15. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE - CASO VETORIAL

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Teoria Exercícios
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Definição
Para definirmos as
integrais de superfície
de campos vetoriais
precisamos, antes de
tudo, interpretar uma
superfície de forma
vetorial. Como fazer
isso? Vamos tomar uma
superfície que seja
regular. Definimos, em
todos os pontos de ,
vetores
perpendiculares à
superfície, gerando um
campo vetorial.
Já vimos que o produto
15. INTEGRAIS
DE SUPERFÍCIE -
CASO VETORIAL
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
vetorial 
representa um vetor
normal à superfície
parametrizada por 
, certo? Assim,
se quisermos um
campo de vetores
normais unitários,
basta dividirmos essa
expressão pelo módulo
desse vetor, dessa
forma:
Mas, se você pensar
bem, para cada ponto,
há dois vetores
perpendiculares à
superfície, não é? Um
oposto ao outro. Nesse
caso, temos dois
campos vetoriais, 
 e ,
com
g
¼X
¼1
¼X
¼2
X	1
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g
¼X
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Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
Teoria Exercícios
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
Se fixarmos sobre 
um desses campos
vetoriais unitários,
dizemos, então que
temos uma superfície
orientada pelo campo
vetorial .
Então, sendo um
campo contínuo,
definido sobre a
superfície , definimos
a integral de superfície
de sobre dessa
forma:
Veja que se trata de um
produto escalar,
portanto, resulta em
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um número! Essa
função escalar nos
fornece a componente
do campo na direção
do vetor , como uma
projeção.
Ótimo, agora
precisamos saber como
calcular essa integral,
certo? Nós já vimos que
o diferencial de área 
 pode ser
substituído por 
,
vamos fazer isso.
Substituiremos,
também, a expressão
que definimos para .
Dessa forma podemos,
então, calcular a
integral do campo
vetorial sobre a
superfície
parametrizada por 
. Esse domínio 
 é o que encontramos
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O
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¼1
¼X
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X 	1
 2
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na parametrização e a
função a ser integrada
dever ser escrita na em
função dos parâmetros 
 e , muito
semelhante ao que
vimos no caso escalar
de integrais de
superfícies.
Na verdade, essa
fórmula é muito
parecida com a que
vimos para as integrais
de superfície escalares,
a grande diferença é
que não tiramos o
módulo do vetor
normal .
Interpretação
física
Para que serve, então, a
integral de superfície
de um campo vetorial?
Vamos tomar
novamente a nossa
superfície e, agora,
imaginar um fluido
escoando através dela.
Suponha um campo
vetorial que nos
fornece em cada ponto
1 2
g
¼X
¼1
¼X
¼2
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a velocidade de
escoamento do fluido.
Queremos calcular,
então, o fluxo através
da superfície .
Se analisarmos um
ponto qualquer, o vetor
 possui uma
componente
perpendicular e uma
paralela à superfície.
Pelo conceito de fluxo,
a taxa de escoamento
por unidade de tempo,
sabemos que apenas a
componente
perpendicular de 
contribui para o fluxo
sobre , pois
representa a
velocidade de entrada
ou de saída do fluido.
Sendo assim, faremos o
produto escalar 
para obter essa
projeção (lembre-se de
que é um vetor
unitário).
O volume que passa
através de por
unidade de tempo é
dado, então, pelo
produto entre essa
componente da
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velocidade e a área da
superfície:
Da mesma forma que
fizemos nos capítulos
anteriores, dividimos 
em retalhos e
obtemos a Soma de
Riemann. Tomando o
limite dessa soma,
chegamos à integral de
superfície:
Vamos ver um exemplo
agora para entender
melhor isso tudo.
Exemplo: Calcule o
fluxo do
campo vetorial 
 sobre a
parte da superfície 
dada por 
que é limitada pelos
planos e e
orientada com a
normal apontando
para fora de .
Passo 1: Vamos fazer
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um gráfico para
visualizar a superfície
Temos um cilindro
cortado nas alturas 
 e , como
podemos ver.
Representamos o
campo vetorial que
orienta a superfície por
um de seus vetores:
Passo 2: Parametrizar 
Como se trata de um
cilindro, utilizaremos
as coordenadas
cilíndricas , 
 e .
Como o seu raio é fixo 
, temos:
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4 � . DPT J
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Onde e 
.
Passo 3: Calcular 
 (nessa etapa,
temos que verificar a
orientação de )
Olhando para a figura,
vemos que em 
temos as componentes 
 e do vetor
positivas, o que está de
acordo com 
. Se
tivéssemos feito o
produto 
encontraríamos a
orientação oposta.
Passo 3: Montar a
integral
X 	J
 6
 � 	� DPT J
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� Þ 6 Þ �
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¼X
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	� DPT J
 �� TFO J
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g
¼X
¼6
¼X
¼J
Escrevendo o campo
em função das
variáveis da
parametrização, temos:
Passo 4: Resolver a
integral
Beleza? O passo a passo
para esse tipo de
questão é basicamente
esse aí! Vamos ver uns
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