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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: TRANSPORTES PROFESSOR: ALBERTO DE ARAUJO DAFICO Estudo da Espiral de Transição ______________________________ em Curvas de Concordância Horizontal ____________________________________ A curva de transição mais comumente usada entre nós é a Clotóide ou Espiral de Cornu. Costuma-se também chamá-la de Espiral de Van Leber, por ter sido este engenheiro holandês o primeiro a empregá-la. A equação expontânea desta curva é da seguinte forma: r = C / l r - raio de curvatura C - constante l - comprimento de transição isto é, uma curva tal que o raio de curvatura é inversamente proporcional ao comprimento da curva. Uma curva dotada de transição em espiral tem a forma da figura 01, onde TS é o ponto de tangência da espiral, SC o ponto de passagem da espiral para a curva circular ( ponto osculador ), CS o ponto de passagem da curva circular para o segundo ramo da espiral ( ponto osculador ) e ST o ponto de tangência do segundo ramo da espiral. Os dois ramos de espiral devem ser simétricos, porque o tráfego deve fazer-se nos dois sentidos, nas mesmas condições. A) Tipos Clássicos de Transição: Quando se adota curva de transição, pode-se empregar os 3 seguintes tipos de transição: a raio conservado, a centro conservado e a raio e centro conservado. a) no primeiro caso ( raio conservado ), a curva circular de base mantém o seu raio e então é deslocada para permitir a introdução dos 2 ramos de transição ( fig. 44-a ). Este é o tipo de transição mais utilizado, pois não altera o raio pré- 1 / 10 estabelecido e nem a posição das tangentes. Será este o tipo de transição considerado neste estudo. b) no segundo caso ( centro conservado ), mantém-se o centro e reduz-se o raio da curva de um certo valor , de modo a permitir a intercalação das curvas de transição ( fig. 44-b ). c) no terceiro caso ( raio e centro conservado ) mantém- se o raio e a posição da curva circular, deslocam-se as 2 tangentes contíguas paralelamente a si mesmas e intercalam-se os 2 ramos de transição ( fig. 44-c ). B) Comprimento da Curva de Transição em Função do Incremento de Aceleração Complementar: Num ponto M qualquer da curva de transição ( fig. 46 ), um veículo percorrendo esta curva com movimento uniforme está sujeito a uma aceleração centrípeta 2 j = v / r A aceleração centrípeta j no ponto TS é nula ( j = 0 ), e no ponto SC é 2 jc = v / R , sendo R o raio comum à curva circular e à espiral ( ponto osculador ). Para que não haja mudança brusca na aceleração, o que é perceptível ao movimento do veículo, produzindo choques em virtude da inércia, é necessário que a passagem da aceleração centrípeta de zero, no ponto TS, para jc no SC, se faça num tempo t , que não deve ser muito curto, para não produzir desconforto. Dividindo j por t , teremos a aceleração ( j2 ) na unidade de tempo, que se denomina "aceleração da aceleração centrípeta", também chamado "incremento da aceleração centrípeta". Temos então: 2 1 v j2 = jc / t = ---.--- (1) t R Para calcular ( t ) em função do comprimento ( lc ) da transição e da velocidade diretriz em m/s, basta exprimirmos algebricamente que os espaços percorridos em um movimento uniforme são proporcionais aos tempos de duração. Portanto 2 / 10 teremos: v.t = lc t = lc / v (2) substituindo (2) em (1): 3 3 v v j2 = ----- lc = ----- R.lc j2.R transformando v (m/s) para V (Km/h), temos: 3 1 V lc = ------- . --- (3) 3 R 3,6 .j2 a equação (3) nos dá o comprimento da curva de transição em função da velocidade diretriz ( V ) e da aceleração da aceleração centrípeta ( j2 ). Entre nós ( DNER e DERs Estaduais ) tem-se adotado j2 = 0,6 o que dará: 3 V lc = 0,036 --- R Da fórmula acima, observamos que