Filtros passivos e ativos (1)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
Filtros passivos e ativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Laboratório de Sinais e sistemas lineares I 
 
Discentes: | RA: 133607 Matheus Henrique Rossi
 
 
 
 
Docente: Guilherme Américo Rosa 
 
 
 
MARINGÁ 
2025 
 
 
 
mailto:ra133607@uem.br
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO.....................................................................................................................3 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................................4 
3. MODELAGEM E SIMULAÇÃO........................................................................................8 
3.1 Definição das especificações............................................................................................... 8 
3.2 Modelagem matemática manual........................................................................................8 
3.3 Implementação no Octave.................................................................................................. 9 
3.4 Validação com Funções Nativas do Octave.......................................................................9 
3.5 Aplicação Prática: Filtragem de Sinais com Ruído....................................................... 10 
3.6 Análise dos resultados.......................................................................................................10 
3.7 Código completo no octave:..............................................................................................11 
3.8 Análise dos gráficos...........................................................................................................15 
4. CONCLUSÃO..................................................................................................................... 20 
5. REFERÊNCIAS.................................................................................................................. 21 
 
2 
 
1. INTRODUÇÃO 
A área de processamento de sinais desempenha um papel central na engenharia 
elétrica, sendo amplamente aplicada em sistemas de controle, comunicações, instrumentação e 
eletrônica. Dentro desse contexto, os filtros eletrônicos são dispositivos indispensáveis, 
utilizados para modificar o espectro de frequência de sinais, atenuando ou eliminando 
componentes indesejados e preservando as informações relevantes. 
De modo geral, os filtros classificam-se em passivos e ativos. Os filtros passivos são 
compostos exclusivamente por elementos como resistores, capacitores e indutores, 
apresentando simplicidade construtiva, porém com limitações quanto ao ganho e ao 
desempenho em baixas frequências. Já os filtros ativos utilizam amplificadores operacionais 
em conjunto com resistores e capacitores, permitindo maior flexibilidade no projeto, controle 
preciso da resposta em frequência, além da vantagem de não exigir indutores. 
Este relatório tem como propósito analisar e comparar os principais tipos de filtros, 
com foco nos filtros Butterworth e Chebyshev, além de explorar a topologia Sallen & Key, 
amplamente utilizada em implementações práticas de filtros ativos. O estudo contempla tanto 
os aspectos teóricos — como a modelagem matemática e o comportamento em frequência — 
quanto os práticos, por meio de simulações computacionais em Octave, que incluem a 
aplicação de filtros projetados na remoção de ruídos de sinais compostos. 
Por fim, será evidenciada a relevância da simulação computacional como ferramenta 
de apoio ao projeto de sistemas eletrônicos, permitindo antecipar o comportamento de filtros 
em diferentes condições de operação e viabilizando decisões mais assertivas durante a etapa 
de implementação. 
 
 
 
 
 
3 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Nos sistemas eletrônicos, sinais podem ser contaminados por ruídos provenientes de 
fontes externas, interferência de outros dispositivos ou variações no próprio sistema. Filtros 
eletrônicos são essenciais para isolar a informação desejada, eliminando componentes 
indesejados de frequência e garantindo a integridade do sinal. Isso é especialmente relevante 
em áreas como: 
● telecomunicações, onde sinais de voz e dados precisam ser separados e amplificados 
seletivamente; 
● instrumentação, para medir sinais sensíveis em meio a ruídos ambientais; 
● sistemas de controle, nos quais a resposta de sensores precisa ser precisa e livre de 
interferência. 
Ao permitir a manipulação seletiva do conteúdo espectral de um sinal, filtros são 
fundamentais para o funcionamento eficiente e estável desses sistemas. 
Os filtros podem ser agrupados de acordo com sua arquitetura física e função em 
frequência. 
a) Quanto à natureza dos componentes 
● Filtros passivos: Compostos apenas por componentes lineares e passivos (resistores, 
capacitores, indutores). São geralmente simples, mas não amplificam sinais e podem 
apresentar desempenho limitado em baixas frequências. 
● Filtros ativos: Incorporam amplificadores operacionais, em conjunto com resistores e 
capacitores. São capazes de amplificar, modular e selecionar faixas de frequência com 
maior precisão e sem a necessidade de indutores. 
 
b) Quanto à função de frequência 
Cada filtro pode ser projetado para realçar ou suprimir determinadas faixas espectrais: 
● Passa-Baixa (LPF): Permite a passagem de frequências abaixo de um valor de corte 
 ; 𝑓
𝑐
● Passa-Alta (HPF): Permite a passagem de frequências acima de ; 𝑓
𝑐
● Passa-Faixa (BPF): Permite somente um intervalo de frequências entre e ; 𝑓
1
𝑓
2
● Rejeita-Faixa (Notch/BSF): Atenua uma banda específica de frequências e deixa 
passar as demais. 
 
