Integral- Calculo

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Cálculo II 
 
Profª Irene Farias 
Integral 
É o processo de encontrar antiderivadas pode ser chamado de 
: antiderivação, antidiferenciação ou integral. 
ⅆ[𝑭(𝒙)]
ⅆ𝒙
= 𝒇(𝒙) 
Símbolo: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑓𝑖𝑚
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜
= F(𝑥) + 𝐶 
 
Integral Indefinida 
Esse integral gera uma função genérica, pois não existe o início 
e nem o fim de integração. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑓𝑖𝑚
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜
= F(𝑥) + 𝐶 
Em que C é a constante. 
Exemplo 1 - ∫ xdx =
𝑥2
2
+ 𝐶 
Exemplo 2 - ∫ √3𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ( )13
9
2
−x ³+C 
Tabela de Integrais básicas x derivada 
 
Derivadas Integrais 
1 – d (k) = 0. dx = 0 1 - ∫ 0. 𝑑𝑥 = 𝐶 
2 – d(𝑥𝑛) = n. 𝑥𝑛−1. dx 2 - ∫ 𝑥𝑛 dx =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 , n ≠ −1 
3 – d(𝑢𝑛) = 𝑛𝑢𝑛−1𝑑𝑢 3 - ∫ 𝑢𝑛 du =
𝑢𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 , n ≠ 1 
4 – d(c.f(x)) = c.d(f(x)) 4 -  = f(x)dxccf(x)dx 
5 – d(f(x)  g(x)) = df(x)  dg(x) 5 -   = g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x) 
6 – d(sen u ) = cos u du 6 - ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
7 – d(cos u) = sen u du 7 -∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 = −cos 𝑢 + 𝐶 
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Exercício1 – Calcular as seguintes integrais indefinidas: 
a) dx b)  xdx c)  dxx 3 d)  dx2x 5 
e) 2dx)x(
32 f) 3dx)x(
23 g) dxx
−3 h) dx)x
x
x( +− 5
2
2
2
3 
i) dx)x
x
( −− 13
3
2
4
 j) 2xdx)x( + 22 1 k) dxx l)  x
dx
 
m)  2x
dx
 n) ( )dxxx + o) dx
x
5xx
2
−+ 24
 p) dx
x
xx

+ 22
 
q) dx
52
4
5

−+
x
xx
 
Integral por Substituição (u. du) 
É a mudança da variável “x” para uma nova variável “u”, 
dividindo a função em partes e depois encontrar uma parte da função 
cuja derivada também faça parte dela. 
Exemplo 3 – Determine a integral abaixo: 
 ∫ (𝑥2 + 1)502𝑥 𝑑𝑥 
Seja 𝑢 = (𝑥2 + 1) e 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑥
= 2𝑥 
Logo: 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
Sendo assim a integral pode ser escrita por: 
∫ (𝑢)50 𝑑𝑢 =
𝑢51
51
+ 𝐶 
Substituindo o valor de “u”, tem-se: 
∫ (𝑥2 + 1)502𝑥 𝑑𝑥 =
(𝑥2 + 1)51
51
+ 𝐶 
Exemplo 4 - Calcular as seguintes integrais indefinidas por 
substituição: 
a) ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥2 − 1) 𝑥 𝑑𝑥 
b) ∫ cos(3𝑥3 + 4)𝑥2 𝑑𝑥 
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c) ∫ sen √𝑥
ⅆ𝑥
√𝑥
 
d) ∫ sen 𝑥 . cos 𝑑𝑥 
e) ∫ ln 𝑥
ⅆ𝑥
𝑥
 
Exercício 2 – Calcular as seguintes integrais indefinidas por 
substituição: 
a)∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 9) 𝑑𝑥 b)∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 c)∫
𝑒√𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 
d) dx
x
x
 +1
2
2
 e) ( )dxx 2cos f) ydyy 21 2
 + 
g) ( )dxxx 32 sen h) 
( )
dx
x
x

