Operações e Conceitos Matemáticos

Prévia do material em texto

sumário
Resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, divi-
são, potenciação e radiciação com números racionais, nas suas representações fra-
cionária e decimal........................................................................................................... 1
Minimo múltiplo comum; Máximo divisor comum ........................................................... 10
Porcentagem .................................................................................................................. 12
Razão e proporção ......................................................................................................... 14
Regra de três simples e composta ................................................................................. 17
Equações do 1º e do 2º graus ........................................................................................ 19
Sistema de equações do 1º grau ................................................................................... 27
Grandezas e medidas - quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e 
massa ............................................................................................................................. 29
Relação entre grandezas - tabela e gráfico.................................................................... 35
Tratamento da informação - média aritmética simples ................................................... 38
Noções de Geometria - forma, ângulos, área, perimetro, volume, Teoremas de Pitágo-
ras e de Tales ................................................................................................................. 38
Questões ........................................................................................................................ 47
Gabarito .......................................................................................................................... 55 Ma
te
má
ti
ca
Câmara Municipal de Marília - SP
Matemática
1
Resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação e radiciação com números racionais, nas suas representações 
fracionária e decimal
Números Naturais
Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem.
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o conjunto infinito dos números na-
turais
- Todo número natural dado tem um sucessor 
a) O sucessor de 0 é 1.
b) O sucessor de 1000 é 1001.
c) O sucessor de 19 é 20.
Usamos o * para indicar o conjunto sem o zero.
{1,2,3,4,5,6... . }
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, multiplicações e divisões. Todas as operações 
podem acontecer em uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas utilizamos alguns proce-
dimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, devemos resolver a multiplicação ou a divi-
são primeiramente, na ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a subtração, também na 
ordem em que aparecerem e os parênteses são resolvidos primeiro.
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
27
2
Exemplo 3
25-(50-30)+4x5
25-20+20=25
Números Inteiros
Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números naturais, o conjunto dos opostos dos números 
naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:
Subconjuntos do conjunto :
1) Conjunto dos números inteiros excluindo o zero
 {...-2, -1, 1, 2, ...}
2) Conjuntos dos números inteiros não negativos
 {0, 1, 2, ...}
3) Conjunto dos números inteiros não positivos
 {...-3, -2, -1}
Números Racionais
Chama-se de número racional a todo número que pode ser expresso na forma , onde a e b são inteiros 
quaisquer, com b≠0
São exemplos de números racionais:
-12/51
-3
-(-3)
-2,333...
As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, portanto são consideradas números racionais.
Como representar esses números?
Representação Decimal das Frações
Temos 2 possíveis casos para transformar frações em decimais: 
1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o número decimal terá um número finito de algarismos 
após a vírgula.
3
2º) Terá um número infinito de algarismos após a vírgula, porém a dízima deve ser periódica para ser nú-
mero racional.
OBS: período da dízima são os números que se repetem, se não repetir não é dízima periódica e assim 
números irracionais, que trataremos mais a frente.
Representação Fracionária dos Números Decimais
1º caso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o denominador seguido de zeros.
O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, um zero (10) para duas casas, dois zeros 
(100) e assim por diante.
2º caso) Se a dízima periódica é um número racional, então como podemos transformar em fração?
Exemplo 1 
Transforme a dízima 0, 333... .em fração
Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízima dada de x, ou seja
X = 0,333...
Se o período da dízima é de um algarismo, multiplicamos por 10.
10x=3,333...
E então subtraímos:
10x-x=3,333...-0,333...
9x=3
X=3/9
X=1/3
Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de período.
Exemplo 2
Seja a dízima 1,1212...
Façamos x = 1,1212...
100x = 112,1212... .
4
Subtraindo:
100x-x=112,1212...-1,1212...
99x=111
X=111/99
Números Irracionais
Identificação de números irracionais
– Todas as dízimas periódicas são números racionais.
– Todos os números inteiros são racionais.
– Todas as frações ordinárias são números racionais.
– Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
– Todas as raízes inexatas são números irracionais.
– A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
– A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.
– Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b≠0.
Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.
– O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional.
– O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: . = = 7 é um número racional.
Exemplo: radicais( a raiz quadrada de um número natural, se não inteira, é irracional.
Números Reais
Fonte: www.estudokids.com.br
5
Representação na reta:
Intervalos limitados
Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou iguais a e menores do que b ou iguais a b.
Intervalo:[a,b]
Conjunto: {x ϵ R|a≤x≤b}
Intervalo aberto – números reais maiores que a e menores que b.
Intervalo:]a,b[
Conjunto:{xϵR|aa}
Potenciação
Multiplicação de fatores iguais
2³=2.2.2=8
Casos
1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1.
2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número.
3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em um número positivo.
4) Todo número negativo, elevado ao expoente ímpar, resulta em um número negativo.
5) Se o sinal do expoentefor negativo, devemos passar o sinal para positivo e inverter o número que está 
na base. 
7
6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do expoente, o resultado será igual a zero. 
Propriedades
1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e soma os expo-
entes.
Exemplos:
24 . 23 = 24+3= 27
(2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27
2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mesma base. Conserva-se a base e subtraem os expoen-
tes.
Exemplos:
96 : 92 = 96-2 = 94
3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e multiplica-se os expoentes.
Exemplos:
(52)3 = 52.3 = 56
4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um expoente, podemos elevar cada um a esse 
mesmo expoente.
(4.3)²=4².3²
5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos elevar separados.
Radiciação
Radiciação é a operação inversa a potenciação
8
Técnica de Cálculo
A determinação da raiz quadrada de um número torna-se mais fácil quando o algarismo se encontra fato-
rado em números primos. Veja: 
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
64=2.2.2.2.2.2=26
Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira-se” um e multiplica.
Observe: 
( ) 5.35.35.35.3 2
1
2
1
2
1
===
De modo geral, se:
,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++
Então:
nnn baba .. =
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice 
dos fatores do radicando.