4 
 
Filtros passivos desempenham papel relevante em circuitos analógicos simples. Seu 
princípio de funcionamento baseia-se nas propriedades frequenciais de impedância dos 
componentes: 
● Capacitores apresentam baixa impedância em altas frequências; 
● Indutores apresentam alta impedância em altas frequências. 
A principal limitação desses filtros é a ausência de ganho e a necessidade de indutores, 
que ocupam mais espaço e são menos eficientes. Mesmo assim, eles são úteis em contextos de 
alta frequência ou onde simplicidade é prioridade. 
Já os filtros ativos superam limitações dos passivos, oferecendo vantagens como: 
● Possibilidade de ganho ajustável do sinal; 
● Alta impedância de entrada e baixa impedância de saída, facilitando a integração com 
outros circuitos; 
● Maior estabilidade e precisão de resposta. 
O uso de amplificadores operacionais permite criar filtros de ordens superiores com 
facilidade, viabilizando a construção de sistemas com características específicas de atenuação, 
seletividade e resposta em frequência, conforme os requisitos do projeto. 
Para esse trabalho, foram escolhidos dois modelos clássicos de filtros de segunda 
ordem: Butterworth e Chebyshev, cada um com características específicas. 
a) Filtro Butterworth 
O filtro Butterworth é conhecido por sua resposta maximamente plana na banda 
passante — ou seja, sem ondulações (ripple). Ele apresenta uma transição suave entre a banda 
passante e a banda de rejeição. 
A resposta em frequência para um filtro passa-baixa Butterworth de ordem nnn é: 
 𝐻(𝑗ω)| | = 1
1+(ω/ω
𝑐
)2𝑛
Para n = 2 (caso utilizado no projeto), a curva possui uma atenuação de -40 dB por 
década, além da frequência de corte . Esse tipo de filtro é preferido quando se deseja 𝑓
𝑐
preservar a integridade do sinal na banda útil. 
b) Filtro Chebyshev Tipo I 
O filtro Chebyshev Tipo I permite um ripple (ondulação) na banda passante, o que 
resulta em uma transição mais rápida para a atenuação após a frequência de corte. 
Sua função de transferência apresenta o termo , um polinômio de Chebyshev de 𝑇
𝑛
ordem n, e é expressa como: 
5 
 
 𝐻(𝑗ω)| | = 1
1+ϵ2𝑇
𝑛
2(ω/ω
𝑐
)
 
A parâmetro ϵ é relacionadoao ripple por: 𝑅
𝑝
 ϵ = 10
𝑅
𝑝
/10
− 1
Com dB (definido neste projeto), obtém-se um desempenho mais seletivo — 𝑅
𝑝
= 1 
ideal em situações onde a rejeição rápida de ruído é mais crítica do que a suavidade da 
resposta. 
 
Critério Butterworth Chebyshev Tipo I 
Ripple na banda passante Ausente Presente (ajustável via ) 𝑅
𝑝
Transição na frequência Suave Mais acentuada 
Complexidade do projeto Menor Maior (requer cálculo de ) 𝑇
𝑛
Aplicações comuns Áudio, instrumentação RF, rejeição de ruído 
específica 
Tabela de comparação entre Butterworth e Chebyshev. 
 
