FUNCAO QUADRATICA

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Função do Segundo Grau 
 
Elidio Luiz Martinelli 
 
 
Meta da aula 
Apresentação da equação e função do segundo grau e também a sua representação gráfica. 
 
Objetivos 
Definir algebricamente e graficamente, a função do segundo grau. 
Resolver equações do segundo grau. 
 
Pré-requisitos 
Para que você possa atingir os objetivos propostos nesta aula, é necessário que você tenha 
compreendido a resolução das equações de primeiro grau e também a representação de pontos no 
plano cartesiano. 
 
Introdução 
 
No campo da matemática, as aplicações deste modelo de função abrangem várias áreas do 
conhecimento humano. Na engenharia, por exemplo, temos a aplicação em cálculos de estruturas e 
também em cálculo de áreas. Na física, lançamento de projéteis, no estudo da dinâmica da partícula e, 
na área de economia e administração, em oferta de mercado, receita total, preço de equilíbrio, entre 
outras. 
Evidentemente, o estudo dessa função é muito importante e, no decorrer do nosso curso, 
devemos salientar a importância dessa função para que os nossos horizontes, em nível de aplicação da 
função quadrática, sejam alargados. 
Equação do 2º grau 
 
É uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, com coeficientes numéricos a, b e c e com a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
 x² + 2x + 1 = 0 
3
1
6
2''x2
6
12x
6
57
6
257
a2
bx
==⇒==′
±=±=Δ±−=
 5x - 2x² - 1 =0 
 
Classificação 
 
Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta. 
1º caso: b = 0 Solução 
 x² = 9 
Ex.: x² - 9 = 0 x = +3 e x = - 3 
 
2º caso: c = 0 Solução 
 x (x-9) = 0 
Ex.: x² - 9x = 0 x = 0 e x = 9 
 
3º caso: b = c = 0 Solução 
 2x² = 0 
Ex.: 2x² = 0 x = 0 
 
Resolução de equações do 2º grau completas 
 
A resolução de equações do 2º grau incompletas foi mostrada acima, vamos agora resolver 
equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax² + bx + c = 0 com a, b e c diferentes de zero. Uma 
equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara. 
 
 
a2
bx •
Δ±−= onde ca4b2 ••−=Δ 
 
 
Exemplos resolvidos 
 
1) 3x² - 7x + 2 = 0 Substituindo na fórmula : 
 
a = 3, b = - 7 e c = 2 
Δ = b2 – 4 a c 
Δ = (-7)² - 4.3.2 = 49 - 24 = 25 
 
S = { 2, 1/3} 
 
2
2
4''xx
2
04
2
04
a2
bx
=−
−==′
−
±−=−
±−=Δ±−=
2) - x² + 4x – 4 = 0 Substituindo na fórmula : 
 
a = - 1, b = 4 e c = - 4 
Δ = 4² – 4.( – 1).( – 4) = 16 – 16 = 0 
 
S = { – 2} 
 
3) 5x² - 6x + 5 = 0 
 
 a = 5; b = - 6; c = 5 
 Δ= ( – 6)² – 4.5.5 = 36 – 100 = – 64 
 
Note que Δ < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui 
nenhuma raiz real. Logo: S = { } 
 
Função do segundo grau 
 
Definição 
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de R em R dada 
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
a) f ( x ) = 2x2 – 5x + 1, onde a = 2, b = – 5 e c = 1 
b) f ( x ) = x2 – 4, onde a = 1, b = 0 e c = – 4 
c) f ( x ) = x2 + 3x + 5, onde a = 1, b = 3 e c = 5 
d) f ( x ) = – x2 + 3x, onde a = – 1, b = 3 e c = 0 
e) f ( x ) = – x2, onde a = – 1, b = 0 e c = 0 
 
 Gráfico 
 
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com 
a ≠ 0, é uma curva denominada parábola. 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: 
 
x y = x2 + x 
-2 2 
-1 0 
0 0 
1 2 
2 6 
 
Observação: 
• Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
• Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
Zeros ou raízes da Equação do 2º Grau 
 
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau do tipo f ( x ) = ax2 + bx + c, com a≠ 0, os 
números reais x tais que f ( x ) = 0. 
 Determinação das raízes através da fórmula de Bhaskara:
 
 
Exemplo: 
Dada a equação f ( x ) = 3 x2 – 7 x + 2 determinar suas raízes: 
 
 
 
 
2'x/3/1''x
6
2'x
6
57
6
257x
==⇒=
⇒±=±=
a2
ca4bb
x0cxbax0)x(f
2
2 −±−=⇒=++⇒=
3.2
2.3.47)7(
x
2 −±−−=
 
 
Observação: 
Número de Raízes: 
• Se Δ > 0, positivo, há duas raízes reais e distintas. 
• Se Δ = 0, zero, há duas raízes reais e iguais. 
• Se Δ < 0, negativo, não existirá raiz real. 
 
