Analisar a estabilidade do sistema sem controle

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Analisar a estabilidade do sistema sem controle: determine se o sistema original é estável ou instável. Caso seja instável, justifique.
Análise da Estabilidade do Sistema sem Controle
A função de transferência do sistema sem controle (malha aberta) é: G(s)=s(s+4)(s+8)−K​
A equação característica para a análise de estabilidade em malha fechada com ganho unitário (H(s)=1) é dada por: 1−G(s)=0⟹1−s(s+4)(s+8)−K​=01+s(s+4)(s+8)K​=0s(s+4)(s+8)+K=0s(s2+12s+32)+K=0s3+12s2+32s+K=0
Para analisar a estabilidade, podemos usar o critério de Routh-Hurwitz. A tabela de Routh é:
	s3
	1
	32
	s2
	12
	K
	s1
	1212×32−1×K​=12384−K​
	0
	s0
	K
	
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Para o sistema ser estável, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivos. Portanto, temos as seguintes condições:
1. 1>0 (satisfeito)
2. 12>0 (satisfeito)
3. 12384−K​>0⟹384−K>0⟹K0
Assim, para o sistema em malha fechada com ganho unitário ser estável, o ganho K deve estar no intervalo 00, ao fechar a malha, a equação característica s3+12s2+32s+K=0 pode ter raízes no semiplano direito se K for muito grande, tornando o sistema instável.
Justificativa da possível instabilidade:
Ao fechar a malha com realimentação unitária e um ganho K, a localização das raízes da equação característica s3+12s2+32s+K=0 determinará a estabilidade do sistema em malha fechada. Para valores de K fora do intervalo (0,384), o sistema em malha fechada será instável, pois haverá raízes com parte real positiva.
Projetar um controlador PID utilizando o método de Ziegler-Nichols para definir os parâmetros Kp,​ Ki​ e Kd​, garantindo um sistema com boa resposta transitória e estabilidade.
Explicar como cada ação do controlador (P, I e D) influencia a resposta do sistema e como os polos se deslocam no plano complexo conforme os ganhos são ajustados.
Projeto de um Controlador PID utilizando o Método de Ziegler-Nichols
O método de Ziegler-Nichols de sintonia no domínio do tempo (segundo método) envolve aumentar o ganho proporcional Kp​ de um controlador puramente proporcional em malha fechada até que o sistema comece a oscilar continuamente. Este ganho é chamado de ganho crítico (Kcr​) e o período das oscilações é chamado de período crítico (Pcr​).
Para encontrar Kcr​ e Pcr​, analisamos a linha de s1 da tabela de Routh. A oscilação contínua ocorre quando a linha de s1 se torna zero, ou seja: 384−K=0⟹K=384 Portanto, o ganho crítico é Kcr​=384.
Quando K=Kcr​=384, a equação auxiliar da linha acima (s2) nos dá as raízes no eixo imaginário: 12s2+K=012s2+384=0s2=−12384​=−32 s=±j32​=±j42​
A frequência das oscilações críticas é ωcr​=42​ rad/s. O período crítico Pcr​ é: Pcr​=ωcr​2π​=42​2π​=22​π​≈2×1.41423.1416​≈2.82843.1416​≈1.111 segundos
Agora, podemos usar as regras de sintonia de Ziegler-Nichols para um controlador PID:
	Tipo de Controlador
	Kp​
	Ti​
	Td​
	PID
	0.6Kcr​
	0.5Pcr​
	0.125Pcr​
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Calculando os parâmetros do controlador PID: Kp​=0.6×384=230.4Ti​=0.5×22​π​=42​π​≈0.555 segundosTd​=0.125×22​π​=162​π​≈0.139 segundos
O controlador PID tem a forma: C(s)=Kp​+sKi​​+Kd​s=Kp​+Ti​sKp​​+Kp​Td​s
Substituindo os valores: Ki​=Ti​Kp​​=0.555230.4​≈415.14 Kd​=Kp​Td​=230.4×0.139≈32.03
Portanto, o controlador PID projetado pelo método de Ziegler-Nichols é aproximadamente: C(s)=230.4+s415.14​+32.03s
A função de transferência do sistema controlado em malha fechada seria então: T(s)=1+C(s)G(s)C(s)G(s)​=1+(230.4+s415.14​+32.03s)s(s+4)(s+8)−K​(230.4+s415.14​+32.03s)s(s+4)(s+8)−K​​
Para uma análise mais detalhada da resposta transitória e estabilidade com este controlador, seria necessário analisar os polos da função de transferência de malha fechada resultante. O método de Ziegler-Nichols fornece um ponto de partida para a sintonia, mas ajustes finos podem ser necessários para atender aos requisitos de desempenho específicos.
Explicar como cada ação do controlador (P, I e D) influencia a resposta do sistema e como os polos se deslocam no plano complexo conforme os ganhos são ajustados.
3. Influência das Ações do Controlador (P, I e D) e Deslocamento dos Polos no Plano Complexo
Vamos explicar como cada ação do controlador PID influencia a resposta do sistema e o deslocamento dos polos no plano complexo:
· Ação Proporcional (P):
Influência na resposta: A ação proporcional fornece uma saída de controle que é proporcional ao erro. Aumentar o ganho proporcional (Kp​) geralmente diminui o erro em estado estacionário e torna a resposta mais rápida.
Deslocamento dos polos: Aumentar Kp​ move os ramos do LGR em direção aos zeros de malha aberta (se houver) e para longe dos polos de malha aberta. Isso pode levar a um aumento da frequência natural não amortecida e à diminuição do amortecimento relativo, podendo tornar o sistema menos estável ou até instável se os polos se moverem para o semiplano direito.
Ação Integral (I):
Influência na resposta: A ação integral elimina o erro em estado estacionário para entradas degrau, pois adiciona um polo na origem na função de transferência de malha aberta, aumentando o tipo do sistema. No entanto, pode tornar a resposta mais lenta e potencialmente menos estável, pois introduz um novo polo na malha aberta.
Deslocamento dos polos: A adição de um polo na origem (pela ação integral) altera o LGR. Os ramos do LGR se ajustarão para terminar nos zeros de malha aberta (do sistema original e do controlador). A introdução de um polo adicional geralmente desloca o LGR para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade relativa.
Ação Derivativa (D):
Influência na resposta: A ação derivativa atua sobre a taxa de variação do erro, proporcionando um efeito antecipatório. Ela pode melhorar a resposta transitória, aumentar o amortecimento e permitir o uso de ganhos proporcionais mais altos sem comprometer a estabilidade. A ação derivativa introduz um zero na função de transferência de malha aberta.
Deslocamento dos polos: A adição de um zero (pela ação derivativa) atrai os ramos do LGR. Se o zero for colocado estrategicamente, pode puxar os polos de malha fechada para a esquerda no plano complexo, resultando em um sistema mais estável e com melhor resposta transitória (menor sobressinal e tempo de assentamento).
No projeto do controlador PID, o objetivo é combinar os efeitos dessas três ações para obter um sistema com as características desejadas: estabilidade, resposta rápida e precisão (erro em estado estacionário nulo para entradas degrau). O método de Ziegler-Nichols é uma forma heurística de encontrar um ponto de partida para os ganhos Kp​, Ki​ e Kd​.