Lista de exercicios - Fisica Geral 1 - Bim II - Lista 04 (Com Respostas)

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9. Duas massas M e m estão conectadas por uma barra 
rígida de comprimento L e de massa negligenciável, 
como mostrado na figura abaixo. Para um eixo 
perpendicular à barra, mostre que o sistema tem o 
momento de inércia mínimo quando o eixo passa 
através de seu centro de massa. Mostre que esse 
momento de inércia é I = mML
2
/(m + M). 
 
 
 
 
 
Solução: 
Parte I: O momento de inércia I, com relação ao eixo 
de rotação que passa pelo centro de massa c.m., é 
obtido através da relação: 
 
 
 
Onde mi e ri são, respectivamente as massas e as 
distâncias de cada massa ao eixo de rotação, 
respectivamente. Assim, usando-se a definição acima, 
tem-se: 
I = m1x1
2
 + m2x2
2 
 
Como m1 = M, x1 = x, m2 = m e x2 = L – x, resulta: 
I = Mx
2
 + m(L – x)2 (1) 
Parte II: Sabemos que o eixo passa por c.m. Nessa 
condição, colocando-se a origem do sistema de 
coordenadas x-y em M, as coordenadas das massas m1 
= M e m2 = m, são, respectivamente, (x1;y1) = (0;0) e 
(x2;y2) = (L;0). Dessa forma, utilizando-se as 
definições para se encontrar as coordenadas xCM e yCM, 
do c.m., tem-se: 
 
 
 
 
 
Resulta: 
xCM = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) = (M0 + mL)/(M + m) 
xCM = mL/(M + m) (2) 
Fazendo x = xCM, em (2), e substituindo em (1), resulta: 
I = M [mL/(M + m)]
2
 + m[L – (mL/(M + m))]2 
Desenvolvendo essa expressão acima, obtém-se: 
I = mML
2
/(m + M). 
 
Exercício proposto: Três objetos de densidade 
uniforme – uma esfera sólida, um cilindro sólido, e 
uma casca cilíndrica – são colocados no topo de um 
plano inclinado. Todos são liberados do repouso e 
rolam sem deslizar. Todos os objetos têm a mesma 
massa M e raio R. Qual chega primeiro, em segundo e 
em terceiro lugar, na base? O resultado é independente 
dos raios e das massas dos objetos? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a energia cinética total K possui um componente 
de energia cinética de rotação que é somado com um 
componente de energia cinética de translação: 
 
 
 
Pelo teorema da conservação da energia, os corpos 
possuem uma energia potencial gravitacional de Mgh. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima é mostrado a situação para a esfera. 
A energia potencial gravitacional Mgh é convertida em 
energia cinética total K, após um deslocamento x, até a 
base. 
Como 
 
 
 
 
 
 
Substituindo as expressões para ICM, dos corpos, na 
equação acima, resulta que: 
1
o
. Esfera: vCM = (5/7)
1/2
 (2gh)
1/2
 
2º. Cilindro rígido: vCM = (2/3)
1/2
 (2gh)
1/2
 
3º. Casca cilíndrica: vCM = (1/2)
1/2
 (2gh)
1/2
 
Logo, de acordo com o resultado para as velocidades, 
diz-se que as vCM são independentes dos raios e das 
massas dos objetos. As vCM dependem somente das 
constantes numéricas, (5/7)
1/2
, (2/3)
1/2
, (1/2)
1/2
, tendo 
em vista que (2gh)
1/2
 se mantêm constante.