2
ln
 i) ( ) dxxx
10
2 32 + 
 
j) ∫
𝑥
(𝑥2+5)3 𝑑𝑥 
OBS.: ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 e ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 , x>0 
Integral por partes (u. dv) 
No Cálculo 1, quando se calcula a derivada do produto de duas 
funções aplicávamos uma regra: chamávamos uma das funções de 
u, a outra função de v e sua derivada era dada por: y’ = u’v + uv’. 
✓ Usa-se a seguinte regra de substituição: 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
Em que a escolha das variáveis “u”, dar-se pela expressão 
“liate”, 
l - logaritmo → ln x, ln (x+1); 
i – inversa trigonométrica → arco secante, arc tg (x), 
a – algébrica → xn 
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t – trigonométrica → sen x, cos x 
e – exponencial → ex, e(x+1) 
Exemplo 5 – Determine a integral abaixo: 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥3 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥4
4
 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛 𝑥) ⋅
𝑥4
4
− [∫
𝑥4
4
⋅
1
𝑥
𝑑𝑥] 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛 𝑥) ⋅
𝑥4
4
− [∫
𝑥3
4
𝑑𝑥] 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛 𝑥) ⋅
𝑥4
4
− [
1
4
∫ 𝑥3 𝑑𝑥] = (𝑙𝑛 𝑥) ⋅
𝑥4
4
− [
1
4
⋅
𝑥4
4
] + 𝐶 
∫ 𝑥3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
(𝑙𝑛 𝑥) −
𝑥4
16
+ 𝐶 
Exercício 3 – Calcular as seguintes integrais indefinidas por 
partes: 
a)∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 c)∫ 𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
d) ∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 e)∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 f)∫ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 
g) ∫ 𝑥2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 h)∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 
 
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Integral Definida 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b]. 
Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável nesse 
intervalo, tal que F’(x) = f(x), para todo x  [a, b]. Então, temos: 
  )a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a
−== , em que F é uma integral indefinida 
da função “f”. 
 
Exemplo 6 :Calcular 
1
0
2dxx
 
Uma primitiva de f(x) = x2 é, como vimos, F(x) = 3
x 3
. Assim: 
3
1
3
0
3
1
3
x
dxx
1
0
3
1
0
2 =





−=





=
 
Com a integral definida pode-se as áreas, e pode-se definir 4 
casos para o uso dessa: 
✓ 1º caso - A área está toda acima do eixo x, ou seja, f(x)  0 para 
todo x  [a, b], então =
b
a
dx)x(fA
 
 
 
 
✓ 2º caso - A área está toda abaixo do eixo x, ou seja, f(x)  0 
para todo x  [a, b], então 
=
b
a
dx)x(fA
 
 
 
F: [a, b] → R , e f(x)  0  x  [a, b]. 
 
F: [a, b] → R, e f(x)  0  x  [a, b]. 
y 
a b X 
y 
a b X 
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Neste caso, a área assinalada será calculada por: 
 −
a
b
b
a
b
a
dx)x(foudx)x(foudx)x(f
 
 
✓ 3º caso - A área está abaixo e acima do eixo x, ou seja, f(x)  0 
e f(x)  0 para todo x  [a, b]. Calcula-se as raízes de f(x) e se estas 
estão no interior do intervalo de integração tem-se: 
 +
b
x
x
a
dxxfdxxf
1
1
)()( . 
 X1 é a raiz da f(x) neste exemplo. 
 
✓ 4º caso - A região cuja área almeja-se calcular, está situada 
entre duas curvas. 
 
dxxgxfA
b
a −= ))()(( 
 
 
 
Exercício 4 - Calcule as integrais definidas abaixo: 
a) −
2
1
4dxx6 R : 
5
198
 
b) 
−− −
2
1
34 dx)x8x5( R : 
24
37−
 
c) 
2
0
dx)x2sen( R : 0 
d) − 





++−
2
2
2
3
dx1x7x2
3
x
 R : - 6,667 
e)  +
4
0
dx)1x2( R : 8,667 
f)  −
2
1
dx)1x6( R : 8 
g) − +
2
1
3 dx)x1(x R : 
10
81
 
Sendo, f(x)  g(x),  x  [a, b], logo f(x) – g(x)  0. 
 a X 
 x1 b 
y 
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Exercício 5 - Calcular a área determinada pelas curvas de 
equações y = x2 – 3x – 4; y = 0 ; x = 0 e x = 5. 
 R: .a.u
6
73
 
Exercício 6 - Calcular a área compreendida entre a curva y = 
x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 
2. 
R: .a.u
3
8
 
 Exercício 7 - Calcule a área compreendida entre os gráficos 
das funções xy = ; y = 0 e a reta x = 4 
R: .a.u
3
16
 
Exercício 8 - Calcule a área compreendida entre a curva y = 
5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. 
R: 23,2 u. a. 
Exercício 9 - Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 
1 no intervalo [–1, 1]. 
R: .a.u
3
16
 
Exercício 10 - Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = 
x – 3. 
R: 1,86 u.a. 
 