Raiz quadrada de frações ordinárias
Observe: 
3
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
==




=
De
modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈
++ então: 
n
n
n
b
a
b
a
=
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao quociente dos radicais de mesmo 
índice dos termos do radicando.
Raiz quadrada números decimais
9
Operações
Operações
Multiplicação
Exemplo
Divisão
Exemplo
Adição e 
subtração
Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20.
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
Caso tenha: 
Não dá para somar, por isso, as raízes devem ficar desse modo.
Racionalização de Denominadores
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva 
à eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador. 
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
10
Devemos multiplicar de forma que obtenha uma diferença de quadrados no denominador:
Minimo múltiplo comum; Máximo divisor comum
 ▸ Múltiplos 
Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo:
O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o 
número dado por todos os números naturais.
M(3)={0,3,6,9,12,...}
 ▸ Divisores
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15.
D(12)={1,2,3,4,6,12}
D(15)={1,3,5,15}
Observações:
 ▪ Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
 ▪ Todo número natural é múltiplo de 1.
 ▪ Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
 ▪ O zero é múltiplo de qualquer número natural.
 ▸ Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns 
desses números.
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas:
 ▪ Decompor o número em fatores primos
 ▪ Tomar o fatores comuns com o menor expoente
 ▪ Multiplicar os fatores entre si.
11
Exemplo:
15 3 24 2
5 5 12 2
1 6 2
3 3
1
15 = 3.5 24 = 23.3
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c
(15,24) = 3
 ▸ Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
 ▪ Decompor os números em fatores primos.
 ▪ Multiplicar os fatores entre si.
Exemplo:
15,24 2
15,12 2
15,6 2
15,3 3
5,1 5
1
Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos.
Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é necessário 
que os dois sejam divisíveis ao mesmo tempo.
Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo.
Assim, o mmc (15,24) = 23.3.5 = 120
Exemplo:
O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mes-
ma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão esco-
lhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.
Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir
(A) mais de 30 cm.
(B) menos de 15 cm.
(C) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
(D) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
(E) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Resposta: A.
12
352 2 416 2
176 2 208 2
88 2 104 2
44 2 52 2
22 2 26 2
11 11 13 13
1 1
Devemos achar o mdc para achar a maior medida possível
E são os fatores que temos iguais:25=32
Porcentagem
A porcentagem representa uma razão cujo denominador é 100, ou seja, .
O termo por cento é abreviado usando o símbolo %, que significa dividir por 100 e, por isso, essa razão 
também é chamada de razão centesimal ou percentual
[ https://www.todamateria.com.br/calcular-porcentagem/].
Saber calcular porcentagem é importante para resolver problemas matemáticos, principalmente na matemá-
tica financeira para calcular descontos, juros, lucro, e assim por diante.
Calculando Porcentagem de um Valor
Para saber o percentual de um valor basta multiplicar a razão centesimal correspondente à porcentagem 
pela quantidade total.
Exemplo: para descobrir quanto é 20% de 200, realizamos a seguinte operação:
Generalizando, podemos criar uma fórmula para conta de porcentagem:
Se preferir, você pode fazer o cálculo de porcentagem da seguinte forma:
1º passo: multiplicar o percentual pelo valor.
20 x 200 = 4.000
2º passo: dividir o resultado anterior por 100.
 ▸ Calculando Porcentagem de Forma Rápida
Alguns cálculos podem levar muito tempo na hora de fazer uma prova. Pensando nisso, trouxemos dois 
métodos que te ajudarão a fazer porcentagem de maneira mais rápida.
13
Método 1: Calcular porcentagem utilizando o 1%
Você também tem como calcular porcentagem rapidamente utilizando o correspondente a 1% do valor.
Vamos continuar usando o exemplo do 20% de 200 para aprender essa técnica.
1º passo: dividir o valor por 100 e encontrar o resultado que representa 1%.
2º passo: multiplicar o valor que representa 1% pela porcentagem que se quer descobrir.
2 x 20 = 40
Chegamos mais uma vez à conclusão que 20% de 200 é 40.
Método 2: Calcular porcentagem utilizando frações equivalentes
As frações equivalentes representam a mesma porção do todo e podem ser encontradas dividindo o nume-
rador e o denominador da fração pelo mesmo número natural.
Veja como encontrar a fração equivalente de .
Se a fração equivalente de é , então para calcular 20% de um valor basta dividi-lo por 5. Veja como 
fazer:
Calcular porcentagem de aumentos e descontos
Aumentos e descontos percentuais podem ser calculados utilizando o fator de multiplicação ou fator multi-
plicativo.
Essa fórmula é diferente para acréscimo e decréscimo no preço de um produto, ou seja, o resultado será 
fatores diferentes.
 ▸ Fator multiplicativo para aumento em um valor
Quando um produto recebe um aumento, o fator de multiplicação é dado por uma soma.
Fator de multiplicação = 1 + i.
Exemplo: Foi feito um aumento de 25% em uma mercadoria que custava R$ 100. O valor final da mercadoria 
pode ser calculado da seguinte forma:
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 + 0,25.
Fator de multiplicação = 1,25.
14
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 1,25 = 125 reais.
Um acréscimo de 25% fará com que o valor final da mercadoria seja R$ 125.
 ▸ Fator multiplicativo para desconto em um valor
Para calcular um desconto de um produto, a fórmula do fator multiplicativo envolve uma subtração.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.Exemplo: Ao aplicar um desconto de 25% em uma mercadoria que custa R$ 100, qual o valor final da mer-
cadoria?
1º passo: encontrar a taxa de variação.
2º passo: aplicar a taxa na fórmula do fator multiplicativo.
Fator de multiplicação = 1 - 0,25.
Fator de multiplicação = 0,75.
3º passo: multiplicar o valor inicial pelo fator multiplicativo.
100 x 0,75 = 75 reais.
