Laboratorio de Fisica I - Aula Propagação de erros

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Propagação de erros 
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 v
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Propagação de erros 
 z,.....y,x, ωω 
... z, y, x,
A velocidade da esfera que atravessa o photogate 
Prof. Jonhson Ordoñez 
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 v
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Propagação de erros 
 z,.....y,x, ωω 
para um número grande de medidas podemos 
admitir que o valor médio de ω é verdadeiro e a 
incerteza padrão σω é o valor verdadeiro. 
• os erros das variáveis (x, y, z, ...) são independentes entre si. 
• a incerteza padrão de ω é σω → o desvio padrão é verdadeiro. 
A expressão geral para o cálculo da incerteza padrão propagada da grandeza ω : 
...2
2
2
2
2
2
2 























 zyx
zyx

Esta expressão é utilizada quando as grandezas de entrada (primárias) são 
medidas repetidas vezes 
x, y, z são valores médios 
σx, σy, σz,... são desvios padrões das médias 
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 v
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Propagação de erros – Expressão geral 
...2
2
2
2
2
2
2 























 zyx
zyx

Esta é uma expressão que é função do desvio padrão pois desprezamos os 
erros instrumentais. 
Na prática, devemos utilizar os erros TOTAIS das grandezas! 
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Propagação de erros – Exemplo 1 
) s,,(σt
) mm,,(σd
t
d
0001009500
0500019


t
d
t
d
v




0
d e t são os valores médios das grandezas 
),(00 tdvv 
2
2
02
2
02
0 txv t
v
d
v  
















td
v 10 







2
0
t
d
t
v








2
2
2
2
2
2 1
0 txv t
d
t
 











 2
2
2
2
2 1
0 txv tt
d
dt
d  















como e 

222
0
0 

















tdv
tdv 
então 
22
3
322
0
0950,0
0001,0
1000,19
1005,0
2,0
0





























td
v tdv


= 0,003 m/s 
v0 v0 
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Propagação de erros – Exemplo 2 
volume de um cilindro 
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Cálculo do volume de um cilindro de comprimento L = 2,0+0,1 mm 
e raio R = 4,0+0,2 mm 
322 53,1000,20,4 mmLRV  
Cálculo da incerteza do volume do cilindro 
),( LRVV  
3)24,1153,110( mmV 
Propagação de erros – Exemplo 2 
volume de um cilindro 
222
2





 





 





 
R
R
L
L
V
V
222
2





 





 





 
R
R
L
L
V
V
22
2





 





 

R
R
L
L
VV
3
22
24,11
0,4
2,02
0,2
1,0
53,100 mmV 




 







3310)01,011,0( doarredondan mmV 
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Expressões para cálculos das incertezas