11. CAMPOS CONSERVATIVOS

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Teoria Exercícios
Independência do
caminho
Em certos casos, você vai
tentar usar o Teorema de
Green e a expressão 
 será igual a zero.
Calma, você não calculou
errado, isso significa que o
campo em questão é
conservativo, o que pode
facilitar muito suas contas.
Se a integral de linha para
qualquer curva fechada é
zero, significa que uma
integral sobre essa região não
depende do caminho
percorrido, apenas dos
pontos extremos.
Vamos entender melhor esse
conceito! Observe a figura
abaixo:
11. CAMPOS
CONSERVATIVOS
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CÁLCULO 3
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2. Integrais Duplas Sobre
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5. Integrais Triplas
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7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
Teoria Exercícios
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
Se o campo vetorial for
conservativo, temos que a
integral de linha em curva
fechada é igual a zero, ou
seja:
Podemos chegar a essa
mesma conclusão para
qualquer curva que ligue os
pontos e , seja , , 
etc.
Função potencial
Quando a integral de linha
independe do caminho,
podemos definir o que
chamamos de função
potencial , para a qual:
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15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
=
Ou seja, o campo vetorial 
, é igual ao
gradiente da função potencial
.
Como
Temos que:
Logo,
Integrando a equação 
 em ambos os lados
ao longo da curva , vemos
que:
Ou
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Onde e são,
respectivamente, os pontos
inicial e final de . Dessa
forma, calculamos e, assim,
nossa integral de linha.
Esse é o Teorema
Fundamental do Cálculo para
Integrais de Linha, muito
semelhante ao Teorema
Fundamental do Cálculo, que
você já conhece 
.
Portanto, é equivalente dizer
que um campo é conservativo
e:
 (por Green)
 (integral
fechada!)
Obs: Nós vamos ver a
extensão do conceito de
campos conservativos para o 
 mais à frente, quando
falarmos do Teorema de
Stokes! Por enquanto,
estamos trabalhando com o 
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.
Vamos agora para a prática!
Exemplo: Calcule o trabalho
realizado pelo campo de
força sobre
uma partícula que se move
desde o ponto ao ponto
.
Passo 1: Como não foi
fornecida a curva que
representa a trajetória, já
desconfiamos que esse
trabalho não deve depender
do caminho percorrido.
Vamos calcular o valor de 
.
Como
Sabemos, então, que o campo
é conservativo.
Passo 2: Agora vamos
calcular sua função potencial 
. Temos que:
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 e são constantes
de integração ( é uma
função de e , uma função
de ). Devemos ter:
Se , essa
igualdade se verifica.
Concluímos então que nossa
função potencial pode ser
escrita como:
Onde é uma constante.
Passo 3: Finalmente,
podemos calcular o trabalho
pedido Sendo a trajetória
da partícula, temos que:
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Portanto, o valor de não
importa para o cálculo desse
trabalho.
Importante: Algumas vezes,
você vai calcular o valor de 
 e verá que o
campo é conservativo, mas
calcular sua função potencial
não será uma tarefa fácil. O
que fazer nesses casos? Basta
você lembrar que, em um
campo conservativo, o
trabalho não depende da
trajetória. Portanto, você
pode calcular a integral de
linha sobre outra curva mais
simples que ligue os pontos
inicial e final da trajetória,
como uma reta por exemplo.
Certo? Vamos à prática agora!
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