Lista 01 de Física Matemática II

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Lista 01 de Matemática II Professor: Murilo Almeida Aluno: Felipe Anjos Justino Ribeiro - 514273 1.1.1 (a) Prove that if uₙ = A the series uₙ converges. (b) Prove that if = > the series diverges. (The test fails for A = 0.) These two tests, known as limit tests, are often convenient for establishing the convergence of a series. They may be treated as comparison tests, comparing with A, A Em a Un posso usar 0 teste da integral: A P >1 : A 1 1 = 1 1 dn A dn = A ( P+L P+1 1 ) - + 1 = P+L 1 ; n=o Un converge (b) Se Un > n=o Un diverge, pois é uma hormónica.1.1.3 (a) Show that the series n 1 converges. (b) By direct addition 100,000 [n = 2.02288. Use Eq. (1.9) to make a five- significant-figure estimate of the sum of this series. (a) 8 M r n n=2 É possivel mostrar se a série converge ou diverge por meio do teste de integral de Cauchy. = 1-E S 8 S 2 dx = & 2 2 Se E>1, entao E-1 1 convergir Se divergir esse caso, com E=2, sabemos entos que a série converge. 1.1.4 Gauss' test is often given in the form of a test of the ratio uₙ = + a₀ For what values of the parameters a₁ and b₁ is there convergence? divergence? ANS. Convergent for a₁ b₁ > 1, divergent for b₁ ≤ 1. Se Un >0, podemos entender teste de para In Un = 1+ n + Comparando com resultado da anterior: an = an+1 1 + 1 + E n E>1, > converge E≤1, divergebin + bo = DO n= - portanto Assim >1 para convergencia as >1 - > para convergência E para = b1 ≤ L, divergencia 1.1.5 Test for convergence (a) Σ (d) (n + n=2 n=1 ∞ (b) Σ n! (e) Σ 1 n=1 n=0 (c) Σ 1 + n=1 (a) este caso, estare: aplicando 0 teste de Kummer: Verificando se ela decresce Verificando se da positiva I A entre termos consecutivos L L Como > An será decrescenteII- Como positivo, ela e Sabendo estas coisos, é veriticora serie 1 1 = = e 2" = & Comporando com a cérie divergente M L 1 n = L Visto que é constant a diverge (b) é necessário aplicar nenhum teste. >> Logo, a serie diverge. (c) Usando teste de de Cauchy = 1 8 & S dn = 1 dn 1 = 2n(2n+1) 2 dn 1 1 A B + B (n) = + = n (2n+1) + = 1 = A + B (n) { = 1 = 2nA + A + + Bn = + 2+ B =0, = (2A t B) n + A8 1 2 [ L n - 2 7 dn 1 8 1/2 2 1 [ 1/5 n dn 2 +L L 1 n' h' lim dn - 2 dn) L L 1/2 1 2 ( n - - In + + lim 1/2 - - 1/2 1 + 1/2 2 L In(3) Assim: - 1/2 + In (3) = 1/2 2 L (3/2) ) Logo, (d) Usare: teste de Kummon n + 2 = = (n In é sab positives, logo, Agora, vomos a 2ⁿ / onde a2" = ] -1 2 = 2" [ + L) = (2" + Trata-se de uma serie de que Portanto, a série(e) novamente 0 teste da integrd n' S 1 dn is Subst t, dt = 2 S at = 1/2 2 In (t) lim 1/2 - 1/2 L 2 In (2n +1 = n' diverge 1.1.6 Test for convergence 1 (a) Σ (d) 1+ + 1 (b) Σ (e) Inn Σ n 1 n 1 (c) Σ (a) Usando teste de integral de Cauchy & S f(x) dx = = an ea an Se C é finito, aserie converge. & S L dn = lim 1 dn = lim dn 2 + + + - L dn = In 1 = [ ] L + logo, a converge(b) Novamente com teste de Couchy 1 z = S 2 tro 2 S dr Subs : V, dr = 1/5 dn, V = Logo: S L = L nH = = It = nos limites: = In In In In Valor In Diverge. In voi a (c) Usando 0 teste da Alembert. lim on se L, converge 8 se biverge se = 1, Assim an = 1 In n = = = : 2n+2 8 n nag 2 / logo converge(d) Novamente teste be Kummer I. In ( 1 t n - + L = In (1 + n / In ( n+ = In (h+2) decresce II In >0 ela é com a serie in 1 diserge Então a série diverge. (e) Como em (b), esta diverge. 1.1.7 For what values of p and q will converge? > all all q, q, Se e, converge = = (In(n) nxn xn = n n ( ) Pois >1, >1 e n > 1 e >1 Sendo assim, converge.1.1.10 Test for convergence Σ (2n (2n) 1) 2 = 1 64 9 256 25 + Usando teste de Gauss = 1 + s + 1 e A In n n Sendo assim, como a diverge. 1.2.1 Find the range of uniform convergence of the series (a) n(x) = , (b) = Σ ANS. (a) 0