Função 
É uma lei ou regra de correspondência que relaciona cada 
elemento de um conjunto A um único elemento de um conjunto B. A 
função f aplicada em x  A (domínio – D) resulta em um elemento y 
 B (contradomínio – CD). A imagem é o valor assumido pela função 
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ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do 
domínio. 
 
 
Notação: 
f: A → B 
y = f(x) 
Exercício 11 – Determine a imagem das funções: 
a) A = 0,2,4 e B=0,2,4,6,8 sendo f: A→B que transforma x  
A em 2x  B 
b) A =1,2,3 e B=2,3,4,5 sendo f: A→B definida por f(x) = x+1 
c) f: ℕ→ ℕ definida por f(x) = x+1 
d) f: A→ ℝ, tal que f(x) = 5x-4 e A = -2,0,3 
Exercício 12 – Determinar f(5) e f(x+2) da f: ℝ∗→ ℝ tal que 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 −
1
𝑥
 . 
Exercício 13 – Determinar o valor de “a” de 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 𝑎, 
sabendo que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 e f(3) + g(2)=15. 
Exercício 14 – Determinar f(7) e f(3), tal que f: ℝ→ ℝ, 
𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥) + 15 e f(5)=8. 
 Exercício 15 – Determinar f(7), f(2) e f(√30) tal que f: ℝ→ ℝ, 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 5
𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > 5
 
 
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Domínio de função Real 
 
Quando é citado uma função f de A em B, já ficam 
subentendidos que o domínio é o conjunto A e o contradomínio é o 
conjunto B. 
Exercício 16 – Determine o conjunto domínio. 
a)𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3 
d)𝑓(𝑥) =
2
√𝑥−4
 
e)𝑓(𝑥) =
√5−𝑥
√𝑥−2
 
f) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 + √2𝑥 − 1 
g)𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
 
h)𝑓(𝑥) =
3𝑥+1
𝑥2−𝑥
 
Funções de duas variáveis 
e seu domínio 
 
Considerar as seguintes regras, para determinarmos o domínio 
de uma função: 
a) 
𝑁
𝐷
→ 𝐷 ≠ 0 em que Numerador e Denominador da fração 
b) √𝑥
𝑝𝑎𝑟
→ 𝑥 ≥ 0 
c) 
𝑁
√𝑥
𝑝𝑎𝑟 → 𝑥 > 0 
d) ln(𝑥) → 𝑥 > 0 
 
 
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Exercício 17 – Determine o conjunto domínio e o gráfico das 
funções a seguir: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
3𝑥
𝑦−𝑥
→ 𝑓(1,0) 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√𝑥2−𝑦
→ 𝑓(3, −7) 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 − 1 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
2𝑥−𝑦+1
 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 − 𝑦 + 1) 
 
Derivadas parciais de 1º ordem 
com duas variáveis 
Considerando y, constante na função z = f(x,y), obtemos uma 
função de uma só variável neste caso, x. Derivamos esta função de 
uma variável, o resultado é chamado de derivada parcial (de ordem 
1º) em relação a x da função z = f(x,y) e é indicada por os seguintes 
símbolos: 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 𝑜𝑢 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
 
Exemplo 7: z = f(x, y) = xy + sen x 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
A derivada em relação a y, deve se considerar x constante 
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 𝑥 
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Para uma função de 3 variáveis, w = f(x,y,z) a derivada parcial 
em relação a uma das variáveis se obtém considerando as demais 
constantes e derivando a função de uma variável resultante. 
Exemplo 8: w = f(x, y, z) = x3yz2 + x + 2y + 4 
df
dx
= 3x2yz2 + 1 
df
dy
= x3z2 + 2 
df
dz
= 2x3yz 
 
As regras das derivadas também devem ser utilizadas nas 
derivadas parciais: 
𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑜𝑢 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
ℎ′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 
ℎ′(𝑥) =
𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
→ 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
⋅
𝑑𝑢
𝑑𝑥
→ 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎 
 
