Planos de Amortização de Emprestimos e Financiamentos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CAMPUS DE SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE 
EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 
Disciplina: Engenharia Econômica 
Professor: Isaac Machado 
 Sistema de Amortização Francês (Tabela Price); 
 Sistema de Amortização Constantes (SAC); 
 Sistema de Amortização Misto (SAM); 
 Sistema de Amortização Americano; 
 Custo Efetivo de Planos de Amortização; 
 Sistemas de Financiamento Habitacional. 
 
OBJETIVOS DO CAPÍTULO 
REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS 
A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida 
ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas 
— de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja 
liquidado. 
 Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a 
amortização ou devolução do principal emprestado e os juros 
correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não 
amortizado. 
prestação = amortização + juros 
 
REEMBOLSO DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS 
Essa separação 
 
permite discriminar o que representa a devolução do principal 
(amortização) daquilo que representa o serviço da dívida (os juros). 
 
Importante para: 
 
• necessidades jurídico-contábeis; 
• análise de investimentos, em que os juros, por serem dedutíveis 
para efeitos tributáveis, têm um efeito fiscal. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
(TABELA PRICE) 
 Sua denominação origina-se do fato de esse sistema ter sido 
utilizado inicialmente na França, no século XIX. 
 
 Caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais, 
periódicas e sucessivas. 
 
 É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em 
geral. 
 
 Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, 
decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, 
consequentemente, as amortizações do principal são crescentes. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
(TABELA PRICE) - EXEMPLO 
 Um empréstimo de $200.000 será pago pela Tabela Price em quatro 
prestações mensais postecipadas. A juros efetivos de 10% a.m., 
construir a planilha de amortização. 
 
Para determinado período, os juros são calculados sobre o saldo 
devedor do empréstimo ao início desse período; a amortização é a 
diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros respectivos; e o 
saldo devedor é igual ao saldo devedor do período anterior menos a 
amortização do respectivo período. 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS 
(TABELA PRICE) - EXEMPLO 
• Cálculo da prestação: 
 
 
• Cálculo dos juros do t-ésimo período: 
 
• Cálculo da amortização do t-ésimo período: 
 
 
• Cálculo do saldo devedor do t-ésimo período: 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 O principal é reembolsado em cotas de amortização iguais. 
 
 Diferentemente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no 
Sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem 
a cada prestação. 
 
 A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo 
número de períodos de pagamento. 
 
 Esse tipo de sistema às vezes é usado pelos bancos comerciais em 
seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em 
empréstimos a empresas privadas, por meio de entidades 
governamentais. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
EXEMPLO 
Elaborar a planilha de amortização para o seguinte financiamento: 
 
• Valor do financiamento de $200.000. 
• Reembolso em quatro meses pelo Sistema SAC. 
• Taxa de juros efetiva: 10% a.m. 
 
Cálculo das amortizações: 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
Baseia-se no SAC e no Sistema Price — pois a prestação é igual à 
média aritmética calculada entre as prestações desses dois 
sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. 
 
 Uma das desvantagens do SAM é que suas prestações iniciais 
são ligeiramente mais altas que as do Price. 
 
Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma 
queda substancial no comprometimento de sua renda com o 
pagamento das prestações. 
As prestações decrescem de acordo com determinada 
progressão aritmética e podem ser calculadas usando-se as 
expressões a seguir. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
• Valor da primeira prestação: 
 
• Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao 
decréscimo das prestações): 
 
 
• Valor das prestações no período t (t > 1): 
 
 
 
 
 
P = valor do principal; 
R1 = valor da primeira prestação; 
q = coeficiente variável por tipo de plano; 
r = razão da progressão (correspondente ao decréscimo do valor das 
prestações sucessivas). 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
Dependendo do valor de q, o sistema de reembolso pode resultar 
no: 
 Sistema Price (para q = 0); ou 
 Sistema SAC (no caso de q = 1). 
 O denominado Sistema Misto é um caso particular em que q = 
0,5. 
 Devido à ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, 
juros e saldos devedores corresponde à média aritmética dos 
valores dos Sistemas Price e SAC. 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
EXEMPLO 
 Calcular as prestações de um empréstimo de $200.000 a ser pago 
em quatro prestações mensais a juros efetivos de 10% a.m., fazendo 
a variável q assumir os valores 0 (Sistema Price), 0,5 (Sistema SAM) e 
1 (Sistema SAC). Apresentar também a planilha completa do Sistema 
SAM. 
 