A topologia Sallen & Key é uma estrutura clássica para implementação prática de 
filtros ativos de segunda ordem. Utiliza um amplificador operacional em malha fechada, dois 
resistores e dois capacitores, formando um circuito que oferece estabilidade, simplicidade e 
reprodutibilidade. 
O circuito típico para um filtro passa-baixa Sallen & Key pode ser representado por: 
 𝐻(𝑠) = 1
𝑠²𝑅
1
𝑅
2
𝐶
1
𝐶
2
+𝑠(𝑅
1
𝐶
1
+𝑅
1
𝐶
2
+𝑅
2
𝐶
2
)+1
 
Com base nessa equação, é possível ajustar os componentes para que a função de 
transferência coincida com a do filtro desejado (Butterworth ou Chebyshev), após a 
desnormalização. 
6 
 
A grande vantagem dessa topologia está na sua facilidade de implementação com 
componentes padrão, além de permitir ajustes finos no comportamento do filtro com 
alterações simples nos valores de R e C. 
 
 
 
7 
 
3. MODELAGEM E SIMULAÇÃO 
A simulação computacional é uma ferramenta indispensável no desenvolvimento de 
sistemas eletrônicos modernos. Por meio de ambientes como o GNU Octave, é possível 
modelar filtros, ajustar seus parâmetros, comparar suas respostas e avaliar seu comportamento 
diante de sinais reais ou idealizados — tudo isso antes da implementação física. 
Neste trabalho, foi utilizada a linguagem do Octave com o pacote control, que permite 
trabalhar com funções de transferência, respostas no tempo e em frequência. As simulações 
foram divididas em três etapas: modelagem matemática, validação com funções nativas e 
aplicação prática em sinais com ruído. 
 
3.1 Definição das Especificações 
Foram projetados dois filtros passa-baixa de segunda ordem com as seguintes 
características: 
● Ordem do filtro: ; 𝑁 = 2
● Frequência de corte: ; 𝑓
𝑐
= 1000 𝐻𝑧
● Filtro Chebyshev: Ripple na banda passante . 𝑅
𝑝
= 1 𝑑𝐵
 
3.2 Modelagem Matemática Manual 
a) Butterworth N=2 (normalizado) 
A função de transferência normalizada para o filtro Butterworth de segunda ordem é: 
 𝐻(𝑠) = 1
𝑠²+ 2𝑠+1
b) Chebyshev Tipo I N=2 (normalizado) 
Para , calcula-se o fator de ripple : 𝑅
𝑝
= 1 𝑑𝐵 ϵ
 ϵ = 10
𝑅
𝑝
/10
− 1 ≈ 0, 508
A função de transferência inclui o polinômio de Chebyshev , 𝑇
2
(𝑥) = 2𝑥² − 1
levando a uma forma mais complexa, cujos coeficientes podem ser obtidos por ferramentas 
computacionais ou tabelas. 
c) Desnormalização para 𝑓
𝑐
= 1 𝑘𝐻𝑧
A frequência angular de corte é dada por: 
8 
 
 ω
𝑐
= 2π𝑓
𝑐
= 2π * 1000 ≈ 6283 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Para desnormalizar, substitui-se por nas equações dos filtros, ajustando os 𝑠 𝑠' = 𝑠
ω
𝑐
coeficientes para refletirem a frequência real de operação. 
 
3.3 Implementação no Octave 
Utilizando os coeficientes obtidos manualmente (após desnormalização), foi possível 
montar os modelos no Octave com o comando tf(): 
 
pkg load control; 
 
% Filtro Butterworth (manual) 
num_butter = [0]; % Numerador: constante 
den_butter = [1/(6283^2), sqrt(2)/6283, 1]; % Denominador ajustado 
H_butter_manual = tf(num_butter + 1, den_butter); 
 
% Filtro Chebyshev (manual - exemplo simplificado) 
% Coeficientes aproximados para demonstrar estrutura 
num_cheby = [0]; 
den_cheby = [1/(6283^2), 1.231/6283, 1]; 
H_cheby_manual = tf(num_cheby + 1, den_cheby); 
 
3.4 Validação com Funções Nativas do Octave 
As funções butter() e cheby1() geram filtros com os mesmos parâmetros 
automaticamente: 
 
[b_butter, a_butter] = butter(2, 2*pi*1000, 's'); 
H_butter_native = tf(b_butter, a_butter); 
 
[b_cheby, a_cheby] = cheby1(2, 1, 2*pi*1000, 's'); 
H_cheby_native = tf(b_cheby, a_cheby); 
 
 Comparação por diagrama de bode: 
9 
 
 
bode(H_butter_manual, H_butter_native); 
legend('Butterworth Manual', 'Butterworth Octave'); 
 
figure; 
bode(H_cheby_manual, H_cheby_native); 
legend('Chebyshev Manual', 'Chebyshev Octave'); 
 
O objetivo da validação é obter sobreposição entre as curvas dos filtros manuais e 
nativos, demonstrando a equivalência dos modelos. 
 