Razão e proporção
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a 
razão de a para b por a/b ou a : b. 
Exemplo: 
Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e 
o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
 ▸ Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a proprie-
dade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A x D = B x C
15
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
 ▸ Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou 
para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para 
o quarto termo. Então temos:
 
Ou 
Ou
Ou 
 ▸ Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença 
dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:
Ou
Ou
Ou
16
 ▸ Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª, ou de uma maneira mais informal, se eu 
pergunto:
Quanto mais.....mais....
Exemplo
Distância percorrida e combustível gasto
DISTÂNCIA (KM) COMBUSTÍVEL 
(LITROS)
13 1
26 2
39 3
52 4
Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível?
Diretamente proporcionais
Se eu dobro a distância, dobra o combustível
 ▸ Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Quanto mais....menos...
Exemplo
Velocidade x Tempo a tabela abaixo:
VELOCIDADE (M/S) TEMPO (S)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo??
Inversamente proporcional
Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela metade.
 ▸ Diretamente Proporcionais 
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se 
montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
17
A solução segue das propriedades das proporções:
Exemplo 
Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. 
Caso ganhem o prêmio de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de 
dividirem o prêmio de forma diretamente proporcional?
Carlos ganhará R$210000,00 e João R$315000,00.
 ▸ Inversamente Proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta 
decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. A montagem 
do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso
cuja solução segue das propriedades das proporções:
Regra de três simples e composta
 ▸ Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
18
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2) Identificação do tipo de relação:
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
 ▸ Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão neces-
sários para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
19
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões.
Equações do 1º e do 2º graus
Equação 1º grau
Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais 
letras que representam números desconhecidos.
Equação do 1º grau, na incógnita x, é toda equação redutível à forma ax + b = 0, em que a e b são números 
reais, chamados coeficientes, com a ≠ 0.
Uma raiz da equação ax + b = 0 (a ≠ 0) é um valor numérico de x que, substituindo no 1º membro da equa-
ção, torna-se igual ao 2º membro.
Para entender melhor, podemos exemplificar utilizando uma balança:
A balança deixa os dois lados iguais para equilibrar, a equação também.
No exemplo temos: 
3x + 300
No outro lado: x+1000+500
E o equilíbrio?
3x + 300= x + 1500
Quando passamos de um lado para o outro invertemos o sinal
3x - x = 1500-300
2x = 1200
x = 600
Exemplo:
(PREF. DE NITERÓI/RJ – Fiscal de Posturas – FGV/2015) A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao do-
bro da soma das idades de seus dois filhos, Paulo e Pierre. Pierre é três anos mais velho do que Paulo. Daqui 
a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade que Pedro tem hoje.
20
A soma das idades que Pedro, Paulo e Pierre têm hoje é:
(A) 72.
(B) 69.
(C) 66.
(D) 63.
(E) 60.
Resolução:
A ideia de resolver as equações é literalmente colocar na linguagem matemática o que está no texto.
“Pierre é três anos mais velho do que Paulo”
Pi = Pa + 3
“Daqui a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade que Pedro tem hoje.”
A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das idades de seus dois filhos,
Pe = 2 (Pi+Pa)
Pe = 2Pi + 2Pa
Lembrando que:
Pi=Pa+3
Substituindo em Pe:
Pe=2(Pa+3)+2PaPe=2Pa+6+2Pa
Pe=4Pa+6
Pa+3+10=2Pa+3
Pa=10
Pi=Pa+3
Pi=10+3=13
Pe=40+6=46
Soma das idades: 10+13+46=69
Resposta: B.
21
Equação 2º grau
A equação do segundo grau é representada pela fórmula geral:
ax2+bx+c=0
Onde a, b e c são números reais, a≠0.
Discussão das Raízes
Exemplo:
Se ∆ 0, há soluções reais diferentes:
 ▸ Relações entre Coeficientes e Raízes
Dada as duas raízes:
 ▸ Soma das Raízes:
 ▸ Produto das Raízes
Composição de uma equação do 2ºgrau, conhecidas as raízes:
Podemos escrever a equação da seguinte maneira:
x² - Sx + P = 0
Exemplo
Dada as raízes -2 e 7. Componha a equação do 2º grau.
Solução
S=x1+x2=-2+7=5
P=x1.x2=-2.7=-14
Então a equação é: x²-5x-14=0
Exemplo
(IMA – Analista Administrativo Jr – SHDIAS/2015) A soma das idades de Ana e Júlia é igual a 44 anos, e, 
quando somamos os quadrados dessas idades, obtemos 1000. A mais velha das duas tem:
(A) 24 anos
(B) 26 anos
23
(C) 31 anos
(D) 33 anos
Resolução
A+J=44
A²+J²=1000
A=44-J
(44-J)²+J²=1000
1936-88J+J²+J²=1000
2J²-88J+936=0 
Dividindo por 2:
J²-44J+468=0
∆=(-44)²-4.1.468
∆=1936-1872=64
Substituindo em A:
A=44-26=18
Ou A=44-18=26
Resposta: B.
Inequação
Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma ou mais incógnitas, que ao contrário da 
equação que utiliza um sinal de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de desigualdade:
>: maior
 2x – 2
4x – 2x > – 2 – 12
2x > – 14
x > –14/2
x > – 7
 ▸ Inequação – Produto
Quando se trata de inequações - produto, teremos uma desigualdade que envolve o produto de duas ou 
mais funções. Portanto, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada função e obter a 
resposta final realizando a intersecção do conjunto resposta das funções.
Exemplo:
a)(-x+2)(2x-3)0
ax²+bx+c≥0
ax²+bx+cde múltiplos porque resultam de uma 
multiplicação que tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente 
como referência o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa medida base - o 
metro.
1 https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
30
Medidas de Capacidade
As medidas de capacidade representam as unidades usadas para definir o volume no interior de um reci-
piente.
[ https://www.todamateria.com.br/medidas-de-capacidade/] 
A principal unidade de medida da capacidade é o litro (L).
