LISTA 3

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Serviço Público Federal
Universidade Federal de Goiás - UFG
Instituto de Matemática e Estatística - IME
Lista 3
Nome: Matrícula:
Álgebra Linear
1. Qual das seguintes opções equivale a representação gráfica do sistema
{
2x + 3y = 16
4x + 5y = 1
?
a)
b)
c)
d)
2. Um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas pode ser escrito na forma matricial como AX = B, em
que A é a matriz, de ordem 4× 4, dos coeficientes da equação; X é a matriz coluna, de ordem 4× 1, das
incógnitas da equação e B é a matriz coluna, de ordem 4× 1, dos termos independentes da equação.
Com referência a essas informações, assinale as opções falsas.
a) Se X1, X2 e X3 forem matrizes, de ordem 4 × 1, que são soluções distintas da referida equação
matricial, então o determinante de A será diferente de zero. Neste caso, o sistema é classificado
como sistema possível e indeterminado.
b) Se a matriz A tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções
distintas.Neste caso, o sistema é classificado como sistema possível e determinado.
c) Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero e o determinante de A for igual a zero, então
o sistema não terá solução. Neste caso o sistema é classificado como sistema impossível.
d) Se uma matriz C , de ordem 4 × 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que
AC = B, então o determinante de A será diferente de zero.
e) Se o determinante da matriz A for igual a zero, então A terá pelo menos duas linhas iguais o sistema
é classificado como possível e indeterminado.
3. Para cada um dos sistemas abaixo faça o que é pedido.
1) Diga quem é a matriz A,quem é a matriz b e quem é a matriz ampliada [Ab].
2) Calcule o posto da matriz A e também o posto da mariz ampliada [Ab].
a)



2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
2x1 − 3x2 + x3 = −1
b)



2x1 − 2x2 + x3 = −4
x1 + 2x2 + x3 = 5
−x1 + 4x2 + x3 = 11
c)



2x1 + 3x2 + x3 = 6
x1 + 2x2 + x3 = 5
−x1− 2x2 + x3 = −1
d)



2x1 + x2 + x3 = −4
x1 + 2x2 + x3 = −4
2x1 + x2 + x3 = −5
g)



2x1 − 2x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 + x3 = −3
2x1 + x2 + x3 = 0
4. Sejam Aλ =


1 λ 1
0 0 λ
λ −1 0

, x =


x1
x2
x3

, b =


0
1
1

 onde λ ∈ C é um parâmetro complexo. Considere
a seguinte lista de afirmações:
I) Existe um único valor de λ para o qual car(Aλ) 6= 3.
II) O sistema Aλx = b é possível para infinitos valores de λ.
III) O sistema Aλx = b é possível para qualquer valore de λ.
IV) O sistema homogêneo Aλx = 0 é possível para qualquer valor de λ.
A lista completa de afirmações corretas é A) II e IV B) II e III e IV C) I e III e IV D) I e II
5. Seja sα o sistema de equações lineares representado matricialmente por

2 0 2
0 3 α
−2 0 −2




x
y
z

 =


1
0
α2

 onde α ∈ C é um parâmetro complexo. Qual das seguintes afirmações
é verdadeira?
a) Existem infinitos valores de α para os quais o sistema sα é possível.
b) Existe mais do que um valor de α para os quais o sistema Sα é possível e tem grau de indeterminação
1.
c) Existem exatamente dois valores de α para os quais o sistema sα é possível e tem grau de indeter-
minação 2.
d) Existe exatamente um valor de α para o qual o sistema sα é possível .
6. Para cada α ∈ R seja Aα =
[
α 1
1 α
]
, x0 =
[
1
1
]
, x1 =
[
1
−1
]
e b =
[
2
2
]
. Considere a seguinte
lista de afiramções:
I) Se x0 é a solução de Aαu = b, então α = 1.
II) Se x1 é a solução do sistema homogêneo Aαu = 0, então α = 1.
III) Para α = 1, x0 + kx1 é solução de A1u = b, para todo k ∈ R.
IV) Se Aα for invertível, então u = Aαb é a única solução do sistema A−1α u = b. A lista completa de
informações corretas é
A) I e III B) II e III C) III e IV D) I, II, III e IV
7. Resolva o sistema linear



x + y + 2z = 9
2x + 4y− 3z = 1
3x + 6y− 5z = 0
,
escrevendo a sua matriz ampliada e reduzindo-a à forma escalonada reduzida por linhas.(Mátdo de Guass-
Jordan)
8. Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:
a)



−4x + 3y = 2
5x − 4y = 0
2x + y = k
b)



−x − 2y− kz = 1
kx − y + z = 2
x + y + z = 0
c)



2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + 0y + kz = 0
d)



x + y + z = −1
2x − 4y + kz = k
y− kz = 1
9. Condidere a matriz A = (aij )3×3 tal que aij =



i + j , i < j
2i − j , i = j
j − i, i > j
. Determine X na equação AX = B,
onde B =


−2
−2
−2

 .
10. Considere o sistema de equações lineares abaixo. Encontre a(s) condição(ões) sobre a, b e c para que o
sistema seja possível. E, neste caso, diga qual o grau de liberdade do sistema



x + 5z = a
2x + y + z = b
x + 2y− 13z = c
11. Resolva o sistema S abaixo e marque a alternativa correta.



