Um conceito muito estudado na Física e nas Engenharias diz respeito ao fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície no espaço. As integrais de s...

Para calcular o fluxo volumétrico de um fluido sobre a superfície de um cone, é necessário calcular a integral de superfície do campo vetorial F = 3xi + 3yj + zk sobre a superfície S do cone. A equação da superfície do cone é dada por S: z = 9 - x² - y², z ≥ 0. Para calcular a integral de superfície, é necessário encontrar um vetor normal unitário n à superfície S. Como a superfície do cone é simétrica em relação ao eixo z, podemos escolher o vetor normal unitário n apontando na direção do eixo z. Portanto, temos n = k. Agora, precisamos encontrar um vetor tangente à superfície S que varie continuamente sobre S. Podemos escolher os vetores tangentes u e v como os vetores unitários i e j, respectivamente. Assim, temos que o vetor de área dS é dado por dS = u x v dA, onde dA é a área infinitesimal da superfície S. Como u = i, v = j e k é perpendicular a i e j, temos que u x v = k. Além disso, a área infinitesimal dA é dada por dA = |r_u x r_v| du dv, onde r_u e r_v são os vetores tangentes à superfície S e du dv são os elementos de área infinitesimal na direção de u e v, respectivamente. Substituindo os valores, temos que dS = k |r_u x r_v| du dv. Agora, podemos calcular a integral de superfície de F sobre S: ∫∫S F · dS = ∫∫S (3xi + 3yj + zk) · (k |r_u x r_v| du dv) = ∫∫S z k · (k |r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9 - x² - y²) k · (k |r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - 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x²k - y²k) · (|r_u x r_v| du dv) = ∫∫S (9k - x²k - y²k)