Slide Lei de Gauss

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Lei de Gauss
Produzido por Jean Spinelly
Prof: Leide Pricila da Silva
1. Uma nova formulação para a Lei de Coulomb
Na Física faz sentido, sempre que possível, tentarmos expressar as suas leis em formas que nos permitam tirar o máximo de proveito das simetrias existentes.
A Lei de Coulomb não está expressa numa forma que possa simplificar o trabalho em situações que envolvem simetrias.
A Lei de Gauss é uma nova formulação da Lei de Coulomb. Ela pode facilmente tirar vantagens das simetrias existentes.
Lei de Coulomb
Lei de Gauss
Pouca ou nenhuma simetria
Elevado grau de simetria
2. Do que trata a Lei de Gauss
A figura principal da Lei de Gauss é uma superfície fechada imaginária, chamada de superfície gaussiana.
A Lei de Gauss relaciona os campos na superfície gaussiana e as cargas no interior dessa superfície.
A partir da lei de Gauss podemos calcular com precisão a quantidade de carga líquida que está no interior da superfície.
3. Fluxo
Consideremos que se dirija uma corrente de ar de velocidade constante para uma pequena malha quadrada de área A, e seja Φ a vazão volumétrica.
1º Caso:
2º Caso:
	A equação para o segundo caso pode ser reescrita por:
Obs.: 	O Φ na equação acima pode ser interpretado como o fluxo 	do campo de velocidade através da área A. Neste caso, o 	fluxo significa a quantidade de um campo que uma área 	intercepta
3. Fluxo
4. Fluxo do campo elétrico
Consideremos um campo atravessando um volume, como mostra a figura.
A definição exata é obtida quando aproxima-se de . Neste caso, a expressão acima torna-se:
4. Fluxo do campo elétrico
Uma definição provisória para o fluxo do campo através da superfície, de área A, é:
(2)
(1)
Obs.: 1) O círculo na integral indica que a integração é feita sobre 	uma superfície fechada.
 2) A unidade de fluxo, no S.I., é: Nm2/C.
4. Fluxo do campo elétrico
 Exemplo: 
	A figura abaixo mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio R imerso num campo elétrico uniforme , com o eixo do cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície fechada? 
Superfície Gaussiana
5. Lei de Gauss
	A lei de Gauss diz que:
Ф – fluxo do campo elétrico através de uma superfície 	fechada,
q – carga líquida envolvida por esta superfície,
ε0 = 8,85 x 10-12 C2/Nm2 – constante de permissividade.
onde:
(3)
	Podemos ainda escrever a Lei de Gauss como
(4)
5. Lei de Gauss
 	Carga líquida é a soma de todas as 	cargas dentro da 	superfície 	(positivas e negativas).
	Quando q > 0 o fluxo está saindo; 	quando q < 0 o fluxo está entrando.
	O campo elétrico na equação (4) é o 	campo elétrico 	resultante de todas 	as cargas (internas e externas à 	superfície gaussiana).
 Exemplo: 
5. Lei de Gauss
	A figura abaixo mostra cinco pedaços de plástico carregados e uma moeda eletricamente neutra. A seção transversal da superfície gaussiana S está indicada. Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície S? Suponha q1 = 3,1nC, q2 = - 5,9nC, q3 = - 3,1nC, q4 = 1nC e q5 = - 2nC.
+
Superfície gaussiana
6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
A figura abaixo mostra uma carga puntiforme positiva q, em torno da qual desenhamos uma superfície gaussiana esférica de raio r.
Obs.: 	O ângulo entre e o campo elétrico é nulo.
6. A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
De acordo com a figura, podemos escrever a Lei de Gauss como:
(5)
Embora o campo varie com a distância medida a partir de q, ele tem o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (5) obtemos o seguinte resultado:
(6)
A Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb
7. Um condutor carregado isolado
A Lei de Gauss nos permite mostrar o seguinte teorema:
Qualquer excesso de carga colocado em um condutor isolado se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do corpo condutor.
Prova:
Condutor com uma carga q suspenso por um fio isolante
Carga sobre a superfície
Campo elétrico externo a um condutor
7. Um condutor carregado isolado
Consideremos uma seção da superfície do condutor que seja suficientemente pequena para que possamos desprezar qualquer curvatura e considerá-la plana. Além disso, consideremos uma superfície gaussiana conforme mostra a figura abaixo. 
7. Um condutor carregado isolado
Neste caso, o fluxo através da superfície gaussiana é:
onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e externa, respectivamente.