3.5 Aplicação Prática: Filtragem de Sinais com Ruído 
Dois sinais compostos foram gerados para demonstrar a aplicação dos filtros: 
a) Caso idealizado: Sinal com ruído senoidal 
 
fs = 10000; % Frequência de amostragem 
t = 0:1/fs:0.05; % Vetor de tempo 
 
signal_clean = sin(2*pi*50*t); % Sinal de 50 Hz 
noise_sine = sin(2*pi*2500*t); % Ruído de 2.5 kHz 
signal_total = signal_clean + noise_sine; 
 
y_filtered = lsim(H_butter_native, signal_total, t); 
 
b) Caso realista: Ruído branco 
 
noise_rand = 0.5 * randn(size(t)); % Ruído branco gaussiano 
signal_total2 = signal_clean + noise_rand; 
 
y_filtered2 = lsim(H_butter_native, signal_total2, t); 
 
3.6 Análise dos Resultados 
No domínio do tempo: 
10 
 
● A filtragem remove a componente de alta frequência, deixando a senóide de 50 Hz 
claramente visível. 
● No caso com ruído branco, observa-se uma redução significativa do "ruído visual" 
após a filtragem. 
No domínio da frequência (FFT): 
● Antes da filtragem: pico em 2.5 kHz + ruído distribuído. 
● Após a filtragem: atenuação das componentes acima de 1 kHz, preservando a 
frequência fundamental. 
 
Y_before = abs(fft(signal_total)); 
Y_after = abs(fft(y_filtered)); 
f = (0:length(Y_before)-1)*(fs/length(Y_before)); 
 
plot(f, Y_before); hold on; 
plot(f, Y_after); legend('Antes', 'Depois'); 
xlim([0 4000]); 
 
 3.7 Código completo no octave 
O script abaixo compara filtros Butterworth e Chebyshev (manual e nativo). Além de 
simular dois casos de ruído: senoidal e branco. Utiliza lsim para simular a resposta temporal 
dos filtros. E analisa os sinais no tempo e na frequência (FFT). 
 
clc; % Limpa a janela de comandos 
clear all; % Apaga todas as variáveis da memória 
close all; % Fecha todas as janelas de figura 
 
% ------------------------------ 
% CARREGAMENTO DOS PACOTES 
% ------------------------------ 
pkg load control; % Carrega o pacote de controle para funções como tf(), bode(), lsim() 
pkg load signal; % Carrega o pacote de sinais (necessário para butter(), cheby1()) 
 
% ------------------------------ 
11 
 
% PARÂMETROS DO PROJETO 
% ------------------------------ 
fc = 1000; % Frequência de corte do filtro (Hz) 
wc = 2*pi*fc; % Frequência angular correspondente (rad/s) 
N = 2; % Ordem do filtro (2ª ordem) 
Rp = 1; % Ripple (ondulação permitida) na banda passante do filtro Chebyshev (dB) 
 
% ------------------------------ 
% MODELOS MANUAIS (DESNORMALIZADOS) 
% ------------------------------ 
 
% Filtro Butterworth 2ª ordem: 
% Função de transferência normalizada: H(s) = 1 / (s^2 + sqrt(2)s + 1) 
% Desnormalizando para a frequência de corte real: substitui s -> s/wc 
num_butter = [1]; % Numerador unitário 
den_butter = [1/(wc^2), sqrt(2)/wc, 1]; % Coeficientes do denominador ajustados para wc 
H_butter_manual = tf(num_butter, den_butter); % Cria o modelo de função de transferência 
 
% Filtro Chebyshev 2ª ordem (manual, valores aproximados para Rp = 1 dB) 
den_cheby = [1/(wc^2), 1.231/wc, 1]; % Coeficientes ajustados com ripple aproximado 
H_cheby_manual = tf(num_butter, den_cheby); % Função de transferência manual do filtro 
Chebyshev 
 
% ------------------------------ 
% MODELOS NATIVOS (funções prontas) 
% ------------------------------ 
 