quanto menor o valor de R, maior será o valor de lc, para que o valor de j2 seja constante. Se desejarmos maior segurança para o tráfego, ou maior conforto para o usuário, basta adotar valores menores para j2. Sugere-se aqui adotar-se j2 = 0,4 , o que irá fornecer valores mais amplos para lc . Podemos então admitir: 3 V a) valor mínimo de lc = 0,036 --- R 3 V b) valor normal de lc = 0,054 --- R 3 / 10 Entenda-se como valor normal o desejável, por oferecer maior conforto e segurança, percentualmente 50% superior ao mínimo. C) Cálculo dos Elementos da Curva de Transição em Espiral: a) Expressão do Ângulo Central da Espiral: Na figura 47, sendo OMc um ramo da transição em espiral, M um ponto deste ramo e dl o arco elementar em torno de M , temos: dl = r.dS , sendo dS em radianos dS = dl / r (4) da equação expontânea da espiral temos: r = C / l onde: r.l = R.lc = C R.lc r = ---- (5) l substituindo (5) em (4), temos: l.dl dS = ---- R.lc integrando-se, temos: 2 l S = ------ 2.R.lc S - ângulo central da espiral correspondente a um ponto M qualquer da curva de transição ( em radianos ). l - comprimento da transição para um ponto qualquer M, a partir da origem ( em metros ). lc - comprimento total da transição ( em metros ). R - raio do arco circular do projeto ( em metros ). Para o ponto osculador Mc, teremos o ângulo central total da transição. Neste caso, sendo l = lc , temos: 4 / 10 2 lc lc Sc = ------ ---> Sc = ---- 2.R.lc 2.R Sc - ângulo central total da transição ( em radianos ). b) Expressões do Ângulo Central e do Desenvolvimento do Arco Circular: I = 2.Sc + = AC - 2.Sc I - deflexão das tangentes = (AC) - ângulo central do arco circular OBS.: na fórmula acima usar unidades coerentes entre os diversos ângulos .R. D = ------ 180 D - desenvolvimento do arco circular c) Cálculo das Coordenadas Cartesianas da Espiral: da figura 47, temos: dx = dl.senS dy = dl.cosS desenvolvendo senS e cosS em série, fazendo as integrações e colocando os termos das séries em função de S, vem: 2 4 6 l.S S S S x = ---.( 1 - --- + --- - ----- + ... ) 3 14 440 25200 2 4 6 S S S y = l.( 1 - --- + --- - ---- + ... ) 10 216 9360 5 / 10 Estas equações nos dão as coordenadas cartesianas de um ponto M, na forma de uma série rapidamente convergente, conforme se verifica o rápido crescimento do divisor dos termos das séries. Podemos, então, considerar somente os primeiros três termos das séries, para obtermos os valores das coordenadas ( x e y ) com erro menor que 1 milímetro. Portanto, as fórmulas na prática ficam: 2 4 l.S S S x = ---.( 1 - --- + --- ) 3 14 440 2 4 S S y = l.( 1 - --- + --- ) 10 216 onde S é dado em radianos, l em metros, x e y em metros. Para o ponto osculador Mc, temos S = Sc e l = lc , substituindo vem: 2 4 lc.Sc Sc Sc xc = -----.( 1 - --- + --- ) 3 14 4402 4 Sc Sc yc = lc.( 1 - --- + --- ) 10 216 D) Cálculo dos Elementos Complementares da Curva de Transição em Espiral: da figura 52, temos: AD = yc CV = Tc DE = xc AV = Ts AB = q HY = t BG = p 6 / 10 a) Cálculo de q : q = AB = AD - BD = yc - EF q = yc - R.senSc b) Cálculo de p : p = BG = BF - FG = xc - ( R - R.cosSc ) p = xc - R.( 1 - cosSc ) c) Cálculo de Ts : ( tangente ) Ts = AV = AB + BC + CV = q + BC + Tc BC = BG.tgI/2 Tc = R.tgI/2 Ts = q + p.tgI/2 + R.tgI/2 Ts = q + ( p + R ).tgI/2 d) Cálculo do Recuo Máximo t : p t = HY = CG = ------ cosI/2 p t = ------ cosI/2 e) Cálculo do Comprimento da Corda Total da Espiral: da figura 53, temos: yc = C.cos(ic) ic = arc tg(xc/yc) yc C = ------- cos(ic) 7 / 10 f) Cálculo da Deflexão da Corda Total da Espiral (jc) em relação à tangente no SC ou CS : da figura 53, temos: Sc = jc + ic jc = Sc – ic 8 / 10 9 / 10 10 / 10 C - constante S = ------ D = ------
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