(7)
O campo elétrico é nulo na superfície S2, paralelo à superfície S1 e perpendicular a S3. Além disso, como a base S3 é pequena, podemos considerar que o campo é constante em todos os seus pontos. Assim,
(8)
7. Um condutor carregado isolado
 Exemplo: 
	O campo elétrico normalmente presente na atmosfera terrestre, imediatamente acima da superfície da Terra, tem módulo aproximadamente igual a 150 N/C e aponta diretamente para baixo. Qual é a carga total líquida na superfície da Terra? Considere a Terra como um condutor com densidade superficial de carga uniforme. 
Então, substituindo este resultado na Lei de Gauss, obtemos:
(9)
onde σ é a densidade superficial de cargas.
8. Lei de Gauss com simetria cilíndrica
+ + + + + + + + + + + + + + + 
Consideremos uma barra fina de plástico, infinitamente longa, carregada uniformemente, com densidade de carga λ.
Devido a simetria do problema, vamos escolher uma superfície gaussiana conforme mostra a figura.
Aplicando a lei de Gauss, temos:
onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases interna e externa, respectivamente.
(10)
Nas superfícies S2 e S3, o campo elétrico é perpendicular ao elemento de área . Por outro lado, na superfície S1 o campo é perpendicular. Então, da equação (10), temos:
8. Lei de Gauss: simetria cilíndrica
(11)
Embora o campo varie com a distância medida a partir da barra, ele tem o mesmo valor sobre toda a superfície. Assim, da equação (11) encontramos o seguinte resultado:
Mesmo resultado que seria obtido a partir da Lei de Coulomb
(12)
9. Lei de Gauss: simetria plana
 Chapa não-condutora 
Consideremos uma chapa fina, isolante e infinita, com densidade superficial de carga constante σ. Além disso, consideremos uma superfície gaussiana conforme mostra a figura. 
De acordo com a Lei de Gauss, temos:
onde q é a carga elétrica contida no interior da superfície gaussiana. 
Assim,
onde S1 é a superfície lateral, sendo S2 e S3 as bases do cilindro.
(13)
	O campo elétrico é paralelo à superfície S1 e perpendicular às superfícies S2 e S3. Então, da equação (13), temos:
9. Lei de Gauss: simetria plana
(14)
	O campo possui módulo constante sobre a superfície A, pois a distribuição é uniforme. Portanto, da equação (14), obtemos: 
(15)
9. Lei de Gauss: simetria plana
 Placa condutora 
Consideremos duas placas finas condutoras e infinitas carregadas positivamente e negativamente, com densidade superficial σ, conforme mostram as figuras abaixo. 
Como sabemos, o campo elétrico gerado por cada placa possui módulo dado por:
(16)
9. Lei de Gauss: simetria plana
Colocando as duas placas como na figura abaixo,
as cargas se reorganizarão e a densidade superficial nas faces internas das placas será σ = 2σ1. Com isso, o campo elétrico entre as placas terá módulo 
(17)
9. Lei de Gauss: simetria plana
 Exemplo: 
	A figura abaixo mostra partes de duas chapas grandes, não-condutoras, cada uma delas com carga uniformemente distribuída sobre um lado. Os módulos das densidades superficiais de carga são σ(+) = 6,8 μC/m2 para a chapa carregada positivamente e σ(-) = 4,3 μC/m2 para a chapa carregada negativamente. Determine o campo elétrico (a) à esquerda das chapas, (b) entre as chapas e (c) à direita das chapas.
10. Lei de Gauss: simetria esférica
Usaremos a Lei de Gauss para provarmos os dois teoremas das cascas, enunciados como segue:
Teorema 1:	Uma casca
com carga uniforme atrai ou repele uma 	partícula carregada externa à casca, como se toda 	sua carga se encontrasse no centro.
Teorema 2:	Uma casca com carga uniforme não exerce força 	eletrostática sobre uma partícula carregada que se 	localize no interior da casca.
10. Lei de Gauss: simetria esférica
 Prova do Teorema 1 
Consideremos uma casca esférica, fina e uniformemente carregada com carga q. Além disso, vamos considerar as superfícies gaussianas S1 e S2, conforme a figura.
Superfícies gaussianas
Para , a Lei de Gauss nos dá
10. Lei de Gauss: simetria esférica
Devido a simetria da distribuição de cargas, o campo elétrico é constante sobre a superfície S2. Assim,
Este campo é idêntico ao criado por uma carga puntiforme localizada no centro da esfera.
 Prova do Teorema 2 
Aplicando a Lei de Gauss à superfície S1, obtemos:
10. Lei de Gauss: simetria esférica
 Exemplo: 
	O núcleo de um átomo de ouro tem um raio R = 6,2x10-15 m e uma carga positiva q = Ze, em que o número atômico do ouro é 79. Faça um gráfico do campo elétrico, a partir do centro do núcleo do ouro. Suponha que o núcleo seja esférico e que a carga esteja uniformemente distribuída através do volume.