% Filtro Butterworth utilizando função nativa do Octave 
[num_but,den_but] = butter(N, wc, 's'); % Gera numerador e denominador 
H_butter_native = tf(num_but, den_but); % Cria a função de transferência 
 
% Filtro Chebyshev Tipo I usando função nativa 
[num_cheb, den_cheb] = cheby1(N, Rp, wc, 's'); % Gera numerador e denominador com 
ripple 
12 
 
H_cheby_native = tf(num_cheb, den_cheb); % Função de transferência nativa do filtro 
Chebyshev 
 
% ------------------------------ 
% COMPARAÇÃO VIA DIAGRAMA DE BODE 
% ------------------------------ 
 
% Butterworth: compara manual vs nativo 
figure; 
bode(H_butter_manual, H_butter_native); % Diagrama de Bode de magnitude e fase 
legend('Butterworth Manual', 'Butterworth Nativo'); 
title('Comparação - Filtro Butterworth'); 
 
% Chebyshev: compara manual vs nativo 
figure; 
bode(H_cheby_manual, H_cheby_native); 
legend('Chebyshev Manual', 'Chebyshev Nativo'); 
title('Comparação - Filtro Chebyshev'); 
 
% ------------------------------ 
% GERAÇÃO DOS SINAIS DE TESTE 
% ------------------------------ 
 
fs = 10000; % Frequência de amostragem (Hz) 
t = 0:1/fs:0.05; % Vetor de tempo (0 a 50 ms, passo de 0.1 ms) 
 
signal_clean = sin(2*pi*50*t); % Sinal útil: senoide de 50 Hz 
 
% Caso 1: Adiciona ruído senoidal (2.5 kHz) 
noise_sine = sin(2*pi*2500*t); 
signal_ruido_senoide = signal_clean + noise_sine; 
 
% Caso 2: Adiciona ruído branco gaussiano 
noise_rand = 0.5 * randn(size(t)); % Amplitude do ruído ajustada 
13 
 
signal_ruido_branco = signal_clean + noise_rand; 
 
% ------------------------------ 
% FILTRAGEM USANDO lsim() COM O FILTRO BUTTERWORTH NATIVO 
% ------------------------------ 
 
y1 = lsim(H_butter_native, signal_ruido_senoide, t); % Resposta do sistema ao sinal com 
ruído senoidal 
y2 = lsim(H_butter_native, signal_ruido_branco, t); % Resposta do sistema ao sinal com 
ruído branco 
 
% ------------------------------ 
% PLOT NO DOMÍNIO DO TEMPO 
% ------------------------------ 
 
figure; 
 
% Sinal com ruído senoidal antes/depois da filtragem 
subplot(2,1,1); 
plot(t, signal_ruido_senoide); hold on; 
plot(t, y1, 'r'); % Sinal filtrado em vermelho 
legend('Antes (ruído senoidal)', 'Depois do filtro'); 
title('Filtragem - Ruído Senoidal (50Hz + 2.5kHz)'); 
 
% Sinal com ruído branco antes/depois da filtragem 
subplot(2,1,2); 
plot(t, signal_ruido_branco); hold on; 
plot(t, y2, 'r'); % Sinal filtrado em vermelho 
legend('Antes (ruído branco)', 'Depois do filtro'); 
title('Filtragem - Ruído Branco'); 
 
% ------------------------------ 
% PLOT NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA (FFT) 
% ------------------------------ 
14 
 
 
Nfft = length(t); % Tamanho do vetor de FFT 
f = (0:Nfft-1)*(fs/Nfft); % Vetor de frequências associado 
 
% FFT do sinal com ruído senoidal 
FFT_before = abs(fft(signal_ruido_senoide)); 
FFT_after = abs(fft(y1)); % Após filtragem 
 
figure; 
plot(f, FFT_before, 'b'); hold on; 
plot(f, FFT_after, 'r'); 
legend('Antes', 'Depois'); 
title('FFT - Ruído Senoidal (50Hz + 2.5kHz)'); 
xlabel('Frequência (Hz)'); 
ylabel('Magnitude'); 
xlim([0 4000]); % Limita o eixo x para melhor visualização 
 
 
 
3.8 Análise dos gráficos 
O gráfico 1 é o resultado da Transformada Rápida de Fourier (FFT) aplicada ao sinal 
composto por: 
● Um sinal útil de 50 Hz (baixa frequência), 
● Um ruído senoidal de 2,5 kHz (alta frequência), 
● Ambos são amostrados a 10 kHz. 
 