O litro representa a capacidade de um cubo de aresta igual a 1 dm. Como o volume de um cubo é igual a 
medida da aresta elevada ao cubo, temos então a seguinte relação:
1 L = 1 dm³
 ▸ Mudança de Unidades
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Entretanto, também é usado o quilolitro(kL), hectolitro(hL) e 
decalitro que são seus múltiplos e o decilitro, centilitro e o mililitro que são os submúltiplos.
Como o sistema padrão de capacidade é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos são 
feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10.
Para transformar de uma unidade de capacidade para outra, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplo: fazendo as seguintes transformações:
a) 30 mL em L
Observando a tabela acima, identificamos que para transformar de ml para L devemos dividir o número três 
vezes por 10, que é o mesmo que dividir por 1000. Assim, temos:
30 : 1000 = 0,03 L
Note que dividir por 1000 é o mesmo que “andar” com a vírgula três casa diminuindo o número.
b) 5 daL em dL
Seguindo o mesmo raciocínio anterior, identificamos que para converter de decalitro para decilitro devemos 
multiplicar duas vezes por 10, ou seja, multiplicar por 100.
5 . 100 = 500 dL
c) 400 cL em L
Para passar de centilitro para litro, vamos dividir o número duas vezes por 10, isto é, dividir por 100:
400 : 100 = 4 L
Medida de Volume
As medidas de volume representam o espaço ocupado por um corpo. Desta forma, podemos muitas vezes 
conhecer a capacidade de um determinado corpo conhecendo seu volume.
A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico (m³), sendo ainda utilizados seus múltiplos (km³, 
hm³ e dam³) e submúltiplos (dm³, cm³ e mm³).
31
Em algumas situações é necessário transformar a unidade de medida de volume para uma unidade de me-
dida de capacidade ou vice-versa. Nestes casos, podemos utilizar as seguintes relações:
1 m³ = 1 000 L
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
Exemplo: Um tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo com as seguintes dimensões: 1,80 m de 
comprimento, 0,90 m de largura e 0,50 m de altura. A capacidade desse tanque, em litros, é:
A) 0,81
B) 810
C) 3,2
D) 3200
Para começar, vamos calcular o volume do tanque, e para isso, devemos multiplicar suas dimensões:
V = 1,80 . 0,90 . 0,50 = 0,81 m³
Para transformar o valor encontrado em litros, podemos fazer a seguinte regra de três:
Assim, x = 0,81 . 1000 = 810 L.
Portanto, a resposta correta é a alternativa b.
Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg)[ https://www.todamateria.
com.br/medidas-de-massa/]. Um cilindro de platina e irídio é usado como o padrão universal do quilograma.
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg) e miligrama (mg).
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equiva-
lente a 1000 kg.
 ▸ Unidades de medida de massa
As unidades do sistema métrico decimal de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama 
(dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg), miligrama (mg).
Utilizando o grama como base, os múltiplos e submúltiplos das unidades de massa estão na tabela a seguir.
Além das unidades apresentadas existem outras como a tonelada, que é um múltiplo do grama, sendo que 
1 tonelada equivale a 1 000 000 g ou 1 000 kg. Essa unidade é muito usada para indicar grandes massas.
A arroba é uma unidade de medida usada no Brasil, para determinar a massa dos rebanhos bovinos, suínos 
e de outros produtos. Uma arroba equivale a 15 kg.
32
O quilate é uma unidade de massa, quando se refere a pedras preciosas. Neste caso 1 quilate vale 0,2 g.
Conversão de unidades
Como o sistema padrão de medida de massa é decimal, as transformações entre os múltiplos e submúltiplos 
são feitas multiplicando-se ou dividindo-se por 10[ https://www.todamateria.com.br/medidas-de-massa/].
Para transformar as unidades de massa, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplos: 
a) Quantas gramas tem 1 kg?
Para converter quilograma em grama basta consultar o quadro acima. Observe que é necessário multiplicar 
por 10 três vezes.
1 kg → g
1 kg x 10 x 10 x 10 = 1 x 1000 = 1.000 g
b) Quantos quilogramas tem em 3.000 g?
Para transformar grama em quilograma, vemos na tabela que devemos dividir o valor dado por 1.000. Isto 
é o mesmo que dividir por 10, depois novamente por 10 e mais uma vez por 10.
3.000 g → kg
3.000 g : 10 : 10 : 10 = 3.000 : 1.000 = 3 kg
c) Transformando 350 g em mg.
Para transformar de grama para miligrama devemos multiplicar o valor dado por 1.000 (10 x 10 x 10).
350 g → mg
350 x 10 x 10 x 10 = 350 x 1000 = 350.000 mg
Medidas de Tempo
Existem diversas unidades de medida de tempo, por exemplo a hora, o dia, o mês, o ano, o século. No 
sistema internacional de medidas a unidades de tempo é o segundo (s)[ https://www.todamateria.com.br/medi-
das-de-tempo/].
 ▸ Horas, Minutos e Segundos
Muitas vezes necessitamos transformar uma informação que está, por exemplo, em minuto para segundos, 
ou em segundos para hora.
Para tal, devemos sempre lembrar que 1 hora tem 60 minutos e que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta 
forma, 1 hora corresponde a 3.600 segundos.
Assim, para mudar de hora para minuto devemos multiplicar por 60. Por exemplo, 3 horas equivalem a 180 
minutos (3 . 60 = 180).
33
O diagrama abaixo apresenta a operação que devemos fazer para passar de uma unidade para outra.
Em algumas áreas é necessário usar medidas com precisão maior que o segundo. Neste caso, usamos 
seus submúltiplos. Assim, podemos indicar o tempo decorrido de um evento em décimos, centésimos ou milé-
simos de segundos. Por exemplo, nas competições de natação o tempo de um atleta é medido com precisão 
de centésimos de segundo.
