x = 2.
3. x = −3 e y = 5.
4. a = 0, b = 2, c =
1
3
e d =
10
3
.
5. x = 2, y = 1 e z = −5.
6. x = 2, y = −2, z = 5 e w = −10.
7. (a) A + B =
[
7 −4 −1
4 3 −5
]
;
(b) B + C =
[
5 2 −1
1 8 7
]
;
(c) A− C =
[
2 −6 0
3 −5 −12
]
;
(d) C − A =
[
−2 6 0
−3 5 12
]
;
(e) 4A− 3B + 5C =
[
−7 78 99
21 4 3
]
;
(f) 2B − 3A− 6C =
[
4 −77 −90
−18 −13 −16
]
;
(g) X =
[
−26 84 102
12 −10 6
]
;
(h) (A− C)t + Bt =
 7 3−13 −1
−9 −11
.
1
8. (a) AB =

−11 −1 11 −13
9 11 −23 −18
−17 13 −3 −61
59 33 −97 −8
;
(b) BA =
[
−60 −42
−29 49
]
;
(c) (BA)C =
[
6 −450
−205 129
]
;
(d) B(AC) =
[
6 −450
−205 129
]
;
(e) BtAt =

−11 9 −17 59
−1 11 13 33
11 −23 −3 −97
−13 −18 −61 −8
;
(f) CtAtBt =
[
6 −205
−450 129
]
;
(g) C2 =
[
−8 28
−21 13
]
;
(h) C3 =
[
−100 108
−81 −19
]
;
(i) C4 =
[
−524 140
−105 −419
]
;
(j) EF =
 −6 −2 163 0 12
−6 −4 −4
;
(k) FE =
 −6 3 12−2 0 −6
−8 8 −4
;
(l) EI = E =
 −2 1 41 0 3
−2 2 −1
;
(m) IE = E =
 −2 1 41 0 3
−2 2 −1
;
(n) BAC − C2 + 3(BA)t =
[
−166 −565
−310 263
]
.
2
9. (a) det(A) = 3;
(b) det(B) = −11;
(c) det(C) = −27;
(d) det(D) = −15;
(e) det(E) = −8;
(f) det(CD) = 405;
(g) det(DC) = 405;
(h) det(Ct) = −27;
(i) det(4B) = −176;
(j) det(−2B) = −44;
(k) det(−3C) = 729;
(l) det(C + D) = 32.
10. (a) det(F ) = 5 det(B) = −55;
(b) det(G) = 5 · (−2) det(B) = 110;
(c) det(H) = 23 det(C) = −216;
(d) det(I) = 0;
(e) det(J) = − det(E) = 8;
(f) det(K) = 0;
(g) det(L) = 0;
(h) det(M) = det(C) = −27;
(i) det(N) = (−1) · (−3) · 4 · 2 = 24;
(j) det(O) = (3) · (−1) · 0 · (−10) = 0;
(k) det(P ) = (2) · (−3) · 1 · (−2) = 12.
11. (a) A−1 =
[ −1
5
]
;
(b) B−1 =
[
− 5
14
2
7
1
14
1
7
]
;
(c) Como det(C) = 0, C na˜o possui inversa.
12. (a) AA−1 = [ 1 ];
(b) BB−1 =
[
1 0
0 1
]
;
(c) B−1B =
[
1 0
0 1
]
;
3
(d) det(B) = −14;
(e) det(B−1) =
1
det(B)
= − 1
14
;
(f) det(C) = 0.
13. O escalonamento na˜o e´ u´nico, assim como os pivoˆs. Ja´ o posto e´ independente do
escalonamento escolhido. Um poss´ıvel escalonamento e´:
(a)
 1 2 −10 1 0
0 0 6
, posto(A) = 3 e det(A) = 6;
(b)

2 1 3 4
0
∣∣1
2
∣∣ −1
2
−1
0 0 -1 −2
0 0 0 -7
, posto(B) = 4 e det(B) = 7;
(c)

1 3 −4 0 −2
0 -1 13 −2 5
0 0 38 −5 15
0 0 0
∣∣155
38
∣∣ 29
38
0 0 0 0 1
, posto(C) = 5 e det(C) = 155;
(d)
[
-2 3 1 4
0
∣∣7
2
∣∣ −1
2
1
]
e posto(D) = 2;
(e)
[
-1 −2 3 6 1
]
e posto(E) = 1;
(f)