Exercício 18 – Calcule as derivadas parciais de 1º ordem das 
funções dadas: 
a) 𝑧 = 𝑥2 𝑙𝑛(𝑦2𝑥) 
b) 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 1 
c) 𝑧 = 3𝑥 
d) 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
e) 𝑧 = 3𝑥2 + 2𝑦 + 4 
f) 𝑧 = 4𝑥𝑦 
g) 𝑧 = 3𝑥3 − 4𝑦𝑥 + 𝑦4 
h) 𝑧 = 3 
i) 𝑧 =
4𝑥3
𝑦2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑥 − 4𝑦 − 7 
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Integral Dupla 
A integral dupla é definida como a integração entre duas 
variáveis, em geral integra-se uma variável e outra é considerada 
constante e vice-versa. Como pode-se observar nos gráficos: 
Situação 1: 
 
 
∫ 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑓(𝑦)
𝑔(𝑦)
 
 
 
Situação 2: 
 
∫ 𝑑𝑦
ⅆ
𝐶
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
 
 
 
 
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Exemplo 9 - Determine as integrais: 
a) 
∫ 𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑑𝑦
𝑥2
𝑥3
 
b) ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥
𝑥= √𝑦3
𝑥=√𝑦
1
0
 
Calculo de volume de integrais 
 
Exemplo 10 - Determine o volume dos sólidos com as 
seguintes coordenadas: x=3, y=2 e z=4. 
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
-1
-0
,8
-0
,6
-0
,4
-0
,2 0
0
,2
0
,4
0
,6
0
,8 1
1
,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
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Exemplo 11 - Calcule a integral da figura abaixo: R = [0,3] x 
[0,4] e∬ (8 − 2𝑦) 𝑑𝐴
𝑅
 
 
Exercício 19 – Calcule as seguintes integrais: 
a) ∫ ∫ 𝑦𝑒𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥
9
1
4
2
 
b) ∫ ∫ 𝑥2𝑦3 𝑑𝑦
4
2
𝑑𝑥
1
0
 
c) ∬ (𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝐴
𝐷
 em que D= região limitada pela parábola 
𝑦 = 𝑥2 + 1 e y=0 e as retas x=-1 e x=2 
 
 
 
 
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Integral Tripla 
A integral tripla é definida como a integração entre três 
variáveis, em geral integra-se uma variável e outra é considerada 
constante e vice-versa. Como pode-se observar no gráfico: 
 
∫ 𝑑𝑥
2
0
∫ 𝑑𝑦
4
0
∫ 3 𝑑𝑧
0
 ou ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧
3
0
𝑑𝑦
4
0
𝑑𝑥
2
0
 ou ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑉
3
0
4
0
2
0
 
Resolução: 
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𝑉 = ∫ 𝑑𝑥
2
0
∫ 𝑑𝑦
4
0
∫ 𝑑𝑧
3
0
= ∫ 𝑑𝑥
2
0
∫ 𝑑𝑦
4
0
⋅ 𝑧]0
3 
𝑉 = ∫ 𝑑𝑥
2
0
∫ 𝑑𝑦
4
0
(3 − 0) = ∫ 𝑑𝑥
2
0
∫ 3 𝑑𝑦
4
0
 
𝑉 = ∫ 𝑑𝑥
2
0
 3 ∫ 𝑑𝑦
4
0
= ∫ 𝑑𝑥
2
0
⋅ 3[𝑦]0
4 
𝑉 = ∫ 𝑑𝑥
2
0
 3(4 − 0) = ∫ 12 𝑑𝑥
2
0
 
𝑉 = 12 ∫ 𝑑𝑥
2
0
= 12[𝑥]0
2 = 12(2 − 0) = 24 
Exercício 20 – Calcule as seguintes integrais: 
a) ∭ 12𝑥𝑦2𝑧3 𝑑𝑉
ℝ
 ℝ = {
−1 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 ≤ 𝑦 ≤ 3
0 ≤ 𝑧 ≤ 2
 
b) ∫ ∫ ∫ (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) ⅆ𝒙
𝟏
𝟎
ⅆ𝒚
𝟐
𝟎
ⅆ𝒛
𝟏
−𝟏
 
c) ∫ ∫ ∫ (𝒚𝒛) ⅆ𝒙
𝒛
−𝟏
ⅆ𝒛
𝒚𝟐
−𝟏
ⅆ𝒚
𝟐
𝟎
 
d) ∫ ∫ ∫ (𝑥𝑦 + 𝑧) 𝑑𝑧
𝑥+𝑦
0
𝑑𝑦
1
0
𝑑𝑥
2
0