Coordenadas do vértice da parábola (V) 
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V ou 
quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . 
Veja os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 
 O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0 é o conjunto dos valores que y pode 
assumir. Há duas possibilidades: 
1ª quando a > 0. 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ Δ−=≥∈=
a4
yy/RyIm V
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ Δ−=≤∈=
a4
yy/RyIm V
 
2ª quando a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal da função do segundo grau 
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x 
para os quais y é negativo; e os valores de x para os quais y é positivo. Conforme o sinal do 
discriminante ca4b2 ••−=Δ , podem ocorrer os seguintes casos: 
1º ) 0>Δ 
 Nesse caso, a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). A parábola intercepta 
o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: 
a) a > 0 
 
a 
 
 
 
 
 
 
b) a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y > 0 (x < x1 ou x > x2) 
y < 0 x1 < x < x2 
y = 0 x = x1 = x2 
 
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
y > 0 x1 < x < x2 
y = 0 x = x1 = x2 
 
21
21
xxx0y
Rx0y
xexx0y
==⇔=
∈∃⇔<
≠∀⇔>
21
21
xxx0y
Rx0y
xexx0y
==⇔=
∈∃⇔>
≠∀⇔<
2º ) Δ = 0 
a) a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rx0y
Rx0y
Rx0y
∈∃⇔=
∈∃⇔<
∈∀⇔>
Rx0y
Rx0y
Rx0y
∈∃⇔=
∈∃⇔>
∈∀⇔<
3º ) 0<Δ 
a) a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
Inequações do segundo grau 
 
Exemplo: 
 
x2 – 5x + 6 > 0 
2''xe3x
2
15x
2
24255
x
´' ==⇒±=
−±=
 
Estudar o sinal da função 
 
Obs.: Duas raízes reais e distintas 
++++++++++++ ---------------- ++++++++++++++ 
 2 4 
 
Então a função será positiva em dois lugares: 
 
Em x < 2 e x >4 ou 2 > x > 4 que é a solução da inequação. 
 
Síntese da aula 
 
Nessa aula foram vistos conteúdos que serão utilizados durante todo o curso, e principalmente 
as interpretações gráficas que nos auxiliam na resolução de problemas. 
 
Atividades 
 
1) Representar graficamente as funções das equações abaixo: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 10x3xxf)d
17x8xxf)g1xxf)c
x2xf)fxxf)b
10x3xxf)exxf)a
2
22
22
22
−−=
−+−=+=
−=−=
−+−==
 
2) Defina os zeros e o vértice das funções a seguir: 
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 8x4xxf)f
x6x6xf)e
6xxxf)d
8x4xxf)c
25xxf)b
21x10xxf)a
22
2
2
2
2
++=
+=
++−=
++=
−=
+−=
 
 
3) Resolver as inequações a seguir: 
a) x2 – 5x + 6 ≤ 0 
b) x2 – 2x –15 ≥ 0 
c) x2 – 16 > 0 
d) x2 – 4x +4 > 0 
e) x2 – 4x +4 < 0 
f) x2 + 2x +1 ≥ 0 
g) x2 + 2x +1 < 0 
 
Os exercícios que estão presentes, nessa aula, consolidam os objetivos presentes, cuja função é 
fundamentar a função quadrática, sendo essa muito importante nas áreas de economia, 
administração, contábeis entre outras. É importante, na hora da construção dos gráficos que 
você substitua valores positivos e negativos para garantir a simetria da parábola. 
 
Informações sobre a próxima aula 
 
Na próxima aula você continuará o estudo das funções elementares, mas estaremos 
aprofundando um pouco mais o nosso estudo com as funções logartimicas e exponenciais.