AVA1 - CALCULO

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CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO
Sistemas de Informação EAD
  
Aluno: Matheus Lino Lima
Matrícula: 2230203277
Disciplina: Cálculo Numérico
Tutor: LUZINALVA MIRANDA DE AMORIM
Resolução de Sistema Linear pelos Métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel
Salvador/BA
2025
· SITUAÇÃO PROBLEMA:
Analise o sistema linear abaixo: o discente, deverá resolver utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss - Jacobi e o Método de Gauss – Seidel.
3x₁ - 0,1x₂ - 0,2x₃ = 7,85
0,1x₁ + 7x₂ - 0,3x₃ = -19,3
0,3x₁ - 0,2x₂ + 10x₃ = 71,4
Resolva o sistema linear utilizando os seguintes métodos: Método de Gauss - Jacobi e o Método de Gauss – Seidel. Para ambos os métodos, os valores iniciais são: x(0) = (0,0,0) e o erro ε ≤ 0.001. Os resultados devem ter no máximo 3 casas decimais.
Em ambos os Métodos, considerar os seguintes passos:
Verificar o Critério de Convergência (Critério de Linhas).
Isolar as variáveis
Verificar o Critério de Parada (Cálculo do Erro).
 
· CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA
Ao verificar o Critério de Convergência:
• |3| > |−0,1| + |−0,2| → 3 > 0,3 (OK)
• |7| > |0,1| + |−0,3| → 7 > 0,4 (OK)
• |10| > |0,3| + |−0,2| → 10 > 0,5 (OK)
Nota-se que estão todos dentro do Critério.
 
· ISOLAMENTO DAS VARIÁVEIS
 
x₁ = (7,85 + 0,1x₂ + 0,2x₃) / 3
x₂ = (−19,3 − 0,1x₁ + 0,3x₃) / 7
x₃ = (71,4 − 0,3x₁ + 0,2x₂) / 10
 
 
· MÉTODO DE GAUSS-JACOBI 
Iteração 1:
x₁ = (7,85 + 0,1(0) + 0,2(0)) / 3 = 2,616
x₂ = (-19,3 - 0,1(0) + 0,3(0)) / 7 = -2,757
x₃ = (71,4 - 0,3(0) + 0,2(0)) / 10 = 7,14
 
Iteração 2:
x₁ = (7,85 + 0,1(-2,7571) + 0,2(7,1400)) / 3 = 3,005
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,6167) + 0,3(7,1400)) / 7 = -2,488
x₃ = (71,4 - 0,3(2,6167) + 0,2(-2,7571)) / 10 = 7,006
 
Iteração 3:
x₁ = (7,85 + 0,1(-2,5348) + 0,2(7,0055)) / 3 = 3
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,3786) + 0,3(7,0055)) / 7 = -2,5
x₃ = (71,4 - 0,3(2,3786) + 0,2(-2,5348)) / 10 = 7
 
Iteração 4:
x₁ = (7,85 + 0,1(-2,5075) + 0,2(7,0091)) / 3 = 3
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,4006) + 0,3(7,0091)) / 7 = -2,5
x₃ = (71,4 - 0,3(2,4006) + 0,2(-2,5075)) / 10 = 7
CRITÉRIO DE PARADA
|3 – 3| = 0
|- 2,5+ 2,5| = 0
|7 - 7|= 0
 
 
· MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
Iteração 1:
x₁ = (7,85 + 0,1(0) + 0,2(0)) / 3 = 2,6167
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,6167) + 0,3(0)) / 7 = -2,794
x₃ = (71,4 - 0,3(2,6167) + 0,2(-2,7610)) / 10 = 7,005
 
Iteração 2:
x₁ = (7,85 + 0,1(-2,7610) + 0,2(7,0064)) / 3 = 2,991
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,4025) + 0,3(7,0064)) / 7 = -2,5
x₃ = (71,4 - 0,3(2,4025) + 0,2(-2,5067)) / 10 = 7
 
Iteração 3:
x₁ = (7,85 + 0,1(-2,5067) + 0,2(7,0090)) / 3 = 3
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,4017) + 0,3(7,0090)) / 7 = -2,5
x₃ = (71,4 - 0,3(2,4017) + 0,2(-2,5060)) / 10 = 7
Iteração 4:
x₁ = (7,85 + 0,1(-2,5067) + 0,2(7,0090)) / 3 = 3
x₂ = (-19,3 - 0,1(2,4017) + 0,3(7,0090)) / 7 = -2,5
x₃ = (71,4 - 0,3(2,4017) + 0,2(-2,5060)) / 10 = 7
 
CRITÉRIO DE PARADA
|3 – 3| = 0
|- 2,5 + 2,5| = 0
|7 - 7|= 0
· CONCLUSÃO
Os dois métodos convergiram para a mesma solução em, no máximo, três iterações, conforme os critérios definidos.
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