Cálculo da primeira prestação e da razão de decréscimo 
a) Para q = 0 (Sistema Price) 
Primeira prestação: 
 
 
Razão de decréscimo: 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
EXEMPLO 
b) Para q = 0,5 (Sistema Misto) 
Primeira prestação: 
 
 
Razão de decréscimo das prestações 
 
 
 
 
c) Para q = 1,0 (Sistema SAC) 
Primeira prestação: 
 
 
 
Razão de decréscimo das prestações: 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
EXEMPLO 
 Valor das prestações para q = 0; 0,5; 1,0: 
 
 
 
No quadro, para q = 0, as prestações correspondem às do Sistema 
Price; para q = 1,0, correspondem às do Sistema SAC; e, para q = 0,5, 
correspondem às do Sistema Misto. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
EXMPLO 
 Planilha no Sistema Misto: 
Atente ao fato de que essa planilha é simplesmente uma média 
aritmética das planilhas dos Sistemas SAC e Price. 
COMPARAÇÃO ENTRE SISTEMAS PRICE E SAM 
• Quadro para 
efeitos 
comparativos. 
• Para um 
financiamento 
de $2.000 
amortizado em 
24 meses a juros 
efetivos de 1% 
a.m. 
 Esquemas de reembolso pelos Sistemas Price e Misto: 
COMPARAÇÃO ENTRE SISTEMAS PRICE E SAM 
Observe que, 
 
no Sistema SAM, até a metade do período de financiamento, as 
amortizações são maiores que as do Sistema Price. 
 
Como já foi dito, isso resulta em uma queda mais acentuada do 
saldo devedor do que ocorre no Sistema Price, diminuindo as 
chances de resíduo ao fim do contrato. 
 
Assim, embora as prestações iniciais sejam ligeiramente mais 
altas, depois da metade do período passam a ser menores, 
comprometendo uma parcela menor da renda do mutuário. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
Nesse sistema, o principal é restituído por meio de uma 
parcela única ao fim da operação (parcela única de amortização). 
 
Os juros podem ser pagos periodicamente (mais comum) ou 
capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo 
acertado. 
 
Pode ser aberto um fundo de amortização do empréstimo 
(sinking fund), no qual o devedor deposita periodicamente as 
cotas de amortização. 
 
Essas cotas, por sua vez, devem render juros de tal modo que, 
na data de pagamento do principal, o saldo desse fundo de 
amortização seja igual ao capital a pagar, liquidando dessa forma 
oempréstimo. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
EXEMPLO 
Nos três casos seguintes, elaborar a planilha de amortização de 
um empréstimo que será reembolsado de acordo com o Sistema de 
Amortização Americano: 
 
a) os juros são pagos periodicamente e não é aberto o fundo de 
amortização do empréstimo (sinking fund); 
b) os juros são capitalizados e pagos no fim da operação, 
juntamente com o principal, e é aberto o sinking fund; 
c) pagamento periódico dos juros e criação de sinking fund. 
 
Dados: Valor da operação = $200.000; taxa de juros contratada no 
financiamento (i) = 10% a.m.; prazo da operação = 3 meses; taxa de 
juros obtida pelo fundo de amortização (is) = 8% a.m. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
EXEMPLO 
a) Juros pagos periodicamente: 
b) Juros capitalizados e pagos no fim da operação: 
c) Com fundo de amortização do empréstimo (sinking fund): 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO 
EXEMPLO 
Cálculo da cota do fundo de amortização do empréstimo (QFA) 
 
• Ao fim da operação, o valor do fundo de amortização (sinking 
fund) deve ser igual ao valor do empréstimo concedido, de 
modo que este possa ser liquidado. 
 
• As cotas do fundo de amortização do empréstimo mais os 
rendimentos que elas geram constituem o fundo de amortização 
que, ao final da operação, deve ter um valor igual ao valor do 
empréstimo. 
• Consequentemente, o valor do fundo liquidará o empréstimo! 
 
CUSTO EFETIVO (TIR) DOS PLANOS DE 
AMORTIZAÇÃO 
 Normalmente, sobre os financiamentos incide uma série de 
custos adicionais, tais como o IOF, comissões, aval etc. 
 
 Devido a esses encargos, o custo do financiamento é maior que 
a taxa contratada, tornando-se indispensável sua inclusão na 
planilha de amortização para o posterior cálculo do custo efetivo do 
empréstimo (taxa interna de retorno - TIR). 
CUSTO EFETIVO (TIR) DOS PLANOS DE 
AMORTIZAÇÃO - EXEMPLO 
 Uma empresa tomou um financiamento de $2.000 sob as 
seguintes condições: 
 
 taxa de juros efetiva de 10% a.m.; 
 
 reembolso do principal em quatro meses pelo Sistema Price; 
 
 encargos de 2% sobre o valor das prestações. 
 