-2
0
0
0
0
 e posto(F ) = 1;
(g)

1 −2
0 1
0 0
0 0
 e posto(G) = 2;
(h)

1 2 1 2
0 5 3 2
0 0
∣∣−8
5
∣∣ −2
5
0 0 0
∣∣−15
4
∣∣
, posto(H) = 4 e det(H) = 30;
4
(i)
 0 2 20 0 0
0 0 0
, posto(I) = 1 e det(I) = 0;
(j)

1 2 3 4
0 1 −4 −2
0 0 6 9
0 0 0 -2
, posto(J) = 4 e det(J) = −12.
14. k = 9.
15. (a) A−1 =
[
2 −5
−1 3
]
;
(b) Na˜o possui inversa pois posto(B) = 2;
(c) C−1 =
 −
1
2
0 −1
2
1
4
−1
2
−1
4
−3
4
0 −1
4
;
(d) Na˜o possui inversa pois posto(D) = 2;
(e) E−1 = F =
 2 −3 −5−1 2 3
1 −1 −1
;
(f) F−1 = E =
 1 2 12 3 −1
−1 −1 1
;
(g) G−1 =

1 −1 0 2
−1 2 2 0
0 −1 0 1
1 0 1 2
.
16. (a) A =
[
3 5
1 2
]
, b =
[
4
−2
]
, x = 18 e y = −10.
(b) A =
 1 2 12 3 −1
−1 −1 1
, b =
 12
3
, x = −19, y = 12 e z = −4.
(c) A =
 2 −3 −5−1 2 3
1 −1 −1
, b =
 −1912
−4
, x = 1, y = 2 e z = 3.
5
17. (a) X =
1
2
(B − A);
(b) X = A−1B;
(c) X = BA−1;
(d) X = A−1BC−1;
(e) X = B;
(f) X = A−1BA;
(g) X = (A− 3C)−1B;
(h) X =
1
3
C−1Bt(A−1)t.
18. O escalonamento na˜o e´ u´nico. Como as varia´veis livres e dependentes dependem
da forma escalona, enta˜o a determinac¸a˜o de tais varia´veis na˜o e´ u´nica (pore´m,
o nu´mero de varia´veis livres e o nu´mero de varia´veis dependentes sa˜o sempre os
mesmos, independente da forma escalonada).
(a) Sistema imposs´ıvel.
(b) Sistema poss´ıvel e determinado. A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 2, y = −7
3
e z =
2
3
.
(c) Sistema poss´ıvel e determinado. A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 0, y = −1, z = 4 e
w = −1.
(d) Sistema poss´ıvel e indeterminado. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ S ={
(1 + t, 3t, 4t)
∣∣ t ∈ R}.
(e) Sistema poss´ıvel e indeterminado. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ S ={(
6
7
+ t,
4
7
+ 3t, 7t
) ∣∣∣∣ t ∈ R}.
(f) Sistema imposs´ıvel.
(g) Sistema poss´ıvel e determinado. A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 0, y = 1, z = 2 e w = 0.
(h) Sistema poss´ıvel e indeterminado. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ S ={(
1
3
+ 2t,
5
3
− 3s + t, 3s, 3t
) ∣∣∣∣ s, t ∈ R}.
(i) Sistema poss´ıvel e indeterminado. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ S ={(
2
5
− 11s + t,−6
5
− 7s + t, 5s, t
) ∣∣∣∣ s, t ∈ R}.
(j) Sistema poss´ıvel e indeterminado. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ S ={
(4 + 3s− 5t, s, t) ∣∣ s, t ∈ R}.
(k) Sistema poss´ıvel e indeterminado. O conjunto de todas as soluc¸o˜es e´ S ={(
−1
3
+ 5s + 4t, r, 3s, 3t
) ∣∣∣∣ r, s, t ∈ R}.
6
19. a = 1.
20. (a) a = 0 e b 6= 0;
(b) a = 0 e b = 0;
(c) a 6= 0.
21. (a) 2a− 4b + c = 0;
(b) a + b− c = 0.
22. Ver pa´gina 160 do livro.
7