Após a aplicação de um filtro Butterworth passa-baixa de 2ª ordem com frequência de 
corte de 1 kHz, observa-se o seguinte: 
● O componente de 50 Hz (à esquerda do gráfico) permanece praticamente inalterado – 
o filtro preserva sinais abaixo de 1 kHz. 
● O componente de 2,5 kHz (no centro-direita do gráfico) sofre uma forte atenuação, 
como esperado para sinais muito acima da frequência de corte. 
● O filtro oferece uma resposta suave e gradual, típica de um Butterworth, sem ripple na 
banda passante. 
15 
 
 
Gráfico 1 – Análise espectral (FFT) de um sinal composto por 50 Hz e ruído senoidal de 2,5 kHz, antes e depois 
da filtragem Butterworth passa-baixa (1 kHz) 
A curva azul representa o espectro do sinal antes da filtragem, evidenciando dois picos principais: um 
em 50 Hz (sinal de interesse) e outro em 2,5 kHz (ruído). 
A curva vermelha mostra o espectro após a aplicação do filtro, com significativa atenuação do pico de 
2,5 kHz, enquanto o componente de 50 Hz permanece praticamente inalterado. 
 
 
 
16 
 
O gráfico 2 representa na parte superior – Ruído senoidal (2,5 kHz): 
● O ruído se manifesta como modulação rápida sobre a senóide de 50 Hz. 
● Após o filtro Butterworth passa-baixa (fc = 1 kHz), o componente de 2,5 kHz é 
eficientemente removido. 
● A senóide de baixa frequência é preservada com mínima distorção. 
 
 Parte inferior – Ruído branco: 
● O sinal apresenta variações caóticas (alta densidade espectral), como esperado do 
ruído branco. 
● Após a filtragem, a saída exibe uma senoide suavizada, mostrando que o filtro atua 
como redutor de ruído de banda larga, preservando frequências abaixo de 1 kHz. 
 
Gráfico 2 – Filtragem temporal de sinais com ruído usando filtro Butterworth passa-baixa (1 kHz, 2ª ordem) 
(a) Parte superior: Sinal composto por uma senóide de 50 Hz e ruído senoidal de 2,5 kHz. 
 A curva azul mostra o sinal original com ruído; a curva vermelha, após a filtragem, apresenta atenuação 
significativa da alta frequência, preservando a forma da senoide original. 
(b) Parte inferior: Sinal composto por uma senóide de 50 Hz e ruído branco gaussiano. 
 O filtro suaviza a oscilação rápida e irregular do ruído branco (curva azul), resultando em uma saída 
mais limpa e próxima de uma senóide ideal (curva vermelha). 
 
 
17 
 
No gráfico 3 está representado o filtro Chebyshev de 2ª ordem com ripple de 1 dB 
apresenta uma transição mais acentuada do que um filtro Butterworth equivalente, o que é 
evidente na curva de magnitude. 
● A comparação entre o filtro projetado manualmente (azul) e o gerado com cheby1 
(vermelho) mostra que o modelo matemático foi implementado com sucesso. 
● A diferença na fase é esperada em pequenos desvios numéricos e não compromete a 
resposta prática do sistema, especialmente considerando o uso de componentes 
discretos em aplicações reais. 
 
Gráfico 3 – Comparação entre o filtro Chebyshev implementado manualmente e o gerado por função nativa 
(cheby1) no Octave 
(a) Diagrama de Bode – Módulo (parte superior): 
 As curvas mostram a resposta em magnitude (em dB) para ambos os filtros. Observa-se coincidência 
quase perfeita entre as curvas manual e nativa, validando a implementação teórica. 
(b) Diagrama de Bode – Fase (parte inferior): 
 As curvas de fase mostram diferenças muito pequenas, principalmente na região de transição (~1 kHz), 
indicando que os coeficientes utilizados na versão manual foram corretamente aplicados. 
 
