Exercícios Tema 2 -2 - Funções Vetoriais

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1 Marcar para revisão
Considere um ponto P no plano cartesiano com
coordenadas polares (ρ, θ). Se o ponto P tem
coordenadas polares �3, π/4), então suas
coordenadas cartesianas (x, y) podem ser
calculadas da seguinte forma:
x = 3cos(π/4), y = 3sen(π/4)
x = 3sen(π/4), y = 3cos(π/4)
x = 3cos(π/4), y = 3cos(π/4)
x = 3sen(π/4), y = 3sen(π/4)
x = 3tan(π/4), y = 3cot(π/4)
Questão 1 de 10
Corretas �10�
Em branco �0�
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Lista de exercícios Funções… Sair
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Resposta correta
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Gabarito Comentado
Nas coordenadas polares, a distância do
ponto à origem é representada por e o
ângulo que a reta faz com o eixo polar
é representado por . No caso em questão,
as coordenadas polares do pontc são
, o que significa que a distância do
ponto à origem é ăngulo é . Para
converter essas coordenadas polares em
coordenadas cartesianas , utilizamos
as seguintes fórmulas:
Substituindo e , obtemos:
P p
OP
θ
P
(3, π/4)
3eo θ π/4
(x, y)
x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ)
ρ = 3 θ = π/4
x = 3 cos(π/4) = 3(√2/2) = 3√2/2
y = 3 sin(π/4) = 3(√2/2) = 3√2/2
2 Marcar para revisão
Levando-se em consideração uma função
vetorial F(t) = (f(t), g(t), h(t)), em que f(t), g(t) e
h(t) são funções componentes dependendo do
parâmetro t. Ao calcular a derivada de F(t) em
um ponto específico, o vetor resultante será:
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A
B
C
D
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Perpendicular à trajetória definida pela
função vetorial
Paralelo à trajetória definida pela
função vetorial
Normal à trajetória definida pela
função vetorial
Diagonal à trajetória definida pela
função vetorial
Ortogonal à trajetória definida pela
função vetorial
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
A derivada de uma função vetorial F(t)
representa um vetor que é tangente à
trajetória definida pela função vetorial. O
vetor tangente à curva de F(t) é o vetor que
descreve a direção e o sentido da curva no
ponto analisado. Geometricamente, esse
vetor será paralelo à trajetória definida pela
função vetorial. As outras alternativas não
descrevem corretamente a relação entre a
derivada da função vetorial e a tangente à
curva.
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3 Marcar para revisão
Qual é a equação polar da curva definida pela
função , com u>0?→G (u)  = ⟨2u,  2u⟩
ρ  = 2
ρ  = θ
θ  = π
4
ρ  = 1 + senθ
ρ  = cosθ
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
A equação polar da curva definida pela
função é . Isso
ocorre porque a função dada é uma linha
reta que passa pela origem com inclinação
de 45 graus (ou radianos) em relação ao
eixo x. Em coordenadas polares, essa
inclinação é representada pelo ângulo .
→G (u)  = ⟨2u,  2u⟩ θ  = π
4
π
4
θ
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A
B
C
D
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4 Marcar para revisão
Considere uma curva parametrizada no espaço
tridimensional. Se um vetor V é tal que o seu
produto escalar com o vetor tangente à curva é
igual a zero, então:
O vetor V será paralelo à curva
O vetor V será tangente à curva
O vetor V será antiparalelo à curva
O vetor V será normal à curva
O vetor V será colinear à curva
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
Se um vetor V tem produto escalar igual a
zero com o vetor tangente à curva, então o
vetor V será normal à curva. O produto
escalar entre dois vetores é zero quando
eles são perpendiculares entre si, o que
implica que o vetor V é ortogonal ao vetor
tangente à curva. As outras alternativas
não representam corretamente a relação
entre o vetor V e a curva.
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A
B
C
D
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5 Marcar para revisão
Um avião está se movendo no espaço em uma
trajetória curvilínea. Para descrever a posição
do avião ao longo do tempo, é mais adequado
utilizar:
Uma equação escalar
Uma equação linear
Uma equação exponencial
Uma equação paramétrica em vetores
Uma equação cossenoidal
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
Ao descrever a trajetória curvilínea de um
avião, é necessário considerar não apenas
as coordenadas espaciais (x, y, z), mas
também o tempo como um parâmetro. Isso
ocorre porque uma equação paramétrica
permite descrever a posição do avião em
termos de parâmetros variáveis, como o
tempo, e utilizar vetores para representar a
direção e o sentido do movimento em cada
instante. As outras alternativas não são
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A
B
C
D
E
adequadas para descrever uma trajetória
curvilínea em relação ao tempo.
6 Marcar para revisão
Um objeto percorre uma curva definida pela
função  .
Assinale a alternativa que apresenta o valor da
componente normal da aceleração no ponto
(x,y,z) = �2,4,6��
→F  (u) =
⎧
⎨⎩
x = 1 + u2
y = u3 + 3,  u ≥  0
z = u2 + 5
3√34
34
5√17
17
6√34
17
√34
17
3√17
17
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
O valor da componente normal da
aceleração no ponto (x,y,z) = �2,4,6) é
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A
B
C
D
E
dado pela alternativa C, que é . Para
chegar a essa resposta, é necessário
aplicar as regras de derivação para
funções paramétricas na função dada e,
em seguida, calcular a componente normal
da aceleração no ponto especificado.
6√34
17
7 Marcar para revisão
Sabendo que
,
assinale a alternativa que apresenta a derivada
da função no ponto
 :
→F (u) = ⟨u3 + 2u, 6, √u⟩ m(u) = √u
→G(u) = 32 →F (m(u))
u = 4
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
A distância do ponto P ao eixo das
abscissas e o ângulo que a reta OP faz
com o eixo polar.
A distância do ponto P à origem do
sistema polar e o ângulo que a reta OP
faz com o eixo das ordenadas
A distância do ponto P ao eixo das
ordenadas e o ângulo que a reta OP
faz com o eixo polar.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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A
B
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D
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Gabarito Comentado
Nas coordenadas polares de um ponto, ρ
representa a distância do ponto à origem
do sistema polar, enquanto θ representa o
ângulo que a reta OP faz com o eixo polar.
As outras alternativas não correspondem
corretamente à definição das coordenadas
polares.
9 Marcar para revisão
Um objeto percorre uma curva definida pela
função .
Assinale a alternativa que apresenta o valor da
componente normal da aceleração no ponto
 :
→F (u) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 1 + u2
y = u3 + 3, u ≥ 0
z = u2 + 5
(x, y, z) = (2, 4, 6)
3√34
34
5√17
17
6√34
17
√34
17
3√17
17
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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A
B
C
D
E
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
6√34
17
10 Marcar para revisão
Considere uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t),
h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções
componentes dependendo do parâmetro t. Para
determinar o limite dessa função vetorial
quando t se aproxima de um determinado valor,
pode-se utilizar o seguinte método:
Aplicar o teorema fundamental do
cálculo
Utilizar a regra de L'Hôpital
Utilizar a expansão em série de Taylor
Encontrar a derivada da função
vetorial
Obter o limite de cada uma das
funções componentes
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
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Gabarito Comentado
O limite de uma função vetorial pode ser
obtido calculando o limite de cada uma de
suas funções componentes. Portanto, para
determinar o limite da função vetorial F(t) =
(f(t), g(t), h(t)) quando t se aproxima de um
determinado valor, é necessário calcular
individualmente o limite de f(t), g(t) e h(t).