Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Podemos citar como exempl...

Para verificar se o campo vetorial F(x, y) = (7 + y² − 3x², e + 2xy +1) é conservativo, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem dos seus componentes Q e P em relação a x e y, respectivamente. Assim, temos: ∂Q/∂y = 2y ∂P/∂x = -6x ∂Q/∂x = -6x ∂P/∂y = 2x Agora, vamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais: ∂Q/∂y = 2y = ∂P/∂x = -6x ∂Q/∂x = -6x = ∂P/∂y = 2x Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, podemos concluir que o campo vetorial F(x, y) é conservativo. Para encontrar o campo escalar cujo gradiente é F(x, y), precisamos integrar as derivadas parciais de Q e P em relação a x e y, respectivamente. Assim, temos: ∫∂Q/∂y dy = y² + C1(x) ∫∂P/∂x dx = -3x² + C2(y) Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, podemos igualar as constantes de integração C1(x) e C2(y): y² + C1(x) = -3x² + C2(y) Podemos escolher uma das constantes de integração, por exemplo, C1(x) = 0, e obter: C2(y) = y² + 3x² Assim, o campo escalar cujo gradiente é F(x, y) é dado por: f(x, y) = y² + 3x² Portanto, o campo vetorial F(x, y) é conservativo e o campo escalar cujo gradiente é F(x, y) é f(x, y) = y² + 3x².