 
18 
 
 Por fim, o gráfico 4 apresenta o filtro Butterworth de ordem 2 e apresenta uma 
resposta maximamente plana na banda passante (até ~1 kHz) e atenuação suave após a 
frequência de corte. 
● Ao contrário do filtro Chebyshev, não há ripple na banda passante. 
● A perfeita coincidência entre os modelos mostra que a modelagem matemática, o 
processo de desnormalização (com ) e a função tf() foram usados 𝑠 → 𝑠
ω
𝑐
corretamente. 
● A fase varia suavemente, com uma defasagem típica de filtros de 2ª ordem, tendendo a 
-180° em frequências muito altas. 
 
Gráfico 4 – Comparação entre o filtro Butterworth implementado manualmente e o gerado por função nativa 
(butter) no Octave 
(a) Diagrama de Bode – Módulo (parte superior): 
 As curvas mostram a resposta em magnitude (dB) de um filtro Butterworth passa-baixa de segunda 
ordem. A sobreposição exata entre as curvas do modelo manual (azul) e do nativo (vermelho) demonstra que a 
implementaçãoteórica está correta. 
(b) Diagrama de Bode – Fase (parte inferior): 
 Também na fase, observa-se coincidência completa entre os dois modelos ao longo de toda a faixa de 
frequência, confirmando que os coeficientes desnormalizados foram aplicados com precisão. 
 
19 
 
5. CONCLUSÃO 
O desenvolvimento deste trabalho permitiu uma compreensão ampla e aplicada acerca 
do comportamento, projeto e implementação de filtros passivos e ativos, com foco nos filtros 
Butterworth e Chebyshev de segunda ordem. Com base em uma fundamentação teórica 
consistente, foram elaborados modelos matemáticos das respectivas funções de transferência, 
posteriormente desnormalizados e simulados no ambiente computacional GNU Octave. 
A comparação entre os modelos implementados manualmente e aqueles gerados por 
funções nativas do Octave (butter() e cheby1()) demonstrou excelente concordância, tanto no 
domínio da frequência (através dos diagramas de Bode) quanto no domínio do tempo (por 
meio da função lsim()). Isso confirma a correção dos cálculos analíticos e evidencia o 
domínio conceitual sobre o dimensionamento e a análise de filtros analógicos. 
A análise espectral com Transformada Rápida de Fourier (FFT) validou a eficiência 
dos filtros na remoção de ruídos de diferentes naturezas: senoidal (2,5 kHz) e aleatório (ruído 
branco). Observou-se que o filtro Butterworth apresentou excelente desempenho em situações 
que requerem baixa distorção e resposta suave na banda passante, enquanto o filtro 
Chebyshev Tipo I se destacou por sua maior seletividade, graças à transição mais abrupta, 
ainda que com um ripple controlado. 
A utilização do Octave como ferramenta de simulação demonstrou-se extremamente 
eficaz, oferecendo um ambiente acessível e robusto para testes, validações e análises 
detalhadas. Essa abordagem computacional otimiza o processo de projeto, reduz custos com 
protótipos físicos e antecipa o comportamento real dos sistemas, promovendo maior 
segurança e precisão nas etapas posteriores de implementação. 
Conclui-se, portanto, que o domínio das técnicas de modelagem, simulação e análise 
de filtros é fundamental na formação do engenheiro eletricista, pois integra teoria e prática de 
maneira objetiva e eficaz. A experiência proporcionada por este estudo fortalece 
competências essenciais para a atuação em áreas como instrumentação, processamento de 
sinais, automação e sistemas de controle, reforçando o papel da experimentação digital como 
suporte indispensável à engenharia moderna. 
 
 
 
 
 
20 
 
6. REFERÊNCIAS 
SEDRA, Adel S.; SMITH, Kenneth C. Microeletrônica. 6. ed. São Paulo: AMGH, 2019. 
OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S. Sinais e Sistemas. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2010. 
 
 
21 
	1. INTRODUÇÃO 
	 
	 
	2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
	​ 
	3. MODELAGEM E SIMULAÇÃO​​​ 
	3.1 Definição das Especificações 
	3.2 Modelagem Matemática Manual 
	3.3 Implementação no Octave 
	3.4 Validação com Funções Nativas do Octave 
	3.5 Aplicação Prática: Filtragem de Sinais com Ruído 
	3.6 Análise dos Resultados 
	​3.7 Código completo no octave 
	3.8 Análise dos gráficos 
	 
	5. CONCLUSÃO 
	 
	6. REFERÊNCIAS