 ▸ Instrumentos de Medidas
Para medir o tempo utilizamos relógios que são dispositivos que medem eventos que acontecem em inter-
valos regulares.
Os primeiros instrumentos usados para a medida do tempo foram os relógios de Sol, que utilizavam a som-
bra projetada de um objeto para indicar as horas.
Foram ainda utilizados relógios que empregavam escoamento de líquidos, areia, queima de fluidos e dispo-
sitivos mecânicos como os pêndulos para indicar intervalos de tempo.
 ▸ Outras Unidades de Medidas de Tempo
O intervalo de tempo de uma rotação completa da terra equivale a 24h, que representa 1 dia.
O mês é o intervalo de tempo correspondente a determinado número de dias. Os meses de abril, junho, 
setembro, novembro têm 30 dias. Já os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro pos-
suem 31 dias. O mês de fevereiro normalmente têm 28 dias. Contudo, de 4 em 4 anos ele têm 29 dias.
O ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa ao redor do Sol. Normalmente, 1 ano corres-
ponde a 365 dias, no entanto, de 4 em 4 anos o ano têm 366 dias (ano bissexto).
Na tabela abaixo relacionamos algumas dessas unidades:
34
 ▸ Tabela de Conversão de Medidas
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grande-
zas que queremos converter, por exemplo:
 ▪ Capacidade: litro (l)
 ▪ Comprimento: metro (m)
 ▪ Massa: grama (g)
 ▪ Volume: metro cúbico (m3)
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Osprefixos deci, centi e mili 
correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, 
cem e mil vezes a unidade fundamental.
Exemplos:
a) Quantos mililitros correspondem 35 litros?
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. Lem-
brando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem ficar 
na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro.
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará sempre 
atrás dos algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml.
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml.
35
b) Transformando 700 gramas em quilogramas.
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste 
caso g e os demais algarismos nas casas anteriores.
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A 
vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma.
Então 700 g corresponde a 0,7 kg.
Relação entre grandezas - tabela e gráfico
Os gráficos de barras são uma forma visual de representar dados por meio de retângulos verticais ou hori-
zontais de comprimentos variáveis. Eles são úteis para comparar quantidades ou mostrar mudanças ao longo 
do tempo. Existem diferentes tipos de gráficos de barras, cada um com suas características e usos específicos, 
são eles:
 ▪ Barras: é o tipo mais básico de gráfico, as barras representam os valores de uma única categoria ou 
variável. Cada barra é posicionada em relação a uma categoria específica no eixo horizontal e sua altura ou 
comprimento representa o valor da variável no eixo vertical.
 ▸ Barra vertical
Fonte: https://pt.vecteezy.com/arte-vetorial/6216458-representacao-grafico-de-um-grafico-de-barras-
-vertical-chamado-grafico-de-coluna
36
 ▸ Barra horizontal
Fonte: https://acervolima.com/como-desenhar-um-grafico-de-barras-horizontal-em-r/
Histogramas
São gráficos de barras que mostram a frequência de uma variável específica, sendo importante ressaltar 
que eles representam faixas de valores no eixo x.
Fonte: http://www.leg.ufpr.br/~silvia/CE003/node14.html
 ▪ Setor ou pizza: o gráfico de pizza é uma ferramenta visual utilizada para representar a distribuição propor-
cional de diferentes partes de um todo. Ele é composto por um círculo dividido em fatias, onde cada fatia repre-
senta uma parte ou categoria do conjunto total. Essas partes são representadas por proporções angulares, ou 
seja, o tamanho de cada fatia é proporcional à quantidade que ela representa em relação ao todo.
Observe o exemplo:
37
 ▪ Linhas: o gráfico de linhas é uma representação visual que utiliza pontos conectados por linhas retas para 
mostrar a evolução ou tendência de um conjunto de dados ao longo do tempo ou de alguma outra variável con-
tínua. Ele é especialmente útil para visualizar mudanças e padrões em dados ao longo de períodos distintos.
Fonte: https://www.siteware.com.br/blog/indicadores/graficos-de-indicadores/
 ▪ Pictogramas: os pictogramas são representações gráficas de objetos, conceitos ou quantidades por meio 
de imagens ou ícones. Eles são uma forma eficaz de transmitir informações de maneira visual e intuitiva, sendo 
amplamente utilizados em diversos contextos, desde a sinalização urbana até a representação de dados esta-
tísticos em relatórios e apresentações.
 ▪ Tabelas: as tabelas são recursos gráficos utilizados para organizar e apresentar dados de forma sistemá-
tica e estruturada. Elas são compostas por linhas e colunas, onde os dados são dispostos de maneira organi-
zada para facilitar a leitura e interpretação.
Aparelho Quantidade
Televisão 3
Celular 4
Geladeira 1
38
Tratamento da informação - média aritmética simples
As medidas de tendência central representam, de forma geral, um valor ao redor do qual os dados estão 
distribuídos.
▸Média Aritmética
A média aritmética pode ser classificada em:
▪ Simples: Obtida pela soma de todos os elementos do conjunto, dividida pela quantidade total de elementos 
(n).
A fórmula para o cálculo da média aritmética de um conjunto 
é:
▸Média Aritmética Ponderada
A média ponderada é calculada somando-se os produtos de cada elemento pelo seu respectivo peso e 
dividindo pelo total dos pesos. Sua fórmula é:
Noções de Geometria - forma, ângulos, área, perimetro, volume, Teoremas de Pitágoras 
e de Tales
A geometria é uma área da matemática que estuda as formas geométricas desde comprimento, área 
e volume2. O vocábulo geometria corresponde a união dos termos “geo” (terra) e “metron” (medir), ou 
seja, a “medida de terra”.
A Geometria é dividida em três categorias:
- Geometria Analítica; 
- Geometria Plana;
- Geometria Espacial;
Assim, a geometria analítica, também chamada de geometria cartesiana, une conceitos de álgebra e 
geometria através dos sistemas de coordenadas. Os conceitos mais utilizados são o ponto e a reta.