Pede-se: 
 
Montar a planilha de amortização e fluxo de caixa e calcular o custo 
efetivo do financiamento. 
CUSTO EFETIVO (TIR) DOS PLANOS DE 
AMORTIZAÇÃO - EXEMPLO 
 Planilha de amortização e fluxo de caixa: 
 O custo efetivo do financiamento é a taxa interna de retorno (TIR) 
do fluxo de caixa, ou seja, é a taxa que iguala a zero a seguinte 
expressão: 
 
 
 
 
CUSTO EFETIVO (TIR) DOS PLANOS DE 
AMORTIZAÇÃO - EXEMPLO 
Para estimar manualmente o valor da TIR, podemos começar 
calculando o VPL para diversas taxas de juros até conseguir mudança 
no sinal do VPL e, a seguir, efetuar uma interpolação linear: 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL 
O sistema de financiamento habitacional utiliza, 
para o financiamento da casa própria: 
 
• Sistema Price; e 
 
• Sistema SAC. 
 
Em ambos os sistemas, o saldo devedor é corrigido mês a mês pela 
TR (taxa referencial de juros), e a cada período de 12 meses é feito o 
recálculo da prestação (a partir do terceiro ano ele pode passar a 
ser feito trimestralmente), com base no saldo devedor e no período 
restante. 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
 Os sistemas têm sido usados com atualização mensal pela TR 
acoplada a uma taxa de juros nominal não superior a 12% a.a. 
 
 O quadro, a seguir, apresenta, apenas para os primeiros 18 
meses, os valores nos Sistemas Price e SAC — tal como 
computados pelo sistema de financiamento habitacional para 
um financiamento de $50.000 à taxa nominal de 10,5% a.a., 
capitalizada mensalmente, variação da TR de 0,6% a.m. e prazo 
de 15 anos: 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
 Considerando j a taxa de juros nominal anual, no caso da Tabela 
Price a prestação para cada mês do ano k é dada por: 
 
 
 
onde: 
 
Im = taxa de juros efetiva por período de capitalização j/12; 
 
SDk–1 = saldo devedor no fim do ano imediatamente anterior ao ano k; 
 
n = número de anos restantes ao término do prazo; 
 
j = taxa nominal anual capitalizada mensalmente. 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
 Cálculo das prestações para os dois primeiros anos (Sistema Price): 
 
 
Para o primeiro ano: 
 
 
 
 
 
Para o segundo ano: 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
A cada ano, esse cálculo é refeito levando-se em conta o novo saldo 
devedor e o tempo restante. 
 
 
No primeiro ano: 
 
• SDk–1 é igual ao valor do financiamento tomado; e 
 
• nos anos posteriores, será igual ao saldo devedor do fim do ano 
imediatamente anterior; 
 
• n é o número de anos restantes até o término do prazo. 
 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
 Pelas regras do sistema price, o cálculo da prestação é feito 
anualmente. Os juros correspondentes a cada mês “t” são calculados 
sobre o saldo devedor do mês anterior (SDt–1) atualizado pelo valor da TR: 
 
 
 
 A amortização do mês t é a diferença entre o valor da prestação e o 
valor dos juros do mês: 
 
 
 O valor do novo saldo devedor (SDt) imediatamente depois de ter sido 
paga a prestação é igual ao saldo devedor do mês anterior (SDt–1), 
atualizado pelo valor da TR, menos o valor da amortização do mês: 
 
 
 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
No caso do Sistema SAC, de acordo com a metodologia usada pelo 
sistema, a prestação para cada mês do ano k é dada por: 
 
 
 
 
Cálculo das prestações dos dois primeiros anos 
 
 
Para o primeiro ano: 
 
 
 
Para o segundo ano: 
 
 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
O cálculo do resto da planilha segue o procedimento descrito para os 
dois primeiros anos. 
 
1. No Sistema SAC, no primeiro ano, o valor das prestações não pode 
comprometer mais que 30% da renda líquida mensal do mutuário. 
 
2. No Sistema Price, esse comprometimento é de, no máximo, 25%. 
 
3. No Sistema SAC, a partir de determinado período de recálculo, o 
valor das prestações começa a diminuir, enquanto no Sistema Price 
aumenta sempre. 
SISTEMAS DE FINANCIAMENTO 
HABITACIONAL - EXEMPLO 
 Valor das prestações e o saldo devedor nos Sistemas SAC e Price 
— para os 15 anos do prazo do financiamento: 
Obs.: Aos valores das 
prestações calculados nas 
planilhas, às vezes é 
acrescentada taxa 
administrativa e taxa 
referente a seguros (seguro 
MIP e seguro DFI). 
OBRIGADO! 
isaacmachado@gmail.com