x + 2y + z = 16
2x + y + z = 15
x + y + 2z = 17
a) x, y, z formam uma PG de razão 1.
b) x + y + z = 15
c) x.y.z = 64
d) x, y, z formam um PA de razão 1.
e) x − y− z = 5
12. As variáveis x , y e z estão relacionadas conforme o seguinte sistema de equações:



x + 2y + bz = 0
2x − y + 6z = 0
3x + az = 17
Sabendo que o sistema apresenta mais de uma solução, assinale a alternativa correta.
a) Não existe possibilidade de a = 0
b) Se a = 9, então b deve ser maior que 4.
c) O par ordenado (ab) = (3,−7) atende à situação apresentada.
d) Se a for maior que -10, então a será negativo.
e)
13. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, verificou-se que os pontos A(a, 1, a), B(2a, 1, a), C (b, a, a)
distintos são colineares. Além disso o sistema S possui solução não trivial. Logo:
S =



ax + by = 0
bx + y + z = 0
bx + ay + bz = 0
a) a e b são números primos.
b) a e b são números inteiros consecutivos.
c) a não é divisor de b.
d) 0 < a < 1/2 e 0 < b < 1
e) a e b são simétricos.
14. A direção de uma empresa convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do
diretor designado à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que
o número de mulheres também presentes na sala. Se o diretor designado não fosse à reunião e enviasse
sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. A quantidade de pessoas,
presentes na sala, aguardando o diretor designado é
a) 20
b) 19
c) 18
d) 15
e) 14
15. Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema S abaixo, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a:
S :



3x + z = −5
x + y + z = −2
2y− z = −3
a) -4
b) -3
c) 1
d) 3
e) 4
16. O sistema



5x + 3y− 11z = 13
4x − 5y + 4z = 18
9x − 2y− 7z = 25
a) só apresenta a solução trivial;
b) é possível e determinado não tendo solução trivial;
c) é possível e indeterminado;
d) é impossível;
e) admite a solução(1, 2, 1).
17. O sistema S abaixo, de incógnitas x e y, é:
S :
{
6x + ky = 9
2x − 7y = 1
a) impossível, para todo k real diferente de -21;
b) possível e indeterminado, para todo k diferente de -63;
c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21;
d) possível e indeterminado, para todo k diferente de -3;
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63.
18. Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y:



6x + 2y = 4
3x + 5y = 6
kx + 2y = 5
Este sistema tem uma única solução para certo número real k que é um:
a) quadrado perfeito
b) número primo
c) número racional não inteiro
d) número negativo
e) múltiplo de 5
19. Se tivermos o sistema S abaixo, então x + y + z + t é igual a:
S =



x + y + z = −1
x + z + t = 5
y + z + t = 7
x + y + t = 4
a) -1
b) 7
c) 5
d) 4
e) 5/9
20. Em um sistema monetário há cédulas brancas, azuis e pretas. Sabe-se que duas cédulas azuis e uma
branca equivalem a 29 unidades monetárias, uma cédula branca e duas cédulas pretas equivalem a 43
unidades monetárias e 2 cédulas pretas e uma azul equivalem a 47 unidades monetárias. Nestas condições
uma cédula branca mais uma cédula azul mais uma cédula preta, em unidades monetárias, é igual a
a) 18
b) 19
c) 36
d) 25
e) 45
21. Assinale a alternativa correta, em relação a um sistema de equações lineares com duas equações e três
incógnitas.a) Um sistema deste tipo é sempre impossível (isto é, não possui solução).
b) Um sistema deste tipo é sempre possível e indeterminado.
c) Um sistema deste tipo é sempre possível e determinado.
d) Em geral, sistemas deste tipo são possíveis e determinados (isto é, possuem solução única), mas é
possível que sistemas deste tipo sejam possíveis e indeterminados.
e) Em geral, sistemas deste tipo são possíveis e indeterminados (isto é, possuem infinitas soluções), mas
é possível que sistemas deste tipo sejam impossíveis (isto é, não possuam solução).
22. Resolva o sistema S abaixo e marque a alternativa correta.



x + 2y + z = 16
2x + y + z = 15
x + y + 2z = 17
a) x, y, z formam uma PG de razão 1.
b) x + y + z = 15
c) x.y.z = 64
d) x, y, z formam um PA de razão 1.
e) x − y− z = 5
23. Sabendo que o sistema a seguir, nas variáveis x, y e z, apresenta mais de uma solução, assinale a alternativa
correta.



x + 2y + bz = 0
2x − y + 6z = 0
3x + az = 17
a) Não existe possibilidade de a = 0
b) Se a = 9, então b = 24.
c) O par ordenado (ab) = (3,−7) atende à situação apresentada.
d) Se a for maior que -10, então a será negativo.
e) Não existe s possibilidade de b = 0
24. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, verificou-se que os pontos A(a, 1, a), B(2a, 1, a), C (b, a, a)
distintos são colineares. Além disso o sistema S possui solução não trivial. Logo:
S =



ax + by = 0
bx + y + z = 0
bx + ay + bz = 0
a) a e b são números primos.
b) a e b são números inteiros consecutivos.
c) a não é divisor de b.
d) 0 < a < 1/2 e 0 < b < 1
e) a e b são simétricos.
25. Sendo p + q = 15 e m + n = 10 , logo o valor de pm + qm + pn + qn é:
a) 25
b) 50
c) 75
d) 100
e) 150
26. As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro,
cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem,
seus limites são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que
viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor
que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o peso excedente
das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro
pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a)



x + 2z = 60
y + z = 60
3, 5x − y = 0
b)



x + z = 60
y + 2z = 60
3, 5x − y = 0
c)



x + 2z = 60
y + z = 60
3, 5x + y = 0
d)



x + z = 60
y + 2z = 60
3, 5x + y = 0