Enquanto a geometria plana ou euclidiana reúne os estudos sobre as figuras planas, ou seja, as que não 
apresentam volume, a geometria espacial estuda as figuras geométricas que possuem volume e mais de uma 
dimensão.
2 https://www.todamateria.com.br/matematica/geometria/#:~:text=A%20geometria%20%C3%A9%20uma%20%C3%A1rea,Geometria%20
Anal%C3%ADtica
39
— Geometria Plana
É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, 
retângulos, circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos)3.
Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir 
das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma geométrica. 
Algumas fórmulas de geometria plana:
— Teorema de Pitágoras
Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que 
formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).
Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²
— Lei dos Senos
Lembre-se que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. A lei dos senos e lei dos 
cossenos existe para facilitar os cálculos para todos os tipos de triângulos.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
Para qualquer triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O e raio R, temos que:
— Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de triângulo, mesmo que ele não tenha um ângulo 
de 90º. Basta conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois lados (arestas) do triângulo.
Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.
3 https://bityli.com/BMvcWO
40
Para qualquer triângulo ABC, temos que:
— Relações Métricas do Triângulo Retângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas podem facilitar a 
resolução das questões em que o Teorema de Pitágoras é aplicável.
Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais dos catetos, temos 
o seguinte:
- Onde a é hipotenusa;
- b e c são catetos;
- m e n são projeções ortogonais;
- h é altura.
41
— Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas.
Se as retas CC’, BB’ e AA’ são paralelas, então:
— Fórmulas Básicas de Geometria Plana
Polígonos
O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do polígono.
Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas:
42
Fórmulas da Circunferência
Conversão para radiano, comprimento e área do círculo:
Conversão de unidades: π rad corresponde a 180°.
Comprimento de uma circunferência: C = 2 · π · R.
Área de uma circunferência: A = π · R²
— Geometria Espacial 
É a frente matemática queestuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três 
dimensões: comprimento, largura e altura.
Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.
Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma 
figura formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, 
paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a aula de Geometria espacial sobre prisma e esfera.
— Fórmulas de Geometria Espacial
Fórmula do Poliedro: Relação de Euler
Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:
V + F = A + 2
Fórmulas da Esfera
43
Fórmulas do Cone
Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura.
Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R²
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H
Fórmulas do cilindro
Área da base de um cilindro: Ab = π · r².
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h.
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r² · h.
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h.
44
Fórmulas do Prisma
O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a seguir, o prisma tem 
base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.
Diagonal de um paralelepípedo: .
Área total de um paralelepípedo: .
Volume de um paralelepípedo: .
Prismas retos são sólidos cujas faces laterais são formadas por retângulos.
Volume de um prisma: 
Fórmulas da Pirâmide Regular
Para uma pirâmide regular reta, temos:
Área da Base (AB): área do polígono que serve de base para a pirâmide.
Área Lateral (AL): soma das áreas das faces laterais, todas triangulares.
Área Total (AT): soma das áreas de todas as faces: AT = AB + AL.
Volume (V): V = . AB . h.
E sendo a (apótema da base), h (altura), g (apótema da pirâmide), r (raio da base), b (aresta da base) e t 
(aresta lateral), temos pela aplicação de Pitágoras nos triângulos retângulos.
h² + r² = t²
h² + a² = g²
45
Fórmulas do Tetraedro Regular
Para o tetraedro regular de aresta medindo a, temos:
Altura da face = 
Altura do tetraedro = 
Área da face: AF = 
Área total: AT = 
Volume do tetraedro: 
— Geometria Analítica
A geometria analítica utiliza coordenadas e funções do plano cartesiano para solucionar perguntas 
matemáticas. É a área da matemática que relaciona a álgebra com a geometria. A álgebra utiliza variáveis para 
representar os números e u utiliza fórmulas matemáticas.
Conhecer essa frente da matemática também é importante para resolver questões de Física. Por exemplo, 
o cálculo da área em um plano cartesiano pode informar o deslocamento (ΔS) se o eixo x e o eixo y informarem 
a velocidade e o tempo.
O primeiro passo para estudar essa matéria é aprender o conceito de ponto e reta.
- Um ponto determina uma posição no espaço.
- Uma reta é um conjunto de pontos.
- Um plano é um conjunto infinito com duas dimensões.
Entender a relação entre ponto, reta e plano é importante para resolver questões com coordenadas no plano 
cartesiano, mas também para responder perguntas sobre a definição de ponto, reta e plano, e a posição relativa 
entre retas, reta e plano e planos.
Para representar um ponto (A, por exemplo) em um plano cartesiano, primeiro você deve indicar a posição 
no eixo x (horizontal) e depois no eixo y (vertical). Assim, segue as coordenadas seguem o modelo A (xa,ya).
— Equação Fundamental da Reta
A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:
y – y0 = m . (x – x0)
46
Equação Reduzida e Equação Geral da Reta
• Equação reduzida: y = mx + q e m = tgα.
• Equação geral: ax + by + c = 0.
— Distância entre Dois Pontos
O ponto médio M do segmento de extremos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dado por:
A distância d entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é dada por:
47
Questões
1. VUNESP - 2024
Em um ginásio esportivo, a saída dos torcedores é feita por 2 portões, A e B, de maneira que saem, por 
segundo, 7 torcedores pelo portão A, e 10 pelo portão B. Certo dia, a saída de todos os torcedores por ess-
es portões levou 22 minutos, com os torcedores passando continuamente, durante esse período, pelos dois 
portões.
O total de torcedores que estavam nesse ginásio era
(A) 11 110.
(B) 15 400.
(C) 22 440.
(D) 30 800.
(E) 37 400.
2. VUNESP - 2024 
Em um depósito, há determinado número de caixas com lâmpadas. Em 5 dessas caixas, há 12 lâmpadas 
em cada uma delas, e, em cada uma das caixas restantes, há 15 lâmpadas. Se o número total de lâmpadas de 
todas essas caixas juntas é 240, o número total de caixas com lâmpadas que há nesse depósito é 
(A) 17.
(B) 16.
(C) 15.
(D) 14.
(E) 12.
3. VUNESP - 2024
Marília saiu de casa com X reais. Gastou 3/8 de X comprando verduras. Em seguida, ela comprou um pacote 
de arroz, que custou R$ 25,00, e o dinheiro acabou. A quantia que o arroz custou a mais que as verduras é: 
(A) R$ 8,00. 
(B) R$ 10,00. 
(C) R$ 12,00. 
(D) R$ 15,00. 
(E) R$ 18,00.
48
4. VUNESP - 2024 
Em determinado dia, 2/9 das pessoas que foram a uma academia praticaram natação. Nesse dia, correram 
na esteira 3/4 daqueles que não praticaram natação e 1/8 dos que praticaram natação.
Se nesse dia 484 pessoas correram na esteira, o número dos que praticaram natação foi 
(A) 121.
(B) 176.
(C) 206.
(D) 274.
(E) 363.
5. VUNESP - 2024
Um sistema de alarmes emite sinais luminosos, na sala de acompanhamento, em três cores diferentes, e 
cada uma delas com uma frequência diferente: a cor azul a cada 4 minutos, a amarela a cada 18 minutos e a 
vermelha a cada 30 minutos. Ao ser iniciado, todas as manhãs às 8 horas, o sistema emite os três sinais simul-
taneamente. O funcionário que acionou o sistema às 8 horas e que permaneceu vigilante até às 11 horas, viu o 
sistema de alarme acionar apenas duas cores simultaneamente um número de vezes igual a
(A) 13.
(B) 11.
(C) 9.
(D) 7.
(E) 5.
6. VUNESP - 2024
Um comerciante contratou tempo de transmissão em 3 rádios para fazer a propaganda de sua empresa. Ele 
combinou que a propaganda iria ao ar, em uma das rádios, a cada 48 minutos, em outra rádio, a cada 1 hora e 
04 minutos e, na terceira rádio, a cada 1 hora e 12 minutos. Se às 8 h de certo dia as três rádios iniciaram, ao 
mesmo tempo, a transmissão da propaganda, a próxima vez em que as três rádios iniciarão, simultaneamente, 
uma transmissão da propaganda dessa empresa será,
(A) no mesmo dia, às 11 h 04 min. 
(B) no mesmo dia, às 17 h 36 min.
(C) no mesmo dia, às 20 h. 
(D) no dia seguinte, às 6 h 12 min.
(E) no dia seguinte, às 10 h 16 min.
49
7. VUNESP - 2024
Em uma competição de corrida o tempo médio de todos os participantes foi de percorrer o percurso em 1 
hora 42 minutos 24 segundos. Sabe-se que o atleta que chegou em primeiro lugar gastou o equivalente a terça 
parte do tempo médio para realizar sua corrida, e o último colocado gastou um tempo 50% a mais do que o 
tempo médio do grupo todo.
Com essas informações, é correto afirmar que a diferença de tempo entre o primeiro e o último colocado foi 
de
(A) 1 hora 56 minutos e 36 segundos.
(B) 1 hora 58 minutos e 12 segundos.
(C) 1 hora 59 minutos e 28 segundos.
(D) 2 horas 2 minutos e 24 segundos.
(E) 2 horas 8 minutos e 12 segundos.
8. VUNESP - 2024
Duas lojas concorrem na venda de um determinado produto. No dia 14 de março, o preço desse produto 
na loja B era 10% menor do que o preço praticado na loja A. No dia 15 de março, o preço do produto na loja A 
foi oferecido com um desconto de 20% em relação ao cobrado no dia anterior. Nesse mesmo dia 15, a loja B 
também ofereceu um desconto no produto em relação ao cobrado no dia anterior, de maneira que, nesse dia, 
o preço nas duas lojas ficou o mesmo.
O desconto aplicado pela loja B no dia 15 está compreendidoentre
(A) 8% e 9%.
(B) 9% e 10%.
(C) 10% e 11%. 
(D) 11% e 12%.
(E) 12% e 13%.
9. VUNESP - 2024 
Os funcionários de uma empresa votaram para escolher seus representantes junto à diretoria. No dia da 
votação, foram determinados 3 horários para que os funcionários fossem votar. No primeiro horário, 15% dos 
funcionários votaram, no segundo horário, votaram 20% daqueles que ainda não haviam votado, no terceiro 
horário, votaram 6 em cada 17 daqueles que ainda não havia votado, e os demais não votaram.
A porcentagem de funcionários dessa empresa que não votaram é:
(A) 56%
(B) 68%
(C) 24%
(D) 44%
(E) 32%
50
10. VUNESP - 2024 
A tabela a seguir mostra os números totais de alunos matriculados nos cursos A, B, C e D de uma Univer-
sidade:
Analisando os dados dessa tabela, é correto afirmar que o número de alunos matriculados no curso
(A) B é 30% maior do que o número de alunos matriculados no curso A.
(B) C é 30% maior do que o número de alunos matriculados no curso B. 
(C) D é 60% maior do que o número de alunos matriculados no curso B.
(D) C é 60% maior do que o número de alunos matriculados no curso A.
(E) D é 50% maior do que o número de alunos matriculados no curso A.
11. VUNESP - 2024 
Para construir um muro, 8 operários, todos trabalhando com a mesma produção, gastaram 13 horas de 
trabalho. Doze operários, com a mesma produtividade dos anteriores, construirão um muro idêntico em um 
período de tempo de trabalho igual a
(A) 7 horas e 40 minutos. 
(B) 8 horas.
(C) 8 horas e 20 minutos.
(D) 8 horas e 40 minutos.
(E) 9 horas.
12. VUNESP - 2024
Trabalhavam em uma empresa 1250 funcionários, sendo que a razão entre o número de homens e o número 
de mulheres era igual a 7/3. Durante alguns meses, a empresa resolveu demitir, mês a mês, o mesmo número 
de homens. Ao mesmo tempo, também mês a mês, a empresa admitiu o mesmo número de mulheres, de modo 
a manter sempre os 1250 funcionários. A empresa executou essa política durante cinco meses e conseguiu que 
a razão entre o número de homens funcionários e o número de mulheres funcionárias se tornasse 1/4.
Após as demissões e contratações do terceiro mês no qual essa política foi executada, essa razão, entre 
número de homens e número de mulheres era igual a
(A) 13/7
(B) 11/5
(C) 6/7
(D) 3/4
(E) 2/3
51
13. VUNESP - 2023
O tamanho da tela de uma TV é dado em polegadas — RASCUNHO medida que equivale a 2,54 centímet-
ros. A Sociedade de Engenheiros de Cinema e Televisão dos EUA (SMPTE) recomenda que para saber a dis-
tância “ideal” entre o assento e o aparelho de TV utilize-se o seguinte cálculo:
(Disponível em: https://www.tecmundo.com.br/produto/217407-telas-tv-medidas-polegadas.htm. Acesso 
em: 06.11.2022. Adaptado)
Para uma TV de 50 polegadas, a distância entre o assento e o aparelho deverá ser de, aproximadamente,
(A) 2,0 metros.
(B) 2,5 metros.
(C) 3,0 metros.
(D) 3,5 metros.
(E) 4,0 metros.
14. VUNESP - 2023
Considere o seguinte trecho de uma reportagem, publicada por um jornal eletrônico, em 28.06.2023: Famo-
sa por ser a menor cidade do país, a pequena Borá, na região de Presidente Prudente, no Oeste do estado de 
São Paulo, cresceu 12,7% nos últimos 12 anos, do último Censo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatísti-
ca, e perdeu o posto para o município mineiro de Serra da Saudade. (https://www.metropoles.com/sao-paulo/ 
bora-cresce-12-e-deixa-de-ser-a-menor-cidade-do-pais-segundo-ibge)
Sabendo-se que na reportagem é citado que, no levantamento de 2022, foram registrados 907 habitantes 
no município de Borá, é correto afirmar que, no Censo feito há 12 anos, o número de habitantes registrado no 
município de Borá era de
(A) 818.
(B) 811.
(C) 805.
(D) 798.
(E) 792.
15. VUNESP - 2022
Uma empresa possui 40 manobristas, e certo dia alguns deles faltaram devido a problemas de saúde. O 
total de gorjetas recebidas, nesse dia, foi inicialmente dividido igualmente entre os manobristas presentes, mas 
foi decidido que cada presente daria R$ 2,00 para cada manobrista que faltou e, dessa maneira, o total recebido 
pelos manobristas que faltaram foi R$ 462,00.
A diferença entre os números de manobristas presentes e ausentes, nesse dia, foi
(A) 32.
(B) 30.
(C) 28.
(D) 26.
(E) 24.
52
16. VUNESP - 2021 
Um engenheiro está projetando um reservatório de água, na forma de um paralelepípedo retângulo, cujo 
volume total deve ser de 15 m3 . Os requisitos do projeto – que é representado, fora de escala, na figura a 
seguir – são: sua largura deve ser de 4 metros; e seu comprimento deve ser 1 metro maior do que sua altura. 
Todas as medidas indicadas na figura estão em metros. 
Considere o valor obtido para a altura x do reservatório. Então, se escrevermos x na forma fracionária irre-
dutível, a soma de seu numerador com seu denominador será igual a
(A) 3. 
(B) 5.
(C) 7.
(D) 9.
(E) 11.
17. VUNESP - 2024 
O consumo de energia elétrica de uma residência está mostrado no gráfico a seguir.
Observe que cada mês, de Agosto a Dezembro, sofreu uma variação percentual, de aumento ou de re-
dução, em relação ao mês anterior. O mês que sofreu a maior dessas variações foi:
(A) Agosto.
(B) Setembro.
(C) Outubro.
(D) Novembro.
(E) Dezembro.
53
18. VUNESP - 2024 
Do total de infrações de trânsito cometidas em determinado município, em abril de 2024, o gráfico repre-
senta algumas informações sobre a distribuição dessas infrações, de acordo com a categoria dos veículos com 
as quais foram cometidas essas infrações:
Sabendo-se que, naquele mês, o setor correspondente às infrações cometidas com caminhões ou mi-
cro-ônibus, em número de 40, tinha medida de ângulo central igual a 48º, e que o ângulo central do setor cor-
respondente às infrações cometidas com motocicletas tinha medida de 120º, o número de infrações cometidas 
com carros ou utilitários pequenos foi igual a
(A) 150.
(B) 160.
(C) 170.
(D) 180.
19. Prova: VUNESP - 2024
A figura a seguir, fora de escala, representa o piso de uma sala e algumas de suas medidas.
Para preencher esse piso com placas de cerâmica, quadradas, com 40 cm de lado, são necessárias 
(A) 850 placas.
(B) 925 placas.
(C) 975 placas.
(D) 1025 placas.
(E) 1100 placas.
54
20. VUNESP - 2024
Um bloco de madeira, na forma de um prisma reto de base quadrada, tem 35 cm de altura, conforme mostra 
a figura. 
Se o perímetro da face pintada, destacada na figura, é 110 cm, o volume desse bloco é de 
(A) 16 500 cm3 .
(B) 14 000 cm3 .
(C) 12 000 cm3 . 
(D) 9 500 cm3 .
(E) 7 000 cm3 .
55
Gabarito
1 C
2 A
3 B
4 B
5 E
6 B
7 C
8 D
9 D
10 C
11 D
12 E
13 A
14 C
15 D
16 B
17 C
